函数1答案

第2卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1)D ．(－1,1)2．若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y (x >0，y >0)则yx 的值为( ) A ．4 B ．1或14 C ．1或4 D.143．下列函数中与函数y ＝x 相等的函数是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2 C ．y ＝2log 2xD ．y ＝log 22x4．函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x －1的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．x 轴对称D ．直线y ＝x 对称5．下列关系中正确的是( ) A ．log 76<ln 12<log 3π B ．log 3π<ln 12<log 76 C ．ln 12<log 76<log 3πD ．ln 12<log 3π<log 76 6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127的值为( )A.18 B ．4 C ．2 D.147．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log ba x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )8．若函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．39．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12x C.12x D ．x 210．函数f (x )＝log 12(x 2－3x ＋2)的递减区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(2，＋∞)11．函数f (x )＝lg(kx 2＋4kx ＋3)的定义域为R ，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞12．设a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14∪(1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14∪(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，16∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(1，＋∞) 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，请把正确答案填在题中横线上) 13．计算27－ 13＋lg 0.01－ln e ＋3log 32＝________.14．函数f (x )＝lg(x －1)＋5－x 的定义域为________．15．已知函数f (x )＝log 3(x 2＋ax ＋a ＋5)，f (x )在区间(－∞，1)上是递减函数，则实数a 的取值范围为________．16．已知下列四个命题：①函数f (x )＝2x 满足：对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<12[f (x 1)＋f (x 2)]；②函数f (x )＝log 2(x ＋1＋x 2)，g (x )＝1＋22x －1不都是奇函数；③若函数f (x )满足f (x －1)＝－f (x ＋1)，且f (1)＝2，则f (7)＝－2；④设x 1，x 2是关于x 的方程|log a x |＝k (a >0且a ≠1)的两根，则x 1x 2＝1.其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)计算lg 25＋lg 2×lg 500－12lg 125－log 29×log 32； (2)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a ，b 表示log 125. 18.(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝lg(3x －3)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)设函数h (x )＝f (x )－lg(3x ＋3)，若不等式h (x )>t 无解，求实数t 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x－2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且f (3)<f (5)．(1)求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－2x ](a >0且a ≠1)，求g (x )在(2,3]上的值域． 20．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R )．(1)若y ＝f (x )是奇函数，求k 的值，并求该函数的定义域； (2)若函数y ＝f (x )在[10，＋∞)上是增函数，求k 的取值范围． 21．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝log 31－x1－mx(m ≠1)是奇函数． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)设g (x )＝1－x1－mx，用函数单调性的定义证明：函数y ＝g (x )在区间(－1,1)上单调递减；(3)解不等式f (t ＋3)<0. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求实数k 的值；(2)设g (x )＝log 4(a ·2x ＋a )，若f (x )＝g (x )有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．详解答案1．D 解析：由对数函数恒过定点(1,0)知，函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．2．B 解析：由对数的性质及运算知，2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y 化简为lg(x －2y )2＝lg xy ，即(x －2y )2＝xy ，解得x ＝y 或x ＝4y .所以y x 的值为1或14.故选B.3．D 解析：函数y ＝x 的定义域为R .A 中，y ＝(x )2定义域为[0，＋∞)；B 中，y ＝x 2＝|x |；C 中，y ＝2log 2x ＝x ，定义域为(0，＋∞)；D 中，y ＝log 22x ＝x ，定义域为R .所以与函数y ＝x 相等的函数为y ＝log 22x .4．A 解析：函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x －1的定义域为(－1,1)．又设f (x )＝y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x －1＝lg 1－x 1＋x ，所以f (－x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝－f (x )， 所以函数为奇函数，故关于原点对称．