三集合非标准型容斥原理

三集合互斥标准公式
三集合容斥问题的核心公式如下：
标准型：|A∪B∪
C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。

非标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

|A|+|B|+|C|=只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，对于以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。

容斥原理：
容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

（A∪B=A+B-A∩B）
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又
是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C 类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）。

2014年公务员容斥原理问题方法谈（二）华图教育-刘莱宝容斥原理是指在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。

行测考试中，容斥原理是根据集合的个数来进行区分，一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型。

如何运用公式法及文氏图法解决两集合容斥原理问题，在前面一章已经讲解过。

接下来我们通过不同的题目为大家讲解，如何利用公式法、文氏图法解决，三集合容斥原理问题。

三集合容斥原理难易程度数中等偏难。

随着公职考试的不断进步和成熟，题目的难度逐渐加深，容斥原理问题中，两集合容斥原理问题已经不再是出题的热点；三集合容斥原理问题，因涉及到三个集合之间的包含与被包含的关系变化，进而难度更大，更具有考查性，所以三集合容斥原理的出现比例逐年加大。

通过历年真题，我们可以总结出，在行测考试中，三集合容斥原理问题分为：标准型和非标准型容斥原理问题。

一、三集合容斥原理标准型（一）、三集合容斥问题公式法：同样适用于题目条件与问题都可直接代入公式的题目。

核心公式如下：注：∪是为“并”，∩是为交，|W|是为全集。

指非 。

满足条件的个数=满足条件A+B+C-同时满足AC 的个数-BC-AC+三者都满足的个数=总数-三者都不满足 【例1】：某公司招聘员工， 按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人， 同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人 【答案】A【解析】：三集合容斥原理问题。

甲、乙、丙三职位，分别为集合A 、B 、C ，分别是C B A CB A22、16、25。

总数是42，由于所有人都报名，所以C B A 为零。

同时满足AB 、AC 的个数，分别为8和6。

又因题目给出限制，每人只能报两个职位，意味着C B A =0。

三集合容斥非标准公式原理容斥原理一直都是各省行测考试的重点，尤其是三集合容斥原理，屡出不穷。

这次，小编带领大家一起来好好的看看目前的有关三集合容斥原理的题型概况和通用思路。

三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的解题方法1.解题步骤涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。

2.解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数【例1】（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。

A.20B.18C.17D.15【解析】可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28＋30＋42－8－10－5＋3＝100－x，其中x为我们要求的量，求得x＝20，答案选择A。

【例2】（国家2015）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。

调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（）A.310B.360C.390D.410【解析】由于题目中出现了“使用其中两种的有24人”，故我们要使用的就是三集合的变异型公式，如下列式：179＋146＋246－1×24－2×115＝x－52，此时，我们分析一下可以看出，我们所求的x为收回的问卷数量，而题目所求为发出的问卷，明显所求非所问，但是题目中有个条件为“问卷回收率为90%”，故我们将所求的x÷90%即所求的答案，通过列式可得x=369，故发出的问卷为369÷90%=410，故选D。

公考常见公式21组数量关系公式1.容斥原理1.二集合容斥原理总数-都不满足的情况数=满足条件ⅰ的情况数+满足条件ⅱ的情况数-两个条件都满足的情况数2.三集合标准型公式总数-都不满足的=a+b+c-a∩b-b∩c-a∩c+a∩b∩c3.三集合非标准型公式总数-都不满足的=a+b+c-只满足两个集合的-2×满足三个集合的2.行程问题1.基础公式：路程=速度×时间2.比例法路程一定时，速度与时间成反比速度一定时，路程与时间成正比时间一定时，路程与速度成正比3.火车过桥公式：总路程=桥(隧道) 长+车长4.平均速度公式：平均速度=总路程÷总时间5.相遇问题公式：s和= (v1 +v2) ×t6.追及问题公式：s差= (v1 -v2) ×t7.流水行船公式顺流：s= (v船+v水) ×t顺流逆流：s= (v船-v水) ×t逆流3.工程问题基础公式：工作总量=工作效率×工作时间4.经济利润问题基础公式利润=售价-成本总利润=单利润×销量=总收入-总成本利润率=利润÷成本(资料分析中利润率=利润÷收入)售价=成本× (1+利润率)打折：售价×折扣(不是利润×折扣)5.几何问题1.三角形相关公式普通三角形三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

