36、2020年北京初三数学二模分类汇编：新定义(学生版)

(1)点A(2,0)，B(4,4)，C(－2, )的垂点距离分别为_______,________,________；
(2)点P在以Q( ,1)为圆心，半径为3的⊙M上运动，直接写出点P的垂点距离h的取值范围；
(3)点T为直线l：y= x+6位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．
24． 如图，在△ABC中，AB=6cm，P是AB上的动点，D是BC延长线上的定点，连接DP交AC于点Q．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，DQ，DQ的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，DQ，DQ的长度(单位：cm)的几组值，如下表：
（2）若AD=5,sin∠AFO= ，求AC的长.
22．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 （ ， ）的图象经过点A（1，﹣4），直线y＝﹣2x+m与x轴交于点B（1，0）．
（1）求k，m的值．
（2）已知点P（n，﹣2n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x+m于点C，过点P作平行于y轴的直线交函数 （ ， ）的图象于点D，当PD=2PC时，结合函数的图象，求出n的值．
A.(－1,－1)B.(－1,0)
C. (1,0)D.(3,0)
3．判断命题“如果x＜1，那么x2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的x可以为
A．－2B．－ C．0D．
4.若点 ， 在抛物线 ( )上，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
5．如图，小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处，则∠ABC等于

2020年北京初三数学二模分类汇编：新定义【题1】（2020·东城28二模）28. 对于平面直角坐标系xOy内任意一点P，过P点作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则称MN的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．(1)点A(2,0)，B(4,4)，C(－)的垂点距离分别为_______,________,________；(2)点P在以Q为圆心，半径为3的⊙M上运动，直接写出点P的垂点距离h的取值范围；(3)点T为直线l：y+6位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．【题2】（2020·西城28二模）28. 对于平面直角坐标系xOy 中的定点P 和图形F ，给出如下定义：若在图形F 上存在一点N ，使得点Q ，点P 关于直线ON 对称，则称点Q 是点P 关于图形F 的定向对称点. （1）如图，(10)，A ，(11)，B ，(02)，P ，① 点P 关于点B 的定向对称点的坐标是 ；② 在点(02)，-C ，(1，-D ，(21)，-E 中， 是点P 关于线段AB 的 定向对称点.（2）直线：=+l y x b 分别与x 轴，y 轴交于点G ，H ，⊙M 是以点(20)，M 为圆心，(0)>r r 为半径的圆.① 当1=r 时，若⊙M 上存在点K ，使得它关于线段GH 的定向对称点在线段GH 上，求b 的取值范围；② 对于0>b ，当3=r 时，若线段GH 上存在点J ，使得它关于⊙M 的定向对称点在⊙M 上，直接写出b 的取值范围.28．解：（1） ①()2,0；② C ，D ．（2） ① 由题意，0b ≠，若0>b ，当直线l 与以点()2,0-为圆心，1为半径的圆相切时，3=b ．当直线l 经过点()1,0-时，3=b ．∴b ． 若0<b ，当直线l 经过点()1,0时，3=-b ．当直线l 与以点()0,0为圆心，3为半径的圆相切时，=-b ．∴-b ≤3-．综上，b 的取值范围是-b ≤3-或3≤b ≤3．b ··························································· 7分【题3】（2020·海淀28二模）28．在平面内，对于给定的△ABC ，如果存在一个半圆或优弧与△ABC 的两边相切，且该弧上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称这样的弧为△ABC 的内切弧．当内切弧的半径为最大时，称该 内切弧为△ABC 的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径） 在平面直角坐标系xOy 中，A (8,0)，B (0,6).（1）如图1，在弧G 1，弧G 2，弧G 3中，是△OAB 的内切弧的是 ；（2）如图2，若弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切，求弧G 的半径的最大值； （3）如图3，动点M (m ,3)，连接OM ，AM .