23个求极值和值域的经典例题,都帮你归纳到位了

23个求极值和值域专题1、求函数f x x ()=+.2、求函数f x ()=+的值域.3、求函数f x ()=.4、求函数f x ()=.5、已知函数222x bx c f x x 1()++=+（其中b 0<）的值域是13[,]，求实数b c ,.6、已知：x y z ,,为正实数，且x y z xyz ++≥，求函数222x y z f x y z xyz(,,)++=的最小值.7、已知：222x 3xy 2y 1++=，求：f x y x y xy (,)=++的最小值. 8、设函数2113f x x 22()=-+在区间a b [,]的最小值为2a ，最大值为2b ，求区间a b [,].9、已知：22x y 25+=，求函数f x y (,)=的最大值.10、求函数：f x ()=.11、求函数：22x x f x x 4x 4()-=-+的值域.12、已知实数123x x x ,,满足321x x x 123++=和222321x x x 323++=，求3x 的最小值.13、求函数：222f x y 1y x y 32x y 6(,)()()()=-++-++-的最小值. 145=，求函数：f x y x y (,)=+的最小值.15、已知点P x y (,)在椭圆22x y 149+=上，求f x y 2x y (,)=-的最大值. 16、求函数：f x ()=的值域.17、求函数：x f x 12()=++.18、求函数：f x ()=的最大值. 19、设：ix i 1232003(,,,...,)=为正实数，且满足2003...+=，试求：y ...=+的最小值.20、已知x y z ,,为正实数，且满足222222x y z 21x1y1z++=+++，求：222x y z f x y z 1x1y1z(,,)=+++++的最大值.21、设α为锐角，求：11f 11()()()sin cos ααα=++的最小值. 22、设α为锐角，求证：2sin tan ααα<+.23、已知x y z ,,为正实数，求证：222xy 2yz x y z+≤++.23个求极值和值域专题解析1、求函数f x x ()=+.解析：函数f x x x ()=+=+的定义域为：12(,][,)-∞+∞.函数的导函数为：3x f x 1'()-=+⑴当x 1(,]∈-∞时，3x 02-<3x 1-<-故3x f x 10'()-=+<即：函数f x ()在x 1(,]∈-∞区间为单调递减函数，故：f x f 11()()≥=；x x f x f x f x ()lim ()lim ()→-∞→+∞≤=-22x x lim lim→+∞==x x 2333112limlim→+∞+====+ 故：函数在该区间的值域是312[,).⑵当x 2[,)∈+∞时，3x 02->，则3x f x 10'()-=+>即：函数f x ()在x 2[,)∈+∞区间为单调递增函数，故：f x f 22()()≥=；x x f x f x x ()lim ()lim )→+∞→+∞≤==+∞故：函数在该区间的值域是2[,)+∞. 综上，函数的值域是3122[,)[,)+∞.本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”. 2、求函数f x ()=+的值域.解析：函数f x ()的定义域是：x 013[,]∈. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：A B C 0,,>，则柯西不等式为：2222111f x A B C][]()++++≥ 即：2111f x A B C x 27A 13B ABC()[()()][]≤-+++++令：A B C 0-+=，即：B A C =+ ①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：=② =③由②得：22x 27C x A +=，即：22227C A x A-=，即：22227A x C A=- ④将①④代入③得：2222222227A 27A A C 13C C AC A()()+-=⋅--即：222222A C 13C 13A 27A 27A C ()()+--=即：22222A C 13C 40A 27A C ()()+-=，即：2221340A C 27AC()()+-= ⑤试解⑤，由于27333=⨯⨯，则⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.则：A C 3+=，且2213403AC-=. 则：A 1=，C 2=，B 3= 代入④得：222227A 27x 9C A21===--，即x 9=时函数取得极大值. 函数极大值为f x 962311()===++=⑴当x 09[,]∈时，函数f x ()在本区间为单调递增函数. 故：f x f 0()()≥==即：函数f x ()在x 09[,]∈区间的值域是11[]⑵当x 913[,]∈时，函数f x ()在本区间为单调递减函数. 故：f x f 13()()≥===即：函数f x ()在x 913[,]∈区间的值域是11[]综上，函数f x ()的值域是11[].本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.3、求函数f x ()=.解析：函数f x ()的定义域是：x 58[,]∈. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：A B 0,>，则柯西不等式为：22211f x A B][]()++≥ 即：211f x A 3B x 5A 24B AB()[()()][]≤-+-++令：A 3B 0-=，即：A 3B = ①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：=②即：22A x 5B 243x ()()-=-，即：22x 53B 8x A -=-，即：222x 58x 3B A 8x A -+-+=-即：22233B A 8x A +=-，即：2223A 8x 3B A -=+，即：2223A x 83B A=-+ ③将①式代入③式得：22227B 27923x 88812443B 9B =-=-=-=+ 当23x 4=时，函数f x ()达到极大值. 极大值为：23f 4()==22==+=函数的导函数为：f x'()==⑴当23x 54[,]∈区间时，f x 0'()<，函数f x ()单调递增. 故：f x f 503()()≥=+=即：函数f x ()在本区间的值域是3[,.⑵当23x 84[,]∈区间时，f x 0'()>，函数f x ()单调递减. 故：f x f 80()()≥==即：函数f x ()在本区间的值域是.综上，函数f x ()的值域是.本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.4、求函数f x x 1()=-的值域.解析：函数f x ()的定义域是：x 11(,)(,)∈-∞+∞. 则函数f x ()为：f x ()===（当x 1<时取负号，当x 1>时取正号）于是函数的极值在：g x 0'()= 即：222432x 1x 12x x 12g x x 1x x 10x 1x 1()()()'()[()()]()()-+--==+--=-- 即：2x 1x x 10()()+--=，即：x 1=- ⑴在x 1(,)∈-∞-区间，函数f x ()的极值为：f x 12()=-==-在区间的边界有：x x x f x 1lim ()lim (lim (→-∞→-∞→-∞===-x 1x 1f x lim ()lim(→→==-∞故：函数f x ()在该区间的值域是2(,-∞-. ⑵在x 1(,)∈+∞区间，函数f x ()==减函数.故有：x 1x 1f x f x ()lim ()→→≤==+∞；x x x f x f x 1()lim ()lim lim →+∞→+∞→+∞≥===故：函数f x ()在该区间的值域是1(,)+∞.综上，函数f x ()的值域是12(,(,)-∞-+∞. 本题方法属“单调性法” 5、已知函数222x bx c f x x 1()++=+（其中b 0<）的值域是13[,]，求实数b c ,.解析：函数的定义域为x R ∈.将函数变形为：22y x 12x bx c ()+=++，即：22y x bx c y 0()()-++-= 其判别式不等式为：222b 42y c y b 8c 42c y 4y 0()()()()∆=---=-++-≥即：22b 2c 2c y y 02[()]()-++-≥ ①而函数f x ()的值域是13[,]，即：y 13y 0()()--≥，即：234y y 0-+-≥ ②对比①②两式得：c 2=，2b 2c 32()-=-，即2b 12()=，因b 0<，故：b 2=-故：实数b 2=-，c 2=. 此法称为“判别式法”. 6、已知：x y z ,,为正实数，且x y z xyz ++≥，求函数222x y z f x y z xyz(,,)++=的最小值.解析：首先设x y z a ===，代入x y z xyz ++=得：33a a =，即：a =则：⑴当xyz =时，由均值不等式n nQ A ≥，即：2222x y z x y z 33++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得：22222x y z xyz x y z 33()()++++≥≥则：2222x y z xyz xyzf x y z xyz 3xyz 3()(,,)++=≥==⑵当xyz <由均值不等式n n A G ≥，即：222x y z 3++≥得：222x y z ++≥则：222x y z f x y z xyz (,,)++=≥=≥=⑶当xyz >由均值不等式n n Q A ≥，即：2222x y z x y z 3()++++≥ 代入已知条件x y z xyz ++≥， 得：22222x y z xyz x y z 33()()++++≥≥则：2222x y z xyz xyz f x y z xyz 3xyz 33()(,,)++=≥=≥=故：由⑴、⑵、⑶得，222x y z f x y z xyz(,,)++=本题先确定xyz =均值，然后在xyz >均值和xyz <均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.7、已知：222x 3xy 2y 1++=，求：f x y x y xy (,)=++的最小值. 解析：由已知条件222x 3xy 2y 1++=得： 2xy 2x y 1()=+-代入f x y x y xy (,)=++得：2f x y z x y xy x y 2x y 1(,)()==++=+++- 即：22x y x y 1z 0()()()+++-+=令：t x y =+，则方程变为：22t t 1z 0()+-+=采用判别式法得：21421z 0()∆=+⋅⋅+≥，即：11z 8()+≥-，即：9z 8≥-故：f x y x y xy (,)=++的最小值是98-. 此题采用的是“判别式法”8、设函数2113f x x 22()=-+在区间a b [,]的最小值为2a ，最大值为2b ，求区间a b [,].解析：首先，f x ()是一个偶函数，在0(,)-∞区间单调递增，在0(,)+∞区间单调递减.⑴当0a b <<时，f x ()为单调递减函数，即：f a f b ()()>. 故：f a ()是最大值为2b ，f b ()是最小值为2a . 即：22113f a a 2b 22113f b b 2a 22()()⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩ 即：22a 4b 130b 4a 130⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩ （*） （*）两式相减得：22a b 4a b 0()()---=，即： a b 4+= ① 则: 2a b 16()+=，即：22a b 162ab ()+=- ② （*）两式相加得：22a b 4a b 26()()+++= 将①②式代入后化简得：ab 3= ③ 由①③得：a 1=，b 3=. 则区间a b [,]为13[,].⑵当a 0<、b 0>时，f x ()的最大值是13f 02()=，即：13b 2=.i.若a b >，则f x ()的最小值为：2113f a a 2a 22()=-+=，即：2a 4a 130+-=，解之及a 0<可得：a 2=--，故此时区间a b [,]为1324[]--.ii.若a b <则f x ()的最小值为：2113f b b 2a 22()=-+=，即：2211311313131313339a b 14444441641664()()=-+=-+=-=⋅=， 则：a 0>. 不符合题设，即此时无解.⑶当a b 0<<时，由f x ()是一个偶函数可得：f a f b ()()<，故：f a ()是最小值为2a ，f b ()是最大值为2b ，即： 22113f a a 2a 22113f b b 2b 22()()⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩即：22a 4a 130b 4b 130⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩ 则：a b ,为一元二次方程2x 4x 130+-=的两个根，由韦达定理得：a b 4ab 13+=-⎧⎨=-⎩，则由ab 13=-得： a b ,异号，不符合题设，即此时无解.综上，区间a b [,]为13[,]或1324[]--. 本题采用“分别讨论法”和“极值法”.9、已知：22x y 25+=，求函数f x y (,)=的最大值.解析：由22x y 25+=可知，函数f x y (,)的定义域是：x 55[,]∈-，y 55[,]∈-有均值不等式n n A Q ≤，即：≤即：f x y (,)≤=即：f x y (,)≤=当y 5=时，x 0=，f 05(,)=即可以取到不等式的等号。

