正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

7.5 正态分布（精讲）考点一 正态分布的特征【例1】（1）（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））若随机变量()23,X N σ，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3（2）（2021·黄石市有色第一中学高二期末）设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】（1）A(2）B 【解析】（1）由于随机变量()23,XN σ，则()()15P X P X <=>，因此，()()()()151********.20.6P X P X P X P X ≤≤=-<->=->=-⨯=.故选：A. （2）∵随机变量ξ服从正态分布N （4，3），∵P （ξ＜a ﹣5）=P （ξ＞a+1），∴x=a ﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a ﹣5+a+1=8， ∴2a=12，∴a=6，故选:B ． 【一隅三反】1．（2021·湖北宜昌市）某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ占近似服从正态分布()295,N σ，且(9195)0.25P ξ<≤=．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ） A ．100 B ．125C ．150D ．175【答案】D【解析】由题意，成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，则正态分布曲线的对称轴为95X =， 又由(9195)0.25P ξ<≤=，根据正态分布曲线的对称性，可得()()1199[12(9195)]120.250.2522P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-⨯=， 所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为7000.25175⨯=人， 故选：D.2．（2021·山东青岛市）某种芯片的良品率X 服从正态分布()20.95,0.01N ，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=.A ．52.28B ．65.87C ．50.13D ．131.74【答案】B 【解析】因为()20.95,0.01XN ，得出0.95μ=，0.96μσ+=，所以()()0.950.5P X P X μ≤=≤=，()()0.950.96P X P X μμσ<≤=<≤+()110.68260.341322P X μσμσ=-<≤+=⨯=； ()()()110.96110.68260.158722P X P X μσμσ>=--<≤+=⨯-=⎡⎤⎣⎦， 所以()01000.34132000.158765.87E X =+⨯+⨯=（元） 故选：B3．（2021·江西景德镇市）某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X 服从正态分布()82,16N ，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（ ）〖参考数据〗：()0.683P X μσμσ-<≤+=，()220.954P X μσμσ-<≤+=，()330.997P X μσμσ-<≤+=A ．2300B ．3170C ．3415D ．460【答案】A【解析】依题意知，82,4μδ==所以()74900.954P x <≤= 则()()19010.9540.0232P x ≥=-⨯=，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为 1000000.0232300⨯=故选：A考点二 正态分布的实际应用【例2】（2021·安徽池州市）2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z 服从正态分布()2,N μσ.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记X 表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于3μσ-的数量.（1）求()1P X ≥的概率； （2）求X 的数学期望()E X ；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z 小于3μσ-的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？ 附：若随机变量()2,Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=，()330.9974P Z μσμσ-<≤+=，100.99870.9871≈.【答案】（1）0.0129；（2）0.013；（3）这种监控生产过程的方法合理.【解析】（1）抽取口罩中过滤率在(]3,3μσμσ-+内的概率()330.9974P Z μσμσ-<≤+=， 所以()10.997430.00132P Z μσ-≤-==， 所以()310.00130.9987P Z μσ>-=-=，故()()1011010.998710.98710.0129P X P X ≥=-==-=-=（2）由题意可知()~10,0.0013X B ，所以()100.00130.013E X =⨯=.（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于3μσ-的概率()10.997430.00132P Z μσ-≤-==，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于3μσ-的概率()0.11029P X ≥=，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理. 【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm )，其频率分布直方图如图所示.（1）求该植物样本高度的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）假设该植物的高度Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数2,x σ近似为样本方差2s ，利用该正态分布求(64.596)P Z .10.5≈.若()2~,Z Nμσ，则()68.3%,(22)95.4%P Z P Z μσμσμσμσ-+≈-+≈.【答案】（1）75x =，2110s =；（2）81.85%.【解析】（1）由题意可得平均数550.1650.2750.35850.3950.0575x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222222(5575)0.1(6575)0.2(7575)0.35(8575)0.3(9575)0.05110s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（2）由（1）知，~(75,110)Z N ，从而11(64.575)(7510.57510.5)68.3%34.15%22P Z P Z =⨯-+≈⨯=11(7596)(75210.575210.5)95.4%47.7%22P Z P Z =⨯-⨯+⨯≈⨯=所以(64.596)(64.575)(7596)34.15%47.7%81.85%P Z P Z P Z =+<≈+=.2．（2020·全国高二单元测试）某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm )．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N (μ，σ2)．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；（2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 10.12 9.97 10.01 9.95 10.02 9.98 9.21 10.03 10.04 9.99 9.98 9.97 10.01 9.97 10.03 10.11经计算得16119.9616==≈∑i i x x，0.20==≈s ，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2，…，16.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．参考数据：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜x ＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997416≈0.9592，0.05.≈【答案】（1）0.0408；0.0416；（2）需要对当天的生产过程进行检查；10.01；0.05. 【解析】(1)∵抽取的一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997 4， ∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6， 故X ～B (16,0.0026)．P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408； X 的数学期望为E (X )＝16×0.0026＝0.0416.(2)9.96x ≈，s ≈0.20，得9.96μ≈，0.20σ≈.