①直接写出△OAM 的完美内切弧半径的最大值；②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T ．点P 为弧T 上的一个动点，过点P 作x 轴 的垂线，分别交x 轴和直线AB 于点D ，E ，点F 为线段PE 的中点，直接写出线段DF 长度的取值范围．28. 解：（1）弧G 2，弧G 3.（2）∵ 弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切,∴ 弧G 所在圆的圆心在∠OBA 的角平分线BI 上. 易知若弧G 的半径最大，则弧G 所在圆的圆心I 在 △OAB 的边OA 上. 设弧G 与边AB ，OB 相切分别 切于点O ，H. ∴ IH ⊥AB . ∵ A (8,0)，B (0,6),∴ BO ＝6，AO ＝8 ，AB＝10. ∵ ∠IOB ＝∠ IHB ＝90°，OI ＝IH ，BI ＝BI , ∴ △IOB ≌△IHB .∴ BH ＝BO ＝6.∴ AH ＝AB －BH =4，AI ＝AO －OI ＝8－OI ，OI ＝HI . 在Rt△AIH 中, AI 2＝AH 2＋HI 2, 即222(8)4OI OI -=+. 解得OI ＝3.（3）①△OAM 的完美内切弧半径的最大值为125.图 1图2图3备用图②线段DF 长度的取值范围是335DF ≤≤且4825DF ≠. 注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分.【题4】（2020·朝阳28二模）28.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下定义:Q 为图形M 上任意一点，如果,P Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P 与图形M 间的开距离，记作(),d P M .已知直线3(0)y x b b =+≠与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B O e ，的半径为1 (1)若2b =， ①求,()d B O e 的值;②若点C 在直线AB 上，求,()d C O e 的最小值;(2)以点A 为中心，将线段AB 顺时针旋转120︒得到AD ，点E 在线段,AB AD 组成的图形上，若对于任意点E ，总有2,6()d E O ≤<e ，直接写出b 的取值范围. 28．解：（1）①根据题意可知B （0,2）.∴d (B ,⊙O )=3.②如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，此时d (C ,⊙O )取得最小值. ∵直线32y x =+与x 轴交于点A ， ∴A (-23,0). ∴OA =23,OB =2. ∴∠OAB =30°.∴3OC =.∴d (C ,⊙O )的最小值为31+.（2）57232357b b --＜≤或≤＜.【题5】（2020·丰台28二模）28. 过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆，特别地，半径最小．．的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆.在平面直角坐标系xOy 中，点P （0，2）.（1）已知点A （0，1），B （1，1），C （2，2），分别以A ，B 为圆心，1为半径作⊙A ，⊙B ，以C 为圆心，2为半径作⊙C ，其中是点P 与x 轴的点线圆的是 ；（2）记点P 和x 轴的点线圆为⊙D ，如果⊙D 与直线y 3+无公共点，求⊙D 的半径的r 取值范围； （3）直接写出点P 和直线y =kx (k ≠0)的最小点线圆的圆心的横坐标t 的取值范围.28.解：（1）⊙A ，⊙C ；（2）如图1，⊙D 1过点P ，且与x 轴和直线y 3+都相切.此时⊙D 1的半径r =1.如图2，⊙D 2过点P ，且与x 轴和直线y 3+都相切.切点分别为M ， N ，连接D 2M ，D 2N ，D 2P ，过点D 2作D 2Q ⊥y 轴于点Q . 设D 2M =r ，∴D 2P=D 2M =r. 易证OQ = D 2M= r. ∴PQ = r 2-. ∵∠MEN =60°，∴∠D 2EM =30°. ∴EM .∴OM = D 2Q根据勾股定理可以得到：D 2P 2= D 2Q 2+ PQ 2, 即2r=2-+()22-r .解得r 1=1（舍），r 2=73.∴ 1< r <73. ………………………………………………………5分（3）12-≤x <0或0<x ≤12. ………………………………………………………7分【题6】（2020·房山28二模）28. 过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”.（1）如图，在等腰Rt ABC △中，90A =︒∠，2AB AC ==. ① 在下图中画出一条Rt ABC △的形内弧；② 在Rt ABC △中，其形内弧的长度最长为____________.