高中数学求函数值域最值的10种经典例题和方法
函数的值域在函数的应用中占有非常重要的地位.因此,准确选择恰当的方法显得十分重要.本文结合具体的经典例题说明了求函数值域和最值方法.
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高中数学求函数值域最值的几种经典例题和方法
方法一观察法
方法二分离常数法
方法三配方法
方法四反函数法
方法五换元法
方法六判别式法
方法七基本不等式法
方法八单调性法
方法九数形结合法
方法十导数法。

常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.方法一 观察法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列函数中，值域为[1,)+∞的是（ ） A ．1y x =-B ．1y x =+ C ．21y x =+D ．1y x =- 【答案】BC【分析】可以求出选项A 函数的值域为[0,)+∞，选项D 函数的值域为(0,)+∞，选项BC 函数的值域为[1,)+∞，即得解.【详解】解：A. 函数的值域为[0,)+∞，所以该选项不符合题意；B.因为||0,||11x x ≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意； C.因为2220,11,11x x x ≥∴+≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意； D. 函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意. 故选：BC【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数()()21{5x f x x +=-+，，2113x x -≤<≤≤的值域是______________（用区间表示） 【答案】[0,4]【分析】根据二次函数、一次函数的性质，分别求解21x 时和13x ≤≤时，函数的值域，综合即可得答案. 【详解】当21x 时，2()(1)f x x =+，为开口向上，对称轴为1x =-的抛物线，所以()[0,4)f x ∈，当13x ≤≤时，()5f x x =-+，为单调递减函数， 所以()[2,4]f x ∈，综上：()[0,4]f x ∈，即()f x 的值域为[0,4]. 故答案为：[0,4]方法二 分离常数法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式；第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.例2 求函数2)(-=x x f 的值域.【解析】第一步，观察函数类型，型如；第二步，变形：函数35361111()3222x x f x x x x +-+===+---， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域：根据反比例函数的性质可知：1102x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y . 【变式演练2】函数212x y x -=+； ①[]5,10x ∈的值域是__________； ②()()3,22,1x ∈---的值域是__________．【答案】 919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】215222x y x x -==-++，然后画出其图像，结合图像可得答案. 【详解】()2252152222x x y x x x +--===-+++， 其图像可由反比例函数5y x-=的图像先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，如下： ()f x ()ax bf x cx d +=+()f x ()a ef x c cx d=++ey cx d=+()f x ()f x ()f x ()ax b f x cx d +=+ey cx d=+()f x当5x =时97y =，当10x =时1912y =，所以[]5,10x ∈的值域是919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为当3x =-时7y =，当1x =时13y =，所以()()3,22,1x ∈---的值域是()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ；()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭方法三 配方法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 将二次函数配方成；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成：由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++2()y a x b c =-+2()y a x b c =-+()()225456x x x x =++++()225x x =++10()25x x ++24()2255x x =++-1第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为2255555244x x x ⎛⎫++=+-≥- ⎪⎝⎭,()22550x x ⇒++≥所以()2255x x ++-11≥-即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[)1-+∞， 【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）函数212y x x =-++的值域为________.【答案】4(,0)[,)9-∞+∞【分析】先求出x 的取值范围，再求出2924x x -++≤，且220x x -++≠，即得解. 【详解】解：由题得220,1x x x -++≠∴≠-且2x ≠.因为221992()244x x x -++=--+≤, 且220x x -++≠.所以原函数的值域为4(,0)[,)9-∞+∞.故答案为：4(,0)[,)9-∞+∞方法四 反函数法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 求已知函数的反函数； 第二步 求反函数的定义域；第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4 设为，的反函数，则的最大值为． 【答案】【解析】第一步，先判定函数()222xx f x +=-在区间[]20，上是单调递增的；()1fx -()222x f x -=+[]0,2x ∈()()1y f x f x -=+4第二步，求出函数()222x x f x +=-的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，； 第三步，根据反函数的性质得出反函数()x fy 1-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以的最大值为()()221-+f f 4=【变式演练4】求函数的值域.方法五 换元法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5 求函数()1423xx f x +=--， []1,1x ∈-的值域..【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：()1423x x f x +=--∴()()32222-•-=x x x f ，设2x t =，∴()()222314f t t t t =--=--第二步，求出换元后函数的定义域： ∵[]1,1x ∈-，∵[]0,2t ∈，第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ()[]4,3f t ∈--， 综上所述：函数的值域为[]4,3--.()()1y f x f x -=+()()1y f x fx -=+34()56x f x x +=+【变式演练5】【2021新高考高考最后一卷数学第二模拟】函数22sin sin 21sin x xy x+=+的值域为______. 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题可得，22222sin 2sin cos tan 2tan cos 2sin 12tan x x x x x y x x x ++==++，令tan x t =，则22221t ty t +=+， 即()21y -220t t y -+=，当210y -=，即12y =时，14t =； 当210y -≠，即12y ≠时，要使方程有解，则需()44210y y ∆=--≥，得111,,1222y ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 综上，1,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦例6 求函数12y x x =+-.【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：令21120,2t t x x -=-=，所以原函数可化为()211022y t t t =-++≥ 第二步，根据函数解析式判定单调性： 因为其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.【变式演练6】 求函数，的值域.方法六 判别式法)1x )(cos 1x(sin y ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.例7 求函数的值域.【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：因为所以()()0732222=++-+-y x y x y第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆，=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈⇒2,29y 【变式演练7】（2022·全国·高一专题练习）求函数231xy x x =-+的值域.【答案】(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】将函数式转化为方程()2310yx y x y ++=-，即该方程在x ∈R 上有解，讨论0y =、0y ≠，结合判别式法即可求值域. 【详解】因为231xy x x =-+，所以当0x =时，0y =；当0y ≠时，原函数化为()2310yx y x y ++=-，22dx ex fy ax bx c++=++x y 3274222++-+=x x x x y x 3274222++-+=x x x x y所以22(31)40y y ∆=+-≥，整理得25610y y ++≥， 解得即1y ≤-或15y ≥-，∴综上，函数231xy x x =-+的值域为(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭. 方法七 基本不等式法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例8 已知，求函数 的最小值.【解析】第一步，将函数解析式化成()xax x f +=的形式： 因为25≥x ，所以02>-x ； 所以()()()()2212222425422-+-=-+=-+-=x x x x x x x f ； 第二步，利用基本不等式求函数最小值：()()()()()122122222122=-⨯-≥-+-=x x x x x f ，当且仅当()()22122-=-x x ，即3=x 时等号成立。

