九年级数学上册:相似三角形性质定理1及其应用教案
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九年级数学上册 3.3 相似三角形的性质和判定教案1 湘教版【教学目标】1.知识与技能:了解三角形相似及相似比的概念,会运用相似三角形的判定定理一判定两个三角形相似;掌握相似三角形周长之比、对应边上高线、中线以及对应角平分线之比都等于相似比。
2.过程与方法:引导学生通过观察以及动手测量实践,体验三角形相似的判定定理一;并在合作的基础上探究相似三角形周长之比、对应边上高线、中线以及对应角平分线之比都等于相似比这一特性。
3.情感态度与价值观:运用类比的方法,让学生体验知识的形成过程,从而增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】重点:三角形相似判定定理一及性质难点:运用三角形相似判定定理一判定两个三角形相似及性质的应用【教法与学法指导】学生自学——合作交流——教师释疑——检测反馈【教学过程】一、创设情境、导入新课(1) 两个三角形全等有哪些判定方法?(2) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系?(3) 如图,如果要判定△ABC与△A’B’C’相似,是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系?提示:首先,由三角形全等的SSS判定方法,我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么能否判定这两个三角形相似呢?带领学生画图探究;二、合作探究、解读交流知识点1:三角形相似判定定理一三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似. 如图所示:若△ABC 和△A 1B 1C 1三边满足 AB A1B1 = AC A1C1 = BC B1C1 ,那么 这两个三角形相似。
知识点2:相似三角形性质1. 相似三角形的周长之比等于相似比2.相似三角形对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的角平分线之比等于相似比三、课堂检测、迁移应用例1.如图,△ABC 中,点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,求证:△ABC ∽△EDF . 例2,已知△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为1.5,若AB,为3,B 1C 1为4,AC 为8,求其余各边的长及各三角形周长。
2024年浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质及应用》是浙教版数学九年级上册第4.5节的内容。
本节主要介绍相似三角形的性质,包括相似三角形的对应边成比例、对应角相等以及相似比的概念。
同时,通过实际例题让学生了解相似三角形在实际问题中的应用。
本节内容是学生学习几何知识的重要环节,为后续学习相似多边形、三角函数等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识,具备一定的逻辑思维能力。
但是,对于相似三角形的性质及应用,部分学生可能还存在一定的困难。
因此,在教学过程中,要关注学生的认知水平,注重引导,激发学生的学习兴趣,提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质,掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等。
2.学会运用相似三角形的性质解决实际问题,提高学生的应用能力。
3.培养学生的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其证明。
2.相似三角形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法,引导学生主动探究相似三角形的性质。
2.利用多媒体辅助教学,展示相似三角形的动态变化,增强学生的直观感受。
3.运用实例分析法,让学生了解相似三角形在实际问题中的应用。
4.小组讨论,培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件。
3.练习题及答案。
4.三角板、直尺等绘图工具。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用多媒体展示两组三角形,让学生观察并判断它们是否相似。
通过直观的展示,引发学生的思考,激发学生的学习兴趣。
2.呈现(10分钟)介绍相似三角形的定义及其性质,包括对应边成比例、对应角相等。
通过示例和证明,让学生理解和掌握相似三角形的性质。
3.操练(10分钟)让学生分组进行动手操作,利用三角板、直尺等工具,绘制一组相似三角形,并验证它们的性质。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》教学设计一. 教材分析浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》是本学期的重点内容,主要让学生了解相似三角形的性质,并能运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
本节课的内容对于学生来说比较抽象,需要通过实例让学生感知相似三角形的性质,从而达到理解并掌握知识的目的。
二. 学情分析九年级的学生已经有了一定的数学基础,对于图形和几何有一定的认识。
但是,对于相似三角形的性质及其应用,还需要通过实例和活动来引导学生理解和掌握。
同时,学生需要培养观察、思考、解决问题的能力,提高他们的逻辑思维和空间想象力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质,并掌握相似三角形的判定方法。
2.能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点:相似三角形的性质及其应用。
2.难点:相似三角形的判定方法,以及如何运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,引导学生观察、思考、解决问题。
2.运用多媒体辅助教学,通过动画和实例,让学生更直观地理解相似三角形的性质。