（2）在平面直角坐标系中，点()2,0D -，()2,0E ，()0,1F ，点M 为DEF △形内弧所在圆的圆心. 求点M 纵坐标M y 的取值范围；（3）在平面直角坐标系中，点(2,M ，点G 为x 轴上一点. 点P 为OMG △最长形内弧所在圆的圆心，求点P 纵坐标P y 的取值范围. 28.（1）①类似以上作答，只要弧上所有点都出现在三角形内部，均给分.ABC………………………………2分②当2OB =时，Rt ABC △的形内弧最长，此时弧长=π=.（学生不必画出图象）………………………………3分（2）当圆心在x 轴下方时，此时最长形内弧与线段DF ，EF 相切∵1DOF DOM △∽△∴21OF OM OD ⋅=∴14OM = ∴4M y ≤- ………………………………4分当圆心在x 轴上方时，此时最长形内弧与x 轴相切∵2EGM HEG △∽△∴22HG HM HE ⋅=∴EH =∴252EM =∴52M y ≥………………………………5分综上所述，4M y ≤-或52M y ≥（3）当4G x ≤-时，此时最长形内弧与x 轴相切∵1GOP GHO △∽△∴1GP =∴1P y ≥当40G x -<<时，此时最长形内弧与线段OM 相切解得2P y ≥当04G x <<时，此时最长形内弧与线段MG 相切解得33P y ≥………………………………6分当4G x ≥时，此时最长形内弧与线段MG 相切解得4P y ≤………………………………7分综上所述，P y ≥P y ≤【题7】（2020·顺义28二模）28．已知：如图，⊙O 的半径为r ，在射线OM 上任取一点P （不与点O 重合），如果射线OM 上的点P'，满足OP ·OP'=r 2，则称点P'为点P 关于⊙O 的反演点．在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的半径为2． (1)已知点A (4，0)，求点A 关于⊙O 的反演点A'的坐标； (2)若点B 关于⊙O 的反演点B'恰好为直线y =与直线x =4的交点，求点B 的坐标；(3)若点C 为直线y =上一动点，且点C 关于⊙O 的反演点C'在⊙O 的内部，求点C 的横坐标m 的范围； (4)若点D 为直线x =4上一动点，直接写出点D 关于⊙O 的反演点D'的横坐标t 的范围．28．解：（1）依题意得：OA =4，∵OA ·OA ’=22=4， ∴ OA ’=1． …………………………………1分 则A ’(1，0) ． …………………………………………………… 2分（2）∵B ’恰好为直线y=与直线x =4的交点，y =与x 轴夹角为60°，∴B ’点坐标为(4，． …………………………………………… 3分 ∴ OB ’=8．∵OB ·OB ’=22=4， ∴OB =12． ∴ B(14)． ……………………………………………………… 4分 （3）∵点C 为直线y =上一动点，且点C 关于⊙O 的反演点C'在⊙O 的内部，∴点C 在⊙O 的外部，直线y =与⊙O 的两个交点坐标的横坐标为1±， ∴ m 的取值范围是 m >1或 m <-1． ………………………………… 6分 （4）t 的取值范围是： 0<t ≤1. …………………………………………… 7分【题8】（2020·门头沟28二模）28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，存在半径为2，圆心为（0，2）的⊙W ，点P 为⊙W 上的任意一点，线段PO 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PO '，如果点M 在线段PO '上，那么称点M 为⊙W 的“限距点”.（1）在点A （4，0），B （1，2），C （0，4）中，⊙W 的“限距点”为____________________； （2）如果过点N （0，a ）且平行于x 轴的直线l 上始终存在⊙W 的“限距点”，画出示意图并直接写出a 的取值范围；（3）⊙G 的圆心为（b ，2），半径为1，如果⊙G 上始终存在⊙W 的“限距点”，请直接写出b 的取值范围.备用图【题9】（2020·平谷28二模）28．如图1，点P 是平面内任意一点，点A ,B 是⊙C 上不重合的两个点，连结PA ，PB ．当∠APB =60°时，我们称点P 为⊙C 的“关于AB 的关联点”．（1）如图2，当点P 在⊙C 上时，点P 是⊙C 的“关于AB 的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB ，并直接写出∠ACB 的度数；（2）在平面直角坐标系中，点()1,3M，点M 关于y 轴的对称点为点N ．①以点O 为圆心，OM 为半径画⊙O ，在y 轴上存在一点P ，使点P 为⊙O “关于MN 的关联点”，直接写出点P 的坐标；②点D (m,0)是x 轴上一动点，当⊙D 的半径为1时，线段MN 上至少存在一个点是⊙D 的“关于某两个点的关联点”，求m 的取值范围．28.（1）补全图形........................................1 120°. (1))0,0()32,0(或P (4)（2）①MP 图2图1②2m 2≤≤- ····························································································· ７【题10】（2020·密云28二模）28. