2020高考数学(理)全真模拟卷1(解析版)

．2020年高考全真模拟卷（1）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则A B =U （ ） A ．(,1]-∞B ．(,3)-∞C ．(0,1]D ．(1,3)2．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．10B C D3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙4．从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．455．双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切，且该双曲线过点2,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则该双曲线的虚轴长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 6．已知346log 15,log 20,log 30a b c ===，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>7．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +-=，则ABC V 的面积为（ ）A ．1B C ．2D ．8．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A B C ．12D ．1310．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()13f x =在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，则()12sin x x -=（ ）A ．13-B ．12-C ．D ．11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =12．已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A ．1m £B ．1m <-C ．1m >-D ．m 1≥二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在 ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A =o ，a bc =2，则sinBsinC =_______．14．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为 ．15．平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为_____． 16．若存在[]1,2a ∈，使得关于x 的方程22()()a a t x a x+-=有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是_______．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331nnn n S a +⋅=- ．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值．19．（本小题满分12分）某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n N ∈）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P Q 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅u u u v u u u v为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln f x x x =-，3()ln eg x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅰ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程； （2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()|3||1|f x x x =+-- ． （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则A B =U （ ） A ．(,1]-∞ B ．(,3)-∞C ．(0,1]D ．(1,3)【答案】B【解析】Q 集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，(){|3},3A B x x =<=-∞U ，故选B ． 2．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．10B C D【答案】A【解析】13iz z +=，1131313101010i z i i +===+-，||10z =，故选A ． 3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙．故选．4．从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】从1，2，3，4，5这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n =C 52=10，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m =C 22+C 32=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p =m n=410=0．4，故选B ．5．双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切，且该双曲线过点P ⎛ ⎝⎭，则该双曲线的虚轴长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 【答案】D【解析】双曲线221(0)mx ny mn +=<0=． 圆22:(5)9E x y -+=的圆心(5,0)，半径3r =．Q 渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切，∴3=，即16||9||m n =，①该双曲线过点P ，45414n m ∴+=，② 解①②可得19n =，116m =-，双曲线221916y x -=，该双曲线的虚轴长为8，故选D ． 6．已知346log 15,log 20,log 30a b c ===，则( ) A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】依题意，33334444log 15log 3log 51log 5,log 20log 4log 51log 5a b ==+=+==+=+，6666log 30log 6log 51log 5c ==+=+，由3log y x =，4log y x =，6log y x =的图象如图：可得346log 5log 5log 5>>，故a b c >>，故选A ．7．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +-=，则ABC V 的面积为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】1cos 2a C c b +=Q ，由正弦定理得：1sin cos sin sin sin()2A C CB AC +==+， 1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴++=+，sin 0C ≠，解得1cos 2A =，且()0,A π∈，即3A π=，又22222cos 2312b c a bc bc A bc bc +-+=+==，4bc =，1sin 2ABC S bc A ∆==B ．8．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C ，故选D ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A B C ．12D ．13【答案】A【解析】易知AB =1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算12C P ==；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，tan 2CO CPO PO ∠==．10．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()13f x =在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，则()12sin x x -=（ ）A ．13- B ．12-C ．D ． 【答案】D 【解析】242x k πππ-=+Q 382k x ππ∴=+，即函数()f x 的对称轴为382k x ππ=+，()13f x =Q 在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，12328x x π+∴=，2134x x π∴=-，()12sin x x ∴-113sin 2cos 244x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为12x x <，2134x x π=-，所以1388x ππ<<， 所以120,42x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 243x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()12sin 3x x -=-，故选D ． 11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =【答案】C【解析】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02pMF x =+，AB 所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57MD MF =，即005272px p x -=+， 整理得03x p =，所以(3M p ，将M点代入到抛物线方程，得(223p p =⨯，0p >，解得6p =，所以抛物线方程为212y x =，故选C ．12．已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A ．1m £B ．1m <-C ．1m >-D ．m 1≥【答案】C【解析】由题意，函数21()(2)ex f x x x -=-，则导数21()(2)ex f x x -'=-，所以函数()f x 在上递减，在)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又由(1)1f =-，1f <-，(2)0f =，当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，即函数()y f x =和(1)1y m x =--的图象有交点，如图所示， 又因为在点(1,(1))f 的切线的斜率为(1)1f '=-，所以1m >-．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在 ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A =o ，a bc =2，则sinBsinC =_______． 【答案】34【解析】因为60A =o ，a bc =2，所以2sin sin sin A B C =，所以23(24sinBsinC ==，故答案为：34．14．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为 ．【答案】212y x =【解析】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02p MF x =+，AB 所在直线2px =，设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57MD MF =，即005272px p x -=+， 整理得03x p =，所以(3M p ，将M点代入到抛物线方程，得(223p p =⨯，0p >，解得6p =，所以抛物线方程为212y x =．