三角形面积s三角形= 1/2ah直角三角形勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方(常见勾股数3-4-5,5-12-13)30°，60°，90°直角三角形的三边关系：1：:245°，45°，90°直角三角形的三边关系：1:1：2.三角形之间关系有公共边的两个三角形，同高则面积比为底边之比; 同底则面积比为高之比相似的两个三角形，边长比为相似比; 面积比为相似比的平方3.内角和外角n 边形内角和= (n-2)×180°，外角和恒为360°4.比例放缩公式若将一个图形尺度扩大为原来的n 倍，则：对应角度不变; 周长变为原来的n 倍; 面积变为原来的n2倍; 体积变为原来的n3倍。

2018国考行测：数量关系之容斥原理容斥原理问题是公务员考试中一类常考题型，常见的容斥原理问题有三种：两集合容斥原理，三集合容斥原理标准型，三集合容斥原理非标准型。

在审题时大家要牢牢把握住题型的特征：当题目中出现“都满足”，“都不满足”时，就可以归为容斥问题。

河北省考中容斥问题相对来说不是太难，基本上直接套用公式就能解决，属于易于拿分的题型。

下面给大家整理一下容斥原理这三种题型的公式以及用法。

一、两集合容斥原理公式：A+B-AB=总个数- 两者都不满足的个数。

其中A、B分别代表满足不同条件的数量，AB代表两个条件都满足的数量。

【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两者都没有参加的有20人。

同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？（）A．28人B．26人C．24人D．22人D【解析】这是一道两集合的容斥问题。

根据公式：60-20=30+32-两者都参加的人，解得答案为D。

二、三集合容斥原理标准型公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=总个数-都不满足的个数。

其中A、B、C代表满足不同条件的数量，AB、BC、AC代表分别满足其中两个条件的数量，ABC代表三个条件都满足的数量。

【例2】100个学生只有2人没学过外语，学过英语的有40人，学过德语的有45人，学过法语的有43人，学过英语也学过德语的有15人，学过英语也学过法语的有12人，学过法语也学过德语的有10人。

问：三种语言都学过的有多少人？（）A．4 B．6C．7 D．5C【解析】运用容斥原理可得：40+45+43-（15+12+10）+三种语言都学过的人数＝100-2。

解得三种语言都学过的数量为7，因此，本题答案为C选项。

三、三集合非标准型容斥原理公式：A+B+C-只满足两个条件的数量-2×满足三个条件的数量=总个数-都不满足的个数。

【例3】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。

三集合容斥原理
三集合容斥原理是一种常见的概率理论，它有助于解决一些复杂的概率问题。

它可以用来解释一些现象，如天气预报中的概率降雨或概率暴风雨。

三集合容斥原理的核心思想是：如果有三个互不相交的集合A，B 和C，则A，B和C的总体概率等于A的概率加上B的概率加上C 的概率减去A与B的共同概率减去A与C的共同概率减去B与C 的共同概率再加上A，B和C的共同概率。

用数学表示，三集合容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 。

三集合容斥原理可以被用来研究一些概率问题。

例如，假设有三个不同的事件A，B和C，计算它们的概率的总和，可以使用三集合容斥原理：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 。

另一个例子是，假设有三个不同的事件A，B和C，那么在这三个事件中，有多少种可能的组合，可以使用三集合容斥原理：P(A∪B∪C)=2^3-1=7 。

总之，三集合容斥原理是一种有用的概率理论，它可以帮助我们解决一些复杂的概率问题。

它的核心思想是：如果有三个互不相交的
集合A，B和C，则A，B和C的总体概率等于A的概率加上B的概率加上C的概率减去A与B的共同概率减去A与C的共同概率减去B与C的共同概率再加上A，B和C的共同概率。

