锐角三角函数应用题训练(全)

初中三角函数应用题综合一．解直角三角形的应用（共10小题）1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM ＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；（2）计算公园D与小明家A的距离．3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．（1）求点E离地面AC的距离BE的长；（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．二．解直角三角形的应用−坡度坡角问题（共7小题）8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（ ）A．30°B．60°C．1：D．：19．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（ ）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）A．8m B．4m C．8m D．m11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．A．20B．20C．10D．2012．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE ＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是 米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）求DB的长度（结果保留根号）．14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ （如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）三．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共8小题）15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（ ）A．31°B．42°C．48°D．59°16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（ ）A．B．C．D．17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）A．米B．米C．56米D．66米18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为 米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为 m．20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．参考答案与试题解析一．解直角三角形的应用（共10小题）1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM ＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）【解答】解：由题意知，四边形CDBM、CDEF、EFMB是矩形，∴BM＝CD＝1.5米，CE＝DF＝10米．在Rt△ADM中，∵tan∠ADM＝，∴DM＝＝AM．在Rt△AFM中，∵tan∠AFM＝，∴FM＝＝AM．∵DF＝DM﹣FM，∴AM﹣AM＝10．∴AM＝10．AM＝5．∴AB＝AM+MB＝5+1.5≈5×1.73+1.5＝8.65+1.5＝10.15＝10.2（米）．答：这棵树AB的高度为10.2米．2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；（2）计算公园D与小明家A的距离．【解答】解：（1）由题意得：BD＝5km，CD＝5km，∠BAC＝90°，AB＝3km，CA＝4km，∴BC＝＝＝5（km），∴BC＝BD，∵BC2+BD2＝52+52＝50，CD2＝（5）2＝50，∴BC2+BD2＝CD2，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠ADC＝∠BDC﹣∠BDA＝45°﹣10°＝35°；（2）过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，如图所示：则∠DEB＝90°，∴∠BDE+∠DBE＝90°，由（1）得：∠CBD＝90°，∴∠DBE+∠CBA＝90°，∴∠BDE＝∠CBA，在△BDE和△CBA中，，∴△BDE≌△CBA（AAS），∴DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，∴AE＝BE+AB＝7（km），∴AD＝＝＝（km）．∴公园D与小明家A的距离为km．3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，AC＝80千米，∴CD＝AC•sin30°＝80×＝40（千米），BC＝＝＝40（千米），∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．（2）∵cos30°＝，AC＝80千米，∴AD＝AC•cos30°＝80×＝40（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴BD＝＝＝40（千米），∴AB＝BD+AD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．【解答】解：方法一：在Rt△EDF中，DE＝1m，EF＝0.6m，∴tan∠EDF＝＝＝，在Rt△BCD中，CD＝6m，∵tan∠BDC＝tan∠EDF，∴＝，∴BC＝3.6m，∵AC＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），答：树高AB为4.4m；方法二：由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，∴△DCB∽△DEF，∴，∵DE＝1m，EF＝0.6m，CD＝6m，∴＝，解得：BC＝3.6，∵AC＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），答：树高AB为4.4m．5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．（1）求点E离地面AC的距离BE的长；（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）【解答】解：过E作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．（1）在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，OE＝25cm，∠AOE＝53°，∴HO＝OE×cos53°＝15cm，EH＝20cm，EB＝HA＝25﹣15＝10（cm），所以铁环钩离地面的高度为10cm；（2）∵铁环钩与铁环相切，∴∠EOH+∠OEH＝∠OEH+∠DEN＝90°，∠DEN＝∠EOH，∴DE＝＝，在Rt△DEN中，∠DNE＝90°，EN＝BC＝AC﹣AB＝53﹣20＝33（cm），DE＝＝＝55（cm），∴铁环钩的长度DE为55cm．6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．【解答】解：（1）由题意得：在Rt△ADC中，AD＝＝≈51.9（米），在Rt△BDC中，BD＝＝＝30（米），∴AB＝AD﹣BD≈51.9﹣30＝21.9（米），答：AB的长为21.9米；（2）不超速，理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为21.9÷2＝10.95（米/秒），∵10.95×3600＝39420（米/时），∴该车速度为39.42千米/小时，∵39.42千米/小时＜40千米/小时，∴这辆校车在AB路段不超速．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．【解答】解：（1）由题意得：∠ABC＝∠DCE＝∠FEG＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2m，∵∠DEC＝∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，∵∠FGE＝∠AGB，∴△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝（8+12）m，∴＝，∴AB＝8+4≈14.92m，答：旗杆AB的高度为14.92米；（2）由（1）得：△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，由（1）得：△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝，∴＝，∴AB＝，答：旗杆AB的高度为m．二．解直角三角形的应用−坡度坡角问题（共7小题）8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（ ）A．30°B．60°C．1：D．：1【解答】解：∵斜坡的坡比i＝h：l＝1：，∴斜坡的坡度为1：，故选：C．9．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（ ）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为矩形，∴DE＝BF，在Rt△BAF中，∠BAF＝30°，AB＝600m，则BF＝AB＝300（m），∴DE＝300m，在Rt△CBE中，∠CBE＝45°，BC＝800m，∴CE＝BC＝400（m），∴CD＝CE+DE＝（300+400）m，故选：C．10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）A．8m B．4m C．8m D．m【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：＝，BC＝4m，∴AC＝BC＝4（m），故选：B．11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．A．20B．20C．10D．20【解答】解：由题意得：四边形AEFD是矩形，∴DF＝AE，∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，∴DF＝AE＝10×sin45°＝10（米），∵背水坡CD的坡度i＝1：，∴tan C＝i＝＝＝，∴∠C＝30°，∴CD＝2DF＝2AE＝20（米），故选：A．12．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE ＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是　20.62　米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）【解答】解：∵DE的坡度为i1＝1：，∴tan∠DEC＝＝，∴∠DEC＝30°，∴DC＝DE＝5（m），∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5m，∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，AB＝5m，∴BF＝4AB＝20（m），在Rt△ABF中，AF＝＝≈20.62（m），∴斜坡AF的长度约为20.62米，故答案为：20.62．13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）求DB的长度（结果保留根号）．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝2m，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝（m），答：舞台的高AC为m；（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，则CD＝＝＝，∴BD＝CD﹣BC＝（﹣）m，答：DB的长度为（﹣）m．14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ （如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【解答】解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，则QG⊥BA，∴设QG＝x米，∵山坡的坡度为i＝1：2.4，∴AG＝2.4x米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝5.22，解得：x＝2，则QG＝2米，AG＝2.4x＝4.8米，∴EF＝NG＝4.8+1.2＝6（m），在Rt△PEF中，∠PEF＝53°，EF＝6m，则PF＝EF•tan∠PEF＝6×tan53°≈6×＝8（m），∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣2＝1（m），∴PQ＝8+1＝9（m）．答：信号塔PQ的高约为9m．三．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共8小题）15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（ ）A．31°B．42°C．48°D．59°【解答】解：由题意得：∠ADB＝42°，∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝90°﹣42°＝48°，故选：C．16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（ ）A．B．C．D．【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝10米，∴BF＝AB＝5（米），AF＝BF＝5（米）．∴BG＝AF+AE＝（5+15）（米），在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴△BGC是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（5+15）（米），在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15米，∴DE＝AE＝15（米），∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝（20﹣10）（米），即宣传牌CD的高度是（20﹣10）米，故选：A．17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）A．米B．米C．56米D．66米【解答】如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝26米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝262，解得k＝2，∴DM＝10（米），CM＝24（米），∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝CM+MF＝（24+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝24+12a﹣10＝（14+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（14+12a）米，∵tan∠ADE＝＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝42（米），AE＝14+12a＝56（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝56﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．故选：B．18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为　14.7　米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）【解答】解：根据题意，得∠ADB＝64°，∠ACB＝48°在Rt△ADB中，tan64°＝，则BD＝≈AB，在Rt△ACB中，tan48°＝，则CB＝≈AB，∴CD＝BC﹣BD，即6＝AB﹣AB，解得：AB＝≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米，故答案为：14.7．19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为　（15+15）　m．【解答】解：设BC的长为x米．在Rt△CBD中，∠D＝90°，∠CBD＝45°，∴CD＝BC＝x米，在Rt△CAD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，∴tan∠CAD＝＝＝，解得：x＝15+15，答：楼房DC的高度为（15+15）米，故答案为：（15+15）．20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．【解答】解：延长DC交BF于F，过A作AH⊥DC于H，则HF＝AB＝1.6m，AH＝BF，在Rt△ACF中，∵∠CBF＝20°，BC＝10m，∴CF＝BC•sin20°≈10×0.34＝3.4（m），BF＝BC•cos20°≈10×0.94＝9.4（m），∴AH＝BF＝9.4m，在Rt△ADH中，∵∠DAH＝55°，∴DH＝AH•tan55°≈9.4×1.43≈13.4（m），∴DC＝DH+HF﹣CF＝13.4+1.6﹣3.4＝11.6（m），答：树木CD的高度约为11.6m．21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：则四边形DHCE是矩形，DH＝EC，DE＝HC＝5，设建筑物BC的高度为xm，则BH＝（x﹣5）m，在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，∴DH＝（x﹣5），AC＝EC﹣EA＝（x﹣5）﹣30，在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，tan∠BAC＝，∴＝解得：x＝，答：建筑物BC的高为m．四．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共1小题）22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【解答】解：设山高BC＝x，则AB＝x，由tan37°＝＝0.75，得：＝0.75，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的根．答：山的高度是120米．。

