回溯法解决背包问题演示文稿演示

0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,),xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。

由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。

01背包问题（回溯法） 回溯法是⼀个既带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。

它在包含问题的所有解的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索⾄解空间树的任意⼀结点时，先判断该结点是否包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的⼦树搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先策略搜索。

问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间⾄少包含问题的⼀个(最优)解。

对于 n=3 时的 0/1 背包问题，可⽤⼀棵完全⼆叉树表⽰解空间，如图所⽰：求解步骤1)针对所给问题，定义问题的解空间；2)确定易于搜索的解空间结构；3)以深度优先⽅式搜索解空间，并在搜索过程中⽤剪枝函数避免⽆效搜索。

常⽤的剪枝函数：⽤约束函数在扩展结点处剪去不满⾜约束的⼦树；⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。

回溯法对解空间做深度优先搜索时，有递归回溯和迭代回溯（⾮递归）两种⽅法，但⼀般情况下⽤递归⽅法实现回溯法。

算法描述 解 0/1 背包问题的回溯法在搜索解空间树时，只要其左⼉⼦结点是⼀个可⾏结点，搜索就进⼊其左⼦树。

当右⼦树中有可能包含最优解时才进⼊右⼦树搜索。

否则将右⼦树剪去。

代码：public class Knapsack_Problem01 {double m=100; //背包最⼤容量int n=5; //物品的个数int[] w = {10,20,30,40,50}; //第i个物品的重量int[] v = {20,30,65,40,60}; //第i个物品的价值int[] a = new int[n]; //记录在树中的移动路径,为1的时候表⽰选择该组数据，为0的表⽰不选择该组数据int maxvalue = 0; //背包的最⼤权重值public static void main(String[] args){Knapsack_Problem01 p = new Knapsack_Problem01();p.Search(0);}public void Search(int i) //i表⽰递归深度{if(i>=n){CheckMax();}else {a[i] = 0;Search(i+1);a[i] = 1;Search(i+1);}}public void CheckMax(){int weight = 0;int value = 0;for(int i=0;i<n;i++) //判断是否达到上限{if(a[i] == 1){weight = weight + w[i];value = value + v[i];}}if(weight <= m){if(value >= maxvalue){maxvalue = value;System.out.print("最⼤价值是：" + maxvalue +" ");System.out.print("所选取的物品为(1代表选中，0代表不选中)： ");for(int j=0;j<n;j++){System.out.print(a[j]);System.out.print(' ');}System.out.print('\n');}}}}。

01背包问题回溯法c语言01背包问题是一个经典的动态规划问题，可以使用回溯法来解决。

在C语言中，我们可以通过递归的方式来实现回溯法解决01背包问题。

首先，让我们来看一下01背包问题的描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值。

现在有一个背包，它能够容纳一定的重量，问如何选择装入背包的物品，使得背包中物品的总价值最大。

接下来，让我们来看一下如何使用回溯法来解决这个问题。

我们可以定义一个递归函数来尝试将每个物品放入背包或者不放入背包，然后找出最优解。

以下是一个简单的C语言代码示例：c.#include <stdio.h>。

#define N 5 // 物品的数量。

#define W 10 // 背包的容量。

int weight[N] = {2, 2, 6, 5, 4}; // 每个物品的重量。

int value[N] = {6, 3, 5, 4, 6}; // 每个物品的价值。

int maxValue = 0; // 最大的总价值。

void backtrack(int index, int currentWeight, int totalValue) {。

if (index == N || currentWeight == W) {。

if (totalValue > maxValue) {。

maxValue = totalValue;}。

return;}。

// 不放入背包。

backtrack(index + 1, currentWeight, totalValue); // 放入背包。

if (currentWeight + weight[index] <= W) {。

backtrack(index + 1, currentWeight +weight[index], totalValue + value[index]);}。

}。

int main() {。

backtrack(0, 0, 0);printf("背包能够容纳的最大总价值为，%d\n", maxValue);return 0;}。

《算法设计与分析》实验报告学号：姓名：日期：得分：一、实验内容：用回溯法求解0/1背包问题注：给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是w，其价值为iv，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背包中的物品的总i价值最大。

其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。

二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.回溯法求解背包问题：1）基本思想：回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。