容斥原理公式行测容斥原理公式在行测中的应用那可是相当重要的哟！咱先来说说啥是容斥原理。

简单来讲，就是在计算多个集合的总数或者某个集合元素的数量时，要把重复计算的部分去掉，把遗漏的部分补上。

这就好比你去超市买水果，苹果、香蕉、橙子都想买，但有的水果可能被你算了两次，这时候就得用容斥原理来算清楚到底买了多少种、多少个水果。

容斥原理公式主要有两个，一个是两集合的容斥原理公式，另一个是三集合的容斥原理公式。

两集合的容斥原理公式是：A∪B = A + B - A∩B 。

比如说，一个班级里喜欢数学的有 30 人，喜欢语文的有 25 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 10 人，那这个班级里喜欢数学或者喜欢语文的同学总数就是 30 + 25 - 10 = 45 人。

三集合的容斥原理公式就稍微复杂点，有标准型和非标准型。

标准型是：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 。

非标准型是：A∪B∪C = A + B + C - 只属于两个集合的元素 - 2×属于三个集合的元素。

给您举个例子吧，就说咱公司组织活动，有喜欢爬山的，有喜欢游泳的，还有喜欢骑自行车的。

喜欢爬山的有 50 人，喜欢游泳的有 40 人，喜欢骑自行车的有 30 人，既喜欢爬山又喜欢游泳的有 15 人，既喜欢游泳又喜欢骑自行车的有 10 人，既喜欢爬山又喜欢骑自行车的有8 人，三个都喜欢的有 3 人。

那用标准型公式来算，参加活动的总人数就是 50 + 40 + 30 - 15 - 10 - 8 + 3 = 90 人。

在行测考试中，容斥原理的题目经常出现，而且形式多种多样。

有的是让你直接用公式计算人数，有的是通过给出一些条件让你推导某个集合的元素数量，还有的会把容斥原理和其他知识点结合起来考，比如概率问题、最值问题等等。

我之前有个朋友考行测，就碰到了一道容斥原理的题目，他当时没搞清楚，结果在这道题上浪费了好多时间，最后也没做对。

湖北公务员考试：谈数量关系容斥原理湖北华图 黄芳芳每年行测的数量关系部分得分率都非常的低，大部分考生认为数量关系考试范围太广，难度大，不知道如何复习。

数量关系考点表面上看似很多很杂，做题花的时间很长，其实对于每个问题都有固定的解题方法，把简单的题型一定要拿到分，难得题型尽量拿到分。

在这里，湖北华图产品教研部向广大学员分享2016年湖北公务员考试的小模块数量关系中的容斥原理考点总结，供广大考生复习参考，希望广大学员在考场中能够熟练使用。

考点一：两集合容斥原理公式：“两集合容斥原理核心公式”：A+B-AB=总数-都不满足的。

根据历年考的省考真题，分析得出两集合标准型题型不再是直接利用公式就能解决了，需要画图进行分析，并应用赋值法和方程法来解题。

【2014-国考】.工厂组织职工参加周末公益劳动，有80%的职工报名参加。

其中报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。

问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的（ ）。

A.20%B.30%C.40%D.50%【解析】设总数为100人，则80人报名参加活动。

设报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数分别为6x 、3x ，则两天的活动都报名参加的人数为x ，可得6380x x x +-=，解得x ＝10。

未报名参加活动的人数是20人，只报名参加周六活动的人数为650x x -=人，前者是后者的2040%50=。

因此，本题选择C 选项。

考点二：三集合容斥原理，三集合标准型公式：A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC=总数-都不满足的对于三集合标准型，很简单直接代入公式，最后通过尾数法快速解题。

三集合非标准型公式：A+B+C-只满足两种情况的-2*ABC=总数-都不满足的，与三集合标准型区别在于满足两种情况的包不包含三种情况，包含则是三集合标准型，解题则代入三集合标准型公式，不包括则是三集合非标准型，则代入非标准型公式解题。

三者容斥问题3个公式
三者容斥问题3个公式如下：
1、标准型：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。

2、非标准型：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2×三个都满足的。

3、列方程组：
|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

必须注意没有重复，没有遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

行测备考三集合容斥非标准公式原理容斥原理一直都是各省行测考试的重点，尤其是三集合容斥原理，屡出不穷。

这次，小编带领大家一起来好好的看看目前的有关三集合容斥原理的题型概况和通用思路。

三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的解题方法1.解题步骤涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。

2.解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数【例1】（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。

A.20B.18C.17D.15【解析】可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28＋30＋42－8－10－5＋3＝100－x，其中x为我们要求的量，求得x＝20，答案选择A。

