函数的极限典型例题

第二讲 函数的极限一 内容提要1.函数在一点处的定义,0,0)(lim 0>∃>∀⇔=→δεA x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有ε<-A x f )(.右极限,0,0)(lim 0>∃>∀⇔=+→δεA x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有ε<-A x f )(.左极限,0,0)(lim 0>∃>∀⇔=-→δεA x f x x 使得δ<-<∀x x x 00:，有ε<-A x f )(.注1 同数列极限一样，函数极限中的ε同样具有双重性． 注2δ的存在性（以0x x →为例）：在数列的“N -ε”定义中，我们曾经提到过，N 的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N 无关紧要；对δ也是如此，只要对给定的0>ε，能找到某一个δ，能使δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(即可． 注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究)(x f 是否无限趋近于A ．注4 ⇔=→A x f x x )(lim 0=+→)(lim 0x f x x A x f x x =-→)(lim 0．注５ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠→∈∀⇔=∞→→00,|}{}{)(lim 0x x x x x x A x f n n n n n x x 且，有A x f n n =∞→)(lim ，称为归结原则――海涅（Heine ）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．） 注6 0,0)(lim 00>∀>∃⇔≠→δεA x f x x ，δ<-'<'∃00:x x x ，有0)(ε≥-'A x f ．2 函数在无穷处的极限 设)(x f 在),[+∞a 上有定义，则,,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=∞→ε使得X x x >∀:，有ε<-A x f )(． ,,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=+∞→ε使得X x x >∀:，有ε<-A x f )(． ,,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=-∞→ε使得X x x -<∀:，有ε<-A x f )(．注１ ⇔=∞→A x f x )(lim =+∞→)(lim x f x A x f x =-∞→)(lim ．注２ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞→∈∀⇔=∞→∞→n n n n x x x x A x f |}{}{)(lim ，有A x f n n =∞→)(lim ．３ 函数的有界设)(x f 在),[+∞a 上有定义，若存在一常数0>M ，使得),[+∞∈∀a x ，有M x f ≤)(，则称)(x f 在),[+∞a 上有界． ４ 无穷大量,0,0)(lim 0>∃>∀⇔∞=→δG x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有G x f >)(． ,0,0)(lim >∃>∀⇔∞=∞→X G x f x 使得X x x >∀:，有G x f >)(．类似地，可定义-∞=+→)(lim 0x f x x ，-∞=-→)(lim 0x f x x ，∞=+→)(lim 0x f x x ，∞=-→)(lim 0x f x x 等．注 若∞=→)(lim 0x f x x ，且0>∃δ和0>C ，使得δ<-<∀00:x x x ，有0)(>≥C x f ，则∞=→)()(lim 0x g x f x x ．特别的，若∞=→)(lim 0x f x x ，0)(lim 0≠=→A x g x x ，则∞=→)()(lim 0x g x f x x ．５ 无穷小量若0)(lim 0=→x f x x ，则称)(x f 当0x x →时为无穷量．注1 可将0x x →改为其它逼近过程．注2 ⇔=→A x f x x )(lim 0)()(x A x f α+=，其中0)(lim 0=→x x x α．由于有这种可以互逆的表达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代． 注3 0)(lim 0=→x f x x ，)(x g 在0x 的某空心邻域内有界，则0)()(lim 0=→x g x f x x ．注4 0)(lim =∞→x f x ，且当x 足够大时，)(x g 有界，则0)()(lim 0=→x g x f x x ．注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量．6 函数极限的性质以下以0x x →为例，其他极限过程类似． （1）A x f x x =→)(lim 0，则极限A 唯一．（2）A x f x x =→)(lim 0，则0,>∃M δ，使得δ<-<∀00:x x x ，有M x f ≤)(．（3）A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，且B A <，则0>∃δ，使得δ<-<∀00:x x x ，有 )()(x g x f <注 这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍． （4）A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，且0>∃δ当δ<-<00x x 时，)()(x g x f <则B A ≤．