5．C 解析：由对数函数图象和性质，得0<log 76<1，ln 12<0，log 3π>1.所以ln 12＜log 76＜log 3π.故选C.6．A 解析：∵127>0∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝log 3127＝－3，∵－3<0，f (－3)＝2－3＝18.故选A.7．D 解析：A 中，由y ＝ax 2＋bx 的图象知，a >0，ba <0，由y ＝logb ax 知，ba >0，所以A 错；B 中，由y ＝ax 2＋bx 的图象知，a <0，b a <0，由y ＝log b ax 知，ba >0，所以B错；C 中，由y ＝ax 2＋bx 的图象知，a <0，－b a <－1，∴b a >1，由y ＝log b ax 知0<ba<1，所以C 错．故选D.8．A 解析：因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，所以⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，m >0，解得m ＝1.故选A.9．B 解析：因为函数y ＝f (x )图象经过点(a ，a )，所以函数y ＝a x (a >0且a ≠1)过点(a ，a )，所以a ＝a a 即a ＝12，故f (x )＝log 12x .10．D 解析：令t ＝x 2－3x ＋2，则当t ＝x 2－3x ＋2>0时，解得x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)．且t ＝x 2－3x ＋2在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增；又y ＝log 12t 在其定义域上为单调递减的，所以由复合函数的单调性知，f (x )＝log 12(x 2－3x ＋2)单调递减区间是(2，＋∞)．11．B 解析：因为函数f (x )＝lg(kx 2＋4kx ＋3)的定义域为R ，所以kx 2＋4kx ＋3>0，x ∈R 恒成立．①当k ＝0时，3>0恒成立，所以k ＝0适合题意．②⎩⎨⎧k >0，Δ<0，即0<k <34.由①②得0≤k <34.故选B.解题技巧：本题实际上考查了恒成立问题，解决本题的关键是让真数kx 2＋4kx ＋3>0，x ∈R 恒成立．12．A 解析：令u (x )＝|ax 2－x |，则y ＝log a u ，所以u (x )的图象如图所示．当a >1时，由复合函数的单调性可知，区间[3,4]落在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12a 或⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，所以4≤12a 或1a <3，故有a >1；当0<a <1时，由复合函数的单调性可知，[3,4]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，1a ，所以12a ≤3且1a >4，解得16≤a <14.综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14∪(1，＋∞)．13．－16 解析：原式＝13－2－12＋2＝－16.14．(1,5] 解析：要使函数f (x )＝lg(x －1)＋5－x 有意义，只需满足⎩⎨⎧x －1>0，5－x ≥0即可．解得1<x ≤5，所以函数f (x )＝lg(x －1)＋5－x 的定义域为(1,5]． 15．[－3，－2] 解析：令g (x )＝x 2＋ax ＋a ＋5，g (x )在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－a 2是减函数，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞是增函数．而f (x )＝log 3t ，t ∈(0，＋∞)是增函数．由复合函数的单调性，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥1，g (1)≥0，解得－3≤a ≤－2.解题技巧：本题主要考查了复合函数的单调性，解决本题的关键是在保证真数g (x )>0的条件下，求出g (x )的单调增区间．16．①③④ 解析：①∵指数函数的图象为凹函数，∴①正确；②函数f (x )＝log 2(x ＋1＋x 2)定义域为R ，且f (x )＋f (－x )＝log 2(x ＋1＋x 2)＋log 2(－x ＋1＋x 2)＝log 21＝0，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且g (x )＝1＋22x －1＝2x ＋12x －1，g (－x )＝2－x ＋12－x －1＝1＋2x1－2x＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．②错误；③∵f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (7)＝f (6＋1)＝－f (6－1)＝－f (5)，f (5)＝f (4＋1)＝－f (4－1)＝－f (3)，f (3)＝－f (1)，∴f (7)＝－f (1)，③正确；④|log a x |＝k (a >0且a ≠1)的两根，则log a x 1＝－log a x 2，∴log a x 1＋log a x 2＝0，∴x 1·x 2＝1.∴④正确．17．解：(1)原式＝lg 25＋lg 5·lg 2＋2lg 2＋lg 5－log 39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2＋lg 5－2 ＝2(lg 5＋lg 2)－2 ＝0.(2)log 125＝lg 5lg 12＝lg 102lg 3×4＝lg 10－lg 2lg 3＋lg 4＝1－lg 2lg 3＋2lg 2，lg 2＝a ，lg 3＝b ，log 125＝1－lg 2lg 3＋2lg 2＝1－ab ＋2a.18．解：(1)由3x －3>0解得x >1，所以函数f (x )的定义域为(1，＋∞)． 因为(3x －3)∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的值域为R .(2)因为h (x )＝lg(3x －3)－lg(3x＋3)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －33x＋3 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63x ＋3的定义域为(1，＋∞)，且在(1，＋∞)上是增函数，所以函数的值域为(－∞，0)．所以若不等式h (x )>t 无解，则t 的取值范围为[0，＋∞)．19．解：(1)因为f (3)<f (5)，所以由幂函数的性质得，－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m <32.因为m ∈Z ，所以m ＝0或m ＝1. 当m ＝0时，f (x )＝x 3它不是偶函数． 当m ＝1时，f (x )＝x 2是偶函数． 所以m ＝1，f (x )＝x 2.(2)由(1)知g (x )＝log a (x 2－2x )， 设t ＝x 2－2x ，x ∈(2,3]，则t ∈(0,3]，此时g (x )在(2,3]上的值域就是函数y ＝log a t 在t ∈(0,3]上的值域．