∵样本数据可以看到有一个零件的尺寸在()()3,39.36,10.56μσμσ-+=之外，∴需要对当天的生产过程进行检查．剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.21之后， 剩下数据的平均数()1169.969.2110.0115⨯-=，可得μ的估计值为10.01. ∵162221160.20169.961587.8656ii x==⨯+⨯=∑，剔除()9.36,10.56之外的数据9.21之后， 剩下数据的方差为()2211587.8656-9.21-1510.010.002715⨯≈， ∴σ0.05.3．（2020·全国高二专题练习）现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X 均近似服从正态分布()250,16N ．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为43,54． （1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记Y 为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量Y 的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值． （参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.683,(22)0.954,(33)0.997P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-+≈-+≈-+≈）【答案】（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元. 【解析】（1）设各阶段猪的数量分别为123,,n n n ， ∵猪的体重X 近似服从正态分布2(50,16)N ，0.9970.954(218)(50316502 16) 0.02152P X P X -∴<=-⨯<-⨯≈=，1100000.0215215n ∴=⨯=（头）；(1882)(5021650216)0.954P X P X <=-⨯<+⨯≈2100000.9549540n ∴=⨯=（头）；0.9970.954(8298)(5021650316) 0.02152P X P X -=+⨯+⨯≈=，3100000.0215215n ∴=⨯=（头）∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头． （2）随机变量Y 的所有可能取值为900，300，300-．43341137111(900),(300),(300)5455454205420P Y P Y P Y ==⨯===⨯+⨯==-=⨯=，Y ∴的分布列为371()90030030063052020E Y ∴=⨯+⨯-⨯=（元），由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为630215135450⨯=（元）．考点三 正态分布与其他知识的综合运用【例3】（2021·内蒙古赤峰市）疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布()2,N μσ（μ和2σ分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．14.5≈）规定：若()220.9544P X μσμσ-<<+>，()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”． （2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是34，获得100元的概率是14．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望．【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5. 【解析】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：21014.5≈，265214.536μσ∴-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=，365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，()72210.9650.9544200P X μσμσ∴-<<+=-=>， 学生的得分都在[]30,100间，()3310.9974P X μσμσ∴-<<+=>．∴学生得分近似满足正态分布()65,210N 的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；（2）设这名同学获得的奖金为Y ，则Y 的可能值为50、100、150、200，()6395010420P Y ==⨯=，()2614331001041048P Y ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭， ()124313*********P Y C ==⨯⨯⨯=，()241120010440P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 故Y 的分布列为：()5010015020087.52082040E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【一隅三反】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在[4,20]内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ服从正态分布()2,N μσ，其中，μ为（1）中求得的平均数标准差σ的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数(14,18)ξ∈的人数(结果四舍五入保留整数).（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望.附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈.【答案】（1）12；（2）47；（3）分布列答案见解析，数学期望：216. 【解析】（1）依题意得0.0150.0170.0890.5811x =⨯+⨯+⨯+⨯ 0.22130.06150.03170.011911.6812+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.（2）因为()2~12,2N ξ，所以(1418)(1221232)P P ξξ<<=+<<+⨯，1[(618)(1014)]0.15732P P ξξ=<<-<<≈ 所以走路步数(14,18)ξ∈的总人数为3000.157347⨯≈.（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1.由题意知X 的可能取值为0，100，200，300，400.2(0)0.020.0004P X ===；12(100)0.020.880.0352P X C ==⨯⨯=； 122(200)0.020.10.880.7784P X C ==⨯⨯+=；12(300)0.10.880.176P X C ==⨯⨯=；2(400)0.10.01P X ===.所以X 的分布列为()00.00041000.03522000.77843000.1764000.01216E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2．（2021·长沙市·湖南师大附中高二期末）国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区．（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x ；（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(),27.04N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨），估计该市A 类社区中“超标”社区的个数；（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：若X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈；()220.9544P X μσμσ-<≤+≈；()330.9974P X μσμσ-<≤+≈．【答案】（1）22.76吨；（2）51个；（3）分布列见解析，52. 【解析】（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则 145176209231226829632422.7650x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨. （2）据题意，22.8μ=，227.04σ=，即 5.2σ=，则()()10.6826280.15872P X P X μσ->=>+==. 因为3200.158750.78451⨯=≈，估计该市A 类社区中“超标”社区约51个.（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在[)27.5,30.5内的“超标”社区也有4个，则X 的可能取值为1，2，3，4.()1444581114C C P X C ===，()234458327C C P X C ===，()324458337C C P X C ===，()4144581414C C P X C ===. 则X 的分布列为：所以()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.。