3.采用小组合作学习的方式,培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相似三角形的相关实例和图片。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过展示一些生活中的实例,如建筑设计、地图绘制等,引导学生思考这些实例中是否存在相似三角形。
让学生认识到相似三角形在生活中的重要性。
2.呈现(10分钟)利用多媒体展示相似三角形的定义和性质,让学生直观地感受相似三角形的特点。
同时,通过动画演示相似三角形的判定方法,让学生理解和掌握。
3.操练(10分钟)让学生分组讨论,每组找一个实例,运用相似三角形的性质进行解答。
教师巡回指导,解答学生的问题。
4.巩固(10分钟)出示一组练习题,让学生独立完成。
题目难度逐步提高,让学生在解决问题中巩固相似三角形的性质。
北京版数学九年级上册《相似三角形判定定理一》教学设计一. 教材分析《相似三角形判定定理一》是北京版数学九年级上册的一个重要内容。
本节课主要让学生了解相似三角形的判定方法,掌握AA相似定理,并能够运用这一定理解决实际问题。
教材通过生动的实例引入相似三角形的概念,接着引导学生探究相似三角形的判定方法,最后通过大量的练习让学生熟练掌握这一定理。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识,对三角形有了基本的了解。
但是,他们对相似三角形的认识还比较模糊,对AA相似定理的理解和运用还需要加强。
因此,在教学过程中,教师需要注重引导学生从实际问题中发现相似三角形的判定方法,并通过大量的练习让学生熟练掌握。
三. 教学目标1.了解相似三角形的概念,掌握AA相似定理。
2.能够运用AA相似定理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
四. 教学重难点1.重点:相似三角形的概念,AA相似定理。
2.难点:AA相似定理的运用。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生动的实例引入相似三角形的概念,激发学生的学习兴趣。
2.探究教学法:引导学生分组讨论,自主发现AA相似定理。
3.实践教学法:通过大量的练习,让学生在实践中掌握AA相似定理。
六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示相似三角形的实例和判定方法。
2.练习题:准备适量的练习题,让学生在课堂上练习。
3.板书设计:设计好板书,突出重点内容。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用生活中的实例,如相似的图形、建筑物的比例等,引导学生思考:什么是相似三角形?相似三角形有什么特点?2.呈现(10分钟)展示教材中的实例,引导学生观察、分析,发现相似三角形的判定方法。
通过讲解,阐述AA相似定理的定义和判定方法。
3.操练(10分钟)让学生分组讨论,自主发现AA相似定理。
每组选取一个实例,进行判定,并解释原因。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
4.巩固(10分钟)让学生在课堂上完成练习题,运用AA相似定理进行判定。
课题:相似三角形的性质(一)一、教学目标1、理解相似三角形的有关性质:对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比也等于相似比。
2、会灵活运用相似三角形的性质解决有关问题。
二、教学重、难点重点:掌握相似三角形的相关性质,了解相关性质的证明方法难点:掌握命题证明方法、步骤,灵活运用性质解决问题。
三、教学方法类比、归纳教学环节教师活动学生活动设计意图提出问题引入课题(1~2分钟)提出问题:1、全等三角形和相似三角形的关系是什么?全等三角形的对应边上的高、角平分线、中线有什么关系?2、前面学过的相似三角形的基本性质有哪些?3、相似三角形的判定有哪些?4、除了这些基本性质外,还有什么性质呢?问题1由学生集体回答或个别回答。
问题4以设问方式提出设问置疑,引出课题新授一探究相似三角形对应高之比等于相似比(6~8分钟)【问题1】图24.3.9中,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高,那么AD、A′D′之间有什么关系?解:∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B=∠B′又∵AD、A′D′是高,∴∠ADB=∠A′D′B′= 900∴△ADB∽△A′D′B′∴【结论】相似三角形对应高的比等于相似比.学生思考,小组交流探究2~3分钟。
然后与老师共同完成解答过程,得出结论。
安排学生先自行思考与交流,培养学生分析概括数学材料的能力与数学语言表达能力。
证明的过程通过老师书写出来,培养学生规范书写证明过程的习惯。
思考探索归纳其它性质(3~5分钟)自主思考---类似结论【问题2】,.△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,其中AE、A′E′分别为BC、B′C′边上的中线,那么?结论:相似三角形对应中线的比等于相似比.△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,其中AE、A′E′分别为BC、B′C′边上的角平分线,那么?结论:相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比.【思考】1、相似三角形的对应角平分线之比等于什么?2、相似三角形的对应中线之比等于什么?3、相似三角形的周长之比等于什么?(说明:详细证明过程留待学生课后通过作业形式完成)思考题学生口头回答、听教师简单分析,或个别提问学生。
4.5相似三角形的性质及其应用(一)1.掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”和“三角形的重心每分一条中线成1∶2的两条线段”的两个性质.2.会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点:学习“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”关于线段的性质和“三角形的重心每分一条中线成1∶2的两条线段”的重要定理.难点:相似三角形的性质的证明,要用到相似三角形的判定及性质,过程比较复杂,是本节教学的难点.一、新课导入类比联想老师提问:相似三角形除了对应角相等、对应边等比例外,还有没有其他性质呢?学生进行小组讨论和思考.老师提示:全等三角形除对应角、对应边相等外.其它元素如对应高、对应中线、对应角平分线也相等.那么相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线是相等还是什么关系?