求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y =211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y =2－x 的值域。

解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：[-∞，2 ]2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

函数的极值典例精讲例1：求函数()xf x xe -=的极值.解：()()'1x x xf x e xe x e ---=-=-令()'0fx >解得：1x <()f x ∴的单调区间为：x (),1-∞1()1,+∞'()f x +-()f x 极大值()f x ∴的极大值为()11f e=，无极小值（1）求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值，所以可考虑求函数的单调区间，进而在表格中加入一列极值点，根据单调性即可进行判断（2）在格式上有两点要求：第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来，第二在求极值点时如果只有一个极大（或极小）值点，则需说明另一类极值点不存在例2：求函数1)1()(32+-=x x f 的极值。

解：()()2'2312fx x x =-⋅，令()'0f x >解得：0x >()f x ∴的单调区间为：x (),0-∞0()0,+∞'()f x -+()f x 极小值()f x ∴的极小值为()00f =，无极大值本题若使用()'0fx =解极值点，则1x =±也满足()'0f x =，但由于函数通过这两个点时单调性没有发生变化，故1x =±均不是极值点。

对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间例3：求函数()f x =在R 上的极值思路：利用()'f x 求出()f x 的单调区间，进而判断极值情况解：()'fx =令()'0fx >解得：()()2,02,x ∈-+∞ ()f x ∴的极小值为()()220f f -==，极大值为()0f ==例4：若函数()322f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a b +=_________思路：()'232f x x ax b =++，依题意可得：()()2'11101320f a b a f a b ⎧=+++=⎪⎨=++=⎪⎩，可解得：411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，但是当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2'236331f x x x x =-+=-所以尽管()'10f =但1x =不是极值点，所以舍去。

23个求极值和值域专题23个求极值和值域专题1、求函数«Skip Record If...»的值域.2、求函数«Skip Record If...»的值域.3、求函数«Skip Record If...»的值域.4、求函数«Skip Record If...»的值域.5、已知函数«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»）的值域是«Skip Record If...»，求实数«Skip Record If...».6、已知：«Skip Record If...»为正实数，且«Skip Record If...»，求函数«Skip Record If...»的最小值.7、已知：«Skip Record If...»，求：«Skip Record If...»的最小值.8、设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»的最小值为«Skip Record If...»，最大值为«Skip Record If...»，求区间«Skip Record If...».9、已知：«Skip Record If...»，求函数«Skip Record If...»的最大值.10、求函数：«Skip Record If...»的最小值.11、求函数：«Skip Record If...»的值域.12、已知实数«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的最小值.13、求函数：«Skip Record If...»的最小值.14、已知：«Skip Record If...»，求函数：«Skip Record If...»的最小值.15、已知点«Skip Record If...»在椭圆«Skip Record If...»上，求«Skip Record If...»的最大值.16、求函数：«Skip Record If...»的值域.17、求函数：«Skip Record If...»的值域.18、求函数：«Skip Record If...»的最大值.19、设：«Skip Record If...»为正实数，且满足«Skip Record If...»，试求：«Skip Record If...»的最小值.20、已知«Skip Record If...»为正实数，且满足«Skip Record If...»，求：«Skip Record If...»的最大值.21、设«Skip Record If...»为锐角，求：«Skip Record If...»的最小值.22、设«Skip Record If...»为锐角，求证：«Skip Record If...».23、已知«Skip Record If...»为正实数，求证：«Skip Record If...».23个求极值和值域专题解析1、求函数«Skip Record If...»的值域.解析：函数«Skip Record If...»的定义域为：«Skip Record If...».函数的导函数为：«Skip Record If...»⑴当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»即：函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»区间为单调递减函数，故：«Skip Record If...»；«Skip Record If...»«Skip Record If...»故：函数在该区间的值域是«Skip Record If...».⑵当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»即：函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»区间为单调递增函数，故：«Skip Record If...»；«Skip Record If...»故：函数在该区间的值域是«Skip Record If...».综上，函数的值域是«Skip Record If...».2、求函数«Skip Record If...»的值域.解析：函数«Skip Record If...»的定义域是：«Skip Record If...».待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：«Skip Record If...»，则柯西不等式为：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»令：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：«Skip Record If...»②«Skip Record If...»③由②得：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»④将①④代入③得：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»⑤试解⑤，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，则：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»代入④得：«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»时函数取得极大值.函数极大值为«Skip Record If...»⑴当«Skip Record If...»时，函数«Skip Record If...»在本区间为单调递增函数. 故：即：函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»区间的值域是«Skip Record If...»⑵当«Skip Record If...»时，函数«Skip Record If...»在本区间为单调递减函数. 故：«Skip Record If...»即：函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»区间的值域是«Skip Record If...»综上，函数«Skip Record If...»的值域是«Skip Record If...».3、求函数«Skip Record If...»的值域.解析：函数«Skip Record If...»的定义域是：«Skip Record If...».待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：«Skip Record If...»，则柯西不等式为：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»令：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：«Skip Record If...»②即：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»③将①式代入③式得：«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时，函数«Skip Record If...»达到极大值. 极大值为：«Skip Record If...»函数的导函数为：«Skip Record If...»⑴当«Skip Record If...»区间时，«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»单调递增. 故：«Skip Record If...»即：函数«Skip Record If...»在本区间的值域是«Skip Record If...».⑵当«Skip Record If...»区间时，«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»单调递减. 故：«Skip Record If...»即：函数«Skip Record If...»在本区间的值域是«Skip Record If...».综上，函数«Skip Record If...»的值域是«Skip Record If...».4、求函数«Skip Record If...»的值域.解析：函数«Skip Record If...»的定义域是：«Skip Record If...». 则函数«Skip Record If...»为：«Skip Record If...»（当«Skip Record If...»时取负号，当«Skip Record If...»时取正号）于是函数的极值在：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»⑴在«Skip Record If...»区间，函数«Skip Record If...»的极值为：«Skip Record If...»在区间的边界有：«Skip Record If...»故：函数«Skip Record If...»在该区间的值域是«Skip Record If...».⑵在«Skip Record If...»区间，函数«Skip Record If...»，为单调递减函数.故有：«Skip Record If...»；«Skip Record If...»故：函数«Skip Record If...»在该区间的值域是«Skip Record If...».综上，函数«Skip Record If...»的值域是«Skip Record If...».5、已知函数«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»）的值域是«Skip Record If...»，求实数«Skip Record If...».解析：函数的定义域为«Skip Record If...».将函数变形为：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»其判别式不等式为：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»①而函数«Skip Record If...»的值域是«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»②对比①②两式得：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，因«Skip Record If...»，故：«Skip Record If...»故：实数«Skip Record If...»，«Skip Record If...».6、已知：«Skip Record If...»为正实数，且«Skip Record If...»，求函数«Skip Record If...»的最小值.解析：首先设«Skip Record If...»，代入«Skip Record If...»得：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»，则：⑴当«Skip Record If...»时，由均值不等式«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»得：«Skip Record If...»则：«Skip Record If...»⑵当«Skip Record If...»时，由均值不等式«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»得：«Skip Record If...»则：«Skip Record If...»⑶当«Skip Record If...»时，由均值不等式«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»代入已知条件«Skip Record If...»，得：«Skip Record If...»则：«Skip Record If...»故：由⑴、⑵、⑶得，«Skip Record If...»的最小值是«Skip Record If...».7、已知：«Skip Record If...»，求：«Skip Record If...»的最小值.解析：由已知条件«Skip Record If...»得：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»代入«Skip Record If...»得：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»令：«Skip Record If...»，则方程变为：«Skip Record If...»采用判别式法得：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»，即：«SkipRecord If...»故：«Skip Record If...»的最小值是«Skip Record If...».8、设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»的最小值为«Skip Record If...»，最大值为«Skip Record If...»，求区间«Skip Record If...».解析：首先，«Skip Record If...»是一个偶函数，在«Skip Record If...»区间单调递增，在«Skip Record If...»区间单调递减.⑴当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»为单调递减函数，即：«SkipRecord If...».故：«Skip Record If...»是最大值为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是最小值为«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»（*）（*）两式相减得：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»①则: «Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»②（*）两式相加得：«Skip Record If...»将①②式代入后化简得：«Skip Record If...»③由①③得：«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 则区间«Skip Record If...»为«Skip Record If...».⑵当«Skip Record If...»、«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»的最大值是«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...».i.若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的最小值为：«Skip RecordIf...»，即：«Skip Record If...»，解之及«Skip Record If...»可得：«Skip Record If...»，故此时区间«Skip Record If...»为«Skip Record If...».ii.若«Skip Record If...»则«Skip Record If...»的最小值为：«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»，则：«Skip Record If...». 不符合题设，即此时无解.⑶当«Skip Record If...»时，由«Skip Record If...»是一个偶函数可得：«SkipRecord If...»，故：«Skip Record If...»是最小值为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是最大值为«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»则：«Skip Record If...»为一元二次方程«Skip Record If...»的两个根，由韦达定理得：«Skip Record If...»则由«Skip Record If...»得：«Skip Record If...»异号.不符合题设，即此时无解.综上，区间«Skip Record If...»为«Skip Record If...»或«Skip Record If...».9、已知：«Skip Record If...»，求函数«Skip Record If...»的最大值.解析：由«Skip Record If...»可知，函数«Skip Record If...»的定义域是：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»有均值不等式«Skip Record If...»，即：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»即：«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，即，可以取到不等式的等号。