当a >1时，y ＝log a t 在区间(0,3]上是增函数，所以y ∈(－∞，log a 3]； 当0<a <1时，y ＝log a t 在区间(0,3]上是减函数，所以y ∈[log a 3，＋∞)． 所以当a >1时，函数g (x )的值域为(－∞，log a 3]；当0<a <1时，g (x )的值域为[log a 3，＋∞)．20．解：(1)因为f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即lg －kx －1－x －1＝－lg kx －1x －1，∴－kx －1－x －1＝x －1kx －1，1－k 2x 2＝1－x 2，∴k 2＝1，k ＝±1， 而k ＝1不合题意舍去， ∴k ＝－1. 由－x －1x －1>0，得函数y ＝f (x )的定义域为(－1,1)． (2)∵f (x )在[10，＋∞)上是增函数，∴10k －110－1>0，∴k >110. 又f (x )＝lgkx －1x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x －1， 故对任意的x 1，x 2，当10≤x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)， 即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 1－1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 2－1， ∴k －1x 1－1<k －1x 2－1，∴(k －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1－1x 2－1<0， 又∵1x 1－1>1x 2－1，∴k －1<0，∴k <1. 综上可知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1.解题技巧：本题主要考查了对数型函数的性质，解决本题的关键是充分利用好奇偶性和单调性．21．(1)解：由题意得f (－x )＋f (x )＝0对定义域中的x 都成立， 所以log 31＋x 1＋mx ＋log 31－x 1－mx ＝0，即1＋x 1＋mx ·1－x1－mx ＝1，所以1－x 2＝1－m 2x 2对定义域中的x 都成立，所以m 2＝1，又m ≠1，所以m ＝－1， 所以f (x )＝log 31－x1＋x.(2)证明：由(1)知，g (x )＝1－x1＋x，设x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1<x 2，则x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 2－x 1>0. 因为g (x 1)－g (x 2)＝2(x 2－x 1)(1＋x 1)(1＋x 2)>0，所以g (x 1)>g (x 2)，所以函数y ＝g (x )在区间(－1,1)上单调递减． (3)解：函数y ＝f (x )的定义域为(－1,1)，设x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1<x 2，由(2)得g (x 1)>g (x 2)， 所以log 3g (x 1)>log 3g (x 2)，即f (x 1)>f (x 2)， 所以y ＝f (x )在区间(－1,1)上单调递减．因为f (t ＋3)<0＝f (0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<t ＋3<1，t ＋3>0，解得－3<t <－2.故不等式的解集为(－3，－2)． 22．解：(1)由函数f (x )是偶函数可知f (x )＝f (－x )， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ， 化简得log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x ＋a )有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x ＝a ·2x ＋a 有且只有一个实根，且a ·2x ＋a >0成立，则a >0.令t ＝2x >0，则(a －1)t 2＋at －1＝0有且只有一个正根． 设g (t )＝(a －1)t 2＋at －1，注意到g (0)＝－1<0，所以 ①当a ＝1时，有t ＝1，符合题意；②当0<a <1时，g (t )图象开口向下，且g (0)＝－1<0，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧t 对称轴＝－a 2(a －1)>0，Δ＝0，此时有a ＝－2＋22或a ＝－2－22(舍去)；③当a >1时，又g (0)＝－1，方程恒有一个正根与一个负根，符合题意．综上可知，a 的取值范围是{－2＋22}∪[1，＋∞)．。

第一章函数历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题]1、设函数，则f(x)=（）A、x(x+1)B、x(x-1)C、(x+1)(x-2)D、(x-1)(x+2)【正确答案】B【答案解析】本题考察函数解析式求解.，故[单选题]2、已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）.A、[1，3]B、[-1，5]C、[-1，3]D、[1，5]【正确答案】A【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题]3、设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）.A、[0，2]B、[0，16]C、[-16，16]D、[-2，2]【正确答案】D【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足：[单选题]4、函数的定义域为（）.A、[-1,1]B、[-1,3]C、(-1,1)D、(-1,3)【正确答案】B【答案解析】根据根号函数的性质，应该满足：即[单选题]写出函数的定义域及函数值（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集，故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）.[单选题]6、设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】本题考察三角函数公式。

