6.2 留数定理的应用

留数定理在考研中应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，它在考研中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 计算复积分：留数定理可以用于计算复积分，特别是围道积分。

通过找到被积函数在围道内的奇点，并计算出这些奇点的留数，可以将复积分转化为留数的求和，从而简化计算过程。

2. 求解微分方程：留数定理可以用于求解一些特殊的微分方程，如常微分方程的初值问题、线性微分方程的特解等。

通过将微分方程转化为复变函数的问题，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到微分方程的解析解。

3. 求解极限：留数定理可以用于求解一些复变函数的极限。

通过将复变函数转化为有理函数，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到复变函数在某些点处的极限值。

4. 解析函数的性质研究：留数定理可以用于研究解析函数的性质，如奇点的分类、奇点的留数与函数的性质之间的关系等。

通过计算奇点的留数，可以得到解析函数在奇点处的性质，进而推导出整个函数的性质。

总之，留数定理在考研中的应用非常广泛，涉及到复积分、微分方程、极限和解析函数的性质等多个方面。

掌握留数定理的应用，可以帮助我们更好地理解和应用复变函数理论。

第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。

注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。

8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。

探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
留数定理是复变函数理论中的一项重要定理，它在求解不同类型积分上具有广泛的应用。

以下将从留数定理在求解简单闭合曲线上的积分、无穷远点上的积分以及奇点上的积
分三个方面进行探究。

留数定理适用于求解简单闭合曲线上的积分。

对于一个解析函数的闭合路径，如果函
数在路径内部有有限个奇点，并且这些奇点都是一阶可去奇点，那么函数在路径内的积分
等于其中所有奇点的留数之和。

这个定理可以用来简化复杂函数的积分计算。

留数定理也适用于求解无穷远点上的积分。

当函数在有限区域外的无穷远点处解析时，可以通过将积分路径围绕无穷远点转换成围绕原点的路径，然后利用留数定理求解。

这种
方法在求解指数函数、三角函数等在无穷远点处有定义的函数积分时非常有效。

留数定理还可以用于求解奇点上的积分。

当函数在奇点处有极点时，可以通过计算奇
点的留数来求解积分。

这种方法在求解带有简单极点的函数积分时非常有用，可以大大简
化计算过程。

第六章留数理论及其应用§ 1.留数1. （定理6.1柯西留数定理）：dz = 2 mJc£=i2. （定理6.2）:设a为f⑵的m阶极点,事（町（…尸’其中響：刃在点a解析，梓丄0，贝U3. （推论6.3）:设a为f（z）的一阶极点,Re^f(z),a) = <p(a)4. （推论6.4）:设a为f⑵的二阶极点® ⑴=（Z-A）V（«）则5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6. 无穷远点的留数:RES（F（R「8）=霜/严f(z)dz=- j即，血血垃S）等于f⑵在点的洛朗展式中这一项系数的反号7. （定理6.6）如果函数f（z）在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为则f（z）在各点的留数总和为零。

注：虽然f（z）在有限可去奇点a处，必有Z畑⑴°,但是，如果点为f（z）的可去奇点（或解析点），则血昭⑵妙）可以不为零。

8. 计算留数的另一公式:(昭詞§ 2•用留数定理计算实积分Q R(cos^,sin&)M型和分—引入注：注意偶函数1. (引理6.1大弧引理)：»上limzf(z)= X则limH'J-M B2. (定理6.7) 设f(-器梯理分式，其中P(z) = e o z m + 耳厂，+ + c m(c0丰 0)QCz) = b Q x n + %0勺 + * + 丰 0)为互质多项式，且符合条件：(1)n-m >2;(2)Q(z股有实零点于是有f(x)dx — 2ui工Res(f(z)t au}Jrtiajt >0注：以fg可记为PM广；«x)dx丿；黔厂心型积分3. (引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周5£=恥叫0彰"・丘充金走上连续，且lim鸟⑵=0在「里上一致成立。