这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。

对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能包含最优解时就进入右子树搜索。

2）复杂度分析：回溯法求解0/1背包问题的时间复杂度为：)2()(n O n T =。

空间复杂度：有n 个物品，即最多递归n 层，存储物品信息就是一个一维数组，即回溯法求解0/1背包问题的空间复杂度为)(n O 。

2.以动态规划法验证：1）基本思想：令),(j i V 表示在前)1(n i i ≤≤个物品中能够装入容量为)1(C j j ≤≤的背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态函数：0),0()0,(==j V i V{}⎩⎨⎧≥+---<-=)(),1(),,1(max ))(,1(),(i i i i w j v w j i V j i V w j j i V j i V 按照下述方法来划分阶段：第一阶段，只装入前1个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入前2个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；以此类推，直到第n 个阶段。

最后，),(C n V 便是在容量为C 的背包中装入n 个物品时取得的最大价值。

回溯法解决0-1背包问题问题描述： 有n件物品和⼀个容量为c的背包。

第i件物品的价值是v[i]，重量是w[i]。

求解将哪些物品装⼊背包可使价值总和最⼤。

所谓01背包，表⽰每⼀个物品只有⼀个，要么装⼊，要么不装⼊。

回溯法： 01背包属于找最优解问题，⽤回溯法需要构造解的⼦集树。

在搜索状态空间树时，只要左⼦节点是可⼀个可⾏结点，搜索就进⼊其左⼦树。

对于右⼦树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去，剪枝啦啦！上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最⼤价值<=当前最优价值bestp。

为了更好地计算和运⽤上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从⼤到⼩排序，此后就按照顺序考虑各个物品。

#include <stdio.h>#include <conio.h>int n;//物品数量double c;//背包容量double v[100];//各个物品的价值double w[100];//各个物品的重量double cw = 0.0;//当前背包重量double cp = 0.0;//当前背包中物品价值double bestp = 0.0;//当前最优价值double perp[100];//单位物品价值排序后int order[100];//物品编号int put[100];//设置是否装⼊//按单位价值排序void knapsack(){int i,j;int temporder = 0;double temp = 0.0;for(i=1;i<=n;i++)perp[i]=v[i]/w[i];for(i=1;i<=n-1;i++){for(j=i+1;j<=n;j++)if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]{temp = perp[i];perp[i]=perp[i];perp[j]=temp;temporder=order[i];order[i]=order[j];order[j]=temporder;temp = v[i];v[i]=v[j];v[j]=temp;temp=w[i];w[i]=w[j];w[j]=temp;}}}//回溯函数void backtrack(int i){double bound(int i);if(i>n){bestp = cp;return;}if(cw+w[i]<=c){cw+=w[i];cp+=v[i];put[i]=1;backtrack(i+1);cw-=w[i];cp-=v[i];}if(bound(i+1)>bestp)//符合条件搜索右⼦数backtrack(i+1);}//计算上界函数double bound(int i){double leftw= c-cw;double b = cp;while(i<=n&&w[i]<=leftw){leftw-=w[i];b+=v[i];i++;}if(i<=n)b+=v[i]/w[i]*leftw;return b;}int main(){int i;printf("请输⼊物品的数量和容量：");scanf("%d %lf",&n,&c);printf("请输⼊物品的重量和价值：");for(i=1;i<=n;i++){printf("第%d个物品的重量：",i);scanf("%lf",&w[i]);printf("价值是：");scanf("%lf",&v[i]);order[i]=i;}knapsack();backtrack(1);printf("最有价值为：%lf\n",bestp);printf("需要装⼊的物品编号是：");for(i=1;i<=n;i++){if(put[i]==1)printf("%d ",order[i]);}return 0;}时间复杂度分析： 上界函数bound()需要O(n)时间，在最坏的情况下有O(2^n)个右⼦结点需要计算上界，回溯算法backtrack需要的计算时间为O(n2^n)。

0-1背包问题——回溯法求解【Python】回溯法求解0-1背包问题：问题：背包⼤⼩ w，物品个数 n，每个物品的重量与价值分别对应 w[i] 与 v[i]，求放⼊背包中物品的总价值最⼤。

回溯法核⼼：能进则进，进不了则换，换不了则退。

（按照条件深度优先搜索，搜到某⼀步时，发现不是最优或者达不到⽬标，则退⼀步重新选择）注：理论上，回溯法是在⼀棵树上进⾏全局搜索，但是并⾮每种情况都需要全局考虑，毕竟那样效率太低，且通过约束+限界可以减少好多不必要的搜索。