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（x 1，y 1），点B 的坐标为（x 2，y 2），且x 1x 2，y 1=y 2. 给出如下定义：若平面上存在一点P ，使△APB 是以线段AB 为斜边的直角三角形，则称点P 为点A 、点B 的“直角点”.（1）已知点A 的坐标为（1，0）.① 若点B 的坐标为（5，0），在点P 1（4，3）、P 2（3，-2）和P 3（2，）中，是点 A 、点B 的“直角点”的是 ；② 点B 在x 轴的正半轴上，且AB = ，当直线y=-x+b 上存在点A 、点B 的“直角点”时，求b 的取值范围；（2）⊙O 的半径为r ，点D （1，4）为点E （0，2）、点F （m ，n ）的“直角点”，若使得 △DEF 与⊙O 有交点，直接写出半径r 的取值范围.备用图≠3yxO-1-2-3-4-5-65432164321-1-2-3-4-6-55622yxO-1-2-3-4-5-65432164321-1-2-3-4-6-55628．(1)① P 2 ，P 3 ………………………………2分② ∵A （1，0）, AB = ∴线段AB 的中点C （，0）∴点A 、B 的“直角点”在以点C 为圆心，的长为半径的⊙C 上 ∴当直线y=-x+b 与⊙C 相切于点D ，与两坐标轴相交于点M 、N 时， ∵∠M=45°，CD =∴CM=2 ………………………………3分 ∴OM=OC+CM= +1+2= +3，∴ON=OM= +3即b= +3 ……4分同理：当直线y=-x+b 与⊙C 相切于点E 时， CH=2∴OH=OC - CH= -1即b= -1 综上所述： ……………5分（2） ………………7分【题11】（2020·燕山28二模）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：若图形G 上存在两个点A ，B ，使得△PAB 是边长为2的等边三角形，则称点P 是图形G 的一个“和谐点”．已知直线l ：30)y x n n =+≥（与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，⊙O 的半径为r ．(1) 若n ＝0，在点1P (2，0)，2P (0，23)，3P (4，1)中，直线l 的和谐点是 ；21+22123b -≤≤+229r ≤≤2222222222020年二模数学试卷第7页（共8页）(2) 若r ＝2，⊙O 上恰好存在2个直线l 的和谐点，求n 的取值范围； (3) 若n ＝，线段MN 上存在⊙O 的和谐点，直接写出r 的取值范围．28．解：(1)直线l 的和谐点是 1P ，2P ；(2) 如图，设A ，B 在直线l 上，点C 在⊙O 上，△ABC 是边长为2的等边三角形， ∵0n ≥，∴当直线l 位于l 1时，⊙O 上只有1个点C 是直线l 的和谐点， 当直线l 位于l 2时，⊙O 上有3个点C ，C 2，C 3都是直线l 的和谐点， ∴满足条件的直线l 应位于直线l 1和l 2之间．设过点C 且与⊙O 相切的直线为l'，直线l 1，l 2，l'分别与x 轴，y 轴交于点M 1，N 1，M 2，N 2，M'，N'．连接OC ，则OC ⊥l'，OC ＝2．取AB 中点D ，连接CD ，则CD O ，C ，D 三点共线，∴OD ＝2 ∵直线l ：=+y n 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ， ∴M (－3n ，0)，N (0，n )， ∴tan ∠MNO ＝OM ON∴∠MNO ＝30°．∴在Rt △OCN'和Rt △ODN 1中，ON'＝2OC ＝4，ON1＝2OD＝4＋，∴N'N1＝ON1－ON'＝由对称性得N'N2＝N2(0，4－，-<+∴n的取值范围是44。

2020年各区二模分类——一次函数与反比例本题主要考察知识点：1. 求解析式：①已知点坐标，求函数解析式（待定系数法）②已知线段比例关系，求函数解析式（丰台二模） 2. 求点坐标:①已知面积求点坐标（燕山）②已知解析式求点坐标3. 求字母取值范围：①根据线段数量关系，求字母取值范围 ②已知面积，求字母取值范围（海淀）4. 已知解析式，求线段的比值关系5. 整点问题：已知区域求整点个数；已知整点个数求取值范围（注意分类讨论，学生易丢落情况）学生必须掌握的知识点：1. 根据已知条件确定一次函数、反比例函数解析式；2. 能根据已知条件画出函数的图象，并能根据解析式和图象解决简单的问题3. 会求函数图象与坐标轴交点推荐题目：面积问题：燕山（基础生可以做）、海淀整点问题：朝阳线段比例关系：房山、密云、 东城1.（密云二模22）.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y=x+b 与反比例函数xy 4在第一象限内的图象交于点A （4，m ）. （1）求m 、b 的值；（2）点B 在反比例函数的图象上，且点B 的横坐标为1. 