2018届高考模拟理科数学试题

**2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试**理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}13,0M x x N x x =-≤<=<，则集合{}03xx ≤<=（ ）A ．MN⋂ B ．MN⋃ C.()R MC N⋂ D ．()R C M N⋂2.复数z 满足()234i z i --=+（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．2i -+B ．2i - C. 2i -- D ．2i + 3.已知ta n 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ta n 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-．2+C. 2--．2-+4.已知命题:p 在A B C ∆中，若sin sin A B=，则A B=；命题():0,q x π∀∈，1sin 2sin x x+>.则下列命题为真命题的是（ ） A ．pq∧ B ．()pq ∨⌝ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q⌝∨5.已知双曲线()2222:10,0x y Ea b ab-=>>的两条渐近线分别为12,l l ，若E 的一个焦点F 关于1l 的对称点F '在2l 上，则E 的离心率为（ ）A B ．326.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6B ．7 C. 152D ．2337.已知函数()()s in 203f x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相切，则()f π=（ ）A ．32-B ．12-12- D ．12--8.已知P 是抛物线24y x=上任意一点，Q 是圆()2241xy-+=上任意一点，则P Q 的最小值为（ ）A ．52B ．1D．19.利用随机模拟的方法可以估计圆周率π的值，为此设计如图所示的程序框图，其中()ra n d 表示产生区间[]0,1上的均匀随机数（实数)，若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.134B ．3.141 C.3.144 D ．3.147 10.在A BC ∆中，点G 满足0G A G BG C ++=.若存在点O ，使得16O GB C=，且O Am O B n O C=+，则m n -=（ ）A ．2B ．2- C. 1 D ．1- 11.若异面直线,m n 所成的角是60︒，则以下三个命题: ①存在直线l ，满足l 与,m n 的夹角都是60︒； ②存在平面α，满足mα⊂，n 与α所成角为60︒；③存在平面,αβ，满足,mn αβ⊂⊂，α与β所成锐二面角为60︒.其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1 C. 2 D ．3 12.已知()0,xxxea fx e a>=+，若()f x 的最小值为1-，则a=（ ）A ．21eB ．1eC. e D ．2e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量,x y 满足约束条件10,1,250,x y y x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则zx y=+的最大值为 ．14.某种袋装大米的质量X （单位：k g ）服从正态分布()50,0.01N ，任意选一袋这种大米，质量在49.850.1kg的概率为 ． 15.设函数()2,0,0,x x f x x ⎧<⎪=≥则使得()()f x fx >-成立的x 得取值范围是 ．16.A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角A 的内角平分线交B C 于点D ，若111,2a bc=+=，则A D 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，111,2a b ==，22337,13a b a b +=+=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若,,n nn a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .18. 某球迷为了解,A B 两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下：A球队：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83B球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 10691 81 107 112 107 101 106 120 107 79（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：记事件:C “A 球队的攻击能力等级高于B 球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率. 19.如图，四棱锥PA B C D-的底面A B C D 是平行四边形，90B A CP A D P C D ∠=∠=∠=︒.（1）求证：平面P A B ⊥平面A B C D ；（2）若3AB AC PA ===，E 为B C 的中点，F 为棱P B 上的点，//P D平面A E F ，求二面角A D F E--的余弦值.20.已知点()2,0A -，点()1,0B -，点()1,0C ，动圆O '与x 轴相切于点A ，过点B 的直线1l 与圆O '相切于点D ，过点C 的直线2l 与圆O '相切于点E （,D E 均不同于点A ），且1l 与2l 交于点P ，设点P 的轨迹为曲线Γ. （1）证明：P B P C+为定值，并求Γ的方程；（2）设直线1l 与Γ的另一个交点为Q ，直线C D 与Γ交于,M N两点，当,,O D C '三点共线时，求四边形M P N Q 的面积. 21.已知0a>，函数()24ln 2a f x x x a=+-+.