信号分析3.05 功率谱和能量谱

功率谱和能量谱的关系
功率谱和能量谱是两种不同的谱分析方法。

功率谱（Power Spectrum）是指信号在不同频率上的功率分布。

它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的功率大小。

功率谱是对信号进行谱分析的主要方法之一，常用的谱分析工具包括傅里叶变换和自相关函数等。

能量谱（Energy Spectrum）是指信号在不同频率上的能量分布。

它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的能量大小。

能量谱是功率谱的一种特殊形式，它不考虑信号的持续时间，仅考虑信号的幅度信息。

在能量谱中，低频和高频的能量大小对结果影响较大，但是无法判断信号在不同频段上的功率大小。

因此，功率谱和能量谱之间存在一定的关系。

功率谱是能量谱的平方，即功率谱可以通过能量谱计算得到。

但是能量谱不能通过功率谱计算得到，因为能量谱不考虑信号的持续时间，无法确定功率大小。

能量谱密度与功率谱密度
一、能量谱密度
令为能量信号，且则的能量可以定义为
上式被称为帕什伐尔能量定理。

帕什伐尔能量定理表明一个能量信号的能量可以在时域内求解，也可以在频域内求解，并且，在时域内和在频域内求得的结果是相同的。

通常将定义为能量信号的能量谱密度。

显然，是一个偶函数。

信号的能量可以表示为
能量谱密度的物理含义为单位频带上的信号能量分布。

2.4.2 功率谱密度
设为一个功率信号，其信号作用时间在。

通常对这样信号的分析方法是将信号截短，截短后的信号可以
看作能量信号。

设则为能量信号，且设。

由功率信号的功率计算公式及能量信号帕什伐尔定理，可得
类似能量谱密度全频积分的能量，定义功率谱密度
被称为功率谱密度，表示信号在单位频带上的功率分布。

比较以上两式有
显然，且为偶函数。

的电流，v (t )为一．能量信号和功率信号定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比，则在整个时间域内，实信号天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University一般周期信号为功率信号；天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University二．相关系数与相关函数天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University最小，则有是能量有限的实信号。

天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University由柯西－施瓦尔茨不等式，得(2⎡⎰∞t f 的相关特性相关系数天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University三．相关与卷积的比较卷积表达式：(,相关性最强R )ω[f F 相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University判断下面的信号是功率信号还是能量信号。

天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University例()(E t cos =对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有)⎤天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University周期信号自相关函数仍为周期信号天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University])(τF R =天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical Universityωπ(⎰∞∞-F⎪⎫≤T t ωπ(21F ⎰∞∞-R (τ)cos(1t ω的自相关函数和功率谱为功率信号)(t f 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一功率谱为:。

一、能量信号和功率信号（1）能量信号根据信号可以用能量式或功率式表示可分为能量信号和功率信号。

能量信号，如各类瞬变信号。

在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。

显然，电压信号加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为：()()()22x t p t x t R== (1.1) 瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量。

通常不考虑量纲，而直接把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。

当()x t 满足：()2x t dt +∞-∞<∞⎰ (1.2)则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。

满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。

定义信号()f t 的能量：由电压()f t （或者电流()f t ）在1Ω电阻上消耗的能量：()2E f t dt +∞-∞=⎰（注释：22/E u i u R u =⨯==） (1.3)（2）功率信号若()x t 在区间(),-∞+∞的能量无限，不满足(1.2)式条件，但在有限区间(-T/2，T/2)满足平均功率有限的条件：()/22/21lim T T T x t dt T -→∞<∞⎰ (1.4) 则，()x t 为功率信号。

如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。

定义：信号()f t 的平均功率为电压()f t 在1Ω电阻上消耗的平均功率（简称功率）：()/22/21lim T T T S f t dt T -→∞=⎰ (1.5)二、频谱和频谱密度频谱密度：设一个能量信号为()s t ，则它的频谱密度()s ω可以由傅氏变换求得。