学生和老师一起猜测:猜测(1):相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等.猜测(2):相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线成比例.二、新知学习(一)探究1两个三角形相似,除了对应边成比例,对应角相等之外,还可得到许多有用的结论,如图,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中,AD,A′D′分别为BC,B′C′边上的高,那么, AD和A′D′之间有什么关系?【证明】∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠B=B′,又∵AD⊥BC,A′D′⊥B′C′,∴∠ADB=∠A′D′B′=90°,∴△ABD∽△A′B′D′.∴ABA′B′=ADA′D′=k.结论1:相似三角形的对应高成比例.(二)探究2已知△ABC∽△A′B′C′,AE、A′E′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线,且AB∶A′B′=k,那么AE与A′E′怎样的关系?此证明可以让学生进行解答.【证明】∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠B=∠B′,∴ABA′B′=BCB′C′=k,∵AE,A′E′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线,∴BC=2BE,B′C′=2B′E′,∴ABA′B′=BCB′C′=BEB′E′=k.∴△ABE∽△A′B′E′,∴AB A′B′=AE A′E′=k. 结论2:相似三角形对应中线的比等于相似比.(三)探究3已知△ABC∽△A′B′C′,AF 、A′F′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线,那么AF 与A′F′怎样的关系?此证明可以让学生进行解答.【证明】∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠BAC =∠B′A′C′,∠B =∠B′,又∵AF、A′F′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线∴∠BAC =2∠BAF,∠B ′A ′C ′=2∠B′A′F′.∴∠BAF =∠B′A′F′,∴△ABF ∽△A ′B ′F ′,∴AB A′B′=AF A′F′=k. 结论3:相似三角形对应角平分线的比等于相似比.(四)小结相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线成比例.(五)重心 1.概念:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.(回顾:三角形的三条中线的交点在三角形的内部)2.重心的定理:三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段.3.定理证明过程:已知,如图,BD ,CE 是△ABC 的两条中线,P 是它们的中点.求证:DP BP =EP CP =12.证明:如图,连结DE.∵BD,CE是△ABC的两条中线,∴DE=12 BC,∵∠EDB=∠DBC,∠DEC=∠ECB.∴△DEP∽△BCP.∴DPBP=EPCP=DEBC=12.三、新知应用【例1】已知△ABC∽△A′B′C′,AD、A′D′是它们的对应角平分线,且AD=8cm,A′D′=3cm,则△ABC与△A′B′C′对应高的比为__8∶3__.【分析】根据相似三角形性质可知,相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比,可求△ABC与△A′B′C′对应高的比.【解析】∵△ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′是它们的对应角平分线,∴AD∶A′D′=8∶3,∴△ABC与△A′B′C′对应高的比为8∶3.【答案】8∶3说明:本题考查对相似三角形性质的理解.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.【例2】两个相似三角形的相似比为2∶5,已知其中一个三角形的一条中线为10,那么另一个三角形对应的中线是________.【解析】∵相似三角形的相似比为2∶5,其中一个三角形的一条中线为10.而这条中线可能是小三角形的,也可能是大三角形的,∴另一个三角形对应的中线可能为4,也可能是25.【正解】4或25说明:对于这类题目要分情况讨论,题中的“中线”改成“高”或“角平分线”,做题的方法也是一样的,学习数学要会“举一反三”.四、巩固新知尝试完成下面各题.1.若两个相似三角形的相似比是2∶5,则对应高的比是( A )A.2∶5 B.4∶25C.2∶ 5 D.25∶42.顺次连接三角形三边的中点,所构成的三角形与原三角形对应高的比是( C )A.1∶4 B.1∶3C.1∶2 D.1∶13.若一个三角形三边之比为3∶5∶7,与它相似的三角形的最长边的长为21,则最短边的长为( C )A.15 B.10 C.9 D.34.已知△ABC∽△A′B′C′,BD,B′D′是它们的对应中线,且ACA′C′=32,B′D′=4,则BD的长为__6__.五、课堂小结相似三角形的性质:1.相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.2.三角形的重心每分一条中线成1∶2的两条线段.六、课后作业请完成本资料对应的课后作业部分内容.。
4.5相似三角形的性质及其应用(1)
教学目标
1.理解相似三角形的性质“相似三角形的对应角相等,对应边成比例”。
2.了解三角形的重心的概念。
3.理解“三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段”。
4.会用相似三角形的性质进行推理、证明及应用。
教学重点:相似三角形的对应角相等,对应边成比例;三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段
教学难点:三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段
教学设计
一、引入
在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,三角形的边长、周长、角、面积这些量中,哪些被放大了10倍?