（1）记()()2g a fa =，求()g a 的最小值；（2）若()yfx =有三个不同的零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知点A 在椭圆22:24Cx y+=上，将射线O A 绕原点O 逆时针旋转2π，所得射线O B 交直线:2l y =于点B .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求椭圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）证明：:R t O A B ∆中，斜边A B 上的高h 为定值，并求该定值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()123f x x x =---.（1）求不等式()0f x ≥的解集； （2）设()()()g x fx fx =+-，求()g x 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: CADBB 6-10: BBDCD 11、12：DA 二、填空题13. 4 14.0.8185 15.()(),10,1?∞-⋃- 16.2⎫⎪⎪⎣⎭三、解答题 17.解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 依题意有，⎩⎨⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，解得d ＝2，q ＝2， 故a n ＝2n －1，b n ＝2n，（2）由已知c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n， 所以数列{c n }的前2n 项和为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…b 2n )＝n(1＋4n －3)2＋4(1－4n)1－4＝2n 2－n ＋ 4 3(4n －1)．18．解：（1）两队所得分数的茎叶图如下3 6 9 3 15 2 4 0 7 1 9 5 5 10 8 367 7 1 6 78 8 4 5 0 11 4 4 0 7 20 9 2 12 4 0通过茎叶图可以看出，A 球队所得分数的平均值高于B 球队所得分数的平均值； A 球队所得分数比较集中，B 球队所得分数比较分散．（2）记C A1表示事件：“A 球队攻击能力等级为较强”， C A2表示事件：“A 球队攻击能力等级为很强”； C B1表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱”， C B2表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱或较强”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C A1与C A2互斥，C ＝(C A1C B1)∪(C A2C B2)． P (C)＝P (C A1C B1)+ P (C A2C B2)＝P (C A1)P (C B1)＋P (C A2)P (C B2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1420，320，520，1820，故P (C A1)＝1420，P (C A2)＝320，P (C B1)＝520，P (C B2)＝1820，P (C)＝1420×520＋320×1820＝0.31．19．解：（1）∵AB ∥CD ，PC ⊥CD ，∴AB ⊥PC ， ∵AB ⊥AC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥PA ，又∵PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， ∴PA ⊥平面ABCD ，PA 平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABCD ． （2）连接BD 交AE 于点O ，连接OF ， ∵E 为BC 的中点，BC ∥AD ， ∴ BO OD ＝ BE AD ＝ 1 2， ∵PD ∥平面AEF ，PD 平面PBD ， 平面AEF ∩平面PBD ＝OF ， ∴PD ∥OF ，∴ BF FP ＝ BO OD ＝ 1 2，以AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0)，D(－3，3，0)， P(0，0，3)，E ( 3 2， 32，0)，F(2，0，1)，设平面ADF 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AF →＝(2，0，1)，AD →＝(－3，3，0)，由AF →·m ＝0，AD →·m ＝0得⎩⎨⎧2x 1＋z 1＝0，－3x 1＋3y 1＝0，取m ＝(1，1，－2)．设平面DEF 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，∵DE →＝( 9 2，－ 3 2，0)，EF →＝( 1 2，－ 32，1)，由DE →·n ＝0，EF →·n ＝0得⎩⎨⎧ 9 2x 2－ 32y 2＝0， 1 2x 2－ 32y 2＋z 2＝0，取n ＝(1，3，4)． cos m ，n＝m ·n |m ||n |＝－23939， ∵二面角A-DF-E 为钝二面角，∴二面角A-DF-E 的余弦值为－23939．20．解：（1）由已知可得|PD|＝|PE|，|BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|， 所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC| ＝|PE|＋|PC|＋|AB| ＝|CE|＋|AB|＝|AC|＋|AB|＝4＞|BC| 所以点P 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（去掉与x 轴的交点），可求的方程为x 24＋y23＝1(y ≠0)．