1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。

正态分布高中练习题及讲解1. 题目一：某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 16)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。

2. 题目二：假设某大学新生的数学成绩服从正态分布N(70, 25)，求数学成绩超过80分的学生所占的比例。

3. 题目三：某市居民的身高数据服从正态分布N(170, 10)，如果随机选择一名居民，求其身高超过180cm的概率。

4. 题目四：某公司员工的工作时间服从正态分布N(8, 2)，计算工作时间超过9小时的员工所占的比例。

5. 题目五：某品牌手机的电池寿命服从正态分布N(300, 50)，求电池寿命超过350小时的概率。

讲解：正态分布是统计学中最常见的分布之一，其图形呈钟形，对称于均值。

正态分布的数学表达式为N(μ, σ²)，其中μ是均值，σ²是方差。

正态分布的特点是：- 均值μ决定了分布的中心位置。

- 方差σ²决定了分布的宽度，方差越大，分布越宽，反之亦然。

- 68%的数据位于距均值一个标准差(σ)的范围内。

- 95%的数据位于距均值两个标准差的范围内。

- 99.7%的数据位于距均值三个标准差的范围内。

要解决上述题目，我们可以使用正态分布的性质和Z分数来计算概率。

解题步骤：1. 将数据转换为Z分数，Z = (X - μ) / σ。

2. 查找Z分数对应的概率，通常可以使用标准正态分布表或计算器。

例如，对于题目一，我们首先计算48和52对应的Z分数：- Z1 = (48 - 50) / 4 = -0.5- Z2 = (52 - 50) / 4 = 0.5然后，查找Z分数表或使用计算器得到Z1和Z2对应的概率，最后计算两者之差。

对于题目二至题目五，解题步骤类似，只需将题目中的数据代入相应的公式中计算即可。

通过这些练习，学生可以更好地理解正态分布的概念，掌握如何使用Z 分数来解决实际问题。

同时，这些练习也有助于提高学生的计算能力和逻辑思维能力。

正态分布练习题1正态分布1.1正态函数及曲线特点1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。

若P (ξ>C +1)=P (ξ<C −1)，则C =3.2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π，则总体的均值和方差分别为0和16。

1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)P 1=P (µ−σ<X ≤µ+σ)=0.6826;P 2=P (µ−2σ<X ≤µ+2σ)=0.9544;P 3=P (µ−3σ<X ≤µ+3σ)=0.9974.类型1:(µ,µ+nσ]型,(n =1,2,3):P (µ<X ≤µ+nσ)=12P n ,(n =1,2,3);如：P (µ<X ≤µ+2σ)=12P 2=12×0.9544=0.4772.类似也可求解(µ−nσ,µ]型,(n =1,2,3).类型2:(µ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):P (µ±nσ<X <+∞)=12×[1∓P n ],(n =0,1,2,3);如：P (µ−2σ<X <+∞)=12×[1+P 2]=12×[1+0.9544]=0.9772.类似也可求解(−∞,µ±nσ)型,(n =0,1,2,3).类型3:(µ+kσ,µ+tσ)型,−3≤k <t ≤3:case 1:kt ≤0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P M +P m ],M =max {|k |,|t |},m =min {|k |,|t |}.总结,以上各类型需要与正态曲线的图形有机结合在一起,把概率问题转化为对应区间上图形的面积问题.1练习:1.若X N(µ,1)，求P(µ−3<X≤µ−2)=0.0215.2.若X N(5,1)，求P(6<X≤7)=0.1359.3.若X N(1,1)，求P(3<X≤4)=0.0215.4.若X N(0,1)，求P(−3<X<−∞)=0.9987.1.3应用问题1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。