.[单选题]7、设则=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】令则，故[单选题]8、则（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]9、在R上，下列函数中为有界函数的是（）.xA、eB、1＋sin xC、ln x【正确答案】B【答案解析】由函数图像不难看出在R上e x,lnx,tanx都是无界的，只有1+sinx可能有界，由于|sinx|≤1,|1+sinx|≤1+|sinx|≤2所以有界.[单选题]10、不等式的解集为（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]11、（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据二角和公式，[单选题]12、函数的反函数是（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】由所以，故.[单选题]13、已知则（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】[单选题]14、已知为等差数列，，则（）.A、-2B、1C、3D、7【正确答案】A因为同理可得：故d=a4－a3=－2.[单选题]15、计算（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据偶次根式函数的意义，可知，故[单选题]16、计算（）.A、0B、1C、2D、4【正确答案】C【答案解析】原式=[单选题]将函数|表示为分段函数时，=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】由条件[单选题]18、函数f(x)=是（）.A、奇函数B、偶函数C、有界函数D、周期函数【正确答案】C【答案解析】易知不是周期函数，,即不等于，也不等于，故为非奇、非偶函数.，故为有界函数.[单选题]19、函数,则的定义域为（）.A、[1,5]C、(1,5]D、[1,5)【正确答案】A【答案解析】由反正切函数的定义域知：，故定义域为[1,5].[单选题]20、下列等式成立的是()A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】A中(e x)2=，C中，D中[单选题]21、下列函数为偶函数的是()A、y=xsinxB、y=xcosxC、y=sinx+cosxD、y=x(sinx+cosx)【正确答案】A【答案解析】sinx是奇函数，cosx是偶函数。

2微积分 第一章练习题答案、选择题：F 列函数为偶函数的是( 1、 ★ A 、B 、C 均为奇函数A. y x 3 sin 2 xB. 5xcos xC. y sin x cos 5xxxD. y 22F 列函数不具有对称性的是 A. y arctanx B. 下列函数在定义域内无界的是 1A. y 1 sin x 下列各对函数不相等的是 A. C.B. )• ★对称性就是奇偶性• A 、B 、D 均奇•指数函数无对称性x “x ( C ). x 32 (x sin xC. D.ln(x , 1 x 2)).cos(ln x)C. y arcta ne xD. ysin x).B.2) D. sin 2 x cos 2 x 与 y 1 A .是幕函数 B.是指数函数 C .不是基本初等函数 D.不是函数6、对于普通分段函数，以下说法不正确的是A.定义域为各段并集 C.各段内分别为初等函数 (D ).B.整体若不能由一个解析式表示就不是初等函数 D 不是一个函数，而是多个函数 7、 函数 8、函数 函数 10、lim xf (x)在点X 。

处有定义是函数 f ( x)在点X 。

处极限存在的( f (x)在点X 0处有定义是函数 f (x)在点X 0处连续的 f (x)在点X °处连续是f (x)在点X °处极限存在的( xe (D.不存在 ) 为两个方向,D.无关)条件 B.必要)条件 A.充分)条件 x 仍为两个方向无穷；指数函数不对称111、 lim sin— x 0 (D.不存在但函数有界 1,lim sin —lim sin ux 0xu12、已知 13、已知 lim 2x a 1，则常数a x 3x 2x 3 4 ax 1 lim xB.0 ,且分式极限存在，分子必T 014、2x4，则常数a ( D. ★由已知nA.lim xs in 丄 x1 B. lim xsin 1xxC. xlim 2 (2 sin x) 0 x1 xD. lim x sin x x sin k(x 15、 limx 2 x 2 2)A.sin k(x ★ v lim x 22)x 2216、若 lim (1 ax)x e 3，则 a (x 0B.2★ v lim (1 ax)xex 02a17、f(x) ，则x叫f （x）(B.1 )18、f(x)1 .sinx x19、20、21、B. limx 0时,C.极限值为.1xsi nx(C.e x）是无穷小量In x,（B. xs in〔）不是无穷小★x）正确★ Um*1 . sinxxD. lim xsin1x1 22 lim (xsinx23、函数y(x 填空题:1、函数f(x)f(0)3、已知4、已知5、已知1★ v lim e x lim e u 0x 0 u★与f（0）0无关sin x；x1 ；cosx 12x23" x2x arctan x、1 1—sin —无穷小量与有界变量乘积x xlim xx 1lim(x 1)x 1 \ /分母极限为0, 不满足极限商的运算法则条件sinx1; C.limxx 0 x.1sinlim xx 11xx(2sin X)xx2 11^cosx1 x2(3x 1)x0 f(x) ln 2 f (x) x2，B.2)f(x)的间断点为（1 .sin xC.A.lim - lim sinxx x xB. 10: lim sinx不存在，不满足法则条件xC. 2D. 3★使分母为0的点x 0的定义域为0x23x 1,2]X—0f(f (0))1，f(f(0)) f(1) (x 2)x1，则f（x。

1.函数1.1函数的定义例1．下列图形中不是函数图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的概念，A中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义，而CBD均符合．故选：A．变式1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N的函数关系的图象是（）A．①②B．③④C．②③D．①④【解答】解：由题意知：M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，对于图①中，在集合M中区间（1，2]内的元素没有象，比如f（）的值就不存在，所以图①不符合题意；对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确；对于图③中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确；对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x＝1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确故选：C．例2．设函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（x）+1，则函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能是（）A．0B．1C．0或无数个D．无数个【解答】解：∵f（x+1）＝f（x）+1，∴f（x+1）﹣f（x）]＝（x+1）﹣x，∴＝1，即该函数的斜率为1，而y＝x的斜率也为1，∴两直线平行或重合，∴函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能没有交点或有无数个，故选：C．变式1．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，在同一坐标系下，函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．