（2）由O ，D ，C 三点共线及圆的几何性质，可知PB ⊥CD ， 又由直线CE ，CA 为圆O 的切线，可知CE ＝CA ，O A ＝O E ， 所以△OAC ≌△O EC ，进而有∠ACO ＝∠ECO ，所以|PC|＝|BC|＝2，又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2， 所以△PBC 为等边三角形，即点P 在y 轴上，点P 的坐标为(0，±3)(i)当点P 的坐标为(0，3)时，∠PBC ＝60，∠BCD ＝30， 此时直线l 1的方程为y ＝3(x ＋1)，直线CD 的方程为y ＝－33(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x ＋1)整理得5x 2＋8x ＝0，得Q (－ 8 5，－335)，所以|PQ|＝165，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y23＝1，y ＝－33(x －1)整理得13x 2－8x －32＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝813，x 1x 2＝－3213，|MN|＝1＋ 1 3|x 1－x 2|＝4813，所以四边形MPNQ 的面积S ＝1 2|PQ|·|MN|＝38465．(ii)当点P 的坐标为(0，－3)时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ 的面积为38465．综上，四边形MPNQ 的面积为38465．21．解：（1）g (a)＝ln a 2＋4a a 2＋a 2－2＝2(ln a ＋ 1 a －1)，g(a)＝2(1a － 1 a )＝2(a －1)a，所以0＜a ＜1时，g (a)＜0，g (a)单调递减；a ＞1时，g(a)＞0，g (a)单调递增，所以g (a)的最小值为g (1)＝0．（2）f(x)＝ 1x －4a (x ＋a 2)2＝x 2＋(2a 2－4a)x ＋a 4x(x ＋a 2)2，x ＞0． 因为y ＝f (x)有三个不同的零点，所以f (x)至少有三个单调区间， 而方程x 2＋(2a 2－4a)x ＋a 4＝0至多有两个不同正根，所以，有⎩⎨⎧2a 2－4a ＜0，Δ＝16a 2(1－a)＞0，解得，0＜a ＜1．由（1）得，当x ≠1时，g (x)＞0，即ln x ＋1x－1＞0， 所以ln x ＞－ 1x，则x ＞e －1x (x ＞0)，令x ＝a 22，得a 22＞e － 2 a 2．因为f (e － 2a 2)＜－ 2 a 2＋ 4 a －2＝－2(a －1)2a2＜0，f (a 2)＞0，f (1)＝4a 1＋a 2－2＝－2(a －1)21＋a 2＜0，f (e 2)＝4a e 2＋a2＞0，所以y ＝f (x)在(e － 2a 2，a 2)，(a 2，1)，(1，e 2)内各有一个零点，故所求a 的范围是0＜a ＜1．22．解：（1）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得椭圆C 极坐标方程为ρ2(cos 2θ＋2sin 2θ)＝4，即ρ2＝41＋sin 2θ； 直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝2，即ρ＝ 2sin θ．（2）证明：设A(ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋2)，－2＜θ＜ 2．由（1）得|OA|2＝ρ2A ＝41＋sin 2θ，|OB|2＝ρ2B ＝ 4sin 2(θ＋2)＝4cos 2θ， 由S △OAB ＝ 1 2×|OA|×|OB|＝ 12×|AB|×h 可得，h 2＝|OA|2×|OB|2|AB|2＝|OA|2×|OB|2|OA|2＋|OB|2＝2．故h 为定值，且h ＝2．23．解：（1）由题意得|x －1|≥|2x －3|, 所以|x －1|2≥|2x －3|2整理可得3x 2－10x ＋8≤0，解得 4 3≤x ≤2，故原不等式的解集为{x | 43≤x ≤2}．（2）显然g (x)＝f (x)＋f (－x)为偶函数， 所以只研究x≥0时g (x)的最大值．g (x)＝f (x)＋f (－x)＝|x －1|－|2x －3|＋|x ＋1|－|2x ＋3|， 所以x≥0时，g (x)＝|x －1|－|2x －3|－x －2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4， 0≤x ≤1，2x －6，1＜x ＜ 3 2，－2x ， x ≥ 32，所以当x ＝ 32时，g (x)取得最大值－3，故x ＝± 32时，g (x)取得最大值－3．。

绝密★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·晋城一模]已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N = （）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,0【答案】D【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩，得20x y =⎧⎨=⎩．故(){}2,0M N = ．选D ．2．[2018·台州期末]（i 为虚数单位）班级姓名准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A ．2B ．1C ．12D．2【答案】C11i 22z ∴=-=，选C ． 3．[2018·德州期末]如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）A ．2πB ．12C ．1πD ．3π【答案】A【解析】由题意，得矩形区域OABC 的面积为1π1πS =⨯=，阴影部分的面积为OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为212πS P S ==．故选A ． 4．[2018·滁州期末]A ．4-B ．4C．13-D ．13【答案】C【解析】sin 2costan 2ααα-=-⇒=，C ．5．[2018·陕西一模]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A ．2 B．4+ C．4+D．4+【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几C ．6．[2018·天津期末]已知实数x ，y 满足2210x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my =+的最大值为10，则m =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】作出可行域，如图ABC △内部（含边界），其中()2,4A ，()2,1B ，()1,1C -，若A 是最优解，则2410m +=，2m =，检验符合题意；若B 是最优解，则210m +=，8m =，检验不符合题意，若8m =，则z 最大值为34；若C 是最优解，则110m -+=，11m =，检验不符合题意；所以2m =，故选B ．