第19讲 锐角三角函数命题点 解直角三角形1．(·承德模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tanB ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD ，求AC 的长和cos∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tanB ＝AC BC ＝12，∴AC ＝BC ·tanB ＝4.设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，在Rt △ADC 中，(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5. ∴AD ＝5，CD ＝8－5＝3，∴cos ∠ADC ＝DC AD ＝35.2．(·河北模拟)如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E. ∵cosC ＝22，∴∠C ＝45°. 在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1.在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3.∴BC ＝BE ＋CE ＝4.(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2.∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°. ∴sin ∠ADC ＝22.重难点1 解直角三角形(·河北模拟)已知，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝43，AB ＝5，D 在AB 上．(1)求BC 的长；(2)如图1，若∠CDB ＝∠B ，求sin ∠DCB 的值；(3)如图2，过点B 作BE ⊥CD 所在的直线，垂足为E ，BE 的延长线交直线AC 于点F. ①当tan ∠BCD ＝2时，求S △CBF ； ②当AF ＝54时，求线段AD 的长．【思路点拨】 (1)由正切的定义可知△ABC 是一个勾3，股4，弦5的直角三角形；(2)可通过过点D 作DE ⊥BC ，利用tanB 找到DE ，BE 的数量关系，再解直角△DCE ，求得sin ∠DCB 的值；(3)因为∠BCD ＝∠CFB ：①利用tan ∠CFB 的值，求CF ，进而求S △CBF ；②可通过过点A 作BC 的平行线交CD 延长线于点G ，先求AG ，再利用相似求AD 的长． 【自主解答】 解：(1)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝43，∴tanB ＝AC BC ＝43，∴AC ＝43BC.∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(43BC)2＋BC 2＝52，∴BC ＝3.(2)过点D 作DE ⊥BC ，则tanB ＝43＝DEBE ，∴BE ＝34DE ，∴CE ＝BC －BE ＝3－34DE.∵∠CDB ＝∠B ，∴CD ＝CB ＝3.∵CD 2＝CE 2＋DE 2，∴32＝DE 2＋(3－34DE)2，解得DE ＝7225.∴sin ∠DCB ＝DE DC ＝2425.(3)①∵∠BCD ＋∠FCE ＝90°，∠CFB ＋∠FCE ＝90°， ∴∠BCD ＝∠CFB.∴tan ∠BCD ＝tan ∠CFB ＝2.∵tan ∠CFB ＝BC CF ＝2，BC ＝3，∴CF ＝32.∴S △CBF ＝94.②当点F 在线段AC 上时，如图3，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G ， ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝1112，AC ＝4，∴AG ＝113.∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝ADBD .∴119＝AD 5－AD ，AD ＝114.图3 图4当点F 在线段CA 的延长线上，如图4，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G. ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝74，AC ＝4，∴AG ＝7.∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝AD BD .∴73＝AD 5－AD .∴AD ＝72.方法指导1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角．2．在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解． 4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具．Ｋ,【变式训练1】 如图是由一个角为60°且边长为1的菱形组成的网格，每个菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠BAC ＝233．【变式训练2】(·上海)如图，已知在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC ＝34.(1)求边AC 的长；(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求ADDB的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中， tan ∠ABC ＝AE BE ＝34，AB ＝5，∴AE ＝3，BE ＝4.∴CE ＝BC －BE ＝5－4＝1.在Rt △AEC 中，根据勾股定理，得AC ＝32＋12＝10.(2)如图，∵DF 垂直平分BC ，∴BD ＝CD ，BF ＝CF ＝52.∵tan ∠DBF ＝DF BF ＝34，∴DF ＝158.在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得BD ＝（52）2＋（158）2＝258， ∴AD ＝5－258＝158，则AD DB ＝35. 重难点2 解直角三角形的应用(1)如图1，为了游客的安全，某景点将原坡角为60°的斜坡AB 改为坡度为1∶3的斜坡AC ，已知AB ＝100米，BC 在同一水平线上，求改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC 的长；(2)(·郴州)小亮在某桥附近试飞无人机，如图2，为了测量无人机飞行的高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB ＝60°，∠EAC ＝30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC ＝30米，求无人机飞行的高度AD ；(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(3)(·湘西)如图3，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A ，B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C 位于A 的北偏东60°的方向上，C 位于B 的北偏东30°的方向上，且AB ＝10 km.①求景点B 与C 的距离；②为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备由景点C 向公路l 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．(结果保留根号)【思路点拨】这三个问题均可以通过过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，再利用解直角三角形ABD 和直角三角形ACD 来解决．【自主解答】解：(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，∴BD ＝AB ·cos ∠ABD ＝100×cos60°＝50(米)，AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝503米． ∵AC 的坡度为1∶3， ∴AD ∶CD ＝1∶ 3.∴CD ＝150，BC ＝CD －BD ＝150－50＝100(米)．∴改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC 的长是100 m. (2)由题意，得∠EAC ＝30°，∠EAB ＝60°，∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠ACB ＝30°，∠EAB ＝∠ABD ＝60°. ∵∠ABD ＝∠ACB ＋∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°. ∴AB ＝BC ＝30.在Rt △ABD 中，∴AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝153≈25.98(米)． (3)①由题意，得∠CAB ＝30°，∠ABC ＝90°＋30°＝120°， ∴∠C ＝180°－∠CAB －∠ABC ＝30°.∴∠CAB ＝∠C ＝30°. ∴BC ＝AB ＝10 km ，即景点B ，C 的距离为10 km.②过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∵BC ＝10 km ，C 位于B 的北偏东30°的方向上，∴∠CBD ＝60°，在Rt △CBD 中，CD ＝32BC ＝5 3 km. 【变式训练3】(·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A ，B 和点C ，D ，先用卷尺量得AB ＝160 m ，CD ＝40 m ，再用测角仪测得∠CAB ＝30°，∠DBA ＝60°，求该段运河的河宽(即CH 的长)．解：过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形CHED为矩形，∴HE＝CD＝40 m.设CH＝DE＝x m，在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，∴BE＝33x.在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，∴AH＝3x.由AH＋HE＋EB＝AB＝160 m，得3x＋40＋33x＝160，解得x＝303，即CH＝30 3 m.答：该段运河的河宽为30 3 m．方法指导1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．,模型建立)本题的三个题均可以抽象出如下图形：另外实际问题还可以抽象的几何图形为：1．(·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于(A)A.35B.45C.34D.432．(·保定模拟)在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tanB－3)(2sinA－3)＝0，则△ABC一定是(D) A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．有一个角是60°的三角形3．(·唐山丰南区模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝24，则tanB 等于(B)A.513B.512C.1213 D.1254．(·贵阳)如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为(B)A.12B ．1C.33D. 35．(·河北模拟)如图，△ABC 在边长为1个单位长度的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝55，那么点C 的位置可以在(D) A ．点C 1处B ．点C 2处C ．点C 3处D ．点C 4处6．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？否；(填“是”或“否”)请简述你的理由点A 到OB 的距离小于OB 与墙MN 平行的距离．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)7．【分类讨论思想】(·无锡)已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝27，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于153或10 3.8．(·贵阳)如图1，在Rt △ABC 中，以下是小亮探究a sinA 与bsinB之间关系的方法：∵sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴c ＝a sinA ，c ＝b sinB .∴a sinA ＝bsinB ，根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC中，探究a sinA ，b sinB ，csinC之间的关系，并写出探究过程．解：a sinA ＝b sinB ＝c sinC.理由：过点A 作AD ⊥BC ，过点B 作BE ⊥AC ， 在Rt △ABD 中，sinB ＝ADc ，即AD ＝c ·sinB ，在Rt △ADC 中，sinC ＝ADb ，即AD ＝b ·sinC ，∴c ·sinB ＝b ·sinC ，即b sinB ＝csinC .同理可得a sinA ＝csinC ，则a sinA ＝b sinB ＝c sinC.9．(·衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C 出发，沿北偏东30°的方向行走2 000米到达石鼓书院A 处，参观后又从A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B 处，如图所示．(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？解：(1)过点C 作CP ⊥AB 于点P ，由题意，得∠A ＝30°，AP ＝2 000米， 则CP ＝12AC ＝1 000米．(2)∵在Rt △PBC 中，PC ＝1 000，∠PBC ＝∠BCP ＝45°， ∴BC ＝2PC ＝1 0002米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆， ∴他到达宾馆需要的时间为1 0002100＝102＜15. ∴他在15分钟内能到达宾馆．10．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝1，∠DAB ＝30°，∠ABC ＝60°，则四边形ABCD 的面积为53，AD 的长是23．提示：延长AD ，BC 相交于点E ，可得△ABE 为直角三角形．11．(·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD ＝2．提示：连接BE ，构造Rt △BOF ，根据△AOC ∽△BOK 可得OK 与CK 的数量关系，求出OF 与BF 的数量关系即可．12．如图，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，sinB ＝255，D 为边BC 的中点，E 为边BC 的延长线上一点，且CE＝BC.连接AE ，F 为线段AE 的中点．求：(1)线段DE 的长； (2)∠CAE 的正切值．解：(1)连接AD.∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ， 即∠ADB ＝90°.∵AB ＝AC ＝25，sinB ＝255，∴AD AB ＝255.∴AD ＝4. 由勾股定理，得BD ＝2，∴DC ＝BD ＝2，BC ＝4. ∵CE ＝BC ，∴CE ＝4. ∴DE ＝DC ＋CE ＝2＋4＝6.(2)过点C 作CM ⊥AE 于点M, 则∠CMA ＝∠CME ＝90°. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得 AE ＝AD 2＋DE 2＝213.∵CM 2＝AC 2－AM 2＝CE 2－EM 2， ∴(25)2－AM 2＝42－(213－AM)2， 解得AM ＝141313.∴CM ＝AC 2－AM 2＝81313.∴tan ∠CAE ＝CM AM ＝47.13．(·河北模拟)阅读下面的材料：嘉嘉在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝12，tan β＝13，求α＋β的度数．淇淇是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD ＝α，∠CBE ＝β，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得α＋β＝∠ABC ＝45°．请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝4，tan β＝35时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON＝α－β，由此可得α－β＝45°．解：如图．。

锐角三角函数应用题训练(全)锐角三角函数应用题训练1．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。

请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）。

（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）2．如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C 点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）．3．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈）．4．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．EA CDB5．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A 、B ，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C ，求此时船C 与船B 的距离是多少．（结果保留根号）6．一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC ，如图所示，他先在点B 测得山顶点A 的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D 点，在测得山顶点A 的仰角为60°（B 、C 、D 三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC （结果精确的1米，参考数值：2 1.4≈，3 1.7≈）7．如图，我省在修建泛亚铁路时遇到一座山，要从A 地向B 地修一条隧道(A ，B 在同一水平面上)，为了测量A ，B 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从M 地出发垂直上升150 米到达C 处，在C 处观察A 地的俯角为60°，然后保持同一高度向前平移200米到达D 处，在D 处观察B 地的俯角为45°，则A 、B 两地之间的距离为多少米？(参考数据：3 1.73；结果保留整数)60°N 45°D C8．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．9．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一中是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客同时从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为45m/min．乙开始从A乘缆车到B，在B处停留5min后，再从B匀速步行到C，两人同时到达．已知缆车匀速直线运动的速度为180m/min，山路AC长为2430m，经测量，∠CAB=45°，∠CBA=105°．（参考数据： 1.4，1.7）（1）求索道AB的长；（2）为乙的步行速度．10．某中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度，如图，在C点测得旗杆顶端A的仰角为30°，向前走了6米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角为60°(测角器的高度不计).（1）AD 米；（2）求旗杆AB的高度（结果保留1位小数，3 1.73≈）.11．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）12．如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）13．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）14．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）15．根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．（1）计算AB的长度．（2）通过计算判断此车是否超速．16．如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O 的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．17．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A 的距离最近？18．如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A –C －B 行驶，全长68 km ．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知∠A ＝30°，∠B ＝45°，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果精确到0．1 km ）（参考数据：4.12≈，7.13≈）19．水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ，如图所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B ＝60°，背水坡面CD 的长为163米，加固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米．(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后的大坝背水坡面DE 的坡度．20．如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坝底宽AD.（i ＝CE ∶ED ，单位：m ）ABC30° 45°本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

1、（09年湖北仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)2、（09年湖南怀化）如图，小明从A 地沿北偏东 30方向走1003m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．3、（09年山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25B ．253C ．10033D ．25253+4、（09年山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作： （1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米； （3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1米，3 1.73≈）5、（09年广东深圳、山东东营）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．6、（09年广东湛江）如图，某军港有一雷达站P ，军舰M 停泊在雷达站P 的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N 位于军舰M 的正西方向，与雷达站P 相距182海里．求： （1）军舰N 在雷达站P 的什么方向？（2）两军舰M N 、的距离．（结果保留根号）第6题图NMP北 A BC D 6米52° 35°(第1题图)ADB EC60°（第4题图）第2题图BC AD l第3题图ABC D第5题图7、（09年湖南常德）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．8、（09年湖南娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）9、（09湖南湘西）如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：（1） 未开始收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是多少米？ （2） 收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号）11、（09年湖北黄石）如图9，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m ，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平距离AB 。