0个或者2个【解答】解：∵1∈[﹣2，2]，∴由函数的定义可得：函数f（x）在定义域[﹣2，2]上，任一x均有唯一的函数值与之对应，则在同一坐标系中，y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点的个数为1个．故选：B．1.2 同一函数的判断例3．下列各组函数中f（x）和g（x）表示相同的函数的是（）A．f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgxB．f（x）＝x，g（x）＝C．f（x）＝1（x∈R且x≠0），g（x）＝D．f（x）＝x，g（x）＝【解答】解：A．f（x）＝lgx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝2lgx的定义域为{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；B.，解析式不同，不是相同函数；C．f（x）＝1（x∈R，且x≠0），，解析式不同，不是相同函数；D．f（x）＝x的定义域为R，的定义域为R，解析式和定义域都相同，是相同函数．故选：D．变式1．下列各组函数表示相同函数的是（）A．f（x）＝，g（x）＝（）2B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．f（x）＝，g（x）＝D．f（x）＝x+1，g（x）＝【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝|x|（x∈R）与g（x）＝＝x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是相同函数；对于B，函数f（x）＝1|（x∈R）与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，所以不是相同函数；对于C，函数f（x）＝与g（x）＝＝|x|＝的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同函数；对于D，函数f（x）＝x+1（x∈R）与g（x）＝＝x+1（x≠1）的定义域不同，所以不是相同函数．故选：C．变式2．下列各组函数中，f（x）与g（x）是相同函数的是（e为自然对数的底数）（）A．f（x）＝，g（x）＝（）2B．f（x）＝，g（x）＝xC．f（x）＝lnx2，g（x）＝2lnxD．f（x）＝e x﹣1•e x+1，g（x）＝e2x【解答】解：A.的定义域为R，的定义域为{x|x≥0}，∴f（x）与g（x）不相同，即该选项错误；B.的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝x的定义域为R，∴f（x）与g（x）不相同，即该选项错误；C．f（x）＝lnx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝2lnx的定义域为{x|x＞0}，∴该选项错误；D．f（x）＝e x﹣1•e x+1＝e2x，g（x）＝e2x，f（x）与g（x）的定义域都是R，且解析式相同，∴f（x）与g（x）相同，∴该选项正确．故选：D．变式3．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝g（x）＝B．f（x）＝g（x）＝C．f（x）＝x2﹣2x﹣1 g（t）＝t2﹣2t﹣1D．f（x）＝g（x）＝x【解答】解：f（x）＝的定义域是R，g（x）＝的定义域是R，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，所以A不正确．f（x）＝的定义域是x≥0，g（x）＝的定义域是x≤﹣1或x≥0，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数，所以B不正确．f（x）＝x2﹣2x﹣1的定义域是R，g（t）＝t2﹣2t﹣1的定义域是R，两个函数的对应法则相同，所以是相同函数，所以C正确．f（x）＝的定义域是R，g（x）＝x的定义域是R，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，所以A不正确．故选：C．1.3 同族函数的判断例4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【解答】解：由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}时，它的定义域可以是{1，2}{1，﹣2}{﹣1，2}{﹣1，﹣2}{1，﹣1，2}{1，﹣1，﹣2}{1，2，﹣2}{﹣1，2，﹣2}{1，﹣1，2，﹣2}共有9种不同的情况，故选：C．变式1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝﹣x2，值域为{﹣1，﹣9}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【解答】解：定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有﹣1、1中的一个和﹣3、3中的一个，满足条件的定义有：{﹣1，﹣3}、{﹣1，3}、{1，﹣3}、{1，3}、{﹣1，1，﹣3}、{﹣1，1，3}、{﹣1，﹣3，3}、{1，﹣3，3}、{﹣1，1，﹣3，3}，共9个．故选：C．变式2．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f（x）＝sin x cos x；②f（x）＝sin2x+1；③f（x）＝2sin（x+）；④f（x）＝sin x+cos x．其中“同簇函数”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【解答】解：由于①f（x）＝sin x cos x＝sin2x与②f（x）＝sin2x+1的图象仅经过平移没法重合，还必须经过纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于①f（x）＝sin x cos x＝sin2x与④f（x）＝sin x+cos x＝2sin（x+）的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．②f（x）＝sin2x+1与③f（x）＝2sin（x+）的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于④f（x）＝sin x+cos x＝2（sin x+cos x）＝2sin（x+），故把③f（x）＝2sin（x+）的图象向左平移，可得f（x）＝2sin（x+）的图象，故③和④是“同簇函数”，故选：D．变式3．函数f：{1，}→{1，}满足f[f（x）]＞1的这样的函数个数有个．【解答】解：若函数f（x）满足，f（1）＝1，则当x＝1时，f[f（1）]＝f（1）＝1，所以此时不满足条件．若函数f（x）满足f（1）＝，，则当x＝1时，f[f（1）]＝＞1；当x＝时，f[f（）]＝＞1；所以此时满足条件．若函数f（x）满足，f（1）＝1，，则当x＝1时，f[f（1）]＝f（1）＝1，所以此时不满足条件．若函数f（x）满足，f（1）＝，＝1，则当x＝1时，f[f（1）]＝＝1，所以此时不满足条件．所以满足条件的函数只有一个．故答案为：1变式4．已知函数f（x）的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f（x）≤f（y），则满足条件的不同函数共有个．【解答】解：如下图，可知满足条件的函数共10个，故答案为：10．变式5．