解决本问题思路：使⽤0/1序列表⽰物品的放⼊情况。

将搜索看做⼀棵⼆叉树，⼆叉树的第 i 层代表第 i 个物品，若剩余空间允许物品 i 放⼊背包，扩展左⼦树。

若不可放⼊背包，判断限界条件，若后续继续扩展有可能取得最优价值，则扩展右⼦树（即此 i 物品不放⼊，但是考虑后续的物品）。

在层数达到物品的个数时，停⽌继续扩展，开始回溯。

注：如何回溯呢？怎样得到的，怎样恢复。

放⼊背包中的重量取出，加在bagV上的价值减去。

约束条件：放⼊背包中物品的总质量⼩于等于背包容量限界条件：当前放⼊背包中物品的总价值（i及之前） + i 之后的物品总价值 < 已知的最优值这种情况下就没有必要再进⾏搜索数据结构：⽤⼀个变量记录当前放⼊背包的总价值 bagV（已扩展），⼀个变量记录后续物品的总价值 remainV（未扩展），当前已得到的⼀种最优值 bestV（全局情况），⼀个⽤0/1表⽰的数组bestArr[]记录哪些物品放⼊了背包。

核⼼结构：递归思路进⾏解决。

层层递归，递归到尽头，保留最优值，恢复递归中，层层回溯，即将原来加上去的重量与价值恢复。

# -*- coding:utf-8 -*-def Backtrack(t):global bestV, bagW, bagV,arr, bestArr, cntVif t > n: #某次深度优先搜索完成if bestV < bagV:for i in range(1, n+1):bestArr[i] = arr[i]bestV = bagVelse: #深度优先搜索未完成if bagW + listWV[t][0] <= w: #第t个物品可以放⼊到背包中，扩展左⼦树arr[t] = TruebagW += listWV[t][0]bagV += listWV[t][1]Backtrack(t+1)bagW -= listWV[t][0]bagV -= listWV[t][1]if cntV[t] + bagV > bestV: #有搜索下去的必要arr[t] = FalseBacktrack(t+1)if__name__ == '__main__':w = int(input()) #背包⼤⼩n = int(input()) #物品个数listWV = [[0,0]]listTemp = []sumW = 0sumV = 0for i in range(n):listTemp = list(map(int, input().split())) #借助临时list每次新增物品对应的list加⼊到listWV中sumW += listTemp[0]sumV += listTemp[1]listWV.append(listTemp) #依次输⼊每个物品的重量与价值bestV = 0bagW = 0bagV = 0remainV = sumVarr = [False for i in range(n+1)]bestArr = [False for i in range(n+1)]cntV = [0 for i in range(n+1)] #求得剩余物品的总价值,cnt[i]表⽰i+1~n的总价值 cntV[0] = sumVfor i in range(1, n+1):cntV[i] = cntV[i-1] - listWV[i][1]if sumW <= w:print(sumV)else:Backtrack(1)print(bestV)print(bestArr)print(cntV)检测：1052 65 34 52 43 617[False, True, False, True, False, True][24, 18, 15, 10, 6, 0]。

回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。

它在包含问题的所有解的解空间树中按照深度优先的策略，从根节点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任一节点时，总是先判断该节点是否肯定不包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对以该节点为根的子树的系统搜索，逐层向其原先节点回溯。

否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：∙针对所给问题，定义问题的解空间；∙确定易于搜索的解空间结构；∙以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；在0／1背包问题中，容量为M的背包装载。

从n个物品中选取装入背包的物品，物品i的重量为Wi，价值为Pi。

最佳装载指装入的物品价值最高，即∑PiXi(i=1..n)取最大值。

约束条件为∑WiXi ≤M且Xi∈[0,1](1≤i≤n)。

在这个表达式中，需求出Xi的值。

Xi=1表示物品i装入背包，Xi＝0表示物品i不装入背包。

∙即判断可行解的约束条件是：∑WiXi≤M（i=0..n），Wi>0,Xi∈[0,1](1≤i≤n)∙目标最大值：max∑PiXi（i=0..n-1）,Pi>0,Xi=0或1（0≤i<n）0/1背包问题是一个自己选取问题，适合于用子集树表示0／1背包问题的解空间。

在搜索解空间树时，只要左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树，在右子树中有可能包含最优解才进入右子树搜索，否则将右子树剪去。

程序分析：将物品个数，每个物品体积／价值输入，计算总物品体积S，输入背包体积V，如果V<0或者V>S则前置条件错误，即背包体积输入错误，否则顺序将物品放入背包。

假设放入前i件物品，背包没有装满，继续选取第i+1件物品，若该物品“太大”不能装入，则弃之继而选取下一件直到背包装满为止；如果剩余物品中找不到合适物品以填满背包，则说明“刚刚”装入的第i件物品不合适，应将i拿出，继续从i＋1及以后的物品中选取，如此重复，直到找到满足条件的解。