专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数（六大类型）【题型1锐角三角函数的概念】【题型2 锐角三角函数的增减性】【题型3特殊角三角函数值】【题型4 同角三角函数的关系】【题型5 互余两角三角函数的关系】【题型6 三角函数的计算】【题型1锐角三角函数的概念】1．（2022秋•道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tan A 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tan A＝．故选：B．2．（2023•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则tan B 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝＝＝BC，∴tan B＝＝＝．故选：D．3．（2022秋•路北区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．（2023•新华区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c为斜边，a、b 为直角边，且a＝5，b＝12，则sin A的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，c＝＝＝13，sin A＝．故选：B．5．（2023•陈仓区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则sin B的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝，∴sin B＝＝＝，故选：C ．6．（2023•虹口区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得AB ＝＝．由锐角的余弦，得cos A ＝＝＝．故选：C ．7．（2023•金山区一模）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则∠B 的正切值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴tan B ＝＝．故选：A ．8．（2023•长宁区一模）在△ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝3，AB ＝5，那么∠A 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，故选：C．【题型2 锐角三角函数的增减性】9．（2023•未央区校级三模）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（ ）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间【答案】D【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，而tan A＝2，∴tan A＞tan60°，∴60°＜∠A＜90°．故选：D．10．（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tan A＝3，则∠A的取值范围是（ ）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【答案】D【解答】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，∵tan A＝3，∴3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．11．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（ ）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【答案】C【解答】解：∵cos60°＝，cos45°＝，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴45°＜α＜60°，故选：C．【题型3特殊角三角函数值】12．（2022秋•嵊州市期末）已知tan A＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解答】解：∵，且∠A是锐角，∴∠A＝30°，故选：A．13．（2023•河西区模拟）计算2cos30°的结果为（ ）A．B．1C．D．【答案】C【解答】解：∵cos30°＝，∴2cos30°＝2×＝．故选：C．14．（2023•肃州区三模）sin60°的相反数（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是﹣．故选：C．15．（2023•高州市一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则∠A的大小是（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角，∵cos A＝，∴∠A＝60°，故选：C．16．（2023•南开区二模）下列三角函数中，结果为的是（ ）A．cos30°B．tan30°C．sin60°D．cos60°【答案】D【解答】解：A．cos30°＝，不符合题意；B．tan30°＝，不符合题意；C．sin60°＝，不符合题意；D．cos60°＝sin30°＝，符合题意．故选：D．17．（2023•河西区一模）cos60°的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cos60°＝，故选：D．18．（2023•东莞市校级一模）已知∠A为锐角且tan A＝，则∠A＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．不能确定【答案】C【解答】解：∵∠A为锐角，tan A＝，∴∠A＝60°．故选：C．19．（2023•迎泽区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）A．15°B．45°C．30°D．60°【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．【题型4 同角三角函数的关系】20．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cos A的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cos A＝或cos A＝﹣（舍去），故选：C．21．（2022秋•日照期末）若α为锐角，且sinα＝，则tanα为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由α为锐角，且sinα＝，得cosα＝＝＝，tanα＝＝＝，故选：D．22．（2022秋•桐柏县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．若sin A＝，则cos A等于（ ）A．B．C．D．1【答案】A【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，sin A＝，∴+cos2A＝1，∵∠A为锐角，∴cos A＝．故选：A．23．（2022秋•滦州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，可设BC＝4k，则AB＝5k，由勾股定理得，AC＝＝3k，∴cos A＝＝，故选：C．24．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tan A＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cos A＝＝＝．故选：D．25．（2023秋•二道区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为 ．【答案】．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，又∵，∴，∴sin A＝或（舍去），故答案为：．【题型5 互余两角三角函数的关系】26．（2023秋•肇源县校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，，∴，设BC＝12x，则AB＝13x，，∴，故选：D．27．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（ ）A．sin A＝sin B B．sin A＝cos B C．tan A＝tan B D．cos A＝tan B 【答案】B【解答】解：A、sin A＝，sin B＝，sin A≠sin B，故不符合题意；B、sin A＝，cos B＝，sin A＝cos B，故B符合题意；C、tan A＝，tan B＝，tan A≠tan B，故不符合题意；D、cos A＝，tan B＝，则cos A≠tan B，故不符合题意；故选：B．28．（2023秋•东阿县校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵cos B＝，sin A＝＝，∴cos B＝．故选：B．29．（2022秋•双牌县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC＝＝＝3a，∴tan B＝＝，故选：D．30．（2023•新邵县校级一模）已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C＝ ．【答案】．【解答】解：如图．∵∠A＝90°，tan B＝，∴设AC＝x，则AB＝2x．∴BC＝＝．∴sin C＝．故答案为：．31．（2023•未央区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为 ．【答案】．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝3a，AB＝5a，∴AC＝＝＝4a，∴tan B＝＝＝．故答案为：．【题型6 三角函数的计算】32．（2023春•江岸区校级月考）计算：．【答案】1．【解答】解：＝＝2﹣1＝1．33．（2022秋•蜀山区校级期末）计算：sin245°+tan60°•cos30°．【答案】2．【解答】解：原式＝（）2+×＝+＝2．34．（2023春•朝阳区校级期末）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．35．（2022秋•武功县期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+2×﹣＝+﹣＝．36．（2022秋•南通期末）计算：tan45°﹣2sin30°+4cos230°．【答案】3．【解答】解：原式＝＝1﹣1+3＝3．37．（2022秋•辛集市期末）计算：sin60°•tan30°+．【答案】1．【解答】解：原式＝＝+＝1．。

锐角三角函数（一）1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34 B．43 C．45 D ．35图 1 图 2 图3 图4图53．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35 B．53 C．255 D．525．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．解直角三角形一、填空题1． 已知cosA=23，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．3． ∠A 为锐角，已知sinA=135，那么cos (900-A)=___________．4． 已知sinA=21(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．5． 用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．6． 若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 7． 计算： 2sin450-3tan600=____________． 8． 计算： (sin300+tan450)·cos600=______________．9． 计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________．10． 计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________． 二、选择题：1． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（ ）A ． 43；B ． 34；C ．53；D ． 54．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=22，则cosB 的值是( )A ．21；B ．23；C ．1；D ．223． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A ．1；B ．231+；C ．221+；D ．414． 当锐角A>450时，sinA 的值( )A ．小于22； B ．大于22； C ．小于23； D ．大于235． 若∠A 是锐角，且sinA=43，则( )A ．00<∠A<300； B ．300<∠A<450；C ．450<∠A<600；D ． 600<∠A<9006． 当∠A 为锐角，且tanA 的值大于33时， ∠A( )A ．小于300； B ．大于300； C ．小于600； D ．大于6007． 如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( )A ．43；B ．34；C ．53；D ．548． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( )A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=1213；D ． cotA=1259． 已知α为锐角，且21<cos α<22，则α的取值范围是（ ）A ．00<α<300；B ．600<α<900；C ．450<α<600；D ．300<α<450．三、解答题1、 在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．2、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．3、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14． 求∠A 的四个三角函数．4、在△ABC 中，∠C 为直角，不查表解下列问题： （1）已知a=5，∠B=600．求b ； （2）已知a=52，b=56，求∠A ．5、在△ABC 中，∠C 为直角， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a=25，b=215，求c 、∠A 、∠B ．6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1） 已知a ＝156， b ＝56，求c; （2） 已知a ＝20， c ＝220，求∠B ； （3） 已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4） 已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．7、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．8、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度DCAB9、会堂里竖直挂一条幅AB，如图5，小刚从与B成水平的C点观察，视角∠C＝30°，当他沿CB方向前进2米到达到D时，视角∠ADB＝45°，求条幅AB的长度。