【例2】（国家2015）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。

调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（）A.310B.360C.390D.410【解析】由于题目中出现了“使用其中两种的有24人”，故我们要使用的就是三集合的变异型公式，如下列式：179＋146＋246－1×24－2×115＝x－52，此时，我们分析一下可以看出，我们所求的x为收回的问卷数量，而题目所求为发出的问卷，明显所求非所问，但是题目中有个条件为“问卷回收率为90%”，故我们将所求的x÷90%即所求的答案，通过列式可得x=369，故发出的问卷为369÷90%=410，故选D。

巧用公式秒解容斥原理题型-2023国家公务员考试行测解题技巧在行测考试中，数量关系科目有许多的解题技巧、方法和公式。

尤其是利用公式法解题，只需大家把握公式，考试时直接套用公式，就可以快速精确地解题。

比如数量关系中常考的一种题型容斥原理，就可以用公式法解题。

今日我们就一起来学习一下用公式法解决三集合容斥原理的题目。

三集合容斥原理分成标准型和非标准型两种：1、三集合标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数＋满意条件2的个数＋满意条件3的个数－满意条件1和2的个数－满意条件1和3的个数－满意条件2和3的个数＋三者都满意的个数＝总个数－三者都不满意的个数；2、三集合非标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数＋满意条件2的个数＋满意条件3的个数－“只”满意两个条件的个数－2×三者都满意的个数＝总个数－三者都不满意的个数。

那么下面我们一起看几个例题，应用一下公式法去求解三集合容斥原理。

【例1】某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别支配了三场讲座。

该机关共有139人，有42人报名参与第一场讲座，51人报名参与其次场讲座，88人报名参与第三场讲座，三场讲座都报名的有12人，只报名参与两场讲座的有30人。

问没有报名参与其中任何一场讲座的有多少人？A.12B.14C.24D.28答案：A【解析】第一步，本题考查容斥原理，用公式法解题。

其次步，设没有报名参与其中任何一场讲座的有x人。

依据三集合非标准型容斥原理公式，可列方程42＋51＋88－30－2×12＝139－x，解得x＝12。

（或者使用尾数法解题）因此，选择A选项。

【例2】某班参与学科竞赛人数40人，其中参与数学竞赛的有22人，参与物理竞赛的有27人，参与化学竞赛的有25人，只参与两科竞赛的有24人，参与三科竞赛的有多少人？A.2B.3C.5D.7答案：C【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。

其次步，设参与三科竞赛的有x人，依据三集合非标准型容斥原理公式可列方程：40－0＝22＋27＋25－24－2x，解得x＝5。

容斥原理三集合非标准型公式推理
三集合容斥非标准型公式是A+B+C-（AB+BC+AC）+ABC＝总数－都不。

容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

具体来说，这个公式的推理过程如下：
因为A、B、C与A交B两两的交集中都含A交B交C，然而ABC两两交
集中应减两次，然而却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以应该加上多减的一次ABC的交集。

以上内容仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询数学专业人士获取更准确的信息。

一、概述集合容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，常用于解决各种计数问题。

它的基本思想是通过对不同集合的交集和并集进行计算，从而得到所需计数的结果。

在集合容斥原理的应用中，有一类特殊问题是求解满足某些条件的非标准型a+b+c=总数的问题。

本文将就这一类问题展开讨论。

二、基本概念在应用集合容斥原理解决a+b+c=总数的问题时，我们首先需要了解几个基本概念：1. 集合：在该问题中，集合通常代表满足某种条件的对象的集合。

集合A表示满足条件A的对象的集合，集合B表示满足条件B的对象的集合，集合C表示满足条件C的对象的集合。

2. 交集：两个集合的交集指的是同时属于这两个集合的对象组成的集合。

在集合容斥原理中，交集的计算是重要的一步。

3. 并集：两个集合的并集指的是属于其中任意一个集合的对象组成的集合。

在集合容斥原理中，并集的计算也是必不可少的。

三、集合容斥原理的应用在解决a+b+c=总数的问题时，我们可以将集合A、B、C分别代表满足条件A、B、C的对象的集合。

根据集合容斥原理，我们可以得到如下公式：总数 = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A|表示集合A的大小，|A ∩ B|表示集合A和B的交集的大小，依此类推。