若在直线l 上存在一点P （点P 不与点A 重合），使得AP ≤AB ，结合图象直接写出点P 的横坐标x p 的取值范围.2.（丰台二模22）．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数=+y mx n 的图象与反比例函数=k y x（x ＞0）的图象交于点A (2，1)和点B ，与y 轴交于点C .（1）求k 的值；（2）如果AC =2AB ，求一次函数的表达式．3（顺义二模25）. 已知：在平面直角坐标系xOy 中，点A （-1，2）在函数my x=(x<0)的图象上．（1）求m 的值；（2）过点A 作y 轴的平行线l ，直线2y x b =-+与直线l 交于点B ，与函数my x=(x<0)的图象交于点C ，与y 轴交于点D ． ①当点C 是线段BD 的中点时，求b 的值； ②当BC <BD 时，直接写出b 的取值范围．yxO -1-112345123454.（燕山二模22）．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3=+y mx 与x 轴交于点C ，与反比例函数(0)=≠ky k x的图象交于点A (1，4)和点B ． (1) 求m ，k 的值及点C 的坐标； (2) 若点P 是x 轴上一点，且S △ABP ＝5， 直接写出点P 的坐标．5.（房山二模22）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数)0(>=x xky 的图象与直线1-=x y 交于点A （3，m ）（1）求k 的值（2）已知点P （n ，0）(n > 0)，过点P 作垂直于x 轴的直线，交直线1-=x y 于点B ，交函数)0(>=x xky 图象于点C. ①当n = 4时，判断线段PC 与BC 的数量关系，并说明理由； ②若PC ≤BC ，结合图象，直接写出n 的取值范围.6.（东城二模22）．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数kyx=（0k≠，x > 0）的图象经过点A（1，﹣4），直线y＝﹣2x+m与x轴交于点B（1，0）．（1）求k，m的值．（2）已知点P（n，﹣2n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x+m于点C，过点P作平行于y轴的直线交函数kyx=（0k≠，x > 0）的图象于点D，当PD=2PC时，结合函数的图象，求出n的值．7.（西城二模25）.在平面直角坐标系xOy中，函数myx=（0x>）的图象G与直线41：=-+l y kx k交于点A（4，1），点B（1，n）（n≥4，n为整数）在直线l上．（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域（不含边界）为W．①当n = 5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求k的取值范围．8.（海淀二模24）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数2(0)y x x =>的图象与直线(0)y kx k =≠交于点P (1, p ). M 是函数2(0)y x x=>图象上一点，过M 作x 轴的平行线交直线(0)y kx k =≠于点N .（1）求k 和p 的值； （2）若点M 的横坐标为m .①求点N 的坐标；（用含m 的代数式表示） ②若△OMN 的面积大于12，结合图象直接写 出m 的取值范围.9.（平谷二模23）如图，在平面直角坐标系xOy 中,正方形OABC 的边长为2,函数)0(>=k xky 的图象经过点B ，与直线y=x+b 交于点D ,(1) 求k 的值；(2) 直线y=x+b 与BC 边所在直线交于点与先轴交于点N .① 当点D 为MN 中点时，求b 的值； ② 当DM > MN 时，结合函数图象，直接写出b 的取值范围.xyPNM123456–1123456–1O10.（朝阳二模25）在平面直角坐标系xOy 中，直线，轴交于点与A x k kx y l )0(2:1>+=与.221:2C x kx y l B y 轴交于点与，直线轴交于点+-=(1) 求点B 的坐标；(2) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段AB,AC,BC 围成的区域(不含边界)为G.① 当k = 2时，结合函数图象,求区域G 内整点的个数； ② 若区域G 内恰有2个整点，直接写出k 的取值范围.11.（门头沟二模23）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数m mx y += 的图象与 x 轴交于点 A ，将点 A 向右平移 2个单位得到点 D .（1） 求点 D 坐标；（2） )0(>=+=x xk y m mx y 的图象与反比例函数如果一次函数的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1.①当k =4 时，求 m 的值； ②当 AD=BD 时，直接写出 m 的值.。