第28章锐角三角函数练习题 姓名：________1.（2009年郴州市）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB α为30，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取23=1. 732，结果保留两位小数）2.(2009成都)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)3．（2009年黄石市）三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地，也是国家AAA 级游览景区．它的主峰海拔约为600米，主峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ，现在山脚P 处测得峰顶的仰角为α，发射架顶端的仰角为β，其中35tan tan 58αβ==，，求发射架高BC ．4．(2009年云南省)如图，小芸在自家楼房的窗户A 处，测量楼前的一棵树CD 的高. 现测得树顶C 处的俯角为45°，树底D 处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD 为20米.请5.（2009年济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮尺．小镜子.（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角35α=，在A 点和塔之间选择一点B ，测出看塔顶()M 的仰角45β=，然后用皮尺量出A ．B 两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 350.7≈，结果保留整数）.CB AP600米山顶 发射架 45° AB C D 60°（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ . 6．（2009年山东青岛市）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°CD 的高度． （参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）7．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ．（1）求ADB ∠的度数；（2）求索道AB 的长．（结果保留根号）8.（2009年福州）如，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔．．．画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ； （2）线段CD 的长为 ；（3）请你在ACD △的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的 锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ． （4） 若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 .9．（2009年日照）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．10．（2009贺州）如图，︒=∠25MON ，矩形ABCD 的对角线ON AC ⊥，边BC 在OM 上，当AC=3时，AD11.（2009年天津市）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A B ，两个凉亭之间的距离．现测得30AC =m ，70BC =m ，120CAB ∠=°，请计算A B ，两个凉亭之间的距离． A CD EFBCG E DB A F ACD AO25°CBM NDC A12. （ 2009年嘉兴市）如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，（1）求该一次函数的解析式； （2）求OCD ∠tan 的值；（3）求证：︒=∠135AOB ．13. （2009年泸州）如图11，在△ABC 中，AB=BC ，以AB为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF⊥BC， 交AB 的延长线于E ，垂足为F ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值． 14.（2009呼和浩特）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般满足5075α°≤≤°．如图，现有一个长6m 的梯子，梯子底端与墙角的距离为3m ．（1）求梯子顶端B 距离墙角C（2）计算此时梯子与地面所成角α，并判断人能否安全使用这个梯子． （3 1.732≈，2 1.414≈）15.（2009年郴州市）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB α为30，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取2316.（2009年常德市）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．17.（2009年包头）如图，线段AB DC 、分别表示甲．乙两建筑物的高，AB BC DC BC ⊥，⊥，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高36AB =米．（1）求乙建筑物的高DC ； （2）求甲．乙两建筑物之间的距离BC（参考数据：2 1.4143 1.732≈，≈）18．（2009眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离．19.（2009年台州市）如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°． （1）求坡高CD ; （2）求斜坡新起点A 与原起点B 的20．（2009年赤峰市）公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得BC=CD=10米，B D CA O1 1yx图11 BC A 墙地面 C BA5°D乙C B A甲EC∠B=∠C=120°，∠A=45°．请你求出这块草地的面积.21.（2009年娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）22. (2009年金华市) 如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB =20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离ABADCD24.（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．第28章锐角三角函数练习题参考答案1. 解：在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP 米310tan 30105.7733MP米因为 1.5AB 米所以 1.5 5.87.27MN米2.解：如图，由已知可得∠ACB=30°，∠ADB=45° ∴在Rt △ABD 中，BD=AB 又在Rt △ABC 中，∵ tan30°=BCAB ∴33=BC AB ，即BC=3AB ∵BC=CD+BD ，∴3AB=CD+AB 即（3-1）AB=60A BCD图1 图2DABCEF∴AB=1360-=30(3+1)米∴教学楼高度为30(3+1)米. 3. 解：在Rt PAB △中，∵tan AB PA α=， ∴6001000m 3tan 5AB PA α===．在Rt PAC △中， ∵tan ACPAβ=， ∴5tan 1000625m 8AC PA β===． ∴62560025m BC =-=． 答：发射架高为25m ．4. 解：过点A 作AE ∥BD 交DC 的延长线于点E ， 则∠AEC =∠BDC =90°．∵45EAC ∠=，20AE BD ==， ∴20EC =．∵tan tan ABADB EAD BD∠=∠=， ∴20tan 60203AB =⋅=2032014.6CD ED EC AB EC =-=-=≈（米）．答：树高约为14.6米．5. 解:（1）设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为xm ，则( 1.6)ME x m =-. ∵045β=,∴ 1.6DE ME x ==-.∴ 1.618.617CE x x =-+=+. ∵0tan tan 35ME CE α==,∴ 1.60.717x x -=+,解得45x m =. ∴太子灵踪塔()MN 的高度为45m .(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P 点看塔顶的仰角．自身的高度. 6. 解：由题意知CD AD ⊥，EF AD ∥，45°AB ED60°C∴90CEF ∠=°，设CE x =， 在Rt CEF △中，tan CE CFE EF ∠=，则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°； 在Rt CEG △中，tan CECGE GE ∠=， 则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°；∵EF FG EG =+， ∴845033x x =+． 37.5x =，∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=（米）． 答：古塔的高度约是39米．7. （1）解：∵DC CE ⊥，∴90BCD ∠=°． 又∵10DBC ∠=°， ∴80BDC ∠=°， ∵85ADF ∠=°，∴360809085105ADB ∠=---=°°°°°． （2）过点D 作DG AB ⊥于点G ．在Rt GDB △中，401030GBD ∠=-=°°°， ∴903060BDG ∠=-=︒°° 又∵100BD =， ∴111005022GD BD ==⨯=． 3cos301005032GB BD ==⨯=°． A CDEFBG在Rt ADG △中，1056045GDA ∠=-=︒°° ∴50GD GA ==，∴50503AB AG GB =+=+（米） 答：索道长50503+米． 8. （1）如图 （2）5;（3）∠CAD ，55(或∠ADC ，552); （4）21. 9. 延长BC 交AD 于E 点，则CE ⊥AD ． 在Rt △AEC 中，AC ＝10，由坡比为1: 3可知：∠CAE ＝30°， ∴ CE ＝AC·sin30°＝10×21＝5， AE ＝AC·cos30°＝10×23＝53 ． 在Rt △ABE 中，BE ＝22AE AB -＝()223514-=11．∵ BE ＝BC ＋CE ，∴ BC ＝BE －CE ＝11-5＝6（米）． 答：旗杆的高度为6米． 10. 解：延长AC 交 ON 于点E ， ∵AC ⊥ON ， ∠OEC=90°，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°，A D=BC ， 又∵∠OCE=∠ACB ， ∴∠BAC=∠O=25°， 在Rt △ABC 中，AC=3， ∴BC=AC· ∴ADABCED A25°CBMDECAD11. 如图，过C 点作CD 垂直于AB 交BA 的延长线于点D .在Rt CDA △中，3018018012060AC CAD CAB =∠=-∠=︒-︒=︒，°.∴•=AC CD 31560sin 30sin =︒•=∠CAD ，︒•=∠•=60cos 30cos CAD AC AD =15.又在Rt CDB△中，22270BC BD BC CD ==，-，()227015365BD ∴=-=.651550AB BD AD ∴=-=-=，答：A B ，两个凉亭之间的距离为50m.12. （1）由⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 321，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3534b k ，所以3534+=x y （2）5(0)4C -，，5(0)3D ，． 在Rt △OCD 中，35=OD ，45=OC ， ∴OCD ∠tan 34==OC OD ．（3）取点A 关于原点的对称点(21)E ，， 则问题转化为求证︒=∠45BOE ． 由勾股定理可得，5=OE ，5=BE ，10=OB ，∵222BE OE OB +=， ∴△EOB 是等腰直角三角形． ∴︒=∠45BOE ． ∴135AOB ∠=°．BD CAO 1 1yE13.14. 解：（1）在Rt ACB △中， （2）在Rt ACB △中，31cos 62AC AB α=== ∴可以安全使用.15.. 解：在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP 米310tan 30105.7733MP米因为 1.5AB 米所以 1.5 5.87.27MN米16. 设山高BC =x ，则AB =12x ， 由tan 3012002BC x BDx==+，得1)400x=，解得1)16211x ==≈米17.解：（1）过点A 作AE CD ⊥于点E ，根据题意，得6030DBC DAE αβ∠=∠=∠=∠=°，°，36AE BC EC AB ===，米，设DE x =，则36DC DE EC x =+=+， 在Rt AED △中，tan tan 30DEDAE AE∠==°， AE BC AE ∴=∴==，，在Rt DCB △中，tan tan 60DC DBC BC ∠===°，3361854x x x DC ∴=+=∴=，，（米）． （2）BC AE ==，18x =，1818 1.73231.18BC ∴==⨯≈（米）．18. 解：如图，过B 点作BD⊥AC 于DD乙CBA 甲 E∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45° 设BD ＝x,在Rt△ABD 中，AD ＝x ⋅tan30°＝33x 在Rt△BDC 中,BD ＝DC ＝x BC ＝2x又AD ＝5×2＝10 ∴3103x x +=得5(31)x =- ∴25(31)5(62)BC =⋅-=-（海里）答：灯塔B 距C 处5(62)-海里19. 解：（1）在BCD Rt ∆中，︒=12sin BC CD 1.221.010=⨯≈（米）． （2）在BCD Rt ∆中，︒=12cos BC BD8.998.010=⨯≈（米）； 在ACD Rt ∆中，︒=5tan CD AD 2.123.330.09≈≈（米）， 23.339.813.5313.5AB AD BD =-≈-=≈（米）． 20解：连接BD ，过C 作CE BD ⊥于E ，10120BC DC ABC BCD ==∠=∠=，°， 123090ABD ∴∠=∠=∴∠=°，°．553CE BE ∴=∴=，．452103A AB BD BE ∠=∴===°，．.21. 解：方法一：过D 点作DF ⊥AB 于F 点 在Rt △DEF 中，设EF =x ，则DF =3x在Rt △ADF 中，tan 50°=303xx+30+x=3∴DF =3x≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的 方法二：过点D 作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中，EF =FD·tan 30°在Rt △AFD 中，AF =FD·tan 30°∵AE +EF =AF∴30+FDtan 30°=FD·tan 50°∴FD ≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的22. 解：由题意可知：AB ⊥BC∴在Rt △ABC 中, sin ∠ACB =AB AC ∴AC = ABsin ∠ACB = = ∴CD = AC +AD23. （1）证明：在矩形ABCD 中，ABE DFA ∴△≌△．（2）解：由（1）知ABE DFA △≌△ 在直角ADF △中，在直角DFE △中，10sin 210EF EDF DE ∴∠===。

锐角三角函数解答题大全100题一、解答题1．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：≈1.4）2．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．3．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．4．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛C 位于它的北偏东70︒方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B 处，测得小岛C 位于它的北偏东37︒方向.如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD 的长. （参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75︒≈，sin370.6︒≈，370.80cos ︒≈，tan370.75︒≈）5．如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．6．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A ，B 两点间的距离为90cm ．低杠上点C 到直线AB 的距离CE 的长为155cm ，高杠上点D 到直线AB 的距离DF 的长为234cm ，已知低杠的支架AC 与直线AB 的夹角∠CAE 为82.4°，高杠的支架BD 与直线AB 的夹角∠DBF 为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH 的长．（结果精确到1cm ，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）7．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD ．她在A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为42°，测得隧道底端B 处的俯角为30°（B ，C ，D 在同一条直线上），AB=10m ，隧道高6.5m （即BC=65m ），求标语牌CD 的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90≈1.73）8．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°（点B ，C ，E 在同一水平直线上）．已知AB ＝80m ，DE ＝10m ，求障碍物B ，C 两点间的距离．（结果保留根号）9．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=︒，在距A 点10米处有一建筑物HQ .为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角30BDC ∠=︒，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.1.414≈ 1.732≈）10．如图，BC 是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD 的顶端D 处有一探射灯，射出的边缘光线DA 和DB 与水平路面AB 所成的夹角∠DAN 和∠DBN 分别是37°和60°（图中的点A 、B 、C 、D 、M 、N 均在同一平面内，CM ∥AN ）． （1）求灯杆CD 的高度；（2）求AB 的长度（结果精确到0.1米）．（．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）11．某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A 处，测得河的南岸边点B 处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C 处，测得点B 在点C 的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65≈1.41）12．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i=1AB=10米，AE=15米．（i=1是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：3 1.414， 1.732）13．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．≈2.449，结果保留整数）14．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）15．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．16．如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）。

锐角三角函数应用题完美手册本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March锐角三角函数基础练习一、选择题。

1.90,5,4,sin Rt ABC C c a A ∆∠===在中，则的值为（ ）. A.35 B.45 C.34 D.432.1290,tan ,5ABC A ABC ∆∠=∆的周长是60cm,若C=则的面积是（ ）. A.230cm B.260cm C. 2120cm D. 2240cm3、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=54，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、64、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ）A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：2C 、1：1：3D 、1：1：226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ） A ．sinB=23 B ．cosB=23 C ．tanB=23 D ．tanB=328．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A．（，12） B ．（-，12） C ．（-，-12） D ．（-12，-329.sin AOB AOB ∠∠正方形网络中，如图1放置，则等于 ( ).C. 12D. 2 10、△如图，A ．B ．C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tanB ′的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan ∠ACD 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米13、如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为多少公分（ ）A ．B ．16+πC ．18D ．19二、填空题 1、ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA= ．2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．3．在△ABC中，若AC=3，则cosA=________．4．在△ABC中，AB=2，，∠B=30°，则∠BAC的度数是_____5、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是_____6、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5cm，则坡面AB的长是_____二、计算题︒+︒-︒-︒⋅︒|﹣2|﹣2sin30°++．3060456030sin cos cot tan tan（）0﹣（）﹣2+tan45°；四、解直角三角形1、如图，△ABC 中，cosB=，sinC=，AC=5，求△ABC 的面积2、如图，在▲ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠。

锐角三角函数及其应用一、选择题1.（2013年贵州贵阳，7，3分）如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（）．．．，代入求出即可．解答：∴t，，cosB=tanB=．2. （2013年黑龙江大庆，11，3分）计算：sin260°+cos60°﹣tan45°=．）﹣+．故答案为：．则sinB的值等于．，代入求出即可．=故答案为：．，cosB=tanB=．4. （2013年湖南湘潭，19，6分）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口60海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？×=30海里，×请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数）即可得出ACG=AFB=AEB=，可知﹣≈=30ACG=，≈，EB=≈∴﹣高度，如图，已知塔基AB的高为4m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC 方向走5m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°．（人的身高忽略不计）（1）求AC的距离；（结果保留根号）（2）求塔高AE．（结果保留整数）ACB=ADE=，==44AD=5+4，5+4sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB 是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．﹣时，方程的两根为，﹣，代入方程得：）×经检验﹣是方程，时，两根为，代入方程得：）×经检验8. （2014浙江丽水）5. 如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是3:1（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），坝高BC=3m ，则坡面AB 的长度是A. 9mB. 6mC. 36mD. 33m1.（2013鄂州，7,3分）如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2，则tanB=（ ）B∴=2014浙江丽水==．二、填空题 2．（2013湖北武汉，11,3分）计算 45cos ＝ ．答案：22解析：直接由特殊角的余弦值，得到。

锐角三角函数综合题型一、单选题（共8题；共16分）1.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC= BD，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值（）A. B. C. D.2.（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A. x﹣y2=3B. 2x﹣y2=9C. 3x﹣y2=15D. 4x﹣y2=213.如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为（）A. B. 2 C. 3 D. 44.（2017•广元）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD= ；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（）A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④5.（2017•佳木斯）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2 ﹣2．A. 2B. 3C. 4D. 56.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE 分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（）A. B. C. D.7.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6 ；③sin∠AOB= ；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A. ①③B. ①②③④C. ②③④D. ①③④8.如图，正方形ABCD中，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CD上，则tan∠DEH=( )A. B. C. D.二、填空题（共3题；共3分）9.（2016•上海）如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为________．10.（2017•绵阳）如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM= AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是，则的值是________．11.（2017•宁波）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则cos∠EFG的值为________．三、综合题（共9题；共107分）12.（2017•温州）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．13.（2017•包头）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB．（1）求证：AE•EB=CE•ED；（2）若⊙O的半径为3，OE=2BE，= ，求tan∠OBC的值及DP的长．14.（2017•绥化）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．15.如图，AB是的直径，点D在上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作的切线DE交BC于点E。