正态分布一.选择题： 1.正态分布有两个参数μ与σ, 相应的正态曲线的形状越扁平;A ．μ越大B ．μ越小C ．σ越大D ．σ越小答案： C;解析：由正态密度曲线图象的特征知;2. 已知随机变量X 服从正态分布N 3,σ2则PX <3等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：由正态分布图象知,μ＝3为该图象的对称轴,PX <3＝PX >3＝错误!.答案：D3．设两个正态分布Nμ1,σ错误!σ1>0和Nμ2,σ错误!σ2>0的密度函数图象如图所示,则有A ．μ1<μ2,σ1<σ2B ．μ1<μ2,σ1>σ2C ．μ1>μ2,σ1<σ2D ．μ1>μ2,σ1>σ2解析：由图可知,μ2>μ1,且σ2>σ1. 答案：A4.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ,则下列结论不正确的是 ;A ．)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξB. )0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξC. )0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξD. )0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：C 解析：(||)0P a ξ==;5. 某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为fx ＝错误!e 2(80)200x e -- x ∈R ,则下列命题不正确的是A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：由密度函数知,均值期望μ＝80,标准差σ＝10,又曲线关于直线x ＝80对称,故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同,所以B 是错误的．答案：B6. 已知随机变量X ～N 3,22,若X ＝2η＋3,则Dη等于A ．0B ．1C ．2D ．4解析：由X ＝2η＋3,得DX ＝4Dη,而DX ＝σ2＝4,∴D η＝1.答案：B7. 在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布)36,100(,那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是A ．0.6826B ．0.3174C ．0.9544D ．0.9974答案：C;解析：由已知X —N100,36, 故88100112100(88112)()(22)2(2)10.954466P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=; 8. 某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是A. 32B. 16C. 8D. 20答案：B;解析:数学成绩是X —N80,102,80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭;二．填空题9. 若随机变量X ～Nμ,σ2,则PX ≤μ＝________.解析：由于随机变量X ～Nμ,σ2,其概率密度曲线关于x ＝μ,对称,故PX ≤μ＝错误!.答案：错误!10. 已知正态分布总体落在区间0.2,＋∞的概率为0.5,那么相应的正态曲线fx 在x ＝________时达到最高点．解析：∵PX >0.2＝0.5,∴PX ≤0.2＝0.5,即x ＝0.2是正态曲线的对称轴．∴当x ＝0.2时,fx 达到最高点．答案：0.211. 在某项测量中,测量结果X 服从正态分布N 1,σ2σ>0．若X 在0,1 内取值的概率为0.4,则X 在0,2内取值的概率为________．解析：∵X 服从正态分布1,σ2,∴X 在0,1与1,2内取值的概率相同均为0.4.∴X 在0,2内取值概率为0.4＋0.4＝0.8答案：0.812. 商场经营的某种包装大米的质量单位：kg 服从正态分布X ～N 10,0.12,任选一袋这种大米,质量在9.8～10.2 kg 的概率是________．解析：P 8<X <10.2＝P 10－0.2<X <10＋0.2＝0.954 4.答案：0.954 413.若随机变量X 的概率分布密度函数是()228,1(),()22x x e x R μσφπ+-=∈,则)12(-X E = ;答案：-5;解析：2,2,(21)2()12(2)15E X E X σμ==--=-=⨯--=-;三．解答题14.设X ～N 10,1,设PX ≤2＝a ,求P 10<X <18．解： P 10<X <18 ＝P 2<X <10＝PX <10－PX ≤2＝错误!－a . 15.工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布 N 错误!,问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个解：∵X ～N 错误!,∴μ＝4,σ＝错误!.∴不属于区间3,5的概率为PX ≤3＋PX ≥5＝1－P 3<X <5＝1－P 4－1<X <4＋1＝1－Pμ－3σ<X <μ＋3σ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003.∴1 000×0.003＝3个,即不属于区间3,5这个尺寸范围的零件大约有3个．16.某人乘车从A 地到B 地,所需时间分钟服从正态分布N 30,100,求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．解：由μ＝30,σ＝10,Pμ－σ<X≤μ＋σ＝0.682 6知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6,又由于Pμ－2σ<X≤μ＋2σ＝0.954 4,所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0.271 8,由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.17. 一批电池一节用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少答案：解：电池的使用寿命X—N35.6,4.42则35.64035.6(40)()(1)1(1)0.15874.4 4.4XP X P P Z P Z--≥=≥=≥=-≤=即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587;。

专题：正态分布【知识网络】1取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、 通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图) ，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

【典型例题】例1 :( 1)已知随机变量 X 服从二项分布，且 E (X )=2.4，V ( X )=1.44,则二项分布的参数 n , p 的值为 ( ) A . n=4, p=0.6 B . n=6,p=0.4 C . n=8, p=0.3 D . n=24, p=0.1答案：B 。

解析：EX np 2.4 , V X n p(1 p) 1.44。

(2)正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为()。

A 95%B . 50%C . 97.5%D .不能确定(与标准差的大小有关) 答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对 2题才算合格(I) 求甲答对试题数E 的概率分布及数学期望； (H)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率(3)某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 分到90分的人数是A 32B 16C 答案：B 。

解析：数学成绩是X — N(80,102),P(80 X 90) p 80 8010 Z 90 8010P(0 Z 8 D 1) 0.3413,48 0.3413 80,标准差为10,理论上说在 80 2016。

X2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1(5)如图，两个正态分布曲线图：1 为 1, 1(X) , 2 为 2 2 (x),则1 __________ 2 ,1 ___________2 (填大于，小于)答案：V, ＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其答案：解：(I)依题意，甲答对试题数E 的概率分布如下: c 1 ,3 c 1 C 1 E E = 0 1 一 2 - 3 - 30 10 2 6(n)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A 、 B ,贝yE 01 2 3P1 3 1 1 30 102 6(4)从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 ____________________ 答案：8.5。