根据这个公式，我们可以通过分别计算集合A、B、C的大小，以及它们的交集的大小，进而求解满足a+b+c=总数的问题。

四、示例分析为了更好地理解集合容斥原理在求解a+b+c=总数的问题中的应用，我们以一个具体的例子进行分析。

假设有一组数{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，我们希望找出其中满足以下条件的数字组合：a+b+c=15。

我们可以将集合A表示满足条件a的数字的集合，集合B表示满足条件b的数字的集合，集合C表示满足条件c的数字的集合。

根据集合容斥原理，我们可以得到如下公式：总数 = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|我们逐一计算集合A、B、C的大小，以及它们的交集的大小，得到最终满足条件的数字组合。

容斥原理三集合公式非标准型
容斥原理是一种求解问题或统计概率的计算机算法，它由拉格朗日在1713年发现，它概括了一种可以将统计问题统一分解为多个无关的子问题，而且每个子问题又可以非常自然地转化为其它与其无关的子问题的方法。

容斥原理三集合公式非标准型，即当一个问题涉及三个集合时，它使用的容斥原理公式为：
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)
其中，P(A)、P(B)和P(C)分别代表三集合A、B和C的概率值，P(A∩B)、P(A∩C)和P(B∩C)分别代表A与B交集的概率值，同理，P(A∩B∩C)代表三集合A、B和C的交集的概率值。

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非标准型容斥原理
容斥原理这个东西，说起来有点抽象，但我得告诉你，这玩意在解决一些数学问题的时候可是相当实用的。

别担心，我给你讲啊。

有一次，我要组织一个小型派对，准备了三种零食：薯片、巧克力和薯条。

问题是，我手里只有一些小袋子，而每个小袋子只能装一种零食。

我想知道，一共有多少种组合方式可以给客人们发零食。

首先，我们得列出三种情况，对应着只装薯片、只装巧克力和只装薯条的情况。

然后，我们得把组合方式减去重复计算的部分——也就是说，如果某个小袋子既有薯
片又有巧克力，那我们在计算只有薯片和只有巧克力的情况的时候，就得把这个算进去。

这样一来，我们就得出了所有的情况，也就是我们想要的答案。

然而，有一次，我想到一个玩笑，就是在每个小袋子里放两种零食。

这下可就麻烦了，因为容斥原理一般是针对一种情况的，对于多种情况就不太好使了。

我琢磨了一下，决定自己动手，将问题转化成符合容斥原理的样子。

我开始列情况，对应着每种小袋子里放两种零食的情况。

然后，我发现了一个小技巧：把每个小袋子里放两种零食的情况都算进去，然后再减去三种零食都在里面的情况。

这样一来，重复计算的部分正好能够被抵消掉。

最后，我得出了答案，知道了有多少种方式可以将三种零食放进小袋子里。

在整个过程中，非标准型容斥原理，虽然有些麻烦，但最终还是解决了我的问题。

所以嘛，有时候，得动动脑筋，才能找到解决问题的好办法。

三容斥原理非标准公式容斥原理在数学中可是个有趣又有点小复杂的家伙呢！咱们今天要说的是三容斥原理的非标准公式。

先来说说啥是容斥原理。

简单讲，就是在计算多个集合的并集时，为了避免重复计算，我们得把多算的部分减去。

就好像你去果园摘水果，苹果园、梨园和桃园都有你喜欢的水果，但有些地方种了两种甚至三种水果，你在计算总数的时候就得注意别多算啦。

那三容斥原理的非标准公式是啥样的呢？咱先不着急说公式，我给您讲个我遇到的事儿。

有一次，我去参加一个学校的数学兴趣小组活动。

老师出了一道题，说学校组织了语文、数学和英语竞赛，参加语文竞赛的有 30 人，参加数学竞赛的有 25 人，参加英语竞赛的有 20 人，同时参加语文和数学竞赛的有 15 人，同时参加语文和英语竞赛的有 10 人，同时参加数学和英语竞赛的有 8 人，三种竞赛都参加的有 3 人。