第二十八章 锐角三角函数28．1 锐角三角函数第1课时 正弦01基础题知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac.1．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sin A 的值为(D )A.512B.125 C.1213D.5132．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则sin A ＝(A )A.35B.45C.53D.343．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么sin α的值是(A )A.35B.45C.34D.43第3题图 第4题图4. 如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC 的每一个顶点都在网格的交点处，则sin A ＝35.5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值是34.6．根据图中数据，求sin C 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝34， ∴sinC ＝AB BC ＝53434，sinB ＝AC BC ＝33434.7．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，求sin A 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，a∶c ＝2∶3，设a ＝2k ，c ＝3k.(k>0)∴b ＝c 2－a 2＝5k. ∴sinA ＝a c ＝2k 3k ＝23，sinB ＝b c ＝5k 3k ＝53.知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长8．(来宾中考)在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，则AB 边的长是9.9．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin ∠ABC＝0.8，则BC ＝6.易错点 对正弦的概念理解不清10．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值(A )A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定02中档题11．已知Rt △ABC∽Rt △A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，且AB ＝2A′B′，则sin A 与sin A′的关系为(B )A ．sin A ＝2sin A ′ B．sin A ＝sin A ′ C ．2sin A ＝sin A ′ D．不确定12．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为(C )A.12B.22C.32D ．1 13．在△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝3a ，则sin A 的值是(A )A.13B.233 C ．3 D ．以上都不对14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D.若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为(A )A.53 B.255 C.52 D.23第14题图 第16题图15．已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0的根，则sin A ＝12.16．(某某中考)如图，⊙O 的直径CD ＝10 cm ，且AB⊥CD，垂足为P ，AB ＝8 cm ，则sin ∠OAP＝35.17．如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧OC 上一点，求∠OBC 的正弦值．解：连接OA 并延长交⊙A 于点D ，连接CD.∴∠OBC ＝∠ODC， ∠OCD ＝90°.∴sin∠OBC ＝sin∠ODC ＝OC OD ＝510＝12.03综合题18．(某某中考)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin 2A 1＋sin 2B 1＝1；sin 2A 2＋sin 2B 2＝1；sin 2A 3＋sin 2B 3＝1.(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝1；(2)如图4，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sin A ＝513，求sin B .解：(2)∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝a 2＋b 2c2.∵∠C ＝90°， ∴a 2＋b 2＝c 2. ∴sin 2A ＋sin 2B ＝1.(3)∵sinA ＝513，sin 2A ＋sin 2B ＝1，且sinB ＞0，∴sinB ＝1－（513）2＝1213.第2课时 锐角三角函数01基础题 知识点1 余弦如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc.1．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是(A )A.35B.45C.34D.432．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，cos A ＝35，AC ＝6 cm ，那么BC 等于(A )A ．8 cm B.245 cmC.185 cm D.65cm 3．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，求cos A 和cos B 的值．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝ 5.cosA ＝AC AB ＝25＝255，cosB ＝BC AB ＝15＝55.知识点2 正切如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b.4．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是(A )A.34B.43C.35D.455．在4×4的正方形的网格中画出了如图所示的格点△ABC，则tan ∠ABC 的值为(D )A.31313 B.21313 C.32 D.23第5题图 第6题图6．(某某中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则tan A 的值是12.7．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm ，则底角的正切值为115.知识点3 锐角三角函数∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数．8．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝17.第8题图 第9题图9．(崇左中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是(A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝12510．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值． 解：(1)由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.(2)sinA ＝BC AB ＝2425，cosA ＝AC AB ＝725，tanA ＝BC AC ＝247.02中档题11．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B ＝(C )A.512 B.125C.513 D.121312．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是(B )A.45B.35C.34D.4313．将△AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点A 的坐标为(2，1)，则tan ∠A′OB′的值为(A )A.12B ．2 C.55 D.255第13题图 第14题图14．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是34．15．(某某中考)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 交于点E ，连接AC ，B D.若AC ＝2，则cos D ＝13.16．(某某中考)如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．解：在Rt△ACD 中，CD ＝6，tanA ＝32，∴CD AD ＝6AD ＝32，即AD ＝4. 又AB ＝12，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt△BCD 中，BC ＝CD 2＋BD 2＝10.∴sinB ＝CD BC ＝610＝35，cosB ＝BD BC ＝810＝45.∴sinB ＋cosB ＝35＋45＝75.17．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB BC ＝23，求tan ∠DCF 的值．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵AB BC ＝23，且由折叠知CF ＝BC ， ∴CD CF ＝23.设CD ＝2x ，CF ＝3x (x>0)，∴DF ＝CF 2－CD 2＝5x. ∴tan∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52.03综合题18．如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作c tan α，即c tan α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)c tan 30°＝3；(2)如图，已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求c tan A 的值．解：∵tanA ＝34，且tanA ＝BC AC，∴设BC ＝3x ，AC ＝4x. ∴ctanA ＝AC BC ＝4x 3x ＝43.第3课时 特殊角的三角函数值01基础题知识点1 特殊角的三角函数值填写下表：30° 45° 60° sin α 12 22 32 cosα 32 22 12 tanα33131．已知∠A＝30°，下列判断正确的是(A )A ．sin A ＝12B ．cos A ＝12C ．tan A ＝12D ．cot A ＝122．计算：cos 230°＝(D )A.12B.14C.32D.34 3．(某某中考)计算：cos 245°＋sin 245°＝(B )A.12B ．1 C.14 D.224．计算：tan 45°＋2cos 45°＝2. 5．计算：(1)sin 30°＋cos 45°； 解：原式＝12＋22＝1＋22.(2)cos30°·tan30°－tan 245°； 解：原式＝32×33－12＝12－1＝－12. (3)22sin45°＋sin60°·cos45°. 解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.知识点2 由三角函数值求特殊角6．(某某中考)在△ABC 中，若|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，则∠C 的度数是(D )A ．30° B．45° C．60° D．90° 7．如果在△ABC 中，sin A ＝cosB ＝22，那么下列最确切的结论是(C ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形8．已知α为锐角，且cos (90°－α)＝12，则α＝30°.9．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝23，则∠A＝60°.知识点3 用计算器计算三角函数值10．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是(B )A ．0.90B ．0.72C ．0.6911．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是(D )A ．5÷tan26°＝B ．5÷sin26°＝C ．5×cos26°＝D ．5×tan26°＝12．利用计算器求∠A ＝18°36′的三个锐角三角函数值．解：sinA ＝sin18°36′≈0.319 0，cosA ＝cos18°36′≈0.947 8， tanA ＝tan18°36′≈0.336 5.13．已知下列正(余)弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°)．(1)sin α＝0.822 1； 解：α≈55.3°.(2)cos β＝0.843 4. 解：β≈32.5°.02中档题14．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是(B )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(－32，12) D．(－12，－32)15．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D)A．40° B．30° C．20° D．10°16．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为(D)A.12B.33C.22D.3217．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为(C) A．(2，1) B．(1，2)C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)第17题图第18题图18．(某某中考)如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接C B.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝8.19．计算：(1)(某某中考改编)2 0180＋(－1)2－2tan45°＋4；解：原式＝1＋1－2×1＋2＝2.(2)(－1)－2＋|2－3|＋(π－3.14)0－tan60°＋8.解：原式＝1＋(3－2)＋1－3＋2 2＝2＋ 2.20．若tan A 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．解：解方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0， 得x 1＝1，x 2＝ 3.由题意知tanA ＝1或tanA ＝ 3.∴∠A ＝45°或60°.21．(原创题)如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1.(1)若BC ＝2，求△ABC 三个内角的度数； (2)若BC ＝3，求△ABC 三个内角的度数．解：(1)∵AB ＝AC ＝1，BC ＝2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(2)过点A 作AD⊥BC，垂足为D.∵AB ＝AC ＝1，AD⊥BC， ∴BD ＝12BC ＝32.∴cosB ＝BD AB ＝321＝32.∴∠B ＝30°.∴∠C ＝30°，∠BAC ＝120°.03综合题22．(某某中考)一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β；sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β.例如：sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin 15°的值是6－24. 解直角三角形及其应用 28． 解直角三角形01基础题知识点1 已知两边解直角三角形如图，已知两边：(1)已知a ，b ，则c ＝a 2＋b 2，sin A ＝cos B ＝a c，sin B ＝cos A ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a；(2)已知a ，c ，则b ＝c 2－a 2，sin A ＝cos B ＝a c ，sin B ＝cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a. 1．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C )A ．计算tan A 的值求出B ．计算sin A 的值求出C ．计算cos A 的值求出D ．先根据sin B 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝4，b ＝3，则cos A 的值是(A )A.35B.45C.43D.543．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A＝45°，∠B ＝45°，b ＝20. 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，已知BC ＝26，AC ＝62，解此直角三角形．解：∵tanA ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 6.知识点2 已知一边一锐角解直角三角形如图，已知一边一角：(1)已知a ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，c ＝a sinA ，b ＝a tanA； (2)已知c ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，a ＝c·sinA .5．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB ＝8，则BC 的长是(D )A.433B ．4C ．8 3D ．4 36．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为(C )A ．12B ．18C ．24D ．487．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC ＝32，则AC ＝24.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)8．(教材9下P 73例2变式)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：根据题意，∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. 根据正弦定义，sinB ＝AC AB，则AB ＝AC sinB ＝4sin55°≈4.9.根据正切的定义，tanB ＝AC BC，则BC ＝AC tanB ＝4sin55°≈2.8.所以△ABC 的另一个锐角度数为35°，另一条直角边长为2.8，斜边长为4.9. 易错点 忽视钝角三角形而致错9．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2，∠B＝30°，则BC 的长为2或4.02中档题10. 如图，在△AB C 中，∠C＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC＝35，则BC的长是(A )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm11．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos B ＝22，则BC 边长为(D )A ．7B ．8C ．8或17D ．7或1712.(某某中考)如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝5，sin A ＝23，则tan B ＝43.第12题图 第13题图13．(某某中考)如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB 于点E ，cos A ＝35，BE ＝4，则tan ∠DBE 的值是2.14．(某某中考)如图，在△ABC 中，BD⊥AC，AB ＝6，AC ＝53，∠A＝30°.(1)求BD 和AD 的长； (2)求tan C 的值．解：(1)∵BD⊥AC，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.在Rt△ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝12AB ＝3.∴AD ＝3BD ＝3 3.(2)CD ＝AC －AD ＝53－33＝23， 在Rt△BDC 中，tanC ＝BD CD ＝323＝32.15．(某某中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC 的长； (2)若sin A ＝45，求AD 的长．解：(1)∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝6，tanA ＝BE AB，∴BE ＝6·tan60°＝6 3.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，∠E ＝90°－60°＝30°， CD ＝4， ∴CE ＝2CD ＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2) ∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，sinA ＝45，∴BE AE ＝45. 设BE ＝4x ，则AE ＝5x (x ＞0)．∵AE 2－BE 2＝AB 2，∴(5x )2－(4x )2＝62.∴x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，CD ＝4，tanE ＝CD ED ，而在Rt△ABE 中，tanE ＝AB BE ＝68＝34，∴CD ED ＝34. ∴ED ＝43CD ＝163.∴AD ＝AE －ED ＝143.03综合题16. 如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sin B ＝22，tan A ＝12，AC ＝3 5. (1)求∠B 的度数与AB 的长； (2)求tan ∠CDB 的值．解：(1)作CE⊥AB 于E ，设CE ＝x ， 在Rt△ACE 中，∵tanA ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x.∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x. ∴5x ＝35，解得x ＝3. ∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt△BCE 中，∵sinB ＝22， ∴∠B ＝45°.∴△BCE 为等腰直角三角形． ∴BE ＝CE ＝3. ∴AB ＝AE ＋BE ＝9.(2)∵CD 是边AB 上的中线，∴BD ＝12AB ＝4.5.∴DE ＝BD －BE ＝－3＝1.5. ∴tan∠CDE ＝CEDE＝错误!＝2，即tan∠CDB 的值为2.28.2.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题01基础题知识点1 利用解直角三角形解决简单问题1. 如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D 为底边中点)的长是(C )A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米第1题图 第2题图2．(教材9下P 74例3变式)如图，某航天飞船在地球表面P 点的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP＝α，地球半径为R ，则航天飞船距离地球表面最近距离AP ＝Rsinα－R. 3．(某某中考)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．如图，在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB ＝30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)解：过点C 作CD⊥AB，垂足为D.∵∠CAB ＝30°， ∴AD ＝3CD. ∵∠CBA ＝60°，∴DB ＝33CD. ∵AB ＝AD ＋DB ＝30，∴3CD ＋33CD ＝30. ∴CD ＝1523＝152×1.73≈13(米)．答：河的宽度约为13米．知识点2 解与视角有关的实际问题4．(教材9下P 75例4变式)(某某中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为(A )A ．160 3 mB ．120 3 mC ．300 mD ．160 2 m5．(某某中考)如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB⊥BD，CD⊥BD，AB ＝15 m ，CD ＝20 m ，AB 和CD 之间有一景观池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°(点B ，E ，D 在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离BD(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：由题意，得∠AEB ＝42°，∠DEC ＝45°.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°. ∵AB ＝15，∠AEB ＝42°， tan∠AEB ＝ABBE ，∴BE ＝15tan42°＝503.在Rt△DEC 中，∠CDE ＝90°，∠DEC ＝45°，CD ＝20.∴ED ＝CD ＝20.∴BD ＝BE ＋ED ＝503＋(m )．答：两幢建筑物之间的距离BD 约为36.7 m.易错点 混淆三点函数的数量关系而导致错误6．(某某中考)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为(C )A.30tanα米 B ．30sinα米 C ．30tanα米 D ．30cosα米 02中档题7. (某某中考)某某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°)．解：延长AD交BC所在直线于点E.由题意，得BC＝17米，AE＝15米，∠CAE＝60°，∠AEB＝90°，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CE AE ，∴CE＝AE·tan60°＝153米．在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAE＝17＋15315，∴∠BAE≈71°.答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°.8．(某某中考)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)，建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)，无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)解：(1)由题意知∠ABP＝30°，AP＝97，∴AB＝APtan∠ABP ＝97tan30°＝9733＝973≈168.答：主桥AB的长度约为168 m.(2)∵∠ABP＝30°，AP＝97，∴PB＝2PA＝194.又∵∠DBC＝∠DBA＝90°，∠PB A＝30°，∴∠DBP＝∠DPB＝60°.∴△PBD是等边三角形．∴DB＝PB＝194.在Rt△BCD中，∵∠C＝80°36′，∴BC＝DBtanC ＝194tan80°36′≈32.答：引桥BC的长约为32 m.03综合题9．(六盘水中考)为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动．如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得数据如下：①小明的身高DC＝1.5米；②小明的影长CE＝1.7米；③小明的脚到旗杆底部的距离BC＝9米；④旗杆的影长BF＝7.6米；⑤从D点看A点的仰角为30°.请你选择需要的数据，求出旗杆的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)情况一：选用①，②，④.∵AB⊥FC，CD⊥FC，∴∠ABF＝∠DCE＝90°.又∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠DEC.则△ABF∽△DCE.∴ABDC＝FBEC.又∵DC ＝1.5 m ，FB ＝7.6 m ，EC ＝1.7 m ，∴AB≈6.7 m.即旗杆高度约为6.7 m. 情况二： 选用①，③，⑤. 过D 点作DG⊥AB 于G 点， ∵AB⊥FC，DC⊥FC，∴四边形BCDG 为矩形． ∴CD ＝BG ＝1.5 m ，DG ＝BC ＝9 m.在Rt△AGD 中，∠ADG ＝30°，tan30°＝AG DG，∴AG ＝3 3 m.又AB ＝AG ＋GB ，∴AB ＝33＋(m)．∴旗杆高度约为6.7 m.第2课时 与方位角、棱角有关的解直角三角形应用问题01基础题知识点1 解与方位角有关的实际问题1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是(A )A ．250米B ．2503米 C.50033米 D ．5002米第1题图 第2题图2．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．3．(某某中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？(精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73)解：过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，AP ＝ 200 m，∠ACP ＝90°，∠PAC ＝60°.∴PC＝ 200×sin60°＝200 ×32＝1003(m)．∵在Rt△PBC中，sin37°＝PCPB ，∴PB＝PCsin37°＝错误!≈288(m)．答：小亮与妈妈相距约288米．知识点2解与坡角有关的实际问题4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为(A) A．12米 B．43米C．53米 D．63米第4题图第5题图5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是35米．6．(教材9下P77练习T2变式)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形．由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BEAE＝错误!，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝3CF＝203米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203(米)．答：坝底AD的长度约为米．02中档题7．(某某中考)如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(3≈1.732)解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．理由如下：由题意，得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°.∴∠CAB＝∠ABD.∴BC ＝AC ＝200海里．在Rt△ACD 中，设CD ＝x ，则AC ＝2x ，AD ＝AC 2－CD 2＝（2x ）2－x 2＝3x. 在Rt△ABD 中，AB ＝2AD ＝23x ，BD ＝AB 2－AD 2＝（23x ）2－（3x ）2＝3x.又∵BD ＝BC ＋CD ，∴3x ＝200＋x ，解得x ＝100.∴AD ＝3x ＝1003≈173.2.海里＞170海里，且D 处距离A 处最近，∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．8．(某某中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E 点步行到达“蘑菇石”A 点，“蘑菇石”A 点到水平面BC 的垂直距离为1 790 m ．如图，DE∥BC，BD ＝1 700 m ，∠DBC＝80°，求斜坡AE 的长度．(结果精确到0.1 m )解：过点D 作DF⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M. 由题意，得EM ⊥AC，DF ＝CM ，∠AEM ＝29°， 在Rt△DFB 中，sin80°＝DFBD，∴DF ＝BDsin80°.AM ＝AC －CM ＝1 790－1 700sin80°.在Rt△AME 中，sin29°＝AM AE，∴AE ＝AM sin29°＝1 790－1 700sin80°sin29°(m )，答：斜坡的长度约为238.9 m. 03综合题9．(黔东南中考)黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学测量学校附近一电线杆的高，如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD ＝4 m ，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m ，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)解：延长AD交BC的延长线于点G，过点D作DH⊥BG，垂足为点H，则∠G＝30°.∵在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，∴C H＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2.DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2 3.又∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝DHtanG ＝23tan30°＝6.∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8.设AB＝x m.又∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x.∴BG＝ABtanG ＝xtan30°＝3x.∵BG－BC＝CG，∴3x－x＝8.解得x≈11 m.答：电线杆的高(AB)约为11 m.小专题17解直角三角形的实际应用1．(某某月考)如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B)处6 m的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5 m．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，3≈1.732)解：过点E作EC⊥AB于C.∵CE＝BD＝6 m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE·tan60°＝6×3＝63(m)．∴AB＝AC＋DE＝＋＝(m)．答：旗杆AB的高度约为11.9 m.2．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我国海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号)．解：(1)如图．(2)AB＝30×＝15(海里)．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝BC AB ，∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30° ＝15×33＝53(海里)．答：钓鱼岛C 到B 处距离为53海里．3．(某某中考)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道A B.如图，在山外一点C 测得BC 距离为200 m ，∠CAB ＝54°，∠CBA ＝30°，求隧道AB 的长．(参考数据： sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，结果精确到个位)解：过点C 作CD⊥AB 于D ，在Rt△BCD 中，∵∠B ＝30°，BC ＝200，∴CD ＝12BC ＝100，BD ＝1003≈173.在Rt△ACD 中，∵tan∠CAB ＝CD AD ，∴AD ＝100tan54°≈72.∴AB ＝AD ＋BD≈245.答：隧道AB 的长约为245米．4．(黔东南中考)如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，2，3≈1.73，4≈2.24)解：假设点D 移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE⊥AC 于点E ，作D′E′⊥AC 于点E′，∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°， ∴DE ＝CD·sin60°＝12×32＝63(米)， CE ＝CD·cos60°＝12×12＝6(米)．易知：四边形DEE′D′是矩形．∴DE ＝D′E′＝63米． ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′tan39°≈错误!≈12.8，∴EE′＝CE′－CE ＝－6＝(米)． ∴DD′＝EE′＝米．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动米才能保证教学楼的安全．5．(某某中考)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC ＝4米，AB ＝6米，中间平台宽度DE ＝1米，EN ，DM ，CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N ，M ，B ，∠EAB＝31°，DF⊥BC 于F ，∠CDF＝45°.求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)解：设BM ＝x 米．∵∠CDF ＝45°，∠CFD ＝90°， ∴CF ＝DF ＝x 米．∴BF ＝BC －CF ＝(4－x )米． ∴EN ＝DM ＝BF ＝(4－x )米．∵AB ＝6米，DE ＝MN ＝1米，BM ＝x 米， ∴AN ＝AB －MN －BM ＝(5－x )米．在△AEN 中，∠ANE ＝90°，∠EAN ＝31°，∴EN ＝AN·tan31°，即4－x ＝(5－x )． ∴x ＝2.5.答：DM 和BC 的水平距离BM 的长度约为米．6．(某某中考)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB 的长为3 m ，静止时，踏板到地面距离BD 的长为0.6 m (踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m ，成人的“安全高度”为2 m ．(计算结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)(1)当摆绳OA 与OB 成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h ＝m ； (2)某成人在玩秋千时，摆绳OC 与OB 的最大夹角为55°，问此人是否安全？解：过C 点作CM⊥DF，CE⊥OD，垂足分别为M ，E ，∵在Rt△CEO 中，∠CEO ＝90°， ∠COE ＝55°， ∴cos∠COE ＝OEOC.∴OE ＝OC·cos∠COE ＝3·cos55°≈1.7 m. ∴ED ＝3＋－＝(m )．∴CM ＝ED ＝1.9 m ＜2 m.∴此人是安全的．章末复习(八) 锐角三角函数01分点突破知识点1 求锐角三角函数值1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是(C )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝AC BC C ．sin B ＝AD ACD ．sin B ＝CD AC第1题图第3题图2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是(D )A.13B ．3 C.24D ．2 2 3．如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ，若BE ＝9，BC ＝12，则cos C ＝23．知识点2 特殊角的三角函数值(某某2016T19、2015T19、2014T19) 4．在△ABC 中，若(3tan A －3)2＋|2cos B －3|＝0，则△ABC 为(A )A ．直角三角形B ．含60°角的任意三角形C ．等边三角形D ．顶角为钝角的等腰三角形5．(某某中考改编)计算：(π－2 016)0＋|1－2|＋2－1－2sin 45°＝12．知识点3 解直角三角形及其应用(某某2017T22、2016T21、2015T21、2014T21、2013T21) 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则tan A 2＝33．7．如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B 处安置高为1.5米的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点A 作AH⊥CD，垂足为H. 则AB ＝DH ＝米，BD ＝AH ＝6米．在Rt△ACH 中，∵∠CAH ＝30°，tan∠CAH ＝CH AH，∴CH ＝AH·tan∠CAH ＝6·tan30°＝23(米)． ∴CD ＝CH ＋HD ＝(23＋)米．在Rt△CDE 中，∵∠CED ＝60°，sin∠CED ＝CD CE，∴CE ＝CDsin60°＝4＋3(米)．答：拉线CE 的长约为米．02中考题型演练8．(某某中考)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是(A )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米第8题图 第9题图9．(某某中考) △ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是(C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝110.(某某中考)如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为33．第10题图 第12题图11．(某某中考) △ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B＝30°，则△ABC 的面积是213或153.12．(某某中考)如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB 的高度为1002米．(结果保留根号)13．(某某中考)如图，一楼房AB 后有一座假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点E 作EF⊥BC 的延长线于点F ，EH⊥AB 于点H ， 在Rt△CEF 中，∵i ＝EFCF＝13＝tan∠ECF， ∴∠ECF ＝30°.∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米．∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米．在Rt△AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米． ∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米．14．(某某中考)今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”某某行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为752海里．(1)求B点到直线CA的距离；(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)解：(1)过点B作BH⊥CA，交CA的延长线于点H.∵∠MBC＝60°.∴∠CBA＝30°.∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°.∴∠C＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°.∴BH＝BC·sin∠BCA＝150×12＝75海里．答：B点到直线CA的距离是75海里．(2)∵在Rt△BDH中，BD＝752海里，BH＝75海里，∴DH＝BD2－BH2＝75海里，∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH中，tan∠BAH＝BHAH＝3，∴AH＝253海里．∴AD＝DH－AH＝(75－253)海里．答：执法船从A到D航行了(75－253)海里．。