1．正态分布(1)正态曲线函数f(x)=x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(2)正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X N(,).特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.(3)正态分布的均值和方差若X N(,)，则E(X)=，D(X)=.3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；(3)曲线在x=；(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；(5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.4．3原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(-+)0.6827；P(-2+2)0.9545；P(-3+3)0.9973.(2)3原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学中称为3原则.历届高考题最新模拟题选做1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()AA．0.954B．0.977C．0.488D．0.4772．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(B)(随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%3．已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，则P(X>2)＝(A)A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[解析]由X～N(1，σ2)，正态曲线关于X＝1对称，∴P(X>2)＝P(X<0)＝1－P(X≥0)＝0.2；故选A.3．已知三个正态密度函数φi(x)=−(x−μi)22σi2（x∈R，i=1,2,3）的图像如图所示，则（）A．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2>σ3B．μ1<μ2=μ3，σ1<σ2<σ3C．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2<σ3D．μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3由题图中y=φi(x)的对称轴知：132u u u =，y=φ1(x)与y=φ2(x)(一样)瘦高，而y=φ3(x)胖矮，所以σ1=σ2<σ3.故选：D.4．已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(X<k－4)，则k的值为(B) A．6B．7C．8D．9[解析]∵(k－4)＋k2＝5，∴k＝7，故选B.5．随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝(C) A．6B．5C．4D．3[解析]由题意可知P(ξ≥6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴P(ξ≥6)＝P(ξ<2)，∴μ＝6＋22＝4.选C．6．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，则P(－2<ξ<4)＝(D) A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[解析]由正态曲线的对称性知P(－2<ξ<4)＝2P(1<ξ<4)＝212－P(ξ>4)＝212－(1－P(ξ<4))＝0.8.故选D.7．若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.6826，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9544，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9974.已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为(C)A．159B．46C．23D．13[解析]由题意，μ＝110，σ＝10，故P(X>130)＝P(X>μ＋2σ)＝1－0.95442＝0.0228.∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1000×0.0228＝22.8≈23.故选C．8．已知随机变量X ～N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为(D)附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641[解析]由题意P(0＜X ≤1)＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.正方形OABC 内取一点，则点恰好落在阴影部分的概率为P ＝1×1－0.13591×1＝0.8641.选D.9．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是(ABD)附：若随机变量X 服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826.A ．若红玫瑰日销售量范围在(μ－30,280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413[解析]对于选项A ：μ＋30＝280，μ＝250，正确；对于选项BC ：利用σ越小越集中，30小于40，B 正确，C 不正确；对于选项D ：P(280<X<320)＝P(μ<X<μ＋σ)≈0.6826×12≈0.3413，正确．故选ABD.10．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[60,300]，若使标准分X 服从正态分布N(180,900)．(参考数据：①P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9973.则(BC)A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．P(240<X ≤270)＝0.0428[解析]这次考试标准分超过180分的约有500人，A 错；∵P(90<X<270)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9973，∴标准分在(90,270)内的人数约为0.9973×1000≈997，∴B 正确．甲、乙、丙恰有2人超过180分的概率为C232×＝38，∴C 正确；∵P(240<X<270)＝P (90<X<270)－P (120<X<240)2＝P (μ－3σ<X<μ＋3σ)－P (μ－2σ<X<μ＋2σ)2＝0.9973－0.95452＝0.0214，∴D 错误．故选BC ．11．已知随机变量X~N 4，22，则P 8<X <10的值约为（）附：若Y~N μ，σ2，则P μ−σ<Y <μ+σ≈0.6827，P μ−2σ<Y <μ+2σ≈0.9545，P μ−3σ<Y <μ+3σ≈0.9974A．0.0215B．0.1359C．0.8186D．0.9760【解题思路】由题意确定μ=4,σ=2，根据P8<X<10=12[Pμ−3σ<X<μ+3σ−Pμ−2σ<X<μ+ 2σ]，即可得答案.由题意知随机变量X~N4，22，故μ=4,σ=2，故P8<X<10=12[Pμ−3σ<X<μ+3σ−Pμ−2σ<X<μ+2σ]≈12(0.9974−0.9545)=0.02145≈0.0215,故选：A.12．已知随机变量服从正态分布X~N(2,σ2)，若P(X≤1−2a)+P(X≤1+a)=1，则a=（）A．0B．2C．−1D．−2根据正态分布的性质可得P(X≥1−2a)=P(X≤1+a)，即可得到1−2a、1+a关于x=2对称，从而得到方程，解得即可.解：因为P(X≤1−2a)+P(X≤1+a)=1，P(X≤1−2a)+P(X≥1−2a)=1，所以P(X≥1−2a)=P(X≤1+a)，所以1−2a+1+a=2×2，解得a=−2.故选：D.13．已知随机变量X服从正态分布N6,σ，若P X<4+5P X>8=1，则P4<X<6=（）A．16B．14C．13D．19根据正态分布的对称性可得：P X<4=P X>8，P4<X<6=12−P X<4，结合题意可求P X<4=16，进而可求P4<X<6．X~N6,σ，则P X<4=P X>8，∴P X<4+5P X>8=6P X<4=1，则P X<4=16，∴P4<X<6=12−P X<4=13，选：C．1．新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现，基于目前流行病学调查，潜伏期为1～14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源，某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示．(1)由直方图可认为答题者的成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别为答题者的平均成绩x－和成绩的方差s2，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(同一组中的数据用该组的区间中点值作代表)(2)如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s2＝204.75，204.75＝14.31；②z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<z<μ＋2σ)＝0.9544；③0.84134＝0.501,0.84133＝0.595.[解析](1)由题意知：x－＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，因为z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝x－＝70.5，σ2＝D(ξ)＝204.75，σ＝14.31，∴z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5,14.312)，而P(μ－σ<z<μ＋σ)＝P(56.19<z<84.81)＝0.6826，∴P(z≥84.81)＝1－0.68262＝0.1587，∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为0．1587×10000＝1587人．(2)由(1)知，成绩超过56.19的概率为1－0.1587＝0.8413，而ξ～B(4,0.8413)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C44·0.84134＝1－0.501＝0.499.2．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x－(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝142.75≈11.95；②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544.[解析](1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x－为：x－＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z<38.45)＝P(26.5－11.95<Z<26.5＋11.95)＝0.6826，∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得每包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的概率为213.02.0=+X ～X 的取值为0，1，2，3，4，P(X ＝0)＝16121404=⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；P(X ＝1)＝41421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝14；P(X ＝2)＝42421⎪⎭⎫ ⎝⎛C =38；P(X ＝3)＝43421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝14；P(X ＝4)＝44421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝116.∴X 的分布列为X 01234P116143814116∴E(X)＝4×12＝2.(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数位学生，求他的数学成绩恰在64分到0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(2P μσ-(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，。

