家家学网络名师小班辅导教案-初中数学-等腰三角形学生版

第十四讲
等腰三角形
中考要求
知识点睛
等腰三角形
1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．
3．等腰三角形的性质：
(1)两腰相等．
(2)两底角相等．
(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．
线段的垂直平分线：
性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等
判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．4．等腰三角形的判定：
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．
5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．
6．等边三角形的判定：
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．
(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．
7．等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等．
等腰直角三角形的判定：
(1)顶角为90的等腰三角形．
(2)底角为45的等腰三角形．
板块一、等腰三角形的认识
【例 1】下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则以下结论正确的是( )
A．只有命题①正确B．只有命题②正确
C．命题①、②都正确D．命题①、②都不正确
【例 2】如图，在ABC
∆中，AD BC
⊥于D．请你再添加一个条件，就可以确定ABC
∆是等腰三角形．你添加的条件是．
D C
B A
重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这两个性质对于平面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助
难点：等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角形底和腰，底角和顶角性质性质特点很容易混淆，而且他们在用法和讨论上很有考究，只能在练习中加以训练
重、难点
例题精讲
【例 3】 (2006年扬州中考)如图，在ABC △中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，给
出下列四个条件：①EBO DOC ∠=∠；②BEO CDO ∠=∠；③BE CD =；④OB OC =．(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC △是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第⑴小题中的一种情形，证明ABC △是等腰三角形．
O
E D C
B
A
【例 4】 如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转
19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？
O
D
C
B A
【例 5】 (2007福建晋江中考)如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法
正确的个数有( )
①DC '平分BDE ∠； ②BC
长为2)a ；
③△BC D '是等腰三角形； ④△CED 的周长等于BC 的长． A ． 1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个
C
B
A
【例 6】 如图⑴，AB AC =，BD ，CD 分别平分ABC ∠，ACB ∠．问：
⑴图中有几个等腰三角形？
⑵过D 点作EF ∥BC ，如图⑵，交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？
⑶如图⑶，若将题中的ABC ∆改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段EF 与BE 、CF 有什么关系？
⑷如图⑷，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系？
⑸如图⑸，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系？
(1)
C
D B
A
(5)
(4)
(3)
(2)
M
D
D
D
C
C
C
B
B
B
A
A A
A
B C
D
E
E
E E
F F
F F G
N
N
板块二、等腰三角形的性质 【例 7】 (2008乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( )
A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm
【例 8】 已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm
【例 9】 (2008沈阳)若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒
【巩固】(2007重庆中考)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为
( )
A ．
20 B ．
120 C ．20或
120 D ．
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【例10】 (2007四川自贡中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25，则该三角形的一个底角为
( )
A ．32.5
B ．57.5
C ．65或57.5
D ．32.5或57.5
【例11】 (2006自贡)从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长
等于三角形的( )
A ．两腰长的和 Ｂ．周长一半
Ｃ．周长 Ｄ．一腰长与底边长的和
【例12】 (2000年常州市中考题)已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和
底长．
【巩固】等腰三角形的周长是50，一腰上的中线分得两个三角形的周长是32和22，求腰长．
【例13】(05年青岛中考题)已知等腰三角形的周长为12，腰长为x，求x的取值范围．
【例14】已知等腰三角形的周长为16，三边长为整数，求底边长．
【巩固】已知等腰三角形的周长为20，三边长为整数，求底边长．
【例15】等腰三角形中一角是另一角的2倍，求各内角的度数．
【例16】已知BD是等腰ABC
∆三个内角的度数．
∆一腰上的高，且50
∠=︒，求ABC
ABD
【例17】在ABC
=，BC BD ED EA
===．求A
∆中，AB AC
∠．
【巩固】在ABC
=，AD ED EB
=，BC BD
∆中，AB AC
∠．
==．求A
A
D
E
C
B
【例18】 (2000年威海市中考试题)等腰三角形的顶角90α>︒，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成
两个等腰三角形，求α．
A
B C
D
【例19】
ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠． E D C
B A
【例20】 (河南省数学竞赛)如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=，在AC 上取一点E ，
使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．
A
B C D E
【例21】 (2001年龙岩市、宁德市中考试题)如图所示，已知ABC ∆中，D 、E 为BC 边上的点，且AD AE =，
BD EC =，求证：AB AC =．
A
B C
D E
【例22】 如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形．
E
B
A
【例23】 如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M N D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，
BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．
A
B
C
D M
N
E
F
N
M D C
B
A
【习题1】(2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ．
【习题2】(1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，
则这个等腰三角形的底边的长为( )
A ．17cm
B ．5cm
C ．17cm 或5cm
D ．无法确定
【习题3】已知等腰三角形的周长为20，腰长为x ，求x 的取值范围．
【习题4】(2001年江苏中考题)如下图所示，ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=︒，AE AD =，
求EDC ∠的度数．
50︒
E
D
C
B
A
家庭作业
【备选1】ABC ∆的一个内角的大小是040，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )
A ．140︒
B ．80︒或100︒
C ． 100︒或140︒
D ． 80︒或140︒
【备选2】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长．
月测备选。