CBDAE 最新北京市初三二模考试数 学 试 卷考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分，考试时间120分钟； 2．在试卷和答题卡的密封线内准确填写学校名称、班级和姓名； 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答； 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．门头沟位于北京西南部，属太行山余脉，地势险要“东望都邑，西走塞上而通大漠”，自古为兵家必争之地，全区总面积1455平方公里，其中山区占98.5%．将数字1455用科学记数法表示为 A ．1.455×103B ．14.55×102C ．1.455×104D ．0.1455×1042．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下面结论正确的是abcA ．c ＞aB ．10c＞ C ．a b ＜D ．0a c -＜3．窗花是我国传统民间艺术，下列窗花中，是轴对称图形的为A B C D4．在下列运算中，正确的是 A ．235a a a ⋅=B ．()325a a =C ．623a a a ÷=D ．55102a a a +=5．如图，AD BC ∥，点E 在BD 的延长线上，如果155ADE ∠=︒， 那么∠DBC 的度数为 A ．155° B ．50° C ．45°D ．25°6．右图是一个正方体的平面展开图，那么这个正方体“美”字让生更美好A DE OBC E C BDAP的对面所标的字是 A ．让 B ．更 C ．活D ．生7．某小区要建一个地基为多边形的凉亭，如果这个多边形的外角和等于它的内角和，那么这个多边形是 A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三边形8．甲、乙、丙、丁四位同学参加了10次数学测验，他们测验的平均成绩（x ）与方差（2S ）如下表所示，那么这四位同学中，成绩较好，且较稳定的是甲 乙 丙 丁 x85 90 90 85 S 21.01.01.21.8A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是DC 延长线上一点， 如果⊙O 的半径为6，60BCE ∠=︒，那么¼BCD的长为 A ．6π B ．12π C ．2πD ．4π10．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，E 是AB 的中点，动点 P 从点B 开始，沿着边BC ，CD 匀速运动到D ，设点P运动的时间为x ，EP y =，那么能表示y 与x 函数 关系的图象大致是x yO x yO x yO xyO二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．函数12y x =-的自变量x 的取值范围是． 12．分解因式：429ax ay -=．13．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个 更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x 人，小和尚y 人，可列方程组为．14．请写出一个图象经过点（1，2），且第一象限内的函数值随着自变量的值增大而减小的函数表达式：． 15．小明同学在“计算：23211x x x-+-+”时，他是这样做的：小明的解法从步开始出现错误，错误的原因是． 16．小明同学在做作业时，遇到这样一道几何题：如图，△DEB 和△ABC 都是等边三角形，连接DC 和AE ，求证：AE =DC ．DACE B 123小明冥思苦想许久不得解，只好去问老师，老师给了他如下提示：EACB请问老师的提示中①是，②是．三、解答题（本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27、28题，每小题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：()2120166tan 3012π-⎛⎫--︒++ ⎪⎝⎭．18．已知2240a a +-=，求代数式()()22263a a a a ----的值．19．解不等式组()315112 4.2x x x x -+⎧⎪⎨--⎪⎩＜，≥并直接写出它的所有非负整数解．20．如图，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，30C ∠=︒，AE 为BC 边上的中线．求证：△ABE 是等边三角形．21．一支园林队进行某区域的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该队工程师的一段对话：FCDEBAOyxAOB ECDPA我们的施工人数由原计划的6人，增加了2人．你们是怎样提前3小时完成了180平方米的绿化任务？如果每人每小时绿化面积相同，请通过这段对话，求每人每小时的绿化面积．22．