()()s F s t ω=⎡⎤⎣⎦ (1.6)能量信号的频谱密度()s f 和功率信号()c jn ω（比如一个周期信号）的频谱主要区别有：（1）()s f 是连续谱，而()c jn ω是离散谱；（2）()s f 单位是幅度/频率，而()c jn ω单位是幅度；（这里都是指其频谱幅度）；（3）能量信号的能量有限，并连续的分布在频率轴上，每个频率点上的信号幅度是无穷小的，只有d f 上才有确定的非0振幅；功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非0振幅。

［收稿时间］2019-11-11［基金项目］河南省高等学校青年骨干教师培养计划（编号2017GGJS020），河南省教育厅科学技术研究重点项目（编号16A120002），河南大学校级重点项目（编号HDXJJG2018-07）。

［作者简介］杨利军（1979-），女，河南汝州人，博士，副教授，研究方向：智能信息处理。

杨晓艺（1978-），女，河南开封人，硕士，副教授，研究方向：信号分析。

赵晨萍（1980-），女，河南滑县人，博士，讲师，研究方向：机器学习、图像处理。

［摘要］在信号与系统课程中，存在多个与谱有关的概念，例如频谱分析、幅度谱、相位谱、能量谱和功率谱等，在教学过程中，这些概念常常让学生感到疑惑，不清楚在什么情况下使用合适的概念去分析信号。

针对该问题，项目组对信号与系统课程中出现的谱概念进行总结归纳，并给出相应的实验分析，帮助学生理清这些与谱相关的概念之间的关系，为其学习起到一定的指导帮助作用。

［关键词］信号与系统；频谱分析；幅度谱；相位谱；能量谱；功率谱［中图分类号］G642［文献标识码］A ［文章编号］2095-3437（2021）02-0115-03信号与系统课程是电专业和非电专业（如通信与信息系统、自动控制、电子信息、信号与信息处理、计算机和生物医学工程等学科专业）本科生必选的专业基础课。

该课程属于理论和应用背景都比较强的专业基础课。

Fourier 级数和Fourier 变换是信号与系统课程中的重要学习内容，在信号分析领域占据着举足轻重的地位。

一、Fourier 级数和Fourier 变换[1]我们知道，对于周期为T 的周期函数f (t )，当它满足狄里赫利（Dirichlet ）条件时，可以展开成如下形式的Fourier 级数：f ()t =∑n =-∞∞F n e jn Ωt(1)其中Ω=2πT为基波角频率，F n 为Fourier 系数，其求解公式为F n =1T∫-T /2T /2f ()t e -jn Ωt dt ,n =0,±1,±2,⋯对于非周期信号f (t )当其满足绝对可积时，可计算其Fourier 变换F ()jω=F []f ()t =∫-∞∞f (t )e -jωt dt(2)其反变换为f ()t =12π∫-∞+∞F (jω)e jωt dt (3)绝对可积是函数Fourier 变换存在的充分条件而非必要条件，引入广义函数的概念后，许多不满足绝对可积条件的函数也能进行Fourier 变换。