则lim f幻(胡叫E = o■ rn4. (定理6.8):设車勿=話，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件:(1) Q 的次数比P 高;(2) Q 无实数解；(3) m>0特别的，上式可拆分成:及四. 计算积分路径上有奇点的积分5. (引理6.3小弧引理)：S m 询lim(z-a)f (2)=X r-+D于5'r 上一致成立，则有limf /wdz=i (02-五. 杂例六. 应用多值函数的积分§ 3.辐角原理及其应用即为：求解析函数零点个数 f'M2.(引理6.4)：( 1)设a为f(z)的n 阶零点，贝U a 必为函数 的一阶极点，并且(2)设b 为f(z)的m 阶极点，贝U b 必为函数的一阶极点，并且Res 2ni1 X) Res{ff (2je in ^f a^则有1.对数留数:3. (定理6.9对数留数定理)：设C 是一条周线，f(z)满足条件：(1) f(z)在 C 的内部是亚纯的；(2) f(z)在 C 上解析且不为零。

留数定理及其应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，用于计算函数在奇点处的留数。

具体来说，如果函数f(z)在区域D内解析，除了有
限个孤立奇点外，则对于D内的任意简单闭曲线C，有如下
留数定理：
∮Cf(z)dz = 2πi * sum(Res(f, z_k))
其中，∮C表示沿C的积分，Res(f, z_k)是函数f(z)在奇点z_k
处的留数。

留数定理的应用主要包括以下几个方面：
1. 计算积分：通过计算函数在奇点处的留数，可以用留数定理来计算复变函数沿闭合曲线的积分。

这样可以简化积分计算，尤其对于实数不易计算的积分，留数定理非常有用。

2. 计算极限：通过留数定理，可以计算复变函数在某个奇点处的极限。

如果函数的极限存在，那么它等于该点处的留数。

3. 解析延拓：通过计算函数在奇点处的留数，可以确定函数在奇点处的性质，如极点的类型（一级极点、二级极点等）以及解析延拓的可能性。

4. 解析函数恢复：留数定理可以用于还原函数原本的性质，即通过计算函数在奇点处的留数，可以还原函数在奇点前的数值。

总之，留数定理是复变函数理论中的重要工具，广泛应用于多个数学和工程领域，如积分计算、边界值问题、电路分析等。

它简化了复变函数的计算和研究，为解决实际问题提供了有效的方法。

高考数学冲刺留数定理在定积分计算中的应用高考数学冲刺：留数定理在定积分计算中的应用在高考数学的冲刺阶段，掌握一些高级的数学方法和定理对于提高解题能力和应对复杂问题至关重要。