初中三角函数练习及解答1.锐角三角函数1.比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot 65︒与cos40︒；（3）cos1︒，tan 46︒，sin88︒和cot 38︒．2.化简求值：（1）tan1tan 2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒ ；（2sin83︒；（3）2222tan sin tan sin αααα⋅-；（4cos 79sin 79-︒-︒；3.若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．4.下列四个数中哪个最大：A ．tan 48cot 48︒+︒B ．sin 48cos48︒+︒C ．tan 48cos48︒+︒D ．cot 48sin 48︒+︒5.设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ．6.已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值．7．已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值．8．设A 、B 是一个直角三角形的两个锐角，满足2sin sin 2A B -=．求sin A 及sin B 的值．9．已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．10．已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ．11．若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根；（1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？12．已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．13．不查表，求15︒的四种三角函数值．14．求22.5︒角的正切值（不查表，不借助计算器）．15．求sin18︒的值．16．若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1．2解直角三角形1．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，且CD =，DB =求ABC △的三边长．2．在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．4．已知ABC △是非等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==，连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值．5．设有一张矩形纸片ABCD （如图），3AB =，4BC =．现将纸片折叠，使C 点与A 点重合，试求折痕EF 的长．6．已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30︒，面积为254，求证：此三角形为等腰三角形．7．在ABC △中，90C ∠=︒，其周长为2+，且已知斜边上的中线长为1．如果BC AC >，求tan A的值．8．已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠，C ∠的对边，且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2 424x c c x ++=+的两个根．（1）判断ABC △的形状；（2）若3tan 4A =求a 、b 、c ．9．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12ABC S m =△，且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时，求ABC △中最小内角的正切值．10．如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒，30ABF ∠=︒，45BFE ∠=︒，60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值．11．如图所示．在锐角ABC △中，4sin 5B =，tan 2C =，且10ABC S =△．求BC ．12．如图所示．在ACD △中，45A ∠=︒，5CB =，7CD =，3BD =．求CBD ∠及AC ．13．如图，已知ABC △中，1AB =，D 是AB 的中点，90DCA ∠=︒，45DCB ∠=︒．求BC 的长．14．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC =．15．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边的中点，AD 垂直于BM 且交BC 于D ．求证：AMB CMD ∠=∠．16．如图（a ），正方形ABCD 的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ，求DMN △的面积．17．已知a 、b 、c 是ABC △三边的长，其中b a c >=，且方程20ax c +=两根的差的绝对值等．求ABC △中最大角的度数．18．如图，AB 是圆的直径，弦CD AB ∥，AC 与BD 相交于E ，已知AED θ∠=，试求:CDE ABE S S △△．19．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD与地面成45︒，60A ∠=︒，4m CD =，(m BC =-，求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．20．如图，某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、A 处测得S 在北偏东60︒，2小时后在B 处测得S 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．21．如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？1.锐角三角函数（详细解答）1.比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot 65︒与cos40︒；（3）cos1︒，tan 46︒，sin88︒和cot 38︒．解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70︒化sin 20︒，再与sin19︒比大小．因为()cos70cos 9020sin 20︒=︒-︒=︒，而sin19sin 20︒<︒，所以sin19cos70︒<︒．（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们的大小．32cot 60cos 4532︒=<︒=，再将cot 65︒，cos40︒分别与cot 60︒，cos45︒比大小．因为cot 65cot 60︒<︒=，cos 40cos 45︒>︒>，所以cot 60cos45︒<︒，所以cot 65cos40︒<︒．（3）tan 451︒=，显然cos1︒，sin88︒均小于1，而tan 46︒，cot 38︒均大于1．再分别比较cos1︒与sin88︒，以及tan 46︒与cot 38︒的大小即可．因为()cos38cot 9052tan52︒=︒-︒=︒，所以tan52tan 46tan 451︒>︒>︒=．因为()cos1cos 9089sin89︒=︒-︒=︒，所以sin88sin891︒<︒<，所以cot 38tan 46cos1sin88︒>︒>︒>︒．评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30︒，45︒，60︒的三角函数值．2.化简求值：（1）tan1tan 2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒ ；（2sin83︒；（3）2222tan sin tan sin αααα⋅-；（4cos 79sin 79-︒-︒；解析（1）原式=tan1tan 2tan3tan 44tan 45cot 44cot 43cot 3cot 2cot1︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒ ()()()tan1cot1tan 2cot 2tan 44cot 44tan 45=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒ 1111=⋅⋅⋅= ．（2）原式1cos7cos71cos7=︒=⋅︒=︒．（3）原式()22442242222sin sin sin sin cos 1sin sin sin 1cos sin cos ααααααααααα⋅====--．（4）原式sin11cos11sin11cos11sin11cos110-︒-︒=︒-︒-︒-︒=．3.若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．原式2222sin cos sin sin cos sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααααααααα--==+++2222tan tan 336tan 13tan 313319αααα--===-++++⨯．4.下列四个数中哪个最大：A ．tan 48cot 48︒+︒B ．sin 48cos48︒+︒C ．tan 48cos48︒+︒D ．cot 48sin 48︒+︒解析显然0sin 481<︒<，0cos481<︒<0<cos48°<1．因此有：sin 48sin 48tan 48cos 48︒︒<=︒︒，cos 48cos 48cot 48sin 48︒︒<=︒︒所以A 最大．5.设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ．解析我们将sin 3cos x x =代入22sin cos 1x x +=，得到210cos 1x =，并且x 是锐角，因此cos x=所以sin x =．因此3sin cos 10x x =．6.已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值．解析由sin cos αα+=两边平方得()22sin cos αα+=．又22sin cos 1αα+=，所以12sin cos 2αα+=，得1sin cos 2αα=．7．已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值．解析由根与系数的关系知1sin cos 3αα=．则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-=．8．设A 、B 是一个直角三角形的两个锐角，满足2sin sin 2A B -=．求sin A 及sin B 的值．解析由于90A B +=︒，故由互余关系得()sin sin 90cos B A A =︒-=．因此条件即为sin cos A A -=，①将上式平方，得221sin cos 2sin cos 2A A A A +-=，由正、余弦的平方关系，即有12sin cos 2A A =，所以()2223sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2A A A A A A A A +=++=+=，因sin A 、cos A 均为正数，故sin cos 0A A +>．因此由上式得sin cos A A +=，②由①、②得sin A =，cos A =sin B =9．已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．解析设方程的两个实根1x 、2x 分别是直角三角形ABC 的锐角A 、B 的正弦．则()22222212sin sin sin cos 190x x A B A A A B +=+=+=+=︒，又122112m x x m -+=+，12122x x m =+，所以()2222111212211242122m x x x x x x m m -⎛⎫+=+-=-= ⎪++⎝⎭．化简得224230m m -+=，解得1m =或23．检验，当1m =时，()()22114820m m =--+<△；当23m =时，()()22114820m m =--+△≥．所以23m =．评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和22sin cos 1αα+=列方程求解．要注意最后检验方程有无实数根．10．已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ．解析根据韦达定理，有12125 , 4.4x x k x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有22121x x +=．于是有()2222121212512244k x x x x x x ⎛⎫=+=+-=--⨯ ⎪⎝⎭．解得98k =．11．若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根；（1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？解析（1）设A 、B 是某个直角三角形两个锐角，sin A 、sin B 是方程20x px q ++=的两个根，则有240p q =-△≥．①由韦达定理，sin sin A B p +=-,sin sin A B q =．又sin 0A >，sin 0B >，于是0p <，0q >．由于()sin sin 90cos B A A =︒-=．所以sin cos A A p +=-，sin cos A A q =，所以()()22sin cos 1sin cos 12p A A A A q -=+=+=+，即221p q -=．由①得21240q p q -=-≥，则12q ≤．故所求条件是0p <，102p <≤，221p q -=．②（2）设条件②成立，则24120p q q -=-≥，故方程有两个实根：α==，β==．由②知p -=p <=-，所以0p p <--+，故0βα>≥．又()2222221p q αβαβαβ+=+-=-=，故01αβ<<≤．12．已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．解析设题中所述的两个锐角为A 及B ，由题设得()241160 , 1cos cos , 2cos cos .4m m m A B m A B ⎧=+-⎪⎪+⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩△≥因为cos sin B A =，故()2, 1cos sin , 2cos sin , 410m A A m A m m A ++==⎧=-⇒⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩可△≥取任意实数①②①式两边平方，并利用恒等式22sin cos 1A A +=，得()()221cos sin 12sin cos 4m A A A A ++=+=．再由②得()21124m m ++=，解得m =．由cos 0A >，sin 0A >及②知0m >．所以m =．13．不查表，求15︒的四种三角函数值．解析30︒、45︒、60︒这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15︒角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．如图所示．在ABC △中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 到D ，使BD BA =，则1152D BAD ABC ∠=∠=∠=︒．设1AC =，则2AB =，3BC =2BD =，所以 23CD CB BD =+=+所以()()())2222123843242323123162AD AC CD =++++++=+=+．所以162sin15462AC AD -︒===+，2362cos15462CD AD ++︒===+1tan152323AC CD ︒===-+cot1523CDAC︒==．评注将15︒角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30︒角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75︒角的四种三角函数值．14．