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（）A．y＝x B．C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝log0.5x【解答】解：对于B，函数与函数满足解析式和值域相同，定义域不同，是同族函数；对于ACD，它们在定义域上具有严格的单调性，当定义域不同时，其值域一定不同，故不是同族函数；故选：B．1.4 函数的定义域例5．函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]【解答】解：要使函数有意义，则，即，＞0等价为①即，即x＞3，②，即，此时2＜x＜3，即2＜x＜3或x＞3，∵﹣4≤x≤4，∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，故选：C．变式1．函数f（x）＝log a（x2+2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3[∪[1，+∞）【解答】解：函数，则x2+2x﹣3＞0，即（x+3）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣3或x＞1，所以f（x）的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：C．变式2．若，则函数f（x）的定义域为（）A．B．（0，+∞）C．D．【解答】解：的定义域为：{x|}，即{x|}，解得{x|﹣＜x＜0}．故选：C．变式3．函数y＝log2x﹣1的定义域是（，1）∪（1，+∞）．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故答案为：（，1）∪（1，+∞）．例6．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，B．（﹣∞，C．，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵f（x）的定义域为R，∴x2+x+a≥0的解集为R，∴△＝1﹣4a≤0，解得，∴实数a的取值范围是．故选：C．变式1．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，4）B．[0，2）C．[0，4）D．（2，4]【解答】解：∵f（x）的定义域为R；∴ax2+ax+1＞0的解集为R；①a＝0时，1＞0恒成立，ax2+ax+1＞0的解集为R；②a≠0时，则；解得0＜a＜4；∴综上得，实数a的取值范围是[0，4）．故选：C．变式2．已知f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1）．（1）函数的定义域为R，求a的取值范围，（2）函数值域为R，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1）．∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．ax2﹣ax﹣1＞0，△＝a2+4a，∵定义域为R．∴△＜0，解得﹣4＜a＜0．综上a∈∅（2）∵函数f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1），且f（x）的值域为R，根据对数的性质，可知当ax2﹣ax﹣1取遍所有大于0的值时，f（x）的值域为R，∵a＞0，则y＝ax2﹣ax﹣1的图象开口向上，∴△＝a2+4a≥0，即a≤﹣4或a≥0，又a＞0，∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．故a的取值范围为：（0，1）∪（1，+∞）．变式3．已知f（x）＝lg（ax2﹣2x+1）．（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；（2）如f（x）的值域为R，求a的取值范围；（3）若f（x）在x∈[2，3]时有意义，且f（x）的最大值与最小值的差等于1，求a的值．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴ax2﹣2x+1＞0恒成立．当a＝0时，显然不成立．当a≠0时，应有a＞0且△＝4﹣4a＜0，解得a＞1．故a的取值范围为：a＞1，（2）若函数的值域为R，则ax2﹣2x+1能取遍所有的正数，图象不能在x轴上方∴或a＝0解得：0≤a≤1，故a的取值范围为[0，1]；（3）在x∈[2，3]时，ax2﹣2x+1＞0成立，∴a＞﹣（﹣1）2+1成立，∴a＞，∵f（2）＝lg（4a﹣3），f（3）＝lg（9a﹣5），f（）＝lg（1﹣），f（x）的最大值与最小值的差等于1．∴|f（2）﹣f（3）|＝1或|f（2）﹣f（）|＝1或|f（3）﹣f（）|＝1，∴a＝．例7．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，∴由，解得﹣1≤x≤1．∴函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．故选：C．变式1．已知函数f（x）满足f（x+1）的定义域是[0，31），则f（2x）的定义域是（）A．[1，32）B．[﹣1，30）C．[0，5）D．（﹣∞，log230）【解答】解：∵f（x+1）的定义域是[0，31），即0≤x＜31，∴1≤x+1＜32，∴f（x）有意义须1≤x＜32，∴f（2x）有意义须20＝1≤2x＜32＝25，得0≤x＜5．即f（2x）的定义域是[0，5）．故选：C．变式2．设函数f（2x）的定义域是[2，4]，则函数的定义域为（）A．[1，2]B．C．[2，8]D．[8，32]【解答】解：∵函数f（2x）的定义域是[2，4]，∴4≤2x≤16，∴4≤≤16，则函数的定义域为[8，32]，故选：D．1.5 函数的值例6．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f（）的值为（）A．1B．2C．0D．【解答】解：∵函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），∴f（3）＝1，∴f（）＝f（1）＝2，故选：B．变式1．设f（x）＝g（x）＝则f[g（π）]的值为（）A．2B．0C．﹣1D．﹣2【解答】解：∵f（x）＝g（x）＝，∴g（π）＝﹣1，f[g（π）]＝f（﹣1）＝﹣2．故选：D．2.函数解析式求法2.1 待定系数法例1．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]＝4x+8，则f（x）＝（）A．B．﹣2x﹣8C．2x﹣8D．或﹣2x﹣8【解答】解：设f（x）＝ax+b，a＞0∴f（f（x））＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝4x+8，∴，∴，∴f（x）＝2x+．故选：A．变式1. 若一次函数f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x，则f（x）的解析式【解答】解：由题意设f（x）＝ax+b，（a≠0）．∵f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x，∴ax+b+2[a（1﹣x）+b]＝x，化为﹣ax+（2a+3b）＝x，∴﹣a＝1且2a+3b＝0，解得a＝﹣1，b＝，∴f（x）＝﹣x+．变式2．已知f（x）为二次函数且f（0）＝3，f（x+2）﹣f（x）＝4x+2．