留数定理作为复变函数中的重要定理，在定积分计算中有着独特的应用，能够帮助我们巧妙地解决一些看似棘手的定积分问题。

首先，让我们来了解一下什么是留数定理。

留数定理是指在复平面上，对于某个解析函数在孤立奇点处的留数与沿着闭合曲线的积分之间存在着一种特定的关系。

简单来说，如果我们能找到函数的奇点，并计算出这些奇点处的留数，就可以通过留数定理来计算相关的积分。

那么，留数定理为什么能用于定积分的计算呢？这是因为一些在实轴上的定积分，可以通过巧妙的变量代换，将其转化为复平面上沿着某个闭合曲线的积分。

然后，利用留数定理，计算出这个复积分的值，从而得到原实轴上定积分的值。

接下来，我们通过一个具体的例子来看看留数定理是如何应用的。

考虑定积分，这个积分在常规的微积分方法中计算起来会比较困难。

我们令，则，。

当从变化到时，正好沿着单位圆的上半部分逆时针转了一圈。

此时，原积分就可以转化为复积分。

然后，我们需要找到被积函数在复平面上的奇点。

对于，分母为零的点就是奇点，即，解得。

因为我们只考虑单位圆的上半部分，所以只有是在我们所考虑的区域内的奇点。

接下来计算奇点处的留数。

留数的计算公式为：，其中是函数在奇点处的洛朗级数展开式中的系数。

对进行洛朗级数展开：。

所以，从而。

最后，根据留数定理，。

通过这个例子，我们可以看到留数定理在计算定积分时的强大作用。

但在实际应用中，还需要注意一些问题。

比如，在进行变量代换时，要确保代换的合理性和正确性，保证积分路径的连续性和封闭性。

同时，对于奇点的判断和留数的计算要准确无误，否则会导致整个计算结果的错误。

另外，留数定理并不是适用于所有的定积分计算，它通常适用于一些具有特定形式的积分，比如含有三角函数、指数函数等的积分。

在遇到具体问题时，需要先观察积分的形式，判断是否可以使用留数定理来求解。

探究留数定理在求解不同类型积分上的应用留数定理是复分析中的一个重要定理，它在求解不同类型的积分中起着至关重要的作用。

留数定理将复变函数的积分转化为对函数在奇点处留数的求解，通过计算留数来得到对应积分的值，从而简化了复变函数的积分计算过程，提高了计算效率。

在实际应用中，留数定理在求解围道积分、实变函数积分、不定积分等方面都有着广泛的应用。

1.留数定理的基本概念留数定理是复变函数中的重要定理，它主要用于计算沿着封闭曲线的围道积分。

对于一个具有奇点的函数f(z)，留数定理指出了当围道不包含奇点时，函数f(z)的围道积分的值为0；当围道包含奇点时，函数f(z)的围道积分的值等于围道内所有奇点的留数之和。

留数的概念很简单，对于奇点z0，它的留数Res(z0)定义为f(z)在z0处的Laurent级数中-1次幂的系数。

2.留数定理在围道积分中的应用对于具有围道的积分来说，留数定理是非常有用的。

当我们需要计算一个函数沿着一个封闭曲线的积分时，如果围道内有奇点，我们只需要求出这些奇点的留数，然后将它们求和，就能得到整个围道积分的值。

这极大地简化了积分计算的过程。

举个例子，考虑计算函数f(z)=1/z²在单位圆周|z|=1上的围道积分∮f(z)dz。

该函数在z=0处有一个一阶极点，我们只需要计算出该极点的留数就能得到围道积分的值。

在这个例子中，函数f(z)的极点留数为Res(0)=1，根据留数定理，围道积分的值为2πi*Res(0)=2πi。

虽然留数定理是针对复变函数的，但实变函数积分中也可以通过适当的拓展来应用留数定理。

对于实变函数f(x)来说，我们可以将其扩展为复变函数f(z)，然后寻找函数f(z)的奇点和对应的留数，最后通过留数定理来求解原实变函数的积分。

考虑计算实变函数f(x)=1/(x²+1)的不定积分∫f(x)dx。

在实数轴上，函数f(x)的奇点为x=i和x=-i，对应的留数分别为Res(i)=1/(2i)和Res(-i)=-1/(2i)。

探究留数定理在求解不同类型积分上的应用留数定理是复变函数理论中的重要定理，它在求解不同类型积分中具有广泛应用。

本文将介绍留数定理在求解一些特殊类型积分中的应用。

1. 有理函数积分有理函数是指分子和分母都是多项式的函数。

我们考虑求解有理函数的积分：$$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}dx}$$其中$P(x)$和$Q(x)$都是多项式，且$Q(x)\neq0$。

我们通常采用留数定理来求解这样的积分。

考虑一个有理函数$\frac{P(z)}{Q(z)}$，我们可以将其转化为$F(z)+\frac{R(z)}{Q(z)}$的形式，其中$F(z)$是一个分式线性函数，$R(z)$是多项式，即：其中，$F(z)$是一个形如$\frac{A_k}{z-a_k}+\frac{A_{k-1}}{z-a_{k-1}}+...+\frac{A_1}{z-a_1}$的线性函数，$a_1,...,a_k$是$Q(z)$的根，$A_1,...,A_k$是常数。

根据留数定理，当$Q(z)$的根$a_i$是一阶极点时，其留数等于$\frac{R(a_i)}{Q'(a_i)}$；当$Q(z)$的根$a_i$是$k$阶极点时，其留数等于$\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left((z-a_i)^k\frac{P(z)}{Q(z)}\righ t)_{z=a_i}$。

因此，我们可以通过计算复平面上所有$Q(z)$的根的留数之和来求解有理函数的积分。

2. 半圆弧积分对于形如$\int_{\Gamma_R}{f(z)dz}$的积分，其中$\Gamma_R$是以原点为中心，半径为$R$的半圆弧，我们可以采用留数定理进行计算。

