留数理论及应用

留数定理在考研中应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，它在考研中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 计算复积分：留数定理可以用于计算复积分，特别是围道积分。

通过找到被积函数在围道内的奇点，并计算出这些奇点的留数，可以将复积分转化为留数的求和，从而简化计算过程。

2. 求解微分方程：留数定理可以用于求解一些特殊的微分方程，如常微分方程的初值问题、线性微分方程的特解等。

通过将微分方程转化为复变函数的问题，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到微分方程的解析解。

3. 求解极限：留数定理可以用于求解一些复变函数的极限。

通过将复变函数转化为有理函数，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到复变函数在某些点处的极限值。

4. 解析函数的性质研究：留数定理可以用于研究解析函数的性质，如奇点的分类、奇点的留数与函数的性质之间的关系等。

通过计算奇点的留数，可以得到解析函数在奇点处的性质，进而推导出整个函数的性质。

总之，留数定理在考研中的应用非常广泛，涉及到复积分、微分方程、极限和解析函数的性质等多个方面。

掌握留数定理的应用，可以帮助我们更好地理解和应用复变函数理论。

第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。

注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。

8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。

留数的求法及应用总结留数是一种在复变函数理论中用于计算复数函数在奇点处的残留的方法。

留数的计算方法有多种，例如通过直接计算留数公式、Laurent级数展开、辅助函数法、计算围道积分等。

留数的应用非常广泛，包括在计算复积分、求解微分方程、计算极限、求解物理问题等方面都有重要的应用。

首先，我们来看留数的求法。

在复变函数中，函数在奇点点处的留数可以通过以下方法求解：1. 直接计算留数公式：对于简单的函数，可以直接使用留数公式计算。

对于一阶奇点，留数可通过函数在该点的极限值计算：Res[f(z), z=a] = lim(z->a) [(z-a) * f(z)]。

对于高阶奇点，留数可以通过多次取导数再计算极限来求解。

2. Laurent级数展开：对于复变函数，在奇点附近可以进行Laurent级数展开。

然后通过观察Laurent级数的形式，可以读出相应奇点的留数。

3. 辅助函数法：对于一些复杂的函数，可以通过引入辅助函数来计算留数。

通过构造辅助函数，可以使得计算留数的过程变得更加简单。

4. 计算围道积分：复平面上的围道积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来求解。

通过将围道逐步缩小，将围道上的奇点都计算在内，然后将结果相加即可得到围道积分值。

接下来，我们来看留数的应用。

1. 计算复积分：复积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来进行计算。

通过围道积分的方法，可以将复积分转化为留数的求和问题，从而简化计算过程。

2. 求解微分方程：在微分方程的求解过程中，往往需要对复函数积分。

通过留数的方法，可以将复积分转化为留数的计算，从而简化问题的求解过程。

3. 计算极限：对于一些复杂的极限问题，可以通过计算极限点处的留数来进行求解。

通过将极限问题转化为留数问题，可以简化问题的求解过程。

4. 物理问题求解：在物理学中，通过留数的方法可以求解一些边界值问题、传热问题、电磁问题等。

通过将物理问题转化为留数问题，可以利用留数的性质来求解物理问题。

指导教师：论文题目：留数理论及其在计算实积分中的应用学院：专业：班级：学号：姓名：留数理论及其在计算实积分中的应用摘要：留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物。

留数定理为某些类型积分的计算，提供了极为有效的方法。

在此主要探讨留数定理对实积分的计算。

把求实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分，然后应用留数定理，使沿围线的积分计算，归结为留数计算。

本文主要介绍留数定义、留数定理定义、留数计算方法、利用留数定理计算实积分的方法。

关键词：留数，留数定理，实积分。

引言：留数的一个很重要的应用是计算一些特殊类型的实积分。

如，在研究阻尼振动时计算积分dx x x sin 0⎰∞；在研究光的衍射时，需要计算菲涅尔积分dx 2sinx 0⎰∞；在热学中需要计算积分⎰∞-0cos e bxdx ax （a>0，b 为任意实数）等。

如果用实函数分析中的方法来计算这些积分几乎是不可能的，即便能计算某些积分，过程也很繁琐且易出错。

因此，利用留数定理将实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分来进行计算，就相对简单多了。

要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，实积分可化为某个沿闭路的积分。

下面主要介绍留数及留数定理的定义和计算，还有利用留数定理计算类型为⎰πθθ20)sin ,(cos R ，dx e x Q x P dx x i a -)()(,Q(x )P(x )⎰⎰+∞∞-+∞∞（a>0）的实积分和积分路径上有奇点的积分。

