《分组分解法》例题精讲与同步练习
【基础知识精讲】
1.分组分解法
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
例如：把x2-y2+ax+ay分解因式.
此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，后两项分为一组，得到：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)，最终达到分解因式的目的.
2.分组分解法的根据
分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.
注意：
1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法.
2.有时，分组方法并不唯一.
3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组；若分组后公式法分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a2-b2+1，在分解时，2ab-a2-b2+1=1-(a2-2ab+b2)=1-(a-b)2=(1+a-b)(1-a+b)
【重点难点分析】
1.重点难点分析
重点：掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则：分组后可继续分解.
难点：是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调：分组无固定的形式.
2.典型例题解析
例1 分解因式2a3+a2-6a-3
分析这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2∶1，三、四两项的系数之比也是2∶1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.
解 2a3+a2-6a-3
=(2a3+a2)-(6a+3)
=a2(2a+1)-3(2a+1)
=(2a+1)(a2-3)
例2 分解因式4x2-4xy+y2-16z2
分析这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.
解4x2-4xy+y2-16z2
=(4x2-4xy+y2)-16z2
=(2x-y)2-(4z)2
=(2x-y+4z)(2x-y-4z)
例3 分解因式ax-ay-x2+2xy-y2
分析这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式(x-y)可提.
解 ax-ay-x2+2xy-y2
=(ax-ay)-(x2-2xy+y2)
=a(x-y)-(x-y)2
=(x-y)(a-x+y)
例4 把(x2+y2-1)2-4x2y2分解因式
解 (x2+y2-1)2-4x2y2
=(x2+y2-1)2-(2xy)2
=[(x2+y2-1)+2xy][(x2+y2-1)-2xy]
=[(x2+2xy+y2)-1][(x2-2xy+y2)-1]
=[(x+y)2-1][(x-y)2-1]
=(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)
例5 分解因式x(x-1)(x-2)-6
分析考虑去掉括号，重新分组.
解 x(x-1)(x-2)-6
=x3-3x2+2x-6
=(x3-3x2)+(2x-6)
=x2(x-3)+2(x-3)
=(x-3)(x2+2)
【难题巧解点拨】
例6 分解因式a4+4
分析这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a4+4中项添上一项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a2和-4a2,则原多项式就变为a4+4a2+4-4a2四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.
解 a4+4
=a4+4a2+4-4a2 (添拆项)
=（a4+4a2+4）-4a2 (分组)
=(a2+2)2-(2a)2 （完全平方公式）
=(a2+2a+2)(a2-2a+2) (平方差公式)
点评本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.
例7 已知x2+10xy+25y2-1=0，化简x3+5x2y+x2.
分析由已知条件，通过因式分解，可得到(x+5y)的值.从而可以化简所求代数式.
解由x2+10xy+25y2-1=0可得
(x+5y)2-1=0 即
(x+5y+1)(x+5y-1)=0
当x+5y+1=0时
x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)=0
当x+5y-1=0时，即x+5y=1
x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)=2x2
【命题趋势分析】
熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.
【典型热点考题】
例8 把2x3+x2-6x-3分解因式. (沈阳中考题)
解 2x3+x2-6x-3
=(2x3+x2)-(6x+3)
=x2(2x+1)-3(2x+1)
=(2x+1)(x2-3)
例9 把abx2-aby2-a2xy+b2xy分解因式. (广州中考题)
解 abx2-aby2-a2xy+b2xy
=(abx2-a2xy)+(b2xy-aby2)
=a(bx-ay)+by(bx-ay)
=(bx-ay)(ax+by)
点评本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组；也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.
例10 把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a2+ab. (长春中考题)
解法一 xy-ax+bx+ay-a2+ab
=(xy-ax+bx)+(ay-a2+ab)
=x(y-a+b)+a(y-a+b)
=(y-a+b)(x+a)
解法二 xy-ax+bx+ay-a2+ab
=(xy+ay)-(ax+a2)+(bx+ab)
=y(x+a)-a(x+a)+b(x+a)
=(x+a)(y-a+b)
点评本题共有六项，解法一分为两组：前三项为一组，后三项为一组；解法二分为三组：一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.
【同步达纲练习】
一、填空题(4分×10=40分)
1.x2+2y-y2+2x=(x+y)( ).
2.因式分解x2+xy-3x-3y= .
3.因式分解1-a2+2ab-b2= .
4.因式分解x5+x4+x3+x2= .
5.分解因式ax-ay+a2+bx-by+ab= .
6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy= .
7.分解因式2x-2y+4xy-1= .
