作业课题 数列的通项公式及前n项和

数列的通项公式求法1.观察法：例1：写出下列各数列的一个通项公式.1） 1,0,1,0,2） 21,203,2005,20007, 3） 0.2,0.22,0.222,0.2222, 4） 1,3,6,10,15,21,2.定义法：判断等差数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法例2：已知数列{na }满足1112n n n aa a--=+，且1a =1，求n a （若改为1112n n n aa a--=-）例3：已知数列{na}满足1(1)2(1)n n n n n n a a --+=+，且1a =1，求n a例3：已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

例4：已知数列{n a }满足2211230n n n n aa a a----=，且1a =1，0n a >求n a例5：已知数列{ na}满足1n n a a --=1a =1，0n a >求n a （09年广东高考变形）例6：已知数列{ n a }满足111n n n n n a a a--=+-，（2n ≥）且1b a =，求n a （2011年广东文科试题变形）3.利用n a 和n S 的关系：()()1112n n n n n S S S a -=-≥⎧⎪⎨⎪⎩=例7：A.已知数列}{n a 的前n 项和2961n n S n =-+.求数列{}n a 的通项公式； B.已知数列}{12n n a -的前n 项和96n n S =-.求数列{}n a 的通项公式；例8：已知数列{}n a 满足()()1232312n a a na n n n a ++++=++ 则n a =例9：. 在数列{}n a 中，已知()121,2221nn n n S aa S ==≥-，求n a .例10：在正项数列{}n a 中，其前n 项和为n S 且满足25610nnn Saa =+-，求n a .例11：在正项数列{}n a 中，其前n 项和为n S 且满足12n n nS a a+=，求n a .4.累加法例12：已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

求通项公式的方法一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 这种类型使用累加法 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求变式练习：已知{}n a 满足11=a ,)1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式 二、)(1n f a a n n ⋅=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)这种类型使用累乘法 例2.已知数列{n a }满足n a a nn =+1（n ∈N +），1a =1，求n a . 三、q pa a n n +=+1型数列 待定系数法，构造1n b a p +-是等比数列，公比为p ，首项为11b a p +-。

例3. 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。

变式练习：已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式. 四、()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数），此类数列可变形为()111++++=n n n n n p n f p a p a 例4已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .变式练习：已知{}n a 满足11122,2+++==n n n a a a ，求n a 。

五、“已知n S ，求n a ”型方法是利用111,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，把已知条件转化成递推式。

例：已知数列{}n a ，n S 表示其前n 项和，若满足231n n S a n n +=+-，求数列{}n a 的通项公式。

五、CBa Aa a n n n +=型数列（C B A ,,为非零常数） 这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为1n n a pa q +=+型数列。

二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。

在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。

一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

数列通项公式和前n 项和的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒，∵0≠d ， ∴d a =1①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+② 由①②得：531=a ，53=d ， ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=二、累加法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例2 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之， 即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以n a a n 111-=-， 211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴三、累乘法(逐商相乘法)：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴四、待定系数法：递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。