另外还会介绍利用留数定理计算物理学中常用的实积分。

一、留数 1.1留数定义设0z 是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在0z 处的洛朗展开式中负一次幂项的系数1-C 称为f(z)在0z 处的留数。

记作Res[f(z),0z ],即 Res[f(z),0z ]=1-C 。

显然，留数1-C 就是积分⎰c dz z f )(i21π 的值，其中C 为解析函数f(z)在0z 的去心邻域内绕0z 的闭曲线。

留数留数理论，是一个积分，，是一个工具，没有什么新的理论，这样可以得到围线积分，也可以帮助我们得到一个重要的定理：用来研究一个解析函数的0点的个数和奇点的个数问题。

首先介绍什么叫常数，假设A为孤立奇点，前面我们说过一个函数的奇点的个数并不多，但是这些奇点决定着函数的一些特性，也就是在去心邻域的是解析，我们成这样的一个积分，称为A点的留数，有的叫常数，就是f(Z)沿着某一条围线的积分，其中在这个圆周内部呢不一定解析，因为A是一个孤立奇点，去心邻域解析，所以这个积分不一定为0，如果A也是一个解析点，整个元的内部都解析了，由柯西古萨定理积分为0，这个数称为留数，记号：围线的选取和半径大小没有关系，这可以复围线的积分定理可以得到结论，因为不管半径大小，在外围的积分和里面的积分一样，因为在多连通是解析，因为这个数之和A点有关，A为孤立奇点，和半径的选取无关，这个留数的计算办法，描述了围线的积分，就等于什么呢？就等以负一次方的系数，洛朗展示中的，为什么？我们回想，把洛朗展示写出来，就可以知道这一点的留数，留数到底起什么作用？是围线的积分，如果留数好求，就可以用来求围线的积分，当只有一个奇点的情况下，这个围线积分就等于乘以留数，就是公式变形，就是除A没有其他奇点，对于一般的怎么做呢，用定理：这个围线积分=在所有奇点上的常数之和乘以2i，就是求围线的积分=看看里面有多少奇点，再把每一个点的留数求出来相加就是这个围线的积分，因此复变函数的积分不见得要根据原来的方法来算，根据定数定理，主要看多少个奇点，没有奇点就=0，多少个奇点，就把所有的留数算出来，就等于留数之后，就可以把留数作为工具，只要计算留数，怎么证明，就是复围线的柯西积分定理，设想把这些奇点挖掉，即做一些小圆，两两不相交，在围线内部，每一个都是孤立奇点，在围线里面挖掉了小圆，构成多连通区域，根据复围线的柯西积分的定理：外围的积分=内部的及分支和，每一个小圆的积分都等留数乘以2i，要计算围线积分，只要计算这个函数在围线里面的奇点的留数，那么如何来求留数，最好的方法是：洛朗展示的系数，只要把罗兰展示求出来看系数,除了这个方法，还有对极点的话还可以用别的。

第四章 留数定理及其应用 重点难点第一节 留数定理1．留数定义的由来：若函数在单连通区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫Cdz z f ；如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f Cπ=∫，即留下了一个有限数，因而可把 )(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。

2．留数计算公式：在奇点a 邻域中展成的洛朗级数中1()z a −−项的系数1−c 就是留数Re ()sf a ，这是求留数的一般方法。

但是，在某些情况下，有更简便的方法。

例如，若a 是)(z f 的m 阶极点，则111Re ()[()()](1)!m m z a m d s f a f z z a m dz −=−=−−又如，当a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。

3. 讨论解析函数在无限远点的留数时，要注意：函数在无限远点的留数定义中围线的方向是顺时针转向的。

第二节 留数定理的应用1．应用留数定理计算实变函数的积分是复变函数留数理论的一个重要应用，找到适当的闭合回路或变换是这种方法的关键。

2．若函数在单连（通）区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫Cdz z f ，如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f Cπ=∫，即留下了一个有限数，因而可把)(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。

通过柯西公式和柯西导数公式可导出一阶极点和m 阶极点的留数计算公式。

3. 应用级数分析留数定理。

在奇点k a 邻域中展成的洛朗级数中1)(−−k a z 项的系数1−c 就是留数)(Re k a sf 。

当k a 是函数的本性奇点时，一般只能用洛朗级数展开方法来求留数；当k a 是函数的极点时，也可用这种方法来求取留数；当k a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。

留数及其应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz 以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k nz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-， 则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z a f z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（. 2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）. 例 1 求函数2()1ize f z z=+在奇点处的留数． 解 ()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='--例 2 求函数3cos ()zf z z=在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。