我们将$f(z)$拆分为其奇函数和偶函数部分，即$f(z)=g(z)+h(z)$，其中$g(z)$是偶函数，$h(z)$是奇函数。

由于半圆弧是关于实轴对称的，因此对于偶函数$g(z)$，其在半圆弧上积分的值为0，只需考虑奇函数$h(z)$的积分：$$\int_{\Gamma_R}{f(z)dz}=2\int_0^R{\frac{h(R e^{i\theta})}{i}d\theta}$$对于$h(z)$在$z_0$处的一阶极点，其留数为$\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)h(z)$。

留数及其应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz 以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k nz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-， 则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z a f z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（. 2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）. 例 1 求函数2()1ize f z z=+在奇点处的留数． 解 ()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='--例 2 求函数3cos ()zf z z=在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。

留数定理的应用(优选)word资料留数定理的应用应用留数定理，我们也可以解决有关零点与极点的个数问题，因为教学时间的关系，我们只介绍儒歇定理，并应用它来决定方程在一些区域内根的个数。

儒歇定理 设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界C 是一条或有限条简单闭曲线。

设函数f (z )及g (z )在D 及C 所组成的闭区域D 上解析，并且在C 上，|f (z )|<|g (z )|，那么在D 上，f (z )及 f (z )+g (z )的零点的个数相同。

注解1、应用此定理时，我们只要估计和在区域边界上模的值。

注解2、选择f (z )及g (z )的原则是，f (z )在内的零点个数好计算。

例1、 求方程,012558=+--z z z在|z|<1内根的个数。

解：令,2)(,15)(85z z z g z z f -=+-=由于当|z|=1时，我们有,41|5||)(|5=--≥z z f而,3|2||||)(|8=+≤z z z g已给方程在|z|<1内根的个数与155+-z 在|z|<1内根的个数相同，即5个。

例2、 如果a>e ，求证方程n z az e =在单位圆内有n 个根。

证明：令,)(,)(n z az z f e z g =-=由于当1||||==θi e z 时，,|||)(|,|||)(|cos e a az z f e e e z g n z >==≤=-=θz n e az -在|z|<1内的零点的个数与n az 相同，即n 个，因此方程n z az e =在单位圆内有n 个根。

论场论三度与两大定理在物理的应用张 晗30901068信计0901时间与空间是物理最基本的物理量：我们也为了了解物理量随时间变化而做多次实验，定义了很多关系，比如速度等于位移随时间变化率, 加速度等于速度随时间变化率,v 等于能量随时间变化率等, 因为时间是纯量 所以处理起来还算比较简易。

第四章 留数定理及其应用 重点难点第一节 留数定理1．留数定义的由来：若函数在单连通区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫Cdz z f ；如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f Cπ=∫，即留下了一个有限数，因而可把 )(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。

2．留数计算公式：在奇点a 邻域中展成的洛朗级数中1()z a −−项的系数1−c 就是留数Re ()sf a ，这是求留数的一般方法。

但是，在某些情况下，有更简便的方法。

例如，若a 是)(z f 的m 阶极点，则111Re ()[()()](1)!m m z a m d s f a f z z a m dz −=−=−−又如，当a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。

3. 讨论解析函数在无限远点的留数时，要注意：函数在无限远点的留数定义中围线的方向是顺时针转向的。

第二节 留数定理的应用1．应用留数定理计算实变函数的积分是复变函数留数理论的一个重要应用，找到适当的闭合回路或变换是这种方法的关键。

2．若函数在单连（通）区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫Cdz z f ，如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f Cπ=∫，即留下了一个有限数，因而可把)(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。

通过柯西公式和柯西导数公式可导出一阶极点和m 阶极点的留数计算公式。

3. 应用级数分析留数定理。

在奇点k a 邻域中展成的洛朗级数中1)(−−k a z 项的系数1−c 就是留数)(Re k a sf 。

当k a 是函数的本性奇点时，一般只能用洛朗级数展开方法来求留数；当k a 是函数的极点时，也可用这种方法来求取留数；当k a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。