15．平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为_____． 【答案】20π【解析】由题意，取AD ，BC 的中点分别为12,O O ，过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心，取BD 中点E ，连结12,O E O E ，则12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，又由121O E O E ==，连接OE ，在Rt △1O OE中，则1OO =Rt △1O OA中，1O A ，得OAR OA ==，所以球面积为24S R =π=20π．16．若存在[]1,2a ∈，使得关于x 的方程22()()a a tx a x+-=有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是_______．【答案】( 【解析】由22()||a a t x a x +-=，得3223,0()(),0x ax x a a t x a x x ax x ⎧->+=-=⎨-+<⎩，令33,0(),0x ax x f x x ax x ⎧->=⎨-+<⎩，当0x >时，2()3f x x a '=-，当x ∈时，()0f x '<，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>， ()f x ∴在上为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数； 当0x <上，2()3f x x ax '=-+，当(,x ∈-∞时，()0f x '<，当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在(,-∞上为减函数，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数，则332()min f x f a a ==-=． 作出函数()f x 的图象，如图：由图可知，要是关于x 的方程22()||a a tx a x +-=有四个不等的实数根，则需2()y a a t =+与()y f x =的图象有四个不同交点，则322()0a a a t <+<，即存在[]1,2a ∈，有3229a t a a >+，令()3229ag a a a=+，则()322(1)'0a a g a a a -+…， ()g a ∴在[]1,2上为增函数，则()(1)min g a g ==，又0t <，∴实数t的取值范围是(，故答案为：(9-． 三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331nnn n S a +⋅=- ．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．【解析】（1）依题意，11213n n nS a +⎛⎫=-⎪⎝⎭，1211213n n n S a +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两式相减可得，()21111303n n n a a +++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故213n n a a ++=， 而1222S 3a =，故213a a =，故数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）可13,n n a -=所以()()2212991(1)log (1)log 3(1)(1)4nnn n n n b a n -=-⋅=-⋅=⋅-⋅-， 故2122221211(1)(22)(1)(21)(43)44n n n n b b n n n --⎡⎤+=⋅-⋅-+-⋅-=-⎣⎦， 记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则22111(15943)424n T n n n =+++⋯+-=-．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ． ∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，CD 平面ABCD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB ．∵PB ⊥PD ，CD ∩PD =D ，CD 、PD 平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD ．∵PB平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD ．（2）设BC 中点为O ，连接,PO OE ，,PB PC PO BC =∴⊥Q ，又面PBC ⊥面ABCD ，且面PBC I 面ABCD BC =，所以PO ⊥面ABCD ．以O 为坐标原点，OC u u u v的方向为x 轴正方向，OC u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由（1）知PB ⊥平面PCD ，故PB ⊥112PC PO BC ∴==，设AB a =，可得()()()0,0,1,1,,0,1,,0,1,0,0,2a P E A a B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以1,,1,2,,0,22a a PE EA ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u uu v 由题得0PE EA =⋅u u u v u u u v，解得a =所以()()(),1,,BA PA EA ==--=-u u u v u u u v u u u v设(),,n x y z =r 是平面PAB 的法向量，则00n PA n BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r，即00x z ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，可取()1,0,1n =-r ．设(),,m x y z r =是平面PAE 的法向量，则00m PA m EA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r，即020x z x ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，可取()m =．则cos ,6n m n m n m ⋅==-r r r r r r ，所以二面角A PB C --的余弦值为-．19．（本小题满分12分）某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n N ∈）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望． 【解析】(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，），所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率3225218033243P C ＝＝⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2) ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅⎪⎝⎭， ()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：()2312121212121231333333333n nE n n L ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (1) ()()2311221212121212213333333333n nn E n n n ξ-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． (2)(1)－(2)得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L2311212121212133333333333n nE ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 2312222233333n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 22133213n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 2213n ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P Q 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅u u u v u u u v为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，使得·RP RQ u u u v u u u v 为定值74- 【解析】(1)依题意，得2c b ==，则222448a b c =+=+=，故椭圆的标准方程为22184x y +=．()2①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，代人椭圆C 的方程，可得()2222218880k k x x k +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+， 设(),0R m ，则()()1122,,RP RQ x m y x m y =--u u u r u u u rg g()()1212x m x m y y =--+=()()()122112224x m x k x x x m x +--+++⎡⎤⎣⎦()()22222228288421211k k k m k m k k k --++=+-++()2222284821m m k m k +++-=+，若()2222284821m m k m k +++-+为定值，则22812842m m m -=++，解得52m =-， 此时()222228487214mm k m k +++-=-+，R 点的坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，代人22184x y +=，得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设((,2,P Q --，若5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则11,,22RP RQ ⎛⎛== ⎝⎝u u u r u u u r ，74RP RQ =-u u ur u u u r g ．综上所述，在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫⎪⎝⎭，使得RP RQ u u u r u u u r g 为定值74-．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln f x x x =-，3()ln eg x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅰ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+． 【解析】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增． （Ⅰ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点， 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e-+-=--+---=>，可知()h x 在1(,1)e 上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点， 因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程； （2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得πtan tan (π)2θαα=<<， 所以l 的极坐标方程是π(,π)2θαρα=∈<<R ， 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．（2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．所以22π2||||||2cos 2cos sin 1cos 2sin 22)14OM OM ON αααααα+=-=+-=-+． 因为ππ2α<<，所以7ππ3π2444α-<-<-，则当7π8α=时，π3π242α-=-πsin(2)14α-+1，所以22||||||OM OM ON +1． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()|3||1|f x x x =+-- ． （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值．【解析】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ----<--<-⎧⎧⎪⎪=+---≤≤=+-≤≤⎨⎨⎪⎪+-->>⎩⎩，21 当3x <-时，41x -+≥，可得5x ≤-，即5x ≤-；当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x ≥-，即11x -≤≤； 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤．综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--U ．（Ⅰ）由（Ⅰ）可得函数()f x 的最大值4M =，且14ab a b +++=， 即23()()2a ba b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此+a b 的最小值为2．。