用回溯法解决3种可选择物品的0-1背包问题当n=3时，其解空间是{（0,0,0）（0,1,0），（0,0,1），（1,0,0），（0,1,1），（1,0,1），（1,1,0），（1,1,1）}n=3时的0-1背包问题：w=[16,15,15]p=[45,25,25]c=30开始时，Cr=C=30，V=0，A为唯一活结点，也是当前扩展结点扩展A，先到达B结点Cr=Cr-w1=14，V=V+v1=45此时A、B为活结点，B成为当前扩展结点扩展B，先到达DCr<w2，D导致一个不可行解，回溯到B再扩展B到达EE可行，此时A、B、E是活结点，E成为新的扩展结点扩展E，先到达JCr<w3，J导致一个不可行解，回溯到E再次扩展E到达K由于K是叶结点，即得到一个可行解x=(1,0,0)，V=45K不可扩展，成为死结点，返回到EE没有可扩展结点，成为死结点，返回到BB没有可扩展结点，成为死结点，返回到AA再次成为扩展结点，扩展A到达CCr=30，V=0，活结点为A、C，C为当前扩展结点扩展C，先到达FCr=Cr-w2=15，V=V+v2=25，此时活结点为A、C、F，F成为当前扩展结点扩展F，先到达LCr=Cr-w3=0，V=V+v3=50L是叶结点，且50>45，皆得到一个可行解x=(0,1,1)，V=50L不可扩展，成为死结点，返回到F再扩展F到达MM是叶结点，且25<50，不是最优解M不可扩展，成为死结点，返回到FF没有可扩展结点，成为死结点，返回到C再扩展C到达GCr=30，V=0，活结点为A、C、G，G为当前扩展结点扩展G，先到达N，N是叶结点，且25<50，不是最优解，又N不可扩展，返回到G再扩展G到达O，O是叶结点，且0<50，不是最优解，又O不可扩展，返回到GG没有可扩展结点，成为死结点，返回到CC没有可扩展结点，成为死结点，返回到AA没有可扩展结点，成为死结点，算法结束，最优解X=(0,1,1)，最优值V=50。

0-1背包问题(回溯法)实验报告姓名：学号：指导老师：一．算法设计名称：0-1背包问题（回溯法）二.实验内容问题描述:给定n 种物品和一背包。

物品i 的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为C 。

问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。

不能将物品装入背包多次，也不能只装入部分的物品。

三.实验目的1.运用回溯思想，设计解决上述问题的算法，找出最大背包价值的装法。

2.掌握回溯法的应用四．算法设计：问题求解思路1.由0-1背包问题的最优子结构性质，建立计算m[i][j]的递归式如下：i i i w j w j j i m i v w j i m j i m j i m <≤≥⎩⎨⎧-+---=0],1[]}[],1[],,1[max{),(2.查找装入背包物品的回溯函数：从0-1二叉树的根开始搜索：若是叶子节点，则判断此时的价值是否比当前最优的价值大，否则将之替换，并获得最优解向量且返回；若不是叶子节点，则向左右子树搜索，先改变当前的数据状态，递归的调用自己，然后恢复数据状态表示回溯。