求f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）为二次函数，∴设f（x）＝ax2+bx+c，∵f（0）＝c，∴c＝3，则f（x）＝ax2+bx+3，又∵f（x+2）﹣f（x）＝4x+2，∴a（x+2）2+b（x+2）+3﹣ax2﹣bx﹣3＝4x+2，即4ax+4a+2b＝4x+2，则，即，即f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣x+3．2.2 方程组法例2．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x3﹣x2+1，则f（1）﹣g（1）＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：由f（x）+g（x）＝x3﹣x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣x3﹣x2+1，根据f（x）＝f（﹣x），g（﹣x）＝﹣g（x），得f（x）﹣g（x）＝﹣x3﹣x2+1，再令x＝1，计算得，f（1）﹣g（1）＝﹣1．故选：B．变式1．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）＝e x，试比较f（3），g（0），f（2）三数的大小：g（0）＜f（2）＜f（3）．【解答】解：由函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数得：f（﹣x）＝﹣f（x）；g（﹣x）＝g（x）∵f（x）﹣g（x）＝e x，①∴f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，②∴﹣f（x）﹣g（x）＝e﹣x③∴由①②③得：，，，g（0）＝﹣1，f（x）递增，f（2），f（3）＞0，e2＜e3，即有f（2）＜f（3），∴g（0）＜f（2）＜f（3）故答案为：g（0）＜f（2）＜f（3）变式2. 已知f（x）满足2f（x）+f（）＝3x．【解答】解：已知f（x）满足2f（x）+f（）＝3x…①，2f（）+f（x）＝…②，2×①﹣②可得：3f（x）＝6x﹣，解得f（x）＝2x﹣．变式3. 定义在（﹣1，1）内的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）＝lg（x+1），求函数f（x）的解析式．【解答】解：当x∈（﹣1，1）时，2f（x）﹣f（﹣x）＝lg（x+1）①，以﹣x代x有：2f（﹣x）﹣f（x）＝lg（﹣x+1）②；由①、②联立，消去f（﹣x），得f（x）＝lg（x+1）+lg（1﹣x），x∈（﹣1，1）；∴f（x）的解析式是f（x）＝lg（x+1）+lg（1﹣x），x∈（﹣1，1）．2.3 坐标转移法例3．已知函数y＝e x的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，则（）A．f（2x）＝e2x（x∈R）B．f（2x）＝ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）＝2e x（x∈R）D．f（2x）＝lnx+ln2（x＞0）【解答】解：函数y＝e x的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，所以f（x）是y＝e x的反函数，即f（x）＝lnx，∴f（2x）＝ln2x＝lnx+ln2（x＞0），选D．变式1．与函数y＝e2x﹣2e x+1（x≥0）的曲线关于直线y＝x对称的曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意∵y＝e2x﹣2e x+1（x≥0）⇒（e x﹣1）2＝y∵x≥0，∴e x≥1，即e x＝1+∴x＝ln（1+），所以故选：A．2.4 换元法配凑法例4. 已知f（x+）＝x2+，求f（x）的解析式；【解答】解：∵f（x+）＝x2+＝﹣2，∴f（x）＝x2﹣2，且x≥2或x≤﹣2，∴f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣2（其中x≥2或x≤﹣2）；变式1. 已知f（+1）＝lgx，求f（x）的解析式；【解答】解：设+1＝t，则x＝，代入函数解析式，得f（t）＝lg，又∵x＞0，所以t＞1；∴f（x）的解析式是f（x）＝lg（其中x＞1）；变式2. 已知f（+1）＝x+2，求f（x）．【解答】解：∵f（+1）＝x+2＝（+1）2﹣1∴f（x）＝x2﹣1，x≥1变式3. 已知x≠0时，函数f（x）满足f（）＝x2+；【解答】解：设，t≠1可得1﹣，即，可得x＝，f（t）＝，∴f（x）＝，x≠1．2.5 赋值法例5．设f（x）是R上的函数，且满足f（0）＝1，并且对任意实数x，y，有f（x﹣y）＝f （x）﹣y（2x﹣y+1），求f（x）的解析式．【解答】解：由题意，令x＝y得，f（0）＝f（x）﹣x（2x﹣x+1），则f（x）＝x（x+1）+1．3 常见的求值域的方法3.1 数形结合求值域例1．函数y＝的值域为[﹣4，+∞）．【解答】解：（1）x≤0时，y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4；∴y≥﹣4；（2）x＞0时，y＝3x＞0；∴原函数的值域为[﹣4，+∞）．故答案为：[﹣4，+∞）．变式1．求函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|的值域．【解答】解：由y＝|x﹣1|+|x﹣3|＝．作出y的图象：从图不难看出：函数y的值域为[2，+∞）．变式2．设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【解答】解：A显然正确；∵＝D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）＝＝D（x），∴T＝1为其一个周期，故C错误；∵D（）＝0，D（2）＝1，D（）＝0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C．变式3．“[x]”表示不超过实数x的最大的整数，如[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣2.3]＝﹣3，又记{x}＝x﹣[x]，已知函数f（x）＝[x]﹣{x}，x∈R，给出以下命题：①f（x）的值域为R；②f（x）在区间[k，k+1]，k∈Z上单调递减；③f（x）的图象关于点（1，0）中心对称；④函数|f（x）|为偶函数．其中所有正确命题的序号是①（将所有正确命题序号填上）【解答】解：由题意，f（x）＝[x]﹣{x}＝[x]﹣{x﹣[x]}＝2[x]﹣x．作出函数f（x）＝2[x]﹣x的图象如图，由图可知，f（x）的值域为R，故①正确；f（x）在区间[k，k+1），k∈Z上单调递减，故②错误；f（x）的图象不关于点（1，0）中心对称，故③错误；函数|f（x）|不是偶函数，故④错误．∴正确命题的序号为①．故答案为：①．变式4．给出定义：若m﹣＜x≤m+，（其中m为整数），则m叫作离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m，在此基础上，给出下列关于函数f（x）＝|{x}﹣x|的命题：①函数f（x）的定义域是R，值域是[﹣，]；②函数y＝f（x）的图象关于y轴对称；③函数y＝f（x）的图象关于原点对称；④函数y＝f（x）在[﹣，]上是增函数；其中说法正确的是②．【解答】解：①∵，∴，∴．