2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》
第2课时 定点与定值问题
题型一 定点问题
例1 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合
且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点，并求此定点．
解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，
且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3.
∴椭圆的标准方程为x 23
＋y 2＝1. (2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，
N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，
由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，
∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1
－1. 同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2
－1. ∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0， ①
联立?????
x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )，得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0， ∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0， ②
且有y 1＋y 2＝2mt 2
t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3
， ③ ③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，
∴(mt )2＝1，
由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，
得直线l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点．
思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 跟踪训练1 (2018·聊城模拟)已知圆x 2＋y 2＝4经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两个焦点和两个顶点，点A (0，4)，M ，N 是椭圆C 上的两点，它们在y 轴两侧，且∠MAN 的平分线在y 轴上，|AM |≠|AN |.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)证明：直线MN 过定点．
(1)解 圆x 2＋y 2＝4与x 轴交于点(±2,0)，
即为椭圆的焦点，圆x 2＋y 2＝4与y 轴交于点(0，±2)，
即为椭圆的上下两顶点，所以c ＝2，b ＝2.
从而a ＝22，因此椭圆C 的方程为x 28＋y 24
＝1. (2)证明 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m .
由?????
y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24
＝1， 消去y 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1
. 直线AM 的斜率k 1＝y 1－4x 1＝k ＋m －4x 1
； 直线AN 的斜率k 2＝y 2－4x 2＝k ＋m －4x 2.
k 1＋k 2＝2k ＋(m －4)(x 1＋x 2)x 1x 2
＝2k ＋(m －4)(－4km )2m 2－8＝16k (m －1)2m 2－8
. 由∠MAN 的平分线在y 轴上，得k 1＋k 2＝0.
又因为|AM |≠|AN |，所以k ≠0，所以m ＝1.
因此，直线MN 过定点(0,1)．
题型二 定值问题
例2 (2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .
(1)求直线l 的斜率的取值范围；
(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ
为定值． (1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，
所以2p ＝4，即p ＝2.
故抛物线C 的方程为y 2＝4x .
由题意知，直线l 的斜率存在且不为0.
设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，
由?????
y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，
解得k <0或0 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3. 所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．
相关主题
文本预览