信号的功率谱和频谱是信号处理中非常重要的概念，它们分别描述了信号在不同频率下的功率和幅度或相位信息。

1.频谱
频谱是信号在各频率分量上的幅度或相位。

它反映了信号在各个频率分量上的信号幅度或相位在频域分布的情况。

将信号的时间变量转换为频率变量，可以揭示信号的频率特性。

频谱的概念通常用于分析和处理周期性信号或非周期性信号，如音频信号、图像信号等。

2.功率谱
功率谱是信号在各频率分量上的功率。

它反映了在各个频率分量上的信号功率在频域分布的情况。

功率谱是从能量的观点对信号进行的研究，它表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。

对于功率有限信号，可以通过傅里叶变换求得每个频率分量所对应的的信号的功率，进而得到功率谱。

总结来说，频谱和功率谱都是用来描述信号在不同频率下的特性，但它们所反映的信息不同：频谱描述了信号的幅度或相位信息，而功率谱描述了信号的功率分布情况。

在信号处理中，它们各自扮演着不同的角色，如频谱分析可以用于信号的频率分析和特征提取，功
率谱则可以用于估计信号的能量分布和信噪比等。

频谱、幅度谱、功率谱和能量谱在信号处理的学习中，有一些与谱有关的概念，如频谱、幅度谱、功率谱和能量谱等，常常让人很糊涂，搞不清其中的关系。

这里主要从概念上厘清其间的区别。

对一个时域信号进行傅里叶变换，就可以得到的信号的频谱，信号的频谱由两部分构成：幅度谱和相位谱。

这个关系倒还是简单。

那么，什么是功率谱呢？什么又是能量谱呢？功率谱或能量谱与信号的频谱有什么关系呢？要区分功率谱和能量谱，首先要清楚两种不同类型的信号：功率信号和能量信号。

我们从一个具体的物理系统来引出能量信号和功率信号的概念。

已知阻值为R的电阻上的电压和电流分别为v(t) 和i(t)，则此电信号的瞬时功率为：p(t) = v2(t)/R = i2(t)R。

在作定性分析时，为了方便起见，通常假设电阻R为1欧姆而得到归一化(Normolized) 的功率值。

作定量计算时可以通过去归一化，即将实际的电阻值代入即可得到实际的功率值。

将上面的概念做一个抽象，对信号x(t) 定义其瞬时功率为|f (t)|2，在时间间隔(-T/2 T/2) 内的能量为:(1)该间隔内的平均功率为：p = E/T (2)当且仅当f(t)在所有时间上的能量不为0且有限时，该信号为能量信号，即(1)式中的T 趋于无穷大的时候E为有限。

典型的能量信号如方波信号、三角波信号等。

但是有些信号不满足能量信号的条件，如周期信号和能量无限的随机信号，此时就需要用功率来描述这类信号。

当且仅当x(t)在所有时间上的功率不为0且有限时，该信号为功率信号，即(2) 式中的T 趋于无穷大的时候p 为有限。

系统中的波形要么具有能量值，要么具有功率值，因为能量有限的信号功率为0，而功率有限的信号能量为无穷大。

一般来说，周期信号和随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。

将信号区分为能量信号和功率信号可以简化对各种信号和噪声的数学分析。

还有一类信号其功率和能量都是无限的，如f(t) = t，这类信号很少会用到。

2.2.3 功率谱密度我们定义信号()t f 的能量（作用归一化处理）：由电压()t f （或者电流()t f ）在Ω1电阻上消耗的能量： ⎰∞∞-=dt t f E )(2， （注释：22u R u i u E ==⋅=/）积分值存在，信号的能量为有限值，称()t f 为能量信号。

对于能量无限大的信号（如周期性信号），我们考虑能量的时间平均值，这显然就是信号的平均功率。

这种信号称作（平均）功率信号。

我们定义信号()t f 的平均功率，为电压()t f 在Ω1电阻上消耗的平均功率（简称功率）： ()⎰-∞→=2221T T T dt t f T S lim式中，T 是为求平均的时间区间。

为了更好地描述能量信号、功率信号，我们引入能量谱密度和功率谱密度概念。

能量谱密度、功率谱密度函数表示信号的能量、功率密度随频率变化的情况。

我们知道，非周期性信号的频谱宽度是无限的，然而，实际上信号的大部分功率是集中在某个有限的频谱宽度内。

通过研究功率谱密度，可以帮助了解信号的功率分布情况，确定信号的频带等。

对于能量信号()t f ，根据付里叶反变换有 ()()⎰∞+∞-ωωωπ=d e F t f tj 21 则信号的能量：()()⎰⎰⎰∞∞-∞+∞-ω+∞∞-ωωπ==dtd e F t f dt t f E t j ])[(21 2 ()()()()⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-ωωω-⋅ωπ=ω⋅ωπ=d F F d dt e t f F E t j *21 21 当()t f 为实信号时，)()(*ω=ωF F 。