（5）A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，则[]B A x g x f x x ±=±→)()(lim 0B A x g x f x x ⋅=⋅→)()(lim 0BAx g x f x x =→)()(lim（0≠B ） 要求：①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数． 7 夹逼定理 若,0>∃δ使得δ<-<∀00:x x x ，有)()()(x h x g x f ≤≤，且=→)(lim 0x f x x A x h x x =→)(lim 0，则A x g x x =→)(lim 0．8 Cauchy 收敛准则函数)(x f 在0x 的空心邻域内极限存在,0,0>∃>∀⇔δε使得x x '''∀,，当δ<-'<00x x ，δ<-''<00x x 时，有ε<''-')()(x f x f ．9 无穷小量的比较 设0)(lim 0=→x x x α，0)(lim=→x x x β，且k x x x x =→)()(limαβ，则 （1）当0=k 时，称)(x β为)(x α的高阶无穷小量，记作)(x β())(x o α=； （2）当∞=k 时，称)(x β为)(x α的低阶无穷小量； （3）当0≠k 且∞≠k 时，称)(x β为)(x α的同阶无穷小量．特别的，当1=k 时，称)(x β和)(x α为等价的无穷小量，记作)(x α～)(x β．注 1 上述定义中，自变量的变化过程0x x →也可用+∞→x ，-∞→x ，∞→x ，+→0x x ，-→0x x 之一代替．注2 当0→x 时，常见的等价无穷小有：x sin ～x ，x tan ～x ，x cos 1-～22x ，1-xe ～x ，)1ln(x +～x ，1)1(-+m x ～mx 注3 在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换．因为：若)(x α～)(x β（P ），则=)()(limx x f Pβ=⋅)()()()(lim x x x x f P βαα)()(lim x x f P α或 =)()(lim x x g Pα=⋅)()()()(lim x x x x g Pβαβ)()(lim x x g P β （P 为某逼近过程）．而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果．注4 在某一极限过程中，若)(x α为无穷小量，则在此极限过程，有 ())()(x o x αα+～)(x α． 10 两个重要极限（1）1sin lim0=→xxx ； （2）e x x x =+→10)1(lim ．二、典型例题例 用定义证明下列极限： （1）211)1(lim21=--→x x x x ； （2）211lim2-=-+-∞→x x xx ．例 A x f x x =→)(lim 0，证明：（1）若0>A ，则有221)(1lim 0Ax f x x =→； （2）33)(limA x f x x =→．例 设)(x f 是],[b a 上的严格严格单调函数，又若对],(b a x n ∈（ ,2,1=n ），有)()(lim a f x f n n =∞→，试证明：a x n n =∞→lim ．例 函数)(x f 在点0x 的某邻域I 内有定义，且对{}I x n ⊂∀（00,x x x x n n ≠→），且 0010x x x x n n -<-<+（N n ∈∀），有A x f n n =∞→)(lim ，证明：A x f x x =→)(lim 0．例 设函数)(x f ，)1,0(∈x ，满足0)(→x f （+→0x ），且 )()2()(x o xf x f =-（+→0x ） 则 )()(x o x f =（+→0x ）问：在题设条件下，是否有0)0(=f 答：否．如⎩⎨⎧=≠=0100)(x x x f ．例 设函数)(x f 在),0(+∞上满足议程)()2(x f x f =，且A x f n =+∞→)(lim ，则 A x f ≡)(（),0(+∞∈x ）．例 求下列函数极限 （1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x b a x n 0lim （0,0>>b a ）； （2）xba x n ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→0lim （0,0>>b a ）；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x e e xx n sin 12lim 410．例 求下列极限 （1）1tan 1tan 1lim---+→x n e xx ；（2）)cos 1(cos 1limx x x n --→；（3）xe x xe x x x n 2)ln()ln(sin lim 2220-+-+→．例 求下列极限：（1）xx x e e xx n cos sin lim tan 0--+→；（2）2303cos 2cos cos 1lim x xx x n -→．例 求下列极限：（1）x x x x n ln 1lim 1-→；（2）20)(lim x a x a xx n -+→．例 求下列极限：（1）)1ln(12)(cos lim x n x +→；（2）x n xx )1cos 1(sinlim +∞→； （3）设0>i a （n i ,,2,1 =），求xn x nx xn n aa a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++→ 210lim ．例 （1）已知0)1(lim 33=---∞→b ax x n ，求常数b a ,；（2）已知513)2sin )(1ln(lim=-+→x n x x f ，求20)(lim x x f n →．。