求22.5︒角的正切值（不查表，不借助计算器）．解析4522.52︒︒=，所以设法构造一个含22.5︒角的直角三角形，用定义求值．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，45B ∠=︒，延长CB 到D ，使BD BA =，则122.52D B ∠=∠=︒．设AC b =，有222AB b b b =+=，()21DC DB BC b =+=+．故()tan 22.52121ACDCb︒==+．15．求sin18︒的值．解析构造一个顶角A 为36︒的等腰ABC △，AB AC =，如图，作内角平分线则36ABD DBC ∠=∠=︒，设1AC =，BC x =．由于36DBA DAB ∠=∠=︒，72BDC BCD ∠=∠=︒，故CB BD DA x ===，而CAB △∽CBD △（36CAB CBD ∠=∠=︒），故AC BC BC DC =，故11xx x=-，有512x -=（舍去512-）．再作AH BC ⊥于H ，则18CAH ∠=︒，514CH -=．所以1sin184-︒=．评注本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形，利用它可以求出半径为R 的圆内接正十边形的边长．16．若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1．解析由221x y +=，22sin cos 1αα+=，得()()2222sin cos 1x y αα++=，即22222222sin cos cos sin 1x y x y αααα+++=，加一项减一项，得22222222sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin 1x xy y x xy y αααααααα+++-+=．即()()2sin cos cos sin 1x y x y αααα2++-=，因为()2cos sin 0x y αα-≥，所以()2sin cos 1x y αα+≤，故sin cos 1x y αα+≤．2解直角三角形（详细解答）1．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，且CD =，DB =求ABC △的三边长．解析由角平分线想到对称性，考虑过D 作DE AB ⊥，交AB 于E ，则由90C ∠=︒得CD DE ==．在直角三角形BDE 中，1sin 2DE B DB ==，则60B ∠=︒，所以3tan3AC BC B ==+⋅=，2sin ACAB AC B===，BC CD DB =+=．故ABC △的三边长分别为，．2．在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．解析作DF AC ⊥于F ，EG AC ⊥于G ；DP BC ⊥于P ，EQ BC ⊥于Q ．令BP PQ QC a ===，AG GF FC b ===．则2DF a =，EG a =．在Rt CDF △和Rt CEG △中，由勾股定理，得()2222sin a b x +=，及()2222cos a b x +=，两式相加得()2251a b +=，2215a b +=．所以35AB BD ===．3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．解析已知Rt ABH △中，10AB =，要求BH ，可求出BAH ∠的正弦值，而BAH CAD ∠=∠，因而可先求出DC 的长．作DE AB ⊥于E ，有6AE AC ==，ED CD =．设3DC k =，由三角形内角平分线性质有106BD DC =，则5BD k =．Rt BDE △中，222DE BE BD +=，即()()()22231065k k +-=，得1k =．33CD k ==，AD ==sin10BHDAC ∠==，故BH =．4．已知ABC △是非等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==，连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值．解析如图，过B 、C 两点作BM AC ∥、CN AB ∥分别交AD 、AE 于M 、N ．易知2AC BM =，2AB CN =，tan BM BAD AB ∠=，tan CNCAE AC∠=，从而，1tan tan 4BAD CAE ∠∠=．因为tan 1BAD ∠=，则1tan 4CAE ∠=．5．设有一张矩形纸片ABCD （如图），3AB =，4BC =．现将纸片折叠，使C 点与A 点重合，试求折痕EF 的长．解析设O 是矩形对角线AC 的中点．连结CF ，由折叠知CF AF =，故FO AC ⊥，即EF AC ⊥．由3AB =，4BC =，得5AC =，从而1522AO AC ==．在Rt AOF △中，90AOF ∠=︒，故tan OF AO FAO =⋅∠．又由Rt ADC △得3tan tan 4DC FAO DAC AD ∠=∠==，所以5315248OF =⋅=，1524EF OF ==．7.已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30︒，面积为254，求证：此三角形为等腰三角形．解析由题意可设10a b +=，30α=︒，则125sin 24S ab α==△，即1125224ab ⋅=，得25ab =．于是，由10a b +=，25ab =，得a 、b 是方程210250x x -+=的两个根．而此方程有两个相等的根，所以5a b ==，即此三角形为等腰三角形．评注也可以直接由()()2240a b a b ab -=+-=，得a b =．7．在ABC △中，90C ∠=︒，其周长为2+，且已知斜边上的中线长为1．如果BC AC >，求tan A的值．解析由于斜边长是斜边上中线长的2倍，故2AB c ==．于是，由题设及勾股定理，得224. a b a b ⎧++==⎪⎨⎪⎩①②把①式两边平方，得2226a ab b ++=．再由②得1ab =．③由①、③知，a 、b 分别是二次方程210u +=的两根，解得622u ±=．因为BC AC >（即a b >），故12BC =，12AC =，所以tan 2BC A AC ===+．8．已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠，C ∠的对边，且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2 424x c c x ++=+的两个根．（1）判断ABC △的形状；（2）若3tan 4A =求a 、b 、c ．解析（1）根据题意，尝试从边来判断．因为4a b c +=+，()42ab c =+，所以()2222a b a b ab +=+-()()224242c c c =+-⨯+=，从而知ABC △是直角三角形，90C ∠=︒．（2）由90C ∠=︒，3tan 4A ∠=，得34a b =．令3a =，()40b k k =>，则5c k =，于是754k k =+，得2k =，从而有6a =，8b =，10c =．9．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12ABC S m =△，且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时，求ABC △中最小内角的正切值．解析（1）由题设得 , 32.ab m a b m =⎧⎨+=⎩消去b ，得32m a a m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故实数a 满足二次方程2320x mx m -+=．①所以()224240m m m m =-=-△≥．因为0m >，所以24m ≥．10．如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒，30ABF ∠=︒，45BFE ∠=︒，60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值．解析因为tan CECDE CD∠=，已知2AB CD =，因此，只需求出AB 与CE 的比值即可．不妨设1CD =，则2AB =．在Rt ABF △中，90A ∠=︒，30ABF ∠=︒，所以cos30AB BF ==︒．在Rt BEF △中，90BEF ∠=︒，45BFE ∠=︒，所以2cos 452BE BF =︒==在Rt BEC △中，90EBC ∠=︒，60ECB ∠=︒，42sin 603BE CE ===︒，所以42tan 3CE CDE CD ∠==．11．如图所示．在锐角ABC △中，4sin 5B =，tan 2C =，且10ABC S =△．求BC．解析作AD BC ⊥于D ，设AD x =，在Rt ABD △中，因为4sin 5B =，所以3cos 5B ==，所以sin 4tan cos 3B B B ==，所以43AD BD =，34BD x =．在Rt ADC △中，因为tan 2AD C DC ==，所以22AD x CD ==，所以35424x BC BD CD x x =+=+=．①因为1102ABC S BC AD =⨯=△，所以151024x x ⨯⋅=，所以4x =．由①知5454BC =⨯=．评注在一般三角形中，在适当位置作高线，将其转化为直角三角形求解，这是解斜三角形常采用的方法．12．如图所示．在ACD △中，45A ∠=︒，5CB =，7CD =，3BD =．求CBD ∠及AC．解析作CE AD ⊥于E ，设CE x =，BE y =，则有()2222225 , 37. x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩①②②-①得22697524y +=-=，所以52y =．因为2x =，所以512cos 52BE CBE CB ∠===，所以60CBE ∠=︒，18060120CBD ∠=︒-︒=︒，所以5356sin 4522CE AC ==︒．13．如图，已知ABC △中，1AB =，D 是AB 的中点，90DCA ∠=︒，45DCB ∠=︒．求BC 的长．解析作BE AC ⊥B ，交AC 的延长线于E ，设BC x =．则sin 45BE BC =⨯︒=，cos 45CE BC =⋅︒=由DC BE ∥，D 是AB 的中点，知2AE EC ==．而222AE BE AB +=，得221+=．即x =，所以BC =．评注通过构造直角三角形，使用三角函数、勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方法．14．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC =．解析ADE ACD B ∠=∠=∠，而tan AE ADE DE ∠=，tan ED ACD EC ∠=，tan DFB BF=，所以tan AE ED DFB DE EC FB===，又DF EC =，所以3tan AE ED EC B DE EC BF ⋅⋅=，所以3tan AEB BF=．又tan ACB BC=，所以33AE AC BF BC =．15．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边的中点，AD 垂直于BM 且交BC 于D ．求证：AMB CMD ∠=∠．解析作DF AC ⊥于F ，不妨设3AB =，因AD BM ⊥，90BAM ∠=︒，所以DAF ABM ∠=∠．又112tan 2AC MA ABM AB AB ∠===．1tan 2DF DAF FA ∠==．又90BAC ∠=︒，AB AC =，45C ∠=︒，而90DFC ∠=︒，故FC FD =．由于12FC FA =，而3FC FA +=，1FC =，2FA =，而32MC =，31122FM =-=，1FD =，即1tan 212FD CMD FM ∠===，又tan 2AB AMB AM ∠==，AMB ∠，CMD ∠是锐角．因此AMB CMD ∠=∠．16．如图（a ），正方形ABCD的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ，求DMN △的面积．解析记正方形ABCD 的边长为2a ．由题设易知BFN △∽DAN △，则有21AD AN DN BF NF BN ===，得2AN NF =，所以23AN AF =．在直角ABF △中，2AB a =，BF a =，则AF ==，于是cos 5AB BAF AF ∠==．由题设可知ADE △≌BAF△，所以AED AFB ∠=∠，18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒．于是cos AM AE BAF =⋅∠=，23MN AN AM AF AM =-=-=，从而415MND AFD S MN S AF ==△△．又()()212222AFD S a a a =⋅⋅=△，所以2481515MND AFD S S a ==△△．因a =8MND S =△．17．已知a 、b 、c 是ABC △三边的长，其中b a c >=，且方程20ax c +=两根的差的绝对值等．求ABC △中最大角的度数．解析由已知条件b a c >=可知，这是一个等腰三角形，且底边b 最长，则最大角为B ∠，求出ABC △中的底角A （或C ）即可．我们可以先求角A （或C ）的三角函数值，再确定角的大小，如图所示．由图知2cos 2b AD b A AB c c===，则关键是求出b 与c 的比值．通过一元二次方程中的条件，可得到关于c 、b 的方程，则问题得到解决．因为a c =，所以方程为20cx c +=．设1x 、2x 为方程的两个根，则有122b x x c +=，121x x =．因为12x x -=，()2122x x -=，即()2121242x x x x +-=，所以2242c ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，c =，b c =，所以cos 22b A c ==，所以30A ∠=︒，所以1803030120B ∠=︒-︒-︒=︒．评注这是一道方程与几何知识的综合题．三角形的边是一元二次方程的系数，利用方程条件导出边的关系，由边的关系再进一步求角的大小．18．如图，AB 是圆的直径，弦CD AB ∥，AC 与BD 相交于E ，已知AED θ∠=，试求:CDE ABE S S △△．解析由AB CD ∥，得CDE △∽ABE △．所以22::CDE ABE S S DE BE =△△．连结AD ，则90ADB ∠=︒．故由Rt ADE △，有cos DE AEθ=，又AE BE =，所以2:cos CDE ABE S S θ=△△．19．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD 与地面成45︒，60A ∠=︒，4m CD =，(m BC =-，求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．解析如图，延长AD 交地面于点E ，过点D 作DF CE ⊥于点F ．因为45DCF ∠=︒，60A ∠=︒，4CD =，所以2sin 4542CF DF CD ==︒=⨯=，tan 60EF DF =︒==．因为3tan 303AB BE =︒=，所以(()8.5m 33AB BE ==++⨯=≈．20．如图，某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、A 处测得S 在北偏东60︒，2小时后在B 处测得S 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．解析若设船不改变航向，与小岛S 的最近距离为SC ．则有tan 60tan 45152SC SC ︒-︒=⨯，解得1542SC =<．因此需要改变航向，以免触礁．21．如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？解析要使造价最小，只需考虑AD DC CB ++最小，故首先设法用h 、S 、θ表示AD DC CB ++．()()()1122cot cot 22S AB CD h CD h h CD h h θθ=+=+=+．有cot S CD h h θ=-，则2AD DC CB AD CD ++=+2cot sin h S h θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()2cos sin h S hθθ-=+．因S 、h 为常数，则要求AD DC CB ++的最小值，只需求2cos sin m θθ-=的最小值．设2cos sin m θθ-=，两边平方整理得()()2221cos 4cos 40m m θθ+---=，cos θ=由上式知()2230m m -≥，解得m m =时，2cos sin θθ-有最小值．当m =时，221cos 12m θ==+，从而得60θ=︒，此时排污渠造价最小．。