函数的值域题型一：求函数值，特别是分段函数求值例题1.已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R).(1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f [g (3)]的值.【答案：f (2)＝13，g (2)＝6；∴f [g (3)]＝112】 练习1.1.已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2.(1)求f (2)；(2)求f [f (1)].【答案：f (2)＝34；f [f (1)]＝58】 练习1.2.已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f (1x )；(2)若f (x )＝5，求x 的值.【答案：f (2)＝5，f (1x )＝1＋x －x 2x 2；x ＝2，或x ＝－3.】 练习1.3.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝________.【答案：6】 题型二：值域是函数y=f(x)中y 的取值范围例题2.1.（图像法）求下列函数的值域①y=3x+2(-1≤x ≤1) 【答案：[-1，5]】 ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f 【答案：]92,32[--】 ③ xx y 1+=（记住图像） 【答案： ]2,(--∞[2，+∞)】 练习2.1.求下列函数的值域：①142+-=x x y ； 【答案：{y|y ≥-3 }.】②；]4,3[,142∈+-=x x x y 【答案：[-2，1].】③]1,0[,142∈+-=x x x y ； 【答案：[-2，1].】④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 【答案：[-3，6].】例题2.2.（代数换元法）求函数x x y -+=12 的值域 。

【答案：]2，（∞-】 练习2.2.求函数y=x x --1的值域。

【答案：｛y|y ≤－3/4｝】例题2.3.（三角换元法）求函数21x x y -+=的值域【答案：[-1,2]】练习2.3.例题2.4.（反函数法）求函数21+-=x x y 的值域【答案：{}1≠y y 】（此类题目也可用分离常数法） 练习2.4.1.求函数6412+-=x x y 的值域【答案：{y|y ≠21}】 练习2.4.2.求函数133+=x xy 的值域【答案：y ∈(0，1)】 练习2.4.3.求函数 y =1212+-x x 的值域；【答案：y ∈(-1，1)】例题2.5.（判别式法）函数1122+-=x x y 的值域（也可用分离常数法，反函数法） 练习2.5.1.求函数34252+-=x x y 的值域 【答案：}50|{≤<y y 】 练习2.5.2.求函数)1(1222->+++=x x x x y 的值域 【答案：[)∞+,2】（也可用分离常数法） 例题2.6.（分离常数法）详细过程见其他例题例题2.7.（单调性法）求函数y=4x －x 31-的值域。

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函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法(耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。

(1）2121x y x -=+； (2）()lg 12cos y x =-; (3）2y x =；(4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6)3sin 2cos xy x-=-。

23个求极值和值域专题1、求函数()f x x =.2、求函数()f x =+的值域. 3、求函数()f x =+的值域.4、求函数()1f x x =-的值域. 5、已知函数222()1x bx cf x x ++=+（其中0b <）的值域是[1,3]，求实数,b c .6、已知：,,x y z 为正实数，且x y z xyz ++≥，求函数222(,,)x y z f x y z xyz++=的最小值. 7、已知：222321x xy y ++=，求：(,)f x y x y xy =++的最小值.8、设函数2113()22f x x =-+在区间[,]a b 的最小值为2a ，最大值为2b ，求区间[,]a b . 9、已知：2225x y +=，求函数(,)f x y =.10、求函数：()f x =. 11、求函数：22()44x xf x x x -=-+的值域.12、已知实数123,,x x x 满足321123x x x ++=和222321323x x x ++=，求3x 的最小值. 13、求函数：222(,)(1)(3)(26)f x y y x y x y =-++-++-的最小值.145=，求函数：(,)f x y x y =+的最小值.15、已知点(,)P x y 在椭圆22149x y +=上，求(,)2f x y x y =-的最大值. 16、求函数：()f x =.17、求函数：()12x f x =++. 18、求函数：()f x =.19、设：(1,2,3,...,2003)i x i =...2003=，试求：...y =的最小值.20、已知,,x y z 为正实数，且满足2222222111x y z x y z++=+++， 求：222(,,)111x y z f x y z x y z =+++++的最大值. 21、设α为锐角，求：11()(1)(1)sin cos f ααα=++的最小值. 22、设α为锐角，求证：2sin tan ααα<+. 23、已知,,x y z为正实数，求证：22222xy yz x y z +≤++.23个求极值和值域专题解析1、求函数()f x x =.解析：函数()f x x x =+=+(,1][2,)-∞+∞.函数的导函数为：3'()1x f x -=+= ⑴当(,1]x ∈-∞时，302x -<，则'()0f x =< 即：函数()f x 在(,1]x ∈-∞区间为单调递减函数，故：()(1)1f x f ≥=；22()lim ()lim ()lim lim x x x x f x f x f x →-∞→+∞→+∞≤=-==2333lim lim 112x x +====+ 故：函数在该区间的值域是3[1,)2.⑵当[2,)x ∈+∞时，302x ->，则'()0f x => 即：函数()f x 在[2,)x ∈+∞区间为单调递增函数，故： ()(2)2f x f ≥=；()lim ()lim )x x f x f x x →+∞→+∞≤==+∞ 故：函数在该区间的值域是[2,)+∞.综上，函数的值域是(,1][2,)-∞+∞.2、求函数()f x =+的值域. 解析：函数()f x 的定义域是：[0,13]x ∈.待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：,,0A B C >，则柯西不等式为：2222111][]()f x A B C++++≥ 即：2111()[()(2713)][]f x A B C x A B A B C≤-+++++ 令：0A B C -+=，即：B A C =+ ① 由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：= ②=③ 由②得：2227x C x A +=，即：22227C A x A -=，即：22227A x C A=- ④ 将①④代入③得：222222222727()(13)A A A C C C A C A +-=⋅-- 即：222222()(131327)27A C C A A A C +--=， 即：22222()(1340)27A C C A A C +-= 即：2221340()()27A C A C +-= ⑤ 试解⑤，3A C +=，且2213403A C -=，则：1A =，2C =，3B =。