7．[2018·蚌埠一模]已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+【答案】A【解析】不妨设01x =，要计算()120182017201621f =+++++ ，首先201812018S =⨯=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i =-．8．[2018·达州期末]若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（） A ．()0,4 B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞【答案】C【解析】如图，若()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则()34a ∈，，故选C ．9．[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（ ）开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1A．BC．3D．3【答案】A【解析】如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：()10A -，，()10B ，，设()P x y ，，两边平方并整理得：()222261038x y x x y +-+=⇒-+=．∴PAB △面积的最大值是122⨯⨯=A ．10．[2018·郴州一中]双曲线2222:1(0,0)xy C a b a b -=>>的离心率3e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOFOAF ∠=∠，AOF △的面积为，则双曲线C 的方程为（）A ．2213612x y -= B ．221186x y -= C ．22193x y -= D ．2213x y -=【答案】C【解析】由点A 所在的渐近线为0,bx ay -=三个该渐近线的倾斜角为α，则，AOF OAF ∠=∠ ，所以直线AF 的倾斜角为2α，2222tan 2tan21tan aba bααα==--， 与0bx ay -=联立解得122AOFab S cab c ∴=⨯⨯==△，因为双曲线的离心率3e =b a ∴=，与ab =联立得3a =，b =22193x y -=．故选C ．11．[2018·昆明一中]设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（） A．(0,2 B．(0,3C．(2+ D．(2+【答案】C【解析】因为ABC △为锐角三角形，所以cos 2C <<；又因为2A C =，所以sin 2sin cos A C C =，又因为1c =，所以2cos a C =；由sin sin b cB C=， 即2sin sin34cos 1sin sin c B Cb C C C ===-，所以24cos 2cos a b c C C ++=+，令cos t C =，则(,22t ∈⎭，又因为函数242y t t =+在( ,22⎭上单调递增，所以函数值域为(2，故选：C ．12．[2018·济南期末]若关于x 的方程e 0e e xx xx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828= 为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（） A ．1 B ．e C ．1m - D ．1m +【答案】A【解析】101t m t ++=+，()()2110t m t m ∴++++=，由韦达定理可得()1a b t t m +=-+，1a b t t m ⋅=+，()()3131131111x x x x t t e e ⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1313=+1=11+1=1t t t t m m ++-+++，可得：31223121111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为1，故选A ． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣6310.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.3212.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD 上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c分别满足c＝2b＝2,2bcosA＋acosC ＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AA1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.20.(12分)已知椭圆C：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD＋k BD为定值？若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析(一)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}【试题解答】解：A＝{x|﹣x2＋4x≥0}＝{x|0≤x≤4},＝{x|3﹣4＜3x＜33}＝{x|﹣4＜x＜3},则A∪B＝{x|﹣4＜x≤4},C＝{x|x＝2n,n∈N},可得(A∪B)∩C＝{0,2,4},故选C.2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i【试题解答】解：由,得x＋yi＝＝2＋i,∴复数x＋yi的共轭复数是2﹣i.故选：A.3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数【试题解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,∴a4＋a5＋a6＋a7＝2(a1＋a10)＝18,∴a1＋a10＝9,∴＝45.故选：D.4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.