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【知识网络】1 、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2 、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题;例1 : （ 1）已知随机变量 X 服从二项分布，且 E （ X ）=，V （ X ）=，则二项分布的参数 n , p 的值为（ ）A n=4，p=B . n=6,p= C. n=8, p= D. n=24, p=答案：B 。

解析：EX n p 2.4 , V X n p （1 p ） 1.44。

（2） 正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为（）。

A 95%B . 50%C . %D .不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

（3） 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是 （）A 32B 16C8D20答案： B 。

解析 :数学成绩是 X — N(80,10 2)，P(80 X 90)P 80 8010 Z 90 8010P(0 Z 1) 0.3413,48 0.3413 16。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 ___________________ 答案：。

解析：设两数之积为 X ，X 23456810121520P••• E(X)=.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为 1,1（x ），2 为 2 2（X ），答案：V ，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

正态分布讲义3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图）【典型例题】，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试，至少答对 2题才算合格.(I)求甲答对试题数E 的概率分布及数学期望； (H)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率p (A )=C ；C 4 C ；=60 202 , P (明 C ；C ； C ；56 56 14C ；01203’ C ,o120 15因为事件A 、B 相互独立， 方法一：例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的 6题，乙能答对其甲答对试题数E 的数学期望1 9 L1 31 E E =0 12 -3 . 30 10 26 5(n)设甲、 乙两人考试合格的事件分别为A 、B,则E 01 2 3P:1 3 1 :1 30 1026•••甲、乙两人考试均不合格的概率为 P A•••甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 方法二：•••甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为2 P P A B P A B P A B -3 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1 15 一 一 一2 14 1 B P A P B1 - 13 15 45_ _1 44P 1 P A B 145 454445 °1 X2 兰 443 15 3 15 454445' 答案：解：(I)依题意，甲答对试题数E 的概率分布如下: (2)比较两名射手的水平答案：（1）a=,b=;(2) EX 1 0.3 2 0.1 3 0.6 2.3, EY 1 0.3 2 0.4 3 0.3 2DX 0.855, DY 0.6所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定..例4 :一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白, 输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的•很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”答案：设取出的红球数为C k C6 kX,则X—H( 6, 6, 12), P(X k) C6 C6，其中k-0,1,2，…,6 C12设赢得的钱数为Y,则Y的分布列为••• E（Y）100馬507720侖1002°29・44,故我们不该“心动”【课内练习】1.标准正态分布的均数与标准差分别为（）。

4321-1-4-22421专题：正态分布例：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为A ．n=4，p=0.6B ．n=6,p=0.4C ．n=8，p=0.3D ．n=24，p=0.1答案：B 。