12一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

高考考点精练专辑019函数及其表示(九)求函数的值域与最值九、求函数的值域与最值求函数的值域与最值，虽有区别，但方法基本相同。

求出的值域除小数情况(只有几个有限元素组成的集合)外都可以用区间表示，可能是开区间，也可是闭区间、左开右闭区间、左闭右开区间，还可能是多个区间的并集。

求出的值域中，有的能直接找出最值(含有闭区间)，有的也许找不出最值(都是开区间)。

㈠、求函数的值域求函数的值域是学习中的难点，方法因题而易，灵活多样。

常用的方法有：直接法、图像法、单调法、换元法，反解法(解方程法，即方程思想)、判别式法、分离常数法、配方法、导数法等。

1.(2019上海文理同卷13)(共23题的第13题 4道选择题第1题 150分占5分) 下列函数中，值域为[)0,+∞的是( )A.2xy = B.12y x = C.tan y x = D.cos y x = 答案：B解：2x y =的值域为()0,+∞，故A 错；12y x =的定义域为[)0,+∞，值域也是[)0,+∞，故B 正确；tan y x =的值域为(),-∞+∞，故C 错；cos y x =的值域为[]1,1-，故D 错。

因此，选B 。

点拔：直接求四个选项中的函数的值域即可。

2.(2016北京理14)(共20题 6道填空题第6题 150分占5分)设函数()33,,2,,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 。

答案：2； (),1-∞-解：如图作出函数()33g x x x =-与直线直线2y x =-的图象，它们的交点是()1,2A -，()0,0O ，()1,2B -，由()233g x x '=-，知1x =是函数()g x 的极大值点，BA-112-2-22yxO①当0a=时，()33,0,2,0,x x xf xx x⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x的最大值是()12f-=；②由图象知当1a≥-时，()f x有最大值是()12f-=；只有当1a<-时，由332a a a-<-，因此()f x无最大值，∴所求a的范围是(),1-∞-。