【试题解答】解：设AB＝2,则BC＝CD＝DE＝EF＝1,∴S＝××＝,△BCIS平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×＝,∴所求的概率为P＝＝＝.故选：A.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【试题解答】解：设双曲线C：的右焦点F(c,0),双曲线的渐近线方程为y＝x,由x＝a代入渐近线方程可得y＝b,则A(a,b),可得AF的中点为(,b),代入双曲线的方程可得﹣＝1,可得4a2﹣2ac﹣c2＝0,由e＝,可得e2＋2e﹣4＝0,解得e＝﹣1(﹣1﹣舍去),故选：D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.【试题解答】解：∵,＝∫cos2tdt＝＝＝,∴＝()＋(﹣cosx)＝﹣2.故选：D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.【试题解答】解：第1次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2；第2次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝3；第3次循环后,S＝＝2,不满足退出循环的条件,k＝4；…第n次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝n＋1；…第2018次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2019第2019次循环后,S＝＝2,满足退出循环的条件,故输出的S值为2,故选：C8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得【试题解答】解：函数＝sin(2ωx)﹣•＋＝sin(2ωx﹣)(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,∴•＝,∴ω＝2,f(x)＝sin(4x﹣)＝cos[(4x﹣)﹣]＝cos(4x﹣).故把函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位,可得f(x)的图象,故选：B.9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣63【试题解答】解：展开式中所有各项系数和为(2﹣3)(1＋1)6＝﹣64；＝(2x﹣3)(1＋＋＋…),其展开式中的常数项为﹣3＋12＝9,∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9＝﹣73.故选：A.10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.【试题解答】解：如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心O,设△PAF的外接圆半径为r,,解得r＝,∴,则该几何体的外接球的半径R＝,∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S＝4πR2＝.故选：C.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.32【试题解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0),设直线l1：y＝k1(x﹣1),直线l2：y＝k2(x﹣1),由题意可知,则,联立,整理得：k12x2﹣(2k12＋4)x＋k12＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝,设D(x3,y3),E(x4,y4),同理可得：x3＋x4＝2＋,由抛物线的性质可得：丨AB丨＝x1＋x2＋p＝4＋,丨DE丨＝x3＋x4＋p＝4＋,∴|AB|＋|DE|＝8＋＝＝,当且仅当＝时,上式“＝”成立.∴|AB|＋|DE|的最小值24,故选：C.12.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.【试题解答】解：根据题意,对于函数f(x),当x∈[0,2)时,,分析可得：当0≤x≤1时,f(x)＝﹣2x2,有最大值f(0)＝,最小值f(1)＝﹣,当1＜x＜2时,f(x)＝f(2﹣x),函数f(x)的图象关于直线x＝1对称,则此时有﹣＜f(x)＜,又由函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2；则在∈[6,8)上,f(x)＝23•f(x﹣6),则有﹣12≤f(x)≤4,则f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝8,则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为8,最小值为﹣12；对于函数,有g′(x)＝﹣＋x＋1＝＝,分析可得：在(0,1)上,g′(x)＜0,函数g(x)为减函数,在(1,＋∞)上,g′(x)＞0,函数g(x)为增函数,则函数g(x)在(0,＋∞)上,由最小值f(1)＝＋m,若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,必有g(x)min≤f(x)max,即＋m≤8,解可得m≤,即m的取值范围为(﹣∞,]；故选：B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.【试题解答】解：根据题意,向量,,若,则•＝2sinα﹣cosα＝0,则有tanα＝,又由sin2α＋cos2α＝1,则有或,则＝(,)或(﹣,﹣),则||＝,则＝2＋2﹣2•＝；故答案为：14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.【试题解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(2,4),＝,令t＝5x﹣3y,化为y＝,由图可知,当直线y＝过A时,直线在y轴上的截距最大,t有最小值为﹣2.∴目标函数的最小值为.故答案为：.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.【试题解答】解：等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设首项为a1,公比为q,则：,整理得：,解得：.