2020年高考全国1卷数学（理科）模拟试卷考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”； ③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．12、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则A B =IA ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+5、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-…8、如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形，A是两曲线在第一象限的交点，以原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、nm329、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 3所有正确的说法 A 、①B 、①②C 、②③D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.511、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B 处，在以点B '，A ，C ，为顶点的四面体AB 'CD 中，棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ，若AC ＝6，且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为（ ）A ．14232⎛ ⎝ B ．144⎫⎪⎪⎝⎭C ．3,23D ．)3,412、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ）A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考新课标数学（理科）模拟试题（全国卷1）考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”；③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．12、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+5、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-… 8、如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形，A 是两曲线在第一象限的交点，以原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、nm329、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 3所有正确的说法 A 、① B 、①② C 、②③ D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.511、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B 处，在以点B '，A ，C ，为顶点的四面体AB 'CD 中，棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ，若AC ＝6，且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为（ ）A ．14,232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．14,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()3,23D ．()3,412、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考理科数学仿真模拟卷01(解析版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}2,1-- D ．{}2,1,0--2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．23．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（ ） A ．a >a >a B ．a >a >aC ．a >a >aD ．a >a >a4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=，13CE AB AC μ=+，则λμ+=（ ）A ．13B ．13-C ．76D ．76-6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+ 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--C ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．69．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则a ,a 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．4710．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．49512．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．A ．2B C ．5D ．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．14．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD =1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程. （2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124py y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin ρθθ=-． （1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R （I ）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集； （II ）若函数()f x 的最小值为1，证明：14918a b b c c a++≥+++（a b c ++）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}2,1-- D ．{}2,1,0--【答案】D【解析】因为{}2,1,0,1,2A =-- ,{}0B x x =≤，所以{}2,1,0A B =-- .故选D. 2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】A 【解析】()()()()221222255a i i a i a az i i i i +-++-===+++-是纯虚数 2105205a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得：12a =-本题正确选项：A3．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（ ） A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．b >c >a【答案】D 【解析】a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22，ln33，lnππ的大小比较．设f （x ）=lnx x，则f ′（x ）=1−lnx x ，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减， ∵e ＜3＜π＜4∴ln33＞lnππ＞ln44=ln22，∴b ＞c ＞a ，故选：D ．4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f e e =>-，排除D 选项.故选A. 5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=，13CE AB AC μ=+，则λμ+=（ ）A ．13B ．13-C ．76D ．76-【答案】B 【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为E 是AD 的中点， 所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B.6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+【答案】B【解析】111123n n n n n n a a a a a a -+-++= ,11123n n n a a a +-+= ,1111112()n nn n a a a a +--=-, 则1111211n n n n a a a a +--=- ,数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列， 1111222n n n na a -+-=⨯= ，利用叠加法，211213211111111()()......()122.......2n n n a a a a a a a --+-+-++-=++++ ， 1212121n n n a -==-- ，则121n n a =-.选B. 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--C ．1(,1]2- D ．{2}(1,1]--【答案】D【解析】由题意得21362k T ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，k N ∈，得21T k π=+，故242k Tπω==+，因为06ω<<，k N ∈，所以2ω=.由2sin 263f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得232k ππϕπ+=+，因为2πϕ<，故6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤+≤，令26t x π=+，则由题意得2sin 0t m -=在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有唯一解，故由正弦函数图象可得12m =-或11222m -<≤，解得{}(]21,1m ∈-⋃-.