23个求极值和值域专题1、求函数f x x ()=+.2、求函数f x ()=+的值域.3、求函数f x ()=.4、求函数f x ()=的值域.5、已知函数222x bx c f x x 1()++=+（其中b 0<）的值域是13[,]，求实数b c ,.6、已知：x y z ,,为正实数，且x y z xyz ++≥，求函数222x y z f x y z xyz(,,)++=的最小值.7、已知：222x 3xy 2y 1++=，求：f x y x y xy (,)=++的最小值.8、设函数2113f x x 22()=-+在区间a b [,]的最小值为2a ，最大值为2b ，求区间a b [,].9、已知：22x y 25+=，求函数f x y (,)=的最大值.10、求函数：f x ()=.11、求函数：22x x f x x 4x 4()-=-+的值域.12、已知实数123x x x ,,满足321x x x 123++=和222321x x x 323++=，求3x 的最小值. 13、求函数：222f x y 1y x y 32x y 6(,)()()()=-++-++-的最小值.145=，求函数：f x y x y (,)=+的最小值.15、已知点P x y (,)在椭圆22x y 1+=上，求f x y 2x y (,)=-的最大值.16、求函数：f x ()=.17、求函数：x f x 12()=++.18、求函数：f x ()=的最大值.19、设：ix i 1232003(,,,...,)=2003...+=，试求：y ...=+.20、已知x y z ,,为正实数，且满足222222x y z 21x1y1z++=+++，求：222x y z f x y z 1x1y1z(,,)=+++++的最大值.21、设α为锐角，求：11f 11()()()sin cos ααα=++的最小值. 22、设α为锐角，求证：2sin tan ααα<+.23、已知x y z ,,为正实数，求证：222xy 2yz x y z +≤++23个求极值和值域专题解析1、求函数f x x ()=+.解析：函数f x x x ()=+=+12(,][,)-∞+∞ .函数的导函数为：3x f x 1'()-=+⑴当x 1(,]∈-∞时，3x 02-<3x 1-<-故3x f x 10'()-=+<即：函数f x ()在x 1(,]∈-∞区间为单调递减函数，故：f x f 11()()≥=；x x f x f x f x ()lim ()lim ()→-∞→+∞≤=-22x x lim lim→+∞==x x 2333112limlim+====+ 故：函数在该区间的值域是312[,).⑵当x 2[,)∈+∞时，3x 02->，则3x f x 10'()-=+>即：函数f x ()在x 2[,)∈+∞区间为单调递增函数，故：f x f 22()()≥=；x x f x f x x ()lim ()lim )→+∞→+∞≤==+∞故：函数在该区间的值域是2[,)+∞. 综上，函数的值域是3122[,)[,) +∞.本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”.2、求函数f x ()=+的值域.解析：函数f x ()的定义域是：x 013[,]∈. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：A B C 0,,>，则柯西不等式为：2222111f x A B C][]()++++≥ 即：2111f x A B C x 27A 13B A B C()[()()][]≤-+++++ 令：A B C 0-+=，即：B A C =+ ①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：= ② = ③由②得：22x 27C x A +=，即：22227C A x A -=，即：22227A x C A=- ④ 将①④代入③得：2222222227A 27A A C 13C C AC A()()+-=⋅--即：222222A C 13C 13A 27A 27A C ()()+--=即：22222A C 13C 40A 27A C ()()+-=，即：2221340A C 27AC()()+-= ⑤试解⑤，由于27333=⨯⨯，则⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3. 则：A C 3+=，且2213403AC-=. 则：A 1=，C 2=，B 3=代入④得：222227A 27x 9C A21===--，即x 9=时函数取得极大值.函数极大值为f x 962311()===++= ⑴当x 09[,]∈时，函数f x ()在本区间为单调递增函数. 故：f x f 0()()≥==即：函数f x ()在x 09[,]∈区间的值域是11[] ⑵当x 913[,]∈时，函数f x ()在本区间为单调递减函数. 故：f x f 13()()≥=即：函数f x ()在x 913[,]∈区间的值域是11[]综上，函数f x ()的值域是11[].本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.3、求函数f x ()=.解析：函数f x ()的定义域是：x 58[,]∈. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：A B 0,>，则柯西不等式为：22211f x A B][]()++≥ 即：211f x A 3B x 5A 24B A B()[()()][]≤-+-++ 令：A 3B 0-=，即：A 3B = ①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：= ②即：22A x 5B 243x ()()-=-，即：22x 53B 8x A -=-，即：222x 58x 3B A 8x A-+-+=- 即：22233B A 8x A +=-，即：2223A 8x 3B A -=+，即：2223A x 83B A=-+ ③ 将①式代入③式得：22227B 27923x 88812443B 9B =-=-=-=+ 当23x 4=时，函数f x ()达到极大值. 极大值为：23f 4()====+=函数的导函数为：f x'()==⑴当23x54[,]∈区间时，f x0'()<，函数f x()单调递增. 故：f x f503()()≥=+即：函数f x()在本区间的值域是3[,.⑵当23x84[,]∈区间时，f x0'()>，函数f x()单调递减. 故：f x f80()()≥==即：函数f x()在本区间的值域是.综上，函数f x()的值域是.本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.4、求函数f x()=的值域.解析：函数f x()的定义域是：x11(,)(,)∈-∞+∞. 则函数f x()为：f x()===x1<时取负号，当x1>时取正号）于是函数的极值在：g x0'()=即：222432x1x12x x12g x x1x x10x1x1()()()'()[()()]()()-+--==+--=--即：2x1x x10()()+--=，即：x1=-⑴在x1(,)∈-∞-区间，函数f x()的极值为：f x12()=-==-在区间的边界有：x x xf x1lim()lim(lim(→-∞→-∞→-∞===-x 1x 1f x lim ()lim(→→==-∞故：函数f x ()在该区间的值域是2(,-∞-.⑵在x 1(,)∈+∞区间，函数f x ()==.故有：x 1x 1f x f x ()lim ()→→≤==+∞；x x x f x f x 1()lim ()lim lim →+∞→+∞→+∞≥===故：函数f x ()在该区间的值域是1(,)+∞.综上，函数f x ()的值域是12(,(,)-∞-+∞ . 本题方法属“单调性法” 5、已知函数222x bx cf x x 1()++=+（其中b 0<）的值域是13[,]，求实数b c ,.解析：函数的定义域为x R ∈.将函数变形为：22y x 12x bx c ()+=++，即：22y x bx c y 0()()-++-=其判别式不等式为：222b 42y c y b 8c 42c y 4y 0()()()()∆=---=-++-≥ 即：22b 2c 2c y y 02[()]()-++-≥ ①而函数f x ()的值域是13[,]，即：y 13y 0()()--≥，即：234y y 0-+-≥ ②对比①②两式得：c 2=，2b 2c 32()-=-，即2b 12()=，因b 0<，故：b 2=-故：实数b 2=-，c 2=. 此法称为“判别式法”.6、已知：x y z ,,为正实数，且x y z xyz ++≥，求函数222x y z f x y z xyz(,,)++=的最小值.解析：首先设x y z a ===，代入x y z xyz ++=得：33a a =，即：a =⑴当xyz =时，由均值不等式n n Q A ≥，即：2222x y z x y z 33++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得：22222x y z xyz x y z 33()()++++≥≥则：2222x y z xyz xyzf x y z xyz 3xyz 3()(,,)++=≥==⑵当xyz <n n A G ≥，即：222x y z 3++≥222x y z ++≥则：222x y z f x y z xyz (,,)++=≥=≥=⑶当xyz >n n Q A ≥，即：2222x y z x y z 3()++++≥代入已知条件x y z xyz ++≥， 得：22222x y z xyz x y z 33()()++++≥≥则：2222x y z xyz xyz f x y z xyz 3xyz 33()(,,)++=≥=≥=故：由⑴、⑵、⑶得，222x y z f x y z xyz(,,)++=本题先确定xyz =均值，然后在xyz >均值和xyz <均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.7、已知：222x 3xy 2y 1++=，求：f x y x y xy (,)=++的最小值. 解析：由已知条件222x 3xy 2y 1++=得： 2xy 2x y 1()=+-代入f x y x y xy (,)=++得：2f x y z x y xy x y 2x y 1(,)()==++=+++- 即：22x y x y 1z 0()()()+++-+=令：t x y =+，则方程变为：22t t 1z 0()+-+=采用判别式法得：21421z 0()∆=+⋅⋅+≥，即：11z 8()+≥-，即：9z 8≥- 故：f x y x y xy (,)=++的最小值是98-. 此题采用的是“判别式法” 8、设函数2113f x x 22()=-+在区间a b [,]的最小值为2a ，最大值为2b ，求区间a b [,].解析：首先，f x ()是一个偶函数，在0(,)-∞区间单调递增，在0(,)+∞区间单调递减.⑴当0a b <<时，f x ()为单调递减函数，即：f a f b ()()>. 故：f a ()是最大值为2b ，f b ()是最小值为2a . 即：22113f a a 2b 22113f b b 2a 22()()⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩ 即：22a 4b 130b 4a 130⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩ （*） （*）两式相减得：22a b 4a b 0()()---=，即： a b 4+= ①则: 2a b 16()+=，即：22a b 162ab ()+=- ② （*）两式相加得：22a b 4a b 26()()+++=将①②式代入后化简得：ab 3= ③由①③得：a 1=，b 3=. 则区间a b [,]为13[,].⑵当a 0<、b 0>时，f x ()的最大值是13f 02()=，即：13b 2=. i.若a b >，则f x ()的最小值为：2113f a a 2a 22()=-+=， 即：2a 4a 130+-=，解之及a 0<可得：a 2=- 故此时区间a b [,]为1324[]--. ii.若a b <则f x ()的最小值为：2113f b b 2a 22()=-+=， 即：2211311313131313339a b 14444441641664()()=-+=-+=-=⋅=， 则：a 0>. 不符合题设，即此时无解.⑶当a b 0<<时，由f x ()是一个偶函数可得：f a f b ()()<，故：f a ()是最小值为2a ，f b ()是最大值为2b ，即：22113f a a 2a 22113f b b 2b 22()()⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩即：22a 4a 130b 4b 130⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩则：a b ,为一元二次方程2x 4x 130+-=的两个根，由韦达定理得：a b 4ab 13+=-⎧⎨=-⎩，则由ab 13=-得：a b ,异号，不符合题设，即此时无解.综上，区间a b [,]为13[,]或1324[]--. 本题采用“分别讨论法”和“极值法”.9、已知：22x y 25+=，求函数f x y (,)=的最大值. 解析：由22x y 25+=可知，函数f x y (,)的定义域是：x 55[,]∈-，y 55[,]∈-有均值不等式n n A Q ≤，即：≤即：f x y (,)≤=即：f x y (,)≤=当y 5=时，x 0=，f 05(,)=故：函数f x y (,)的最大值是. 本题采用n n A Q ≤，称为“均值不等式”.10、求函数：f x ()=.解析：函数f x ()=其定义域为：x R ∈令：m x 13((),)=-+，n x 82(,)=+则：m =n = m n 75(,)+=于是：f x m n m n ()=+≥+==当m n //时，x 13x 82()-+=+，即：3x 82x 10()()+++=，即：5x 260+=，则：26x 5=-26f 5()-=55==+==. 