二、典例分析
知识点1 相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
例1如图,△A′B′C′∽△ABC,相似比为B C
k
BC
''
=.求这两个三角形的角平分线A′D′与
AD的比.
变式训练1:
例2已知:如图,BD,CE是△ABC是两条中线,P是它们的交点.
求证:
1
2 DP EP
BP CP
==.
知识点2三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.
变式训练:
三、练习巩固
1.已知:如图,在△ABC中,AD是角平分线,∠ADE=∠B.求证:AD2=AE·AB.
2.如图,在△ABC中,AD,BE是中线,它们相交于点F.EG//BC,交AD于点G.求AG与GF的比.。
4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形的性质定理(一)理解相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系,会运用它求相关线段的长.(重点)阅读教材P106~107,自学“想一想”、“议一议”与“例1”,完成下列内容:(一)知识探究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于________.(二)自学反馈如图,已知△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为k ,AD ⊥BC 于D ,A ′D ′⊥B ′C ′于D ′.(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗?(2)△ABC 与△A ′B ′C ′的对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于________.活动1 小组讨论例 如图,AD 是△ABC 的高,AD =h ,点R 在AC 边上,点S 在AB 边上,SR ⊥AD ,垂足为E.当SR =12BC 时,求DE 的长,如果SR =13BC 呢?解:∵SR ⊥AD ,BC ⊥AD ,∴SR ∥BC.∴∠ASR =∠B ,∠ARS =∠C.∴△ASR ∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).∴AE AD =SR BC (相似三角形对应高的比等于相似比), 即AD -DE AD =SR BC. 当SR =12BC 时,得h -DE h =12.解得DE =12h. 当SR =13BC 时,得h -DE h =13.解得DE =23h. 活动2 跟踪训练1.如果两个相似三角形对应中线的比为8∶9,则它们的相似比为( )A .8∶9B .9∶8C .64∶81D .22∶32.已知△ABC ∽△DEF ,且相似比为2∶3,则△ABC 与△DEF 的对应高之比为( )A .2∶3B .3∶2C .4∶9D .9∶43.如图,电灯P 在横杆AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为CD ,AB ∥CD ,AB =2 m ,CD =5 m ,点P 到CD 的距离是3 m ,则点P 到AB 的距离是( )A.56 mB.67m C.65 m D.103 m4.如图,DE ∥BC ,则△________∽△________.若AD =3,BD =2,AF ⊥BC ,交DE 于点G ,则AG ∶AF =________∶________,△AGE ∽△________,它们的相似比为________5.若△ABC ∽△A ′B ′C ′,且AB =2 cm ,A ′B ′=113cm ,则它们对应角平分线的比为________. 6.若△ABC ∽△A ′B ′C ′,AD 、A ′D ′分别是△ABC 、△A ′B ′C ′的高,AD ∶A ′D ′=3∶4,△A ′B ′C ′的一条中线B ′E ′=16 cm ,则△ABC 的中线BE =________cm.活动3 课堂小结相似三角形的性质定理1:相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.【预习导学】(一)知识探究相似比(二)自学反馈(1)△ABD ∽△A ′B ′D ′,△ADC ∽△A ′D ′C ′. (2)k【合作探究】活动2 跟踪训练1.A 2.A 3.C 4.ADE ABC 3 5 AFC 3∶5 5.3∶26.12。
4.5 相似三角形的性质及其应用(1)教学目标:1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点与难点:1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明,要用到相似三角形的判定及性质,过程比较复杂,是本节教学的难点.知识要点:三角形相似的条件:1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例.2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.3、相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方.重要方法:1、相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.2、相似三角形中的相似比和面积比的关系,应注意相似三角形这个前提,否则不成立.教学过程:一、问题情境某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁边原有一个面积为100平方米,周长为80米的三角形绿化地,由于马路拓宽绿地被削去了一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大?它的周长是多少?思考:你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗?二、新课1、如图,4 ×4正方形网格看一看:ΔABC与ΔA′B′C′有什么关系?为什么?(相似)A′C算一算:ΔABC与ΔA′B′C′的相似比是多少?( 2 )ΔABC与ΔA′B′C′的周长比是多少? ( 2 )面积比是多少?(2)想一想:上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系?面积比与相似比又有什么关系?结论:相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方验一验:是不是任何相似三角形都有此关系呢?你能加以验证吗?已知:如图4-24,△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k.求证:△ABC的周长△A′B′C′的周长=k,△ABC的面积△A′B′C′的面积=k2例题已知:如图,△ABC∽△A′B′Ck,AD、A′D′是对应高。
九年级数学上册:相似三角形性质定理1及其应用教案
(一)教学知识点
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
(二)能力训练要求
1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程,理解相似多边形的性质.