问参加竞赛的总人数是多少？这时候，有的同学就开始一个一个地数，结果越数越乱。

我就想到了容斥原理。

咱们用 A 表示参加语文竞赛的人数，B 表示参加数学竞赛的人数，C 表示参加英语竞赛的人数。

那么，A 并 B 并 C 的人数就等于 A + B + C - （A 交 B） - （A 交 C） - （B 交 C） + （A 交 B 交C）。

把数字带进去算算，30 + 25 + 20 - 15 - 10 - 8 + 3 = 45 人。

再深入讲讲这个非标准公式，为啥要这样算呢？比如说 A 交 B 这部分，在计算 A 和 B 的时候都算了一遍，所以要减去一次，避免重复。

同理，A 交 C 和 B 交 C 也是一样。

但是 A 交 B 交 C 这部分，在前面减的时候减多了，所以要加回来。

在实际解题中，有时候题目给的条件不是这么直接，可能需要我们自己去分析和转化。

比如说，告诉你参加了至少一种竞赛的人数，以及参加了两种竞赛的人数，让你求三种都参加的人数。

这时候，咱们就得灵活运用这个公式，通过变形来求解。

三集合容斥非标准公式原理三集合容斥非标准公式原理容斥原理一直都是各省行测考试的重点，尤其是三集合容斥原理，屡出不穷。

这次，小编带领大家一起来好好的看看目前的有关三集合容斥原理的题型概况和通用思路。

三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的解题方法1.解题步骤涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。

2.解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数【例1】（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。

A.20B.18C.17D.15【解析】可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28＋30＋42－8－10－5＋3＝100－x，其中x为我们要求的量，求得x＝20，答案选择A。

【例2】（国家2015）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。

调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（）A.310B.360C.390D.410【解析】由于题目中出现了“使用其中两种的有24人”，故我们要使用的就是三集合的变异型公式，如下列式：179＋146＋246－1×24－2×115＝x－52，此时，我们分析一下可以看出，我们所求的x为收回的问卷数量，而题目所求为发出的问卷，明显所求非所问，但是题目中有个条件为“问卷回收率为90%”，故我们将所求的x÷90%即所求的答案，通过列式可得x=369，故发出的问卷为369÷90%=410，故选D。

三集合容斥非标准公式原理宽容与排他性原则一直是省级考试的重点，尤其是三套排他性原则。

这次，陕西华图教育将带您深入了解有关三组包含和排除原则的当前问题和一般概念。

首先，我们应该有一个清晰的认识。

根据套数，测试中的容忍和排除原则可以分为两组排除原则和三组排除原则。

今天，我们关注三集排除原则。

其次，根据问题的类型，将三组包含和排除的原理分为两种，一种是标准公式，另一种是变式。

接下来，我们将重点介绍三集包含排除原理的标准公式。

设置I，II，III，并满足标准公式三组包含排除原理的标准公式为：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ。

Ⅱ-Ⅰ。

Ⅲ-Ⅱ。

Ⅲ+Ⅰ。

Ⅱ。

Ⅲ=总数-都不满足通过观察公式，我们可以看到公式中有9个数量，并且该公式的适用前提是知道8来找到1，即在标题中，如果我们看到8个已知数量并且需要1个未知数量，我们需要使用此公式（注意：有时在标题中，我们还需要知道7才能找到1，其中三个不满意的数目可能为零）。

具体主题如下：（陕西2015）对100名旅游爱好者的调查发现，泰山28人，华山30人，黄山42人，黄山和黄山8人，泰山和黄山10人，华山和黄山5人，三人三个景点，而（）人们不喜欢三个景点中的任何一个。

A.20B.18C.17D.15E.14F.13G.12H.10解决方案：通过观察，我们发现了八个已知数量，并且我们还需要找到另一个未知数量。

因此，我们可以使用上述公式将数据一一替换为：28 + 30 + 42-8-10-5 + 3 = 100-x，其中x是我们需要的数量，x = 20，并且答案是接下来，让我们看一下三个集合变量的公式，如下图所示：从上面的公式可以看出，要使用变体公式，标题中必须只有两种情况，这与标准公式最大的不同（广东2015年）在一个乡镇举行了一场运动会，包括三项活动：长跑，跳远和短跑。

49人参加了长跑比赛，36人参加了跳远比赛，28人参加了短跑比赛，13人仅参加了两项赛事，9人参加了所有赛事。

那么，运动会的参加者总数为（）。