3.边界函数bound主要是当还未搜索到叶子节点时，提前判断其子树是否存可能存在更优的解空间，否则进行回溯，即裁剪掉子树的解空间。

关键数据结构及函数模块：（Backtrack.h ）#ifndef __BACKTRACK_H__#define __BACKTRACK_H__class BP_01_P{public:∑=ni i i x v 1max ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=n i x C x w i n i i i 1},1,0{1BP_01_P(int w,int n):m_Sum_weitht(0),m_Number(0) {m_Sum_weitht=w;m_Number=n;bestHav=0;bestVal=0;curVal=0;curHav=0;m_hav=new int[n];m_val=new int[n];temop=new int[n];option=new int[n];}~BP_01_P(){delete []m_hav;delete []m_val;delete []temop;delete []option;}void traceBack(int n);int bound(int n);void printBestSoulation();int *m_hav;//每个物品的重量int *m_val;//每个物品的价值int *temop;//01临时解int *option;//01最终解int bestHav;//最优价值时的最大重量int bestVal;//最优的价值int curVal;//当前的价值int curHav;//当前的重量private:int m_Sum_weitht;//背包的总容量int m_Number;//物品的种类};#endif __BACKTRACK_H__五：主要的算法代码实现：（Backtrack.cpp）边界函数：bound( )int BP_01_P::bound(int n){int hav_left=m_Sum_weitht-curHav;int bo=curVal;while(n<m_Number && m_hav[n]<=hav_left){hav_left-=m_hav[n];bo+=m_val[n];n++;}if(n<m_Number){bo+=m_val[n]*hav_left/m_hav[n];//bo+=hav_left;}return bo;}回溯递归函数：traceBack( )void BP_01_P::traceBack(int n){if(n>=m_Number){if(curVal>=bestVal){bestVal=curVal;for(int i=0;i<n;i++){option[i]=temop[i];}return ;}}if(curHav+m_hav[n]<=m_Sum_weitht)//向左子树搜索 {curHav=curHav+m_hav[n];curVal=curVal+m_val[n];temop[n]=1;//标记要选择这个物品traceBack(n+1);curHav=curHav-m_hav[n];curVal=curVal-m_val[n];}if(bound(n+1)>bestVal)//向右子树搜索{temop[n]=0;//标记要丢弃这个物品traceBack(n+1);}}主控函数：(main.cpp)#include <iostream>#include "Backtrack.h"using namespace std;int main(){int number,weigth;cout<<"包的总容量:";cin>>weigth;cout<<"物品的种类:";cin>>number;BP_01_P *ptr=new BP_01_P(weigth,number);cout<<"各种物品的重量:"<<endl;for(int i=0;i<number;i++)cin>>ptr->m_hav[i];cout<<"各种物品的价值:"<<endl;for(i=0;i<number;i++)cin>>ptr->m_val[i];ptr->traceBack(0);ptr->printBestSoulation();cout<<"总重量:"<<ptr->bestHav<<"\t总价值:"<<ptr->bestVal<<endl;return 0;}六：算法分析采用回溯法解决0-1背包问题，明显比动态规划法更优良。

01背包问题回溯法c语言背包问题是一个很经典的动态规划问题，其中最常见的一种形式就是 01 背包问题。

在该问题中，给定一组物品的重量和价值，以及一个背包的容量限制，要求选择一些物品，使得在不超过背包容量的前提下，背包中物品的总价值最大。

这里我们将讨论如何使用回溯法解决01 背包问题，使用C 语言进行编程实现。

首先，我们需要定义问题的数据结构。

我们可以使用一个数组来表示不同物品的重量和价值，背包的容量可以通过一个常量来表示。

```c#define N 5 // 物品的个数#define MAX_WEIGHT 10 // 背包的容量int weights[N] = {2, 3, 4, 5, 9}; // 物品的重量int values[N] = {3, 4, 5, 8, 10}; // 物品的价值int bestValue = 0; // 最优解的价值int bestSelection[N]; // 最优解中物品的选择情况```接下来，我们可以定义一个递归函数来实现回溯法。

该函数将遍历所有可能的物品选择情况，并更新当前的最优解。

```cvoid backtrack(int depth, int weight, int value, int selection[]) {if (depth == N) {if (weight <= MAX_WEIGHT && value > bestValue) {bestValue = value;for (int i = 0; i < N; i++) {bestSelection[i] = selection[i];}}return;}// 不选择当前物品selection[depth] = 0;backtrack(depth + 1, weight, value, selection);// 选择当前物品selection[depth] = 1;backtrack(depth + 1, weight + weights[depth], value + values[depth], selection); }```最后，我们可以在主函数中调用回溯函数，得到最优解。

实验4回溯法解0-1背包问题一、实验要求1．要求用回溯法求解0-1背包问题；2．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组；3．要求显示结果。