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
(三)情感与价值观要求
1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系,培养学生的探索精神和合作意识.
2.通过运用相似三角形的性质,增强学生的应用意识.
●教学重点
1.相似三角形中对应线段比值的推导.
2.运用相似三角形的性质解决实际问题.
●教学难点
相似三角形的性质的运用.
●教学方法
引导启发式
●教具准备
投影片两张
第一张:(记作§4.8.1 A)
第二张:(记作§4.8.1 B)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]在前面我们学习了相似多边形的性质,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,相似三角形是相似多边形中的一种,因此三对对应角相等,三对对应边成比例.那么,在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢?本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.
Ⅱ.新课讲解
1.做一做
投影片(§4.8.1 A )
钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件,如图4-38,图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′,CD 和C ′D ′分别是它们的高.
(1)B A AB '',C B BC '',C A AC
''各等于多少?
(2)△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗?如果相似,请说明理由,并指出它们的相似比.
(3)请你在图4-38中再找出一对相似三角形.
(4)D C CD
''等于多少?你是怎么做的?与同伴交流.
图4-38
[生]解:(1)B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43
(2)△ABC ∽△A ′B ′C ′
∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC
''
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′,且相似比为3∶4.
(3)△BCD ∽△B ′C ′D ′.(△ADC ∽△A ′D ′C ′)
∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得
∠B =∠B ′
∵∠BCD =∠B ′C ′D ′
∴△BCD ∽△B ′C ′D ′(同理△ADC ∽△A ′D ′C ′)
(4)D C CD ''=43
∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴D C CD ''= C B BC ''=43
2.议一议
已知△ABC ∽△A ′B ′C ′,△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .
(1)如果CD 和C ′D ′是它们的对应高,那么D C CD
''等于多少?
(2)如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD
''等于多少?如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢?
[师]请大家互相交流后写出过程.
[生甲]从刚才的做一做中可知,若△ABC ∽△A ′B ′C ′,CD 、C ′D ′是它们的对应高,那么D C CD ''=C B BC
''=k .
[生乙]如4-39图,△ABC ∽△A ′B ′C ′,CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线,那么D C CD
''= C A AC
''=k .
图4-39
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′
∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′
∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线.
∴∠ACD =∠A ′C ′D ′
∴△ACD ∽△A ′C ′D ′
∴D
C
CD
'
'= C
A
AC
'
'=k.
[生丙]如图4-40中,CD、C′D′分别是它们的对应中线,则D
C
CD
'
'= C
A
AC
'
'=k.
图4-40
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′,C
A
AC
'
'= B
A
AB
'
'=k.
∵CD、C′D′分别是中线
∴D
A
AD
'
'=
B
A
AB
'
'
2
1
2
1
=B
A
AB
'
'=k.
∴△ACD∽△A′C′D′
∴D
C
CD
'
'= C
A
AC
'
'=k.
由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3.例题讲解
投影片(§4.8.1 B)
图4-41
如图4-41所示,在等腰三角形ABC 中,底边BC =60 cm,高AD =40 cm,四边形PQRS
是正方形.
(1)△ASR 与△ABC 相似吗?为什么?
(2)求正方形PQRS 的边长.
解:(1)△ASR ∽△ABC ,理由是:
四边形PQRS 是正方形SR ∥BC
(2)由(1)可知△ASR ∽△AB C.
根据相似三角形对应高的比等于相似比,可得
BC SR AD AE =
设正方形PQRS 的边长为x cm,则AE =(40-x )cm,
所以
604040x x =-
解得:
x =24
所以,正方形PQRS 的边长为24 cm.
Ⅲ.课堂练习
如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少?对应中线的比,对应角平分线的比呢?
(都是4∶5).
Ⅳ.课时小结
本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质:相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.。