故选D8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】抛物线28y x =的焦点()2,0F ，准线l ：2x =-， 圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0F ，半径1r =， 过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义可知|PB PF =，则1PA PQ PA PF r PA PB +≥+-=+-，∴当,,A P B 三点共线时PA PB +取最小值325+=，1514PA PQ PA PB ∴+≥+-≥-=． 即有PA PQ +取得最小值4，故选B ．9．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17 B ．27C ．37D ．47【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 根据题意，如图，设5个区域依次为A,B,C,D,E ,分4步进行分析： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E ，与A,B 区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有3种颜色可选， 若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有2种颜色可选， 则区域D,C 有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种， 其中，A,C 区域涂色不相同的情况有： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E 与A,B,C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选， 若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选， 则区域D,C 有2+2×1=4种选择， 不同的涂色方案有5×4×2×4=240种，∴A,C 区域涂色不相同的概率为p =240420=47 ,故选D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数 【答案】A【解析】根据题意可知：（12341234+++++x x x x y y y y +）（）>0,又（12341234+++++x x x x y y y y +）（）去掉括号即得：（12341234+++++x x x x y y y y +）（） =1234T T T T +++>0,所以可知1234,,,T T T T 中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．495【答案】D 【解析】试题分析：A ，如果输出的值为792，则a =792， I （a ）=279，D （a ）=972，b =D （a ）−I （a ）=972−279=693，不满足题意． B ，如果输出的值为693，则a =693,，I （a ）=369，D （a ）=963，b =D （a ）−I （a ）=963−369=594，不满足题意． C ，如果输出的值为594，则a =594，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，，不满足题意． D ，如果输出的值为495，则a =495，，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，满足题意．故选D ．12．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．A．2BCD【答案】B【解析】连接EF ，因为EF //面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH //BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH //EF,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH -FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N ∠=α，因为sinα=1MNA M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H ,故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2-【解析】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．【答案】1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =， 结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为1．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】设c为半焦距，则(),0F c，又()0,B b，所以:0BF bx cy bc+-=，以12A A为直径的圆的方程为O：222x y a+=，因为12i iPA PA⋅=，1,2i=，所以O与线段BF有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>⎩，故4223102e ee⎧-+<⎨>⎩，12e<.故填⎭.16．四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD=1CB CD==，则四面体A BCD-的外接球的表面积为______【答案】4π【解析】如图，在四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD=1CB CD==，可得90BCD∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，2=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1． 其表面积为2414ππ⨯=．故答案为：4π．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【解析】 (Ⅰ) ()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =. 又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列.于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n n n a ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()111211221212121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <，因为n 是自然数，所以n 的最大值为4. 18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 【解析】（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=，()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=，∴X 的分布列为（Ⅱ）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：1171176970009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10720=（元）. 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为：21000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）. ∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD （Ⅱ），设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=，即220{20x y z x -+==，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =，设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120{0n AB n AC ⋅=⋅=，又1(0,1,2)AB =，得20{20y z x +==，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-， 因此有12121210cos ,10n n n n n n ⋅〈〉==-⋅，于是12310,sin n n 〈〉= 所以二面角11D AC B --（Ⅲ）依题意，可设111A E A B λ=，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+， 又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知得21cos ,3(1)NE n NE n NE n⋅〈〉===⋅-，整理得2430λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈，解得2λ=， 所以线段1A E 2.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124py y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫⎪⎝⎭，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=，则212124p 80{x x 2x x 2p pp∆=->+==， ∵直线py 4=平分AFB ∠， ∴AF BF k k 0+=， ∴1212p p y y 440x x --+=，即：12121212p px 1x 1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴p 4=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2x 8y =． （2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零， 设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，， 由2{x 2y kx bpy=+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pk pb∆=+>+==-，∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===， ∵212p y y 4=， ∴22p b 4=， ∵b 0>， ∴p b 2=．∴直线AB 的方程为：py kx 2=+． 假设存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，即PQ PQ 3PA PB+=， 作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、，∴121212p pPQ PQ OQ OQ y y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='，∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4=，∴222PQ PQp 2pk p·4k 2pPA PB 24++==+，由24k 23+=，得1k 2=±， 故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22=±+． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【解析】 (1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立.()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数；②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得2a x -<或2a x -+>，0<<， ()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数. 2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数。