故f x ()正是由于m n //时，函数f x ()=取到极值，所以有人总结出此类题的解法用m n // 来解，即设m n λ=，代入m x 13((),)=-+ ，n x 82(,)=+±后得：m x 13x 82x 82((),)(,)(,)λλλλ=-+=+±=+即： x 1x 832λλλ--=+⎧⎨=±⎩，即：321x 81()λλλ⎧=±⎪⎨⎪+=--⎩， 即：81121242x 313212λλ+±+±+=-=-=-+±+±+，即：126x 5=-，2x 22=-这两个结果分别对应于f x ()=和f x ()=.本题采用的是“向量法”. 11、求函数：22x x f x x 4x 4()-=-+的值域.解析：先求函数的定义域. 定义域为：x 2≠本题采用判别式法解题. 由22x x y x 4x 4-=-+等价变形为：22yx 4yx 4y x x -+=-即：21y x 4y 1x 4y 0()()-+--=式上面方程有解得判别式是：24y 144y 1y 0()()∆=-+⋅-≥即：2216y 8y 116y 16y 8y 10∆=-++-=+≥，即：1y 8≥-故：函数22x x f x x 4x 4()-=-+的值域为18[,)-+∞. 此法称为“判别式法” 本题亦可以采用换元法和配方法来做. 令：t x 2=-，则t 0≠，x t 2=+ 于是：222222222t 2t 2t 3t 2131331f t 224t 2tt t 44()()()()+-+++===+⋅⋅+-+222213311311222t 442t 488()()()=++-+=+-≥-当4t 3=-时，即：当2x 3=时，f x ()达到极小值18-. 此法就是“换元配方法”. 12、已知实数123x x x ,,满足321x x x 123++=和222321x x x 323++=，求3x 的最小值. 解析：由已知得：321x x x 123+=- ① 222321x x x 323+=- ② 则由柯西不等式得：2222211x x 1x 1x 222()()()++≥+ ③ 将①、②代入③得：2233x x 331233()()-≥-即：223399x 23x ()()-≥-，即：22333819x 2x 12x 18-≥-+ 即：23311x 12x 630--≤ ④其判别式为：22222124116346117696()()∆=--⋅⋅-=⋅+⋅⋅=⋅故：方程等号下的两根为：331269627x 212111111⎧±⋅±⎪===⎨⋅-⎪⎩ 则：321x 311[,]∈-根据柯西不等式等号成立的条件得：12x x =代入①式得：3211x x 3x 1x 1322()=-+=-，即：133x x 312()=-⑤代入②式得：22223211x x x 3x 31322()()=-+=-，即：2213x x 912()=- ⑥由⑤⑥两式得：22113x x 919122()()-=-，即：22113x x 1122()()-=-即：221123x 42x ()()-=-，即：22111412x 9x 42x -+=-即：21111x 12x 0-=，即：1111x 12x 0()-=，即：10x 1211⎧⎪=⎨⎪⎩则：⑴12x x 0==，此时：3x 3=；此为最大值.⑵1212x x 11==，此时：x x 13331218213(1)3(1)3(1)22111111=-=-⋅=-=- 所以，x 3的最小值为2111-. 此题解法为“柯西不等式”. 13、求函数：222f x y 1y x y 32x y 6(,)()()()=-++-++-的最小值. 解析：待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：A B C R ,,∈，则柯西不等式为：2222221y x y 32x y 6A B C [()()()][]-++-++-++2A 1y B x y 3C 2x y 6g x y z [()()()](,,)≥-++-++-=即：222f x y z A B C g x y z (,,)[](,,)++≥ ①则：2g x y z A 3B 6C B 2C x A B C y (,,)[()()()]=--+++-++令：B 2C 0+=，A B C 0()-++=，则：B 2C =-，A B C 2C C C =+=-+=-故：设C 1=，则：A 1=-，B 2=-，222A B C 1416++=++= ②则：22g x y z A 3B 6C 1661(,,)()()=--=-+-= ③ 将②、③代入①得：222g x y z 1f x y z 6A B C (,,)(,,)≥=++ ④ 柯西不等式①中，等号成立的条件是：1y x y 32x y 6A B C-+-+-==即：1y 1x y 32x y 6k 2()-=-+-=+-=，则：y k 1=+ 则： 1x y 32x y 62()-+-=+-，即：3x y 4x 2y 12--=+- 即：5x 3y 153k 1153k 12()=-+=-++=-+，即：3k 12x 5-+=将y k 1=+和3k 12x 5-+=代入2x y 6k +-=得：6k 24k 16k 5-+++-= 即：6k 2425-+=，即：1k 6=-于是：当1123k 122552x 55102+-+====，15y 166=-+=时，柯西不等式④中，等号成立.即：222f x y 1y x y 32x y 6(,)()()()=-++-++-的最小值是16.本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”. 145=，求函数：f x y x y (,)=+的最小值.解析：函数f x y (,)的定义域为：x 1[,)∈-+∞，y 2[,)∈+∞由均值不等式n n A Q ≤≤=得：22x y 1525224+-⎛⎫≥== ⎪⎝⎭⎝⎭即：25x y 12+-≥，则：27f x y x y 2(,)=+≥当52==时，即：21x 4=、33y 4=时，27f x y 2(,)=. 故：函数f x y (,)的最小值是272. 此法采用“均值不等式法”. 15、已知点P x y (,)在椭圆22x y 149+=上，求f x y 2x y (,)=-的最大值.解析：函数f x y (,)的定义域为：x 22[,]∈-，y 33[,]∈-由柯西不等式得：2222222x y2x y 4315523()()()()⎡⎤⎡⎤-≤++-=⋅=⎢⎥⎣⎦⎣⎦即：2x y 5-≤，即：f x y 2x y 55(,)[,]=-∈-由柯西不等式的等号成立的条件得：x y 89=-，即：x 4y 29=- 代入22x y 149+=得：2216y y 1819+=，即：2216y 9y 181+=，即：25y 19⎛⎫= ⎪⎝⎭则：9y 5=±，于是，8y 8x 95=-= ⑴ 当8x 5=，9y 5=-时，8989f x y 255555(,)()==-=⋅--= ⑵ 当8x 5=-，9y 5=时，8989f x y 255555(,)()=-==⋅--=- 所以，函数f x y 2x y (,)=-的最大值是5. 此法是用“柯西不等式”. 本题也可以采用“权方和不等式”2222222x y 2x y 2x y 2x y 1491691695()()()()---=+=+≥=+ 即：2x y 5-≤，即：f x y 2x y 55(,)[,]=-∈- 此法为“权方和不等式”.16、求函数：f x ()=.解析：函数f x ()的定义域是：8x 23[,]∈-.待定系数法用于柯西不等式来解本题. 设：A B 0,>，则柯西不等式为：222211f x A B][]()++≥= 即：21111f x A 2x B 83x 2A 8B A 3B x A B A B()[()()][][()()][]≤++-+=++-+ ① 令：A 3B 0-=，则：A 3B = ②由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：=22A 2x B 83x ()()+=-，即：2222A 3B x 8B 2A ()+=-，则：22228B 2A x A 3B-=+ ③将②代入③得：22228B 18B 105x 1269B 3B -==-=-+函数的极值为：5f 63()-===⑴ 在5x 26[,]∈--区间，函数f x ()单调递增，故：f x f 2()()≥-==于是，函数f x ()在该区间的值域是3. ⑵ 在58x 63[,]∈-区间，函数f x ()单调递减，故：8f x f 033()()≥===于是，函数f x ()在该区间的值域是.综上，函数f x ()的值域是33[,. 此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”，最后用“单调性法”得到值域.17、求函数：xf x 12()=++.解析：函数xf x 12()=++x R ∈. 本题采用判别式法.令： xy f x 12()=-=+①则：x y 02-=≥ ②即：22x y x 2x 22()-=++，即：222x y yx x 2x 24-+=++即：223x 2y x 2y 04()()+++-= ③由③的判别式得：22232y 42y 4y 4y 204()()∆=+-⋅⋅-=+-≥即：21y y 2+≥，即：21113y y 4244++≥+=，即：221y 22()(+≥故：1y 22+≥或1y 22+≤-，即：1y 22≥-+或1y 22≤--由于②式即x y 02-≥的条件必须那满足，故1y 2≥-+.此时，f x y 1()=+≥函数f x ()的值域为)+∞. 此法为“判别式法”.18、求：f x ()=. 解析：由均值不等式n n A Q ≤得：1≤=2≤=2≤所以,两边相加得：f x 21()(≤在x 0=时，f 021()(=，即不等式的等号可以取到.故:f x ()的最大值为21(+. 此法为“均值不等式”.19、设：ix i 1232003(,,,...,)=2003...+=，试求：y ...=+.解析：由均值不等式n n A Q ≤得：≤==……=≤=不等式两边分别相加得：2......+≤+即：y 2003≥=当122003x x x 1...====时，y =，即不等式的等号可以取到.故：y 的最小值是此法为“均值不等式”. 20、已知x y z ,,为正实数，且满足222222x y z 21x1y1z++=+++，求：222x y z f x y z 1x1y1z(,,)=+++++的最大值.解析：由222222222111x y z 33211x1y1z1x1y 1z()++=-++=-=++++++由柯西不等式得：2222222222222x y z x y z 1111x1y1z1x1y1z1x1y1z()()()++≤+++++++++++++即：2222x y z 2121x 1y 1z ()++≤⨯=+++故：222xy z f x y z 1x1y1z(,,)=++≤+++因此，f x y z (,,)此法为“柯西不等式”. 21、设α为锐角，求：11f 11()()()sin cos ααα=++的最小值. 解析：11111f 111()()()sin cos sin cos sin cos ααααααα=++=+++ 将1sin α与1cos α通分，并与最后一项合并得：121f 112sin cos (sin cos )()sin cos sin cos ααααααααα++++=+=+ ①由222212(sin cos )sin cos sin cos sin cos αααααααα+=++=+得：22111sin cos (sin cos )(sin cos )(sin cos )αααααααα=+-=+++-代入①式得：212f 1111(sin cos )()(sin cos )()sin cos ααααααα++=+=++++- ② 再由辅助角公式得：224sin cos ())πααααα+=+=+ 代入②式得：2f 114())απα=++- ③由③式及α为锐角，当4sin()πα+达到最大值1时，f ()α达到最小值，即：当14sin()πα+=时，f 13()α=+=+故，当4πα=时，f ()α达到最小值，最小值为3+.此法为“辅助角公式法”.22、设α为锐角，求证：2sin tan ααα<+. 解析：因为α为锐角，函数定义域为：02(,)πα∈，所以，0,sin ,cos ,tan αααα>构造函数：f 2()sin tan αααα=+- 则函数的导函数为：3222112f 2cos cos '()cos cos cos αααααα+-=+-=3244212f cos (cos cos )cos '()cos αααααα+-+-=32222111cos (cos )(cos )cos (cos )tan cos ααααααα-+-==-+因为：0cos α>，10cos α->，0tan α>，所以：f 0'()α>即：在定义域02(,)πα∈区间，函数f ()α为单调递增函数，故：f f 00()()α>=，即：2sin tan ααα<+. 证毕.23、已知x y z ,,为正实数，求证：222xy 2yz 2x y z +≤++解析：采用待定系数法解本题：令：222222222x y z x a y b y z ++=+++，（a 0b 0,>>），则：22a b 1+=，于是，222222222xy 2yz xy 2yzxy 2yz 1xy 2yzb 2axy 2byz 2ax y z x a y b y z xy yza()()()()++++=≤=⋅+++++++即：222xy 2yz 1xy 2yz b 2ax y z xy yza++≤⋅+++ ①令：b 2a =，则代入22a b 1+=得：22a 4a 1+=，即：a =，即：12a = 将b 2a =，12a =代入①式得：222xy 2yz x y z+≤++证毕. 此法为“待定系数法”.另一种方法：参数法令：x my =，z ny =，代入222xy 2yz x y z +≤++22m 2n m n 1+≤++22m 2n m n 1)+≤++，即证：22m m n 2n 10-+-+≥，即证：2222m n 10((-+-+--≥即证：22m n 0((-+-≥而这是显然成立的. 证毕.。