二、实验仪器和软件平台仪器：带usb接口微机软件平台：WIN-XP + VC++6.0三、实验源码#include "stdafx.h"#include<iostream>#include<cstdio>#include<conio.h>#include<iomanip>using namespace std;template<class ty>class Knap{public:friend void Init();friend void Knapsack();friend void Backtrack(int i);friend float Bound(int i);bool operator<(Knap<ty> a)const{if(fl<a.fl) return true;else return false;}private:ty w; //重量ty v; //价值float fl; //单位重量的价值v/wint kk; //记录第几个物品int flag; //记录是否放入包中};template<class ty>void Sort(Knap<ty> *li,int n){int i,j,k; Knap<ty> minl;for(i=1;i<n;i++){minl=li[0]; k=0;for(j=1;j<=n-i;j++){if(minl<li[j]){minl=li[j]; swap(li[j],li[k]); k=j;}}}}namespace jie //命名空间{int c=0,n=0;int *x=NULL;Knap<int> *bag=NULL;int cp=0,cw=0;int bestp=0;}using namespace jie;void Init(){int i=0;cout<<endl;cout<<"请输入物品数量n = ";cin>>n; cout<<endl;cout<<"请输入背包容量C = ";cin>>c; cout<<endl;bag=new Knap<int> [n];x=new int[n];cout<<"请依次输入"<<n<<"个物品的重量W:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>bag[i].w;cout<<endl;cout<<"请依次输入"<<n<<"个物品的价值P:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>bag[i].v;for(i=0;i<n;i++){bag[i].flag=0; bag[i].kk=i;bag[i].fl=1.0*bag[i].v/bag[i].w;}}void Backtrack(int i){if(i>=n) //到达叶节点{bestp=cp; //更新最优价值return;}if(cw+bag[i].w<=c) //进入左子树{bag[i].flag=1; cw+=bag[i].w;cp+=bag[i].v; Backtrack(i+1);cw-=bag[i].w; cp-=bag[i].v;}if(Bound(i+1)>bestp)//进入右子树{bag[i].flag=0; Backtrack(i+1);}}//计算当前节点处的上界float Bound(int i){int cleft = c-cw; //剩余容量float b = cp;while (i<n&&bag[i].w<=cleft){//以物品单位重量价值递减序装入cleft-=bag[i].w ;b+=bag[i].v;i++;}//装满背包if (i<n) b+=1.0*bag[i].v/bag[i].w * cleft;return b;}void Knapsack() //计算最优解和变量值{int L(0); //用L累计价值，初始价值设置为0for(int k=0;k<n;k++){x[bag[k].kk]=bag[k].flag; //x=0表示未放入背包，x=1表示放入背包L+=bag[k].flag*bag[k].v; //价值累加}cout<<endl;cout<<"当前最优价值为:"<<L<<endl;cout<<"变量值x = ";for(int i=1;i<=n;i++){cout<<x[i-1];}delete []bag; bag=NULL;delete []x; x=NULL;cout<<endl; getch();}int main(){cout<<endl;cout<<"|**********回溯法解0-1背包问题**********|"<<endl;Init();Backtrack(0);Knapsack();return 0;}四、运行结果五、实验小结通过该实验，我充分了解了回溯法与分支界限法的区别。

回溯法解决01背包问题算法回溯法是一种常见的解决0-1背包问题的算法。

以下是使用Python编写的基于回溯法的0-1背包问题的解决方案：```pythondef knapsack(weights, values, capacity):n = len(weights)dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for w in range(1, capacity + 1):if weights[i - 1] <= w:dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1])else:dp[i][w] = dp[i - 1][w]return dp[n][capacity]def backtrack(weights, values, capacity, i, w):if i == 0 or w == 0:returnif weights[i - 1] <= w:backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w - weights[i - 1])print(f"Pick {values[i - 1]} with weight {weights[i - 1]}")backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w)else:backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w)def knapsack_backtrack(weights, values, capacity):backtrack(weights, values, capacity, len(weights), capacity)```在这个代码中，`knapsack`函数使用动态规划方法来解决问题，而`backtrack`函数使用回溯法。

学号:日期:《算法设计与分析》实验报告姓名:得分：____________、实验内容:用回溯法求解0/1背包问题注：给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是W i，其价值为V i，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大。

其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。

、所用算法的基本思想及复杂度分析：1. 回溯法求解背包问题：1)基本思想：回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function) 来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。

这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。

对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1 向量组成，可用子集数表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能包含最优解时就进入右子树搜索。

2)复杂度分析：回溯法求解0/1背包问题的时间复杂度为：T(n) 0(2n)。

空间复杂度：有n个物品，即最多递归n层，存储物品信息就是一个一维数组，即回溯法求解0/1背包问题的空间复杂度为0(n) o2. 以动态规划法验证：1)基本思想：令V(i,j)表示在前i(1 i n)个物品中能够装入容量为j(1 j C) 的背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态函数：V(i,0) V(0,j) 0V(i,j)V(i 1,j)(j W i)maxV(i 1, j),V(i 1, j wj y (j wj按照下述方法来划分阶段：第一阶段，只装入前1 个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入前2 个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；以此类推，直到第n 个阶段。

最后，V n,C)便是在容量为C的背包中装入n个物品时取得的最大价值。

2)复杂度分析：动态规划法求解0/1 背包问题的时间复杂度为：T(n) O(n C) 。