则：,﹣a2n＝＝﹣22n﹣4,所以：b n＝a2n﹣1则：T 2n ＝＝.故答案为：.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ∥BC,,点E 是线段CD上异于点C,D 的动点,EF ⊥AD 于点F,将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为 (0,) .【试题解答】解：∵PF ⊥AF,PF ⊥EF,AF ∩EF ＝F, ∴PF ⊥平面ABCD.设PF ＝x,则0＜x ＜1,且EF ＝DF ＝x.∴五边形ABCEF 的面积为S ＝S 梯形ABCD ﹣S △DEF ＝×(1＋2)×1﹣x 2＝(3﹣x 2).∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V ＝(3﹣x 2)x ＝(3x ﹣x 3),设f(x)＝(3x ﹣x 3),则f′(x)＝(3﹣3x 2)＝(1﹣x 2), ∴当0＜x ＜1时,f′(x)＞0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,又f(0)＝0,f(1)＝. ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是(0,). 故答案为：.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边a,b,c 分别满足c ＝2b ＝2,2bcosA ＋acosC＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.【试题解答】解：(1)由2bcosA＋acosC＋ccosA＝0及正弦定理得﹣2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC,即﹣2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB,在△ABC中,sinB＞0,所以.又A∈(0,π),所以.在△ABC中,c＝2b＝2,由余弦定理得a2＝b2＋c2﹣2bccosA＝b2＋c2＋bc＝7,所以.(2)由,得＝,所以.18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AB1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.【试题解答】解：(1)连接A1B,A1D,AC,因为AB＝AA1＝AD,∠A1AB＝∠A1AD＝60°,所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B＝A1D.设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而A1O∩AC＝O,所以BD⊥平面A1AC.又AA1⊂平面A1AC,所以BD⊥AA1,又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.(2)由,及,知A 1B⊥A1D,于是,从而A1O⊥AO,结合A1O⊥BD,AO∩AC＝O,得A1O⊥底面ABCD,所以OA、OB、OA1两两垂直.如图,以点O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),A1(0,0,1),C(﹣1,0,0),,,,由,得D1(﹣1,﹣1,1).设(λ∈[0,1]),则(x E＋1,y E＋1,z E﹣1)＝λ(﹣1,1,0),即E(﹣λ﹣1,λ﹣1,1),所以.设平面B 1BD的一个法向量为,由得令x＝1,得,设直线DE与平面BDB1所成角为θ,则,解得或(舍去),所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.【试题解答】解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为.(2)①∵Z 服从正态分布N(μ,σ2),且μ＝26.5,σ≈11.95,∴P(14.55＜Z ＜38.45)＝P(26.5﹣11.95＜Z ＜26.5＋11.95)＝0.6826, ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得X ～B(4,),；；；；.∴X 的分布列为∴.20.(12分)已知椭圆C ：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 相交于A,B 两点,在y 轴上是否存在点D,使直线AD 与BD 的斜率之和k AD ＋k BD 为定值？若存在,求出点D 坐标及该定值,若不存在,试说明理由.【试题解答】解：(1)由已知可得解得a2＝2,b2＝c2＝1,所求椭圆方程为.(2)由得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0,则△＝64k2﹣24(1＋2k2)＝16k2﹣24＞0,解得或.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,设存在点D(0,m),则,,所以＝＝.要使k AD＋k BD为定值,只需6k﹣4k(2﹣m)＝6k﹣8k＋4mk＝2(2m﹣1),k与参数k无关,故2m﹣1＝0,解得,当时,k AD＋k BD＝0.综上所述,存在点,使得k AD＋k BD为定值,且定值为0.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.【试题解答】解：(1)根据题意,函数f(x)＝e2﹣2(a﹣1)x﹣b,其导数为f'(x)＝e x﹣2(a﹣1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≥0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≤(e x)min＝1(其中x∈[0,1]),解得；当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≤0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≥(e x)max＝e(其中x∈[0,1]),解得.综上所述,实数a的取值范围是.(2)函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,则g'(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,分析可得f(x)＝g'(x).