解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。

（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。

A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）A 32B 16C 8D 20 答案：B 。

解析:数学成绩是X —N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。

答案：8.5。

解析：设两数之积为X ，X 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1∴E(X)=8.5.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ， 则1μ 2μ，1σ 2σ（填大于，小于）答案：＜，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

【课内练习】1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。

A ．0与1B ．1与0C ．0与0D ．1与1答案：A 。

解析：由标准正态分布的定义知。

2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小 答案： C 。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

高二数学正态分布试题答案及解析1.设随机变量X服从正态分布N（3，4），若P（X＜2a+3）=P（X＞a﹣2），则a的值为（）.A．B．3C．5D．【答案】A.【解析】因为随机变量X服从正态分布N（3，4），且P（X＜2a+3）=P（X＞a﹣2），所以与关于对称，即，所以，即.【考点】正态分布.2.设随机变量X服从正态分布N（0,1），P（X>1）＝p，则P（－1<X<0）等于A．p B．1－p C．1－2p D．－p【答案】D【解析】由于随机变量X服从正态分布N（0,1）,图象关于对称，，因此.【考点】正态分布的应用.3.设随机变量服从正态分布,若,则( ).A．3B．C．5D．【答案】D【解析】由题意，得与关于对称，则，所以.【考点】正态分布的对称性.4.已知随机变量X服从正态分布N(3．1)，且=0．6826，则p（X>4）=（）A．0．1588B．0．1587C．0．1586D．0．1585【答案】B【解析】正态分布曲线关于对称，因为,故选B．【考点】正态分布5.均值为2，方差为2π的正态分布的概率密度函数为________．【答案】f(x)＝【解析】在密度函数f(x)＝中，μ＝2，σ＝，故f(x)＝.6.已知X～N(0,1)，则P(－1＜X＜2)＝________.【答案】0.818 5【解析】∵P(－1＜X＜1)＝0.682 6，P(－2＜X＜2)＝0.954 4，∴P(1＜X＜2)＝ (0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.∴P(－1＜X＜2)＝0.682 6＋0.135 9＝0.818 5.7.设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________．【答案】2【解析】∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是＝2，∴c＝2.8.已知X～N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝________.【答案】0.1【解析】∵P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(X＞2)＝(1－2×0.4)＝0.1.9.已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．【答案】0.2【解析】由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x＝0.2时，正态曲线f(x)达到最高点．10.如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是________．【答案】0＜σ1＜σ2＝1＜σ3【解析】由已知得＝，∴σ2＝1.由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以0＜σ1＜σ2＝1＜σ3.11.已知随机变量服从正态分布，且，则= .【答案】0.3【解析】随机变量ξ服从正态分布，∴曲线关于x=2对称，∴P（ξ＜0）=P（ξ＞4）=1－0.8=0.2，∴=0.5－0.2=0.3，故答案为0.3.【考点】正态分布点评：简单题，随机变量ξ服从正态分布，得到曲线关于x=2对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于4的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．12.已知随机变量X服从正态分布，且=0.6826，则=（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585【答案】B【解析】因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，又因为=0.6826，所以【考点】本小题主要考查正态分布的概率求解.点评：求解正态分布的概率问题，关键是利用正态曲线的图象.13.某市对10000名中学生的数学成绩（满分100分）进行抽样统计，发现他们近似服从正态分布N～（70，102），若90分以上者有230人，则这10000名学生中分数在50分到90分之间的人数约有（）A．7140人B．230人C．9540人D．4770人【答案】C【解析】解：因为利用正态分布的对称性可知，某市对10000名中学生的数学成绩（满分100分）进行抽样统计，发现他们近似服从正态分布N～（70，102），因为90分以上者有230人，则这10000名学生中分数在50分到90分之间的人数约有10000-460=9540人，选C14.设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(>1)= ，则P(-1<<0)=（）。