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（2）如果60A ∠=︒，24AB AD ==，求BD 的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数3y x=的图象与 一次函数y kx =的图象的一个交点为A （m ，－3）． （1）求点A 的坐标和一次函数y kx =的表达式； （2）如果点P 在直线OA 上，且满足2PA OA =，直接写出点P 的坐标．24．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A 、C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE PO ⊥交PO 的延长线于点E ． （1）求证：EPD EDO ∠=∠； （2）如果6PC =，3tan 4PDA ∠=，求OE 的长．25．门头沟地处北京西南部，山青水秀，风景如画，静谧清幽．近年来，某村依托丰富的自然资源和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主的多类型休闲旅游项目，农民收入逐步提高．以下是根据该图3图2村公布的“主要经济发展指标”相关数据绘制的统计图表的一部分．根据以上信息解答下列问题：（1）该村2013年农业观光园经营年收入的年增长率约是；（结果精确到1%） （2）补全条形统计图，并在图中标明相应的数据；（结果精确到0.1） （3）请预估该村2016年的农业观光园经营年收入约为万元，你预估的理由是．26．阅读材料，回答问题：小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC a ==，3AC b ==，2AB c ==，那么2sin sin a bA B==． 通过上网查阅资料，他又知“sin901︒=”，因此他得到“在含 30°角的直角三角形中，存在着sin sin sin a b cA B C==的关系．” 这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =．请判断此时“sin sin sin a b cA B C==”的关系是否成立？ （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =． 过点C 作CD AB ⊥于D ．xyO∵ 在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，90ADC BDC ∠=∠=︒， ∴ sin A =，sin B =． ∴ sin a A =，sin bB =． ∴sin sin a bA B=． 同理，过点A 作AH BC ⊥于H ，可证sin sin b cB C =． ∴sin sin sin a b cA B C==． 请将上面的过程补充完整．（3）如图4，在△ABC 中，如果60B ∠=︒，45C ∠=︒，2AB =，那么AC =．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点A （0，－3），B （4，5）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线的顶点为C ，求点C 的坐标；（3）设点C 向左平移2个单位长度后的点为D ，此抛物线在A ，B 两点之间的部分为图象W （包含A ，B 两点），经过点D 的直线为l ：y mx n =+．如果直线l 与图象W 有且只有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．28．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，点A 关于BE 的对称点为G （G 在矩形ABCD内部），连接BG 并延长交CD 于F ． （1）如图1，当AB AD =时，① 根据题意将图1补全；② 直接写出DF 和GF 之间的数量关系．（2）如图2，当AB AD ≠时，如果点F 恰好为DC 的中点，求ADAB的值． （3）如图3，当AB AD ≠时，如果DC nDF =，写出求ADAB的值的思路（不必写出计算结果）．图4CBAE D C AB E CD A BEDC A B图1 图2 图329．对于关于x 的一次函数y kx b =+（0k ≠），我们称函数[]()().m kx b x m y kx b x m ⎧+⎪=⎨--⎪⎩≤，＞为它的m分函数（其中m 为常数）．例如，32y x =+的4分函数为：当x ≤4时，[]432y x =+；当x ＞4时，[]432y x =--． （1）如果1y x =-+的2分函数为[]2y ，① 当4x =时，[]2y =；② 当[]23y =时，x =． （2）如果1y x =+的－1分函数为[]1y -，求双曲线2y x=与[]1y -的图象的交点坐标； （3）从下面两问中任选一问作答：（温馨提示：两问均2分，不重复计分！）① 设2y x =-+的m 分函数为[]m y ，如果抛物线2y x =与[]m y 的图象有且只有一个公共点，直接写出m 的取值范围．② 如果点A （0，t ）到2y x =-+的0分函数[]0y 的图象的距离小于1，直接写出t 的取值范围．③。