由g(0)＝g(1)＝0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意；所以.令f'(x)＝0,得x＝ln(2a﹣2)∈(0,1),所以函数f(x)在区间[0,ln(2a﹣2)]上单调递减,在区间(ln(2a﹣2),1]上单调递增.记f(x)的两个零点为x1,x2(x1＜x2),因此x1∈(0,ln(2a﹣2)],x2∈(ln(2a﹣2),1),必有f(0)＝1﹣b＞0,f(1)＝e﹣2a＋2﹣b＞0.由g(1)＝0,得a＋b＝e,所以,又f(0)＝a﹣e＋1＞0,f(1)＝2﹣a＞0,所以e﹣1＜a＜2.综上所述,实数a的取值范围为(e﹣1,2).请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.【试题解答】解：(1)圆C1：(θ是参数)消去参数θ,得其普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2,将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ代入上式并化简,得圆C1的极坐标方程,由圆C2的极坐标方程,得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ.将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,x2＋y2＝ρ2代入上式,得圆C2的直角坐标方程为(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2.(2)由(1)知圆C1的圆心C1(﹣1,﹣1),半径r1＝a；圆C 2的圆心C2(1,1),半径,,∵圆C1与圆C2外切,∴,解得,即圆C1的极坐标方程为.将代入C1,得,得；将代入C2,得,得；故.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.【试题解答】解：(1)此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4.即不等式的解集为.(2)证明：∵m＞0,n＞0,m＋2n＝mn,,即m＋2n≥8,当且仅当即时取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)＝|2m＋1|＋|﹣4n＋1|≥|(2m＋1)﹣(﹣4n＋1)|＝|2m＋4n|＝2(m＋2n)≥16,当且仅当﹣4n＋1≤0,即时,取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)≥16.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知虚数单位，复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】因为=所对应的点为，在第四项限.故答案为：D.2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】},若,则故答案为：D.3. 设，，，，为实数，且，，下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取a=2,b=4,c=3,d=2,d-a=0,c-b=-1,此时d-a>c-b,A错误；取a=2,b=3,小，则，,此时,B错误；取b=3,a=,c=1,d=-3,,C错误；对于D ，D正确.故选D.4. 设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（）A. 或B.C.D. 或【答案】A【解析】由，得到=，故3m=3，得到m=1,则使得成立的充要条件为m=1,故B错误；因为是的真子集，故原题的必要不充分条件为或.故答案为：A.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框内实数应填入的整数值为（）A. 998B. 999C. 1000D. 1001【答案】A【解析】因为令则故当根据题意此时退出循环，满足题意，则实数M应填入的整数值为998，故答案为：A.6. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列选项中结果为0的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得到，因为公差不为0，故=0，由等差数列的性质得到，故答案为:C.7. 设，分别为双曲线（，）的左、右顶点，过左顶点的直线交双曲线右支于点，连接，设直线与直线的斜率分别为，，若，互为倒数，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圆锥曲线的结论知道故答案为：B.8. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. 16 D.【答案】A【解析】由已知中的三视图得到该几何体是一个半圆柱挖去了一个三棱锥，底面面积为，高为4，该几何体的体积为...........................故答案为:A .9. 已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（）A. 480B. 160C. 1280D. 640【答案】D【解析】由题意得到两曲线围成的面积为=故答案为：D.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，设，，若，，且，则的最大值为（）A. 7B. 10C. 8D. 12【答案】B【解析】已知，，,得到因为，，故有不等式组表示出平面区域，是封闭的三角形区域，当目标函数过点(2,4)时取得最大值，为10.故答案为：B.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值;注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.11. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，因为由，得到，故.故答案为：C.12. 