今后如无特别说明，都是指实信号，这样则得到： ()()⎰⎰∞+∞-∞∞-ωω⋅ωπ==d F F dt t f E *)(212()⎰∞+∞-ωωπ=d F 221 式中，令，)( 2Hz J E F /,)()(ω=ω，称)(ωE 为能量谱密度。

信号的能量又可以表示为：⎰∞+∞-ωωπ=d E E )(21 上式就是能量信号的parsverl 公式。

谱密度, 功率谱密度, 能量谱密度在应用数学和物理学中，谱密度、功率谱密度和能量谱密度是一个用于信号的通用概念，它表示每赫兹的功率、每赫兹的能量这样的物理量纲。

解释在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。

当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。

功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。

尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。

定义能量谱密度能量谱密度描述的是信号或者时间序列的能量或者变化如何随着频率分布。

如果是一个有限能量信号，即平方可积，那么信号的谱密度就是信号连续傅里叶变换幅度的平方。

其中是角频率（循环频率的倍），是的连续傅里叶变换。

是的共轭函数。

如果信号是离散的，经过有限的元素之后，仍然得到能量谱密度：其中是的离散时间傅里叶变换。

如果所定义的数值个数是有限的，这个序列可以看作是周期性的，使用离散傅里叶变换得到离散频谱，或者用零值进行扩充从而可以作为无限序列的情况计算谱密度。

乘数因子经常不是绝对的，它随着不同傅里叶变换定义的归一化常数的不同而不同。

功率谱密度上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。

一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。

这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。

此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。

信号的频谱、幅度谱、相位谱及能量谱密度、功率谱密度这篇⽂章的标题起得如此长，实在是为了区分“谱”与“谱密度”。

谱的英⽂原词为spectrum，私以为是函数图象，却⼜不够准确。

信号就是时间的函数，那怎么不把信号称为谱？可知谱是函数图像中的某⼀类⽽已。

每每提及谱，都和频率脱不了⼲系，⽽此⽂的来由，也正是我对Parseval恒等式突发的好奇⼼。

Parseval恒等式是傅⾥叶变换的⼀个重要性质。

说到此，学识渊博的读者，您⾃然很熟悉，傅⾥叶变换将信号从时域或者空域变换到频域上，产⽣频谱。

这谱，⾃然和频率，有着天然的不可分割性。

罢了，再往下说就变成考证了。

即使本⽂意为⼀篇科普，也须得有理科⽂章的简洁。

且说上⽂提到的Parseval恒等式，⽼师有提到该等式的intuitive sense是：傅⾥叶变换的原信号和频谱之间是能量守恒的。

这当然是不错的解释，但却不够shocking，⼀个shocking的解释是，傅⾥叶变换之后的频谱保留了原信号的所有信息。

我当时就震惊了。

当然，只要想到傅⾥叶变换是可逆的（即⼀⼀对应），也就不那么震惊了。

傅⾥叶变换的另⼀个令⼈震惊的事实是：Gaussian分布的密度函数 $e^{-x^2/2}$是唯⼀的⼀个傅⾥叶变换不变函数。

Gaussian密度函数的⼀阶导数与哺乳动物视觉感知系统主视⽪层简单细胞的感受野（cortical receptive field）具有相似的结构。

泛函分析中，Gaussian密度函数的极限（$\sigma\to\infty$）是delta-dirac函数 $\delta(x)$，即脉冲函数。

更简单地，在⼤学⼀年级的数学分析课程中，Gaussian密度函数的积分是 $\sqrt{\pi}$。

总⽽⾔之，Gassian分布具有许多异常完美的性质，被它震惊也不是⼀回两回了。

⾔归正传，信号经过傅⾥叶变换之后产⽣频谱，频谱是⼀个以频率为⾃变量的函数。

频谱在每⼀个频率点的取值是⼀个复数。