函数专题之值域与最值问题一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)=的值域.y-+3x2(3点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.2(x3解：由算术平方根的性质，知)3-≥3。

2(x-≥0，故3+)2(x3∴函数的值域为),3[+∞ .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域.例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

函数专题之值域与最值问题欧阳引擎（2021.01.01）一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)=的值域.y-+3x2(3点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.2(x3解：由算术平方根的性质，知)3-≥3。

2(x-≥0，故3+)2(x3∴函数的值域为),3[+∞ .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域.例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

函数专题之值域与最值问一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y －1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

利用导数求函数的极值例求下列函数的极值：1．f ( x) x312x ；2． f (x) x2e x；3．f ( x)2x 2.x21分析：按照求极值的基本方法，首先从方程 f ( x)0 求出在函数 f (x) 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．解： 1．函数定义域为 R．f ( ) 3x2123(x2)(x2). x令 f( x) 0 ，得x 2 ．当 x 2 或 x 2 时， f ( x)0 ，∴函数在, 2和 2,上是增函数；当 2 x 2 时，f ( x) 0，∴函数在（－2， 2）上是减函数．∴当x 2 时，函数有极大值 f (2)16 ，当 x 2 时，函数有极小值 f ( 2)16.2．函数定义域为R．f (x) 2 xe x x2e x x(2x)e x 令 f ( x)0 ，得x0或x2．当 x0 或 x 2 时， f (x)0 ，∴函数 f ( x)在,0和2,上是减函数；当0 x 2 时， f ( x) 0，∴函数 f ( x) 在（0，2）上是增函数．∴当 x0 时，函数取得极小值 f (0)0 ，当 x 2 时，函数取得极大值 f (2)4e 2．3．函数的定义域为R．f ( x)2(1 x 2 )2x 2x2(1 x)(1 x) .( x21)2(x 21) 2令 f ( x) 0 ，得x1．当 x1或 x1时， f ( x)0 ，∴函数 f ( x) 在,1和 1,上是减函数；当 1x 1 时，f( x)0，∴函数 f ( x) 在（－1，1）上是增函数．∴当 x 1 时，函数取得极小值 f ( 1)3，当 x 1 时，函数取得极大值 f (1) 1.说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意 f (x0 ) 0 只是函数f ( x) 在 x0处有极值的必要条件，如果再加之 x0附近导数的符号相反，才能断定函数在 x0处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．复杂函数的极值例求下列函数的极值：．f ( x)3x2(x5)；． f ( x)x2x 6.12分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数 f (x) 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数 f ( x) 在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．解： 1．f ( x)2(x 5) 3 x22( x 5) 3x5( x 2) .33x33 x33 x令 f( x) 0 ，解得x 2 ，但 x0也可能是极值点．当 x0 或 x 2 时， f (x)0，∴函数 f ( x) 在,0和 2,上是增函数；当 0x 2 时， f ( x)0 ，∴函数 f ( x) 在（0，2）上是减函数．∴当 x0 时，函数取得极大值 f (0)0 ，当 x2时，函数取得极小值 f (2)33 4 ．x2x 6,( x2或 x3),2．f ( x)x6, (2x3),x22x1, ( x2或 x3),∴ f( x)2x1, (2x3),不存在 , ( x 2或x3).令 f( x)0 ，得 x 1．2当 x 2 或1x 3 时， f(x)0，2∴函数 f ( x) 在, 2和1,3上是减函数；2当 x 3 或 2 x 10 ，时， f (x)21∴函数 f ( x) 在 3,和2,上是增函数．2∴当 x 2 和 x 3 时，函数 f ( x) 有极小值0，当 x 1时，函数有极大值25．24说明：在确定极值时，只讨论满足 f (x0 ) 0 的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题 1 中x0 处，2中x 2 及 x 3 处函数都不可导，但f (x)在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数f ( x) 在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．根据函数的极值确定参数的值例已知 f ( x) ax3bx2cx(a 0) 在 x 1 时取得极值，且 f (1) 1 ．1．试求常数a、b、c 的值；2．试判断x 1 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．分析：考察函数 f ( x) 是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为 f ( x) 0 的根建立起由极值点x 1 所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c 的值．解： 1．解法一： f ( x)3ax22bx c．x1是函数 f ( x)的极值点，∴ x 1 是方程 f( x)0，即 3ax22bx c 0 的两根，由根与系数的关系，得2b0,（1）3ac1,（2）3a又 f (1) 1 ，∴a b c1，（3）由（ 1）、（ 2）、（3）解得a 1,b0,c3．22解法二：由 f (1)f(1)0得3a2b c0，（ 1）3a2b c0（ 2）又 f (1) 1 ，∴a b c1，（3）解（ 1）、（ 2）、（3）得a 1,b0,c3．222．f ( x) 1 x33x ，∴ f ( x) 3 x233( x 1)( x 1).22222当x或x1时， f ( x)0 ，当1x1时， f ( x) 0. 1∴函数 f ( x) 在, 1和 1,上是增函数，在（－ 1， 1）上是减函数．∴当 x 1 时，函数取得极大值 f (1)1，当 x 1 时，函数取得极小值 f (1) 1 ．说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用f ( 1)0 的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．。