即0≤|{x}﹣x|；∴f（x）的值域是：，∴①错误；②当时，，∴{﹣x}＝﹣m；f（﹣x）＝|{﹣x}+x|＝|﹣m+x|＝|m﹣x|＝|{x}﹣x|＝f（x）；当x＝时，{﹣x}＝{﹣m﹣}＝﹣m﹣1，∴f（﹣x）＝|﹣m﹣1﹣（﹣m﹣）|＝＝＝f（x）；∴综上得f（﹣x）＝f（x），∴函数f（x）是偶函数，所以图象关于y轴对称，∴②正确；③由②知f（﹣x）＝f（x），∴点（﹣x，f（x）），与（x，f（x））不关于原点对称；所以f（x）图象不关于原点对称，∴③错误；④f（）＝f（），即，而，∴f（x）在上不是增函数，∴④错误；∴说法正确的是②．故答案为：②．变式5．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：，设函数f（x）＝（2x⊗2）﹣（1⊗log2x），x∈（0，2），则f（1）＝1，f（x）的值域为[1，3）．【解答】解：由题意f（x）＝，，所以f（1）＝1，x∈（0，2），f （x）∈[1，3），故答案分别为：1，[1，3）变式6．函数的值域为R，则实数a的范围（）A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．【解答】解：当x≥1时，y＝lnx≥0，当1﹣2a＝0，即a＝时，当x＜1时，f（x）＝，不满足f（x）的值域为R，当1﹣2a＜0，即a＞时，当x＜1时，f（x）＞1+a，不满足f（x）的值域为R，当1﹣2a＞0，即a＜时，当x＜1时，f（x）＜1+a，要使满足f（x）的值域为R，则1+a≥0，即a≥﹣1，综上﹣1≤a＜，故选：C．3.2 换元法求值域例2．已知函数f（x）＝2+x，其中1≤x≤9，求函数y＝[f（x）]2+f（x）的最大值和最小值，并求出相应x的值．【解答】解：∵f（x）＝2+x，且1≤x≤9，∴y＝[f（x）]2+f（x）＝（2+x）2+（2+x）＝x2+5x+6，（1≤x≤9），函数y＝x2+5x+6图象关于直线对称，即有函数y＝x2+5x+6在区间[1，9]上是单调递增函数，当x＝1时，函数y＝x2+5x+6取最小值，最小值为12；当x＝9时，函数y＝x2+5x+6取最大值，最小值为132．即有x＝1时，函数y＝[f（x）]2+f（x）取得最小值12；x＝9时，y＝[f（x）]2+f（x）取得最大值132．变式1．已知f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），求函数g（x）＝f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．【解答】解：∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），∴，即1≤x≤2，∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），g（x）＝f2（x）+f（x2）＝（1+log2x）2+1+2log2x，∴g（x）＝（log2x）2+4log2x+2，1≤x≤2设t＝log2x，则h（t）＝t2+4t+2，0≤t≤1，∵对称轴t＝﹣2，h（t）在[0，1]为增函数，则g（x）的最小值为h（0）＝2，最大值为h（1）＝7．变式2．求函数的值域.【解答】解：设（t≥0），x＝t2+1，则y＝t2+2t+3＝（t+1）2+2（t≥0），∵t≥0，∴t+1≥1，∴（t+1）2+2≥3，∴该函数的值域为[3，+∞）．变式3．若函数f（x）＝log2x+2，，则函数的值域（）A．[4，5]B．[4，]C．[，5]D．[1，3]【解答】解：∵x∈[，2]，∴﹣1≤log2x≤1，∴1≤f（x）≤3，∴g（x）＝f（x）+≥2＝4，当且仅当f（x）＝，即f（x）＝2，x＝1时，等号成立，又∵g（）＝5，g（2）＝，∴x＝1时，g（x）取最小值4；x＝时，g（x）取最大值5，∴函数g（x）的值域为[4，5]，故选：A．变式4．函数在[﹣1，+∞）上的值域为（）A．B．C．D．（﹣∞，3]【解答】解：∵，令，因为x∈[﹣1，+∞），所以t∈（0，3]，原函数的值域等价于函数的值域，所以．故选：C．变式5．函数f（x）＝log2的最小值为（）A．B．﹣2C．D．0【解答】解：由题意知f（x）的定义域为（0，+∞）．所以f（x）＝（﹣2+log2x）（1+log2x）＝log2x﹣2＝．当x＝时，函数取得最小值．故选：A．3.3 判别式法求值域例3．求函数y＝的值域．【解答】解：y＝；；∴；∴2＜y≤6；∴原函数的值域为（2，6]．变式1．已知函数y＝的值域是[﹣1，4]，求实数a，b的值．【解答】解：由y＝得yx2﹣（y+a）x+y﹣b＝0，①当y＝0时，方程有解，适合题意思；②当y≠0时，△＝（y+a）2﹣4y（y﹣b）≥0，化简得，3y2﹣（2a+4b）y﹣a2≤0，∵函数的值域为[﹣1，4]，∴﹣1，4是方程3y2﹣（2a+4b）y﹣a2＝0的两根，∴解得或，综上得：或．变式2．已知函数y＝定义域为（﹣∞，+∞），值域为[1，9]，求m，n．【解答】解：将式子变形为（y﹣m）x2﹣8x+y﹣n＝0，当y﹣m≠0，△＝64﹣4（y﹣m）（y﹣n）≥0即（y﹣m）（y﹣n）≤16，∴1，9是方程（y﹣m）（y﹣n）＝16的两个根，带入得，解得m＝n＝5．当y﹣m＝0时，m＝n＝5，也适合题意．∴m＝n＝5．3.4 分离常数法求值域例4．求函数的值域：【解答】解：（1），∵，∴y≠2，∴该函数的值域为{y|y≠2}；变式1．函数f（x）＝（x＞0）的值域为．【解答】解：，∵x＞0，∴﹣x＜0，0＜2﹣x＜1，∴2＜2+2﹣x＜3，∴，即函数的值域为．故答案为：．变式2．函数的值域为（）A．{y|0＜y＜2}B．{y|y＞0且y≠2}C．{y|y≠2}D．{y|y＞2}【解答】解：因为＝＝2﹣≠2．故选：C．3.5 定义域与值域的关系例5．设函数的定义域为D，若满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称f（x）为“倍缩函数“．若函数f（x）＝e x+为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1﹣ln2]B．（﹣∞，﹣1﹣1n2）C．[1+ln2，+∞）D．（1+ln2，+∞）【解答】解：因为函数f（x）＝e x+为“倍缩函数”，所以存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[，]，由于f（x）＝e x+单调递增，所以，即a，b为方程的两个实根，进一步转化为函数与有两个交点，不妨先求出与函数相切且斜率为的直线方程．对于数，求导得，令，解得，，所以斜率为的切线方程为，该直线在y轴上的截距为，要使函数与有两个交点，则，所以t＜﹣1﹣ln2，故选：B．变式1．函数y＝f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使得f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称函数f（x）为“成功函数”．若函数f（x）＝log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，则t的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（0，）【解答】解：∵f（x）＝log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，∴f（x）在其定义域内为增函数，f（x）＝log c（c x+t）＝x，∴c x+t＝，c x﹣+t＝0，令a＝＞0，∴a2﹣a+t＝0有两个不同的正数根，∴，解得t∈（0，）．故选：D．。