将给定的一个数列：，，，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将作为第一组，将，作为第二组，将，，作为第三组，…，依次类推，第组有个元素（），即可得到以组为单位的序列：，，，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第个括号称为第群，从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群众，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群众的第个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，），…，以此类推.设该数列前项和，若使得成立的最小位于第个群，则（）A. 11 B. 10 C. 9 D. 8【答案】B【解析】由题意得到该数列的前r组共有个元素，其和为则r=9时，故使得N>14900成立的最小值a位于第十个群.故答案为：B.点睛：这个题目考查的是新定义题型，属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目，可以先找一些特殊情况，总结一下规律，再进行推广，得到递推关系，或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为偶函数，则__________．【答案】-1【解析】由偶函数的定义得到,即=即恒成立，k=-1.故答案为：-1.14. 已知，，则__________．【答案】【解析】=,故=，因为，故=，故，故.故答案为：.15. 中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手、、、参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，对说：“你没有获得一等奖”，对说：“你获得了二等奖”；对大家说：“我未获得三等奖”，对、、说：“你们三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计__________种．（用数字作答）【答案】12【解析】设选手ABCD获得一等奖，二等奖，三等奖，分别用表示获得的奖次，其中i=0时，表示为获奖，若C说谎，则若B说谎则等九种情况，若A说谎则若D说谎则，公12种情况.故答案为：12.16. 已知为的重心，点、分别在边，上，且存在实数，使得.若，则__________．【答案】3【解析】设连接AG并延长交BC于M，此时M为BC的中点，故故存在实数t使得，得到故答案为：3.点睛：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用,“乘1法”与基本不等式的性质，等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，为边的中点，，求.【答案】(1)；(2)5.【解析】试题分析：(1) 由正弦定理，得，又，进而得到；（2）的面积，得，两边平方得到，结合两个方程得到结果.解析：（1）因为，由正弦定理，得.又，所以，即.因为，故.所以.（2）由的面积，得.又为边的中点，故，因此，故，即，故.所以.18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占领了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料：月份市场份额请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额.如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数（单位：天）统计图.设销售产品数量为，经统计，当时，企业每天亏损约为200万元；当时，企业平均每天收入约为400万元；当时，企业平均每天收入约为700万元.①设该企业在六月份每天收入为，求的数学期望；②如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于1200万元的概率.附：回归直线的方程是，其中，，【答案】（1）;预测该企业2017年7月份的市场份额为23%.(2) ①;②.【解析】试题分析：（1）根据题中数据得到，，，，代入样本中心值得到，进而得到方程，将x=7代入方程即可；（2）由题干知设该企业每天亏损约为200万元为事件，平均每天收入约达到400万元为事件，平均每天收入约达到700万元为事件，则，，，进而得到分布列和均值；由第一小问得到未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况，求概率之和即可.解析：（1）由题意，，，故，，由得，则.当时，，所以预测该企业2017年7月的市场份额为23%.（2）①设该企业每天亏损约为200万元为事件，平均每天收入约达到400万元为事件，平均每天收入约达到700万元为事件，则，，.故的分布列为所以（万元）.②由①知，未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况.则.所以该企业在未来三天总收入不低于1200万元的概率为0.876.19. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，为棱的中点，与交于点，侧面，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）取中点为，连接，，，可证明四边形为平行四边形，进而得到线面平行；（2）建立坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，由向量的夹角公式得到要求的线面角. 解析：（1）取中点为，连接，，，由，，，，得，且，所以四边形为平行四边形.所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）由已知.又平面，所以，，两两垂直.以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则经计算得，，，，因为，所以，所以，，.设平面一个法向量为，由令，得.设直线与平面所成的角为，则.20. 已知焦点为的的抛物线：（）与圆心在坐标原点，半径为的交于，两点，且，，其中，，均为正实数.（1）求抛物线及的方程；（2）设点为劣弧上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标，由点点距得到半径；（2）设，，，,由直线和曲线相切得到，：，同理：，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨迹.解析：（1）由题意，，故。