正态分布在频率分布直方图中，当样本点个数越来越大，分组数越来越多时(即组距无限缩小)，频率分布直方图的顶边会无限缩小乃至形成一条光滑的曲线。

如图：随机变量X 在每个小区间内取值的频率，接近于X 在那个区间中取值的概率，因此，我们把这条曲线称为X 的概率密度曲线。

曲线呈现“中间高，两边低，左右大致对称”的特点，我们把具有这种特性的曲线叫作正态分布密度曲线，简称正态曲线，它的函数表达式为：），（πR x e x p x ∈=--222)(21)(σμσ其中μ和σ为参数，且0＞σ，R ∈μ.)(x p 称为概率密度函数.此时，我们称随机变量X 服从参数为μ和2σ“的正态分布，简记为：)(~2σμ，N X 正态分布密度曲线具有如下特点：1.曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交;2.曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称;3.)(x p 在μ=x 处达到最大值πσ21；4.当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移;5.σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡;6.曲线与x 轴之间所夹区域的面积等于1.特别地，当数学期望0=μ，方差12=σ时：），（πR x e x p x ∈=-2221)(此时，的正态分布称为标准正态分布，随机变量X 服从标准正态分布记作：)10(~，N X若)(~2σμ，N X ，则随机变量X 在μ的附近取值的概率较大，在离μ较远处取值的概率较小.随机变量X 的取值：落在区间][σμσμ+-，内的概率约为68.27%，落在区间]22[σμσμ+-，内的概率约为95.45%，落在区间]33[σμσμ+-，内的概率约为99.73%.【例题1】在某次数学考试中，假设考生的成绩服从正态分布N(90，100).(1)求考试成绩X 位于区间[70，110]上的概率;(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在[80，100]间的考生大约有多少人.【练习】1.某工厂制造的机械零件尺寸服从正态分布N(4，9/4)，问:在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有多少个?2.从某批材料中任取一件进行检测，测得材料的强度X 服从正态分布N(200，18).(1)计算取得的材料的强度不低于182的概率;(2)如果所用的材料要求以98%的概率保证强度不低于164，则这批材料是否符合这个要求?。

专题：正态分布[知识网络]1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题；3、通过实际问题,借助直观〔如实际问题的直观图〕,认识正态分布、曲线的特点与曲线所表示的意义. [典型例题]例1：〔1〕随机变量X 服从二项分布,且E 〔X 〕=2.4,V 〔X 〕=1.44,如此二项分布的参数n,p 的值为 〔 〕 A ．n=4,p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8,p=0.3 D ．n=24,p=0.1答案：B.解析：()4.2==np X E ,()44.1)1(=-=p np X V .〔2〕正态曲线下、横轴上,从均数到∞+的面积为< >.A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定〔与标准差的大小有关〕 答案：B.解析：由正态曲线的特点知.〔3〕某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是 〔 〕A 32B 16C 8D 20 答案：B.解析:数学成绩是X —N<80,102>,80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭. 〔4〕从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,这两个数之积的数学期望为___________.∴E<X>=8.5.〔5〕如图,两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ,2为)(22x σμϕ,如此1μ2μ,1σ2σ〔填大于,小于〕答案：＜,＞.解析：由正态密度曲线图象的特征知.例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试,在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备中随机抽出3题进展测试,至少答对2题才算合格.〔Ⅰ〕求甲答对试题数ξ的概率分布与数学期望； 〔Ⅱ〕求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：〔Ⅰ〕依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. 〔Ⅱ〕设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ,如此P <A >=310361426C C C C +=321202060=+,P <B >=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立, 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 例3X 和Y,其分布列如下： 〔1〕求a,b 的值； 〔2〕比拟两名射手的水平. 答案：〔1〕a=0.3,b=0.4; 〔2〕23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX所以说甲射手平均水平比乙好,但甲不如乙稳定.．"心动〞..答案：设取出的红球数为X,如此X —H 〔6,6,12〕,666612()k kC C P X k C -⋅==,其中k=0,1,2,…,6设赢得的钱数为Y,如此Y 的分布列为∴1675100()100502010029.4446277154231E Y =⨯+⨯+⨯-⨯=-,故我们不该"心动〞. [课内练习]1．标准正态分布的均数与标准差分别为< >. A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A.解析：由标准正态分布的定义知.2．正态分布有两个参数μ与σ,< >相应的正态曲线的形状越扁平. A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小答案： C.解析：由正态密度曲线图象的特征知.3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ,那么()∑=-ni i x x n 121是指A ．σB ．μC ．2σD ．2μ〔 〕 答案：C.解析：由方差的统计定义知.4．设),(~p n B ξ,()12=ξE ,()4=ξV ,如此n 的值是.答案：4.解析：()12==np E ξ,()4)1(=-=p np V ξ5．对某个数学题,甲解出的概率为23,乙解出的概率为34,两人独立解题.记X 为解出该题的人数,如此E 〔X 〕=.答案：1712.解析：11121145(0),(1),3412343412P X P X ==⨯===⨯+⨯=231(2)342P X ==⨯=. ∴15117()012212212E X =⨯+⨯+⨯=. 6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ,如此如下结论正确的答案是. <1>)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξ <2>)0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξ <3>)0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξ <4>)0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：<1>,<2>,<4>.解析：(||)0P a ξ==.7．抛掷一颗骰子,设所得点数为X,如此V 〔X 〕=.答案：3512.解析：1(),1,2,,66P X k k ===,按定义计算得735(),()212E X V X ==.8．有甲乙两个单位都想聘任你,你能获得的相应的职位的工资与可能性如下表所示：根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位并说明理由. 答案： 由于E 〔甲〕=E 〔乙〕,V 〔甲〕<V 〔乙〕,应当选择甲单位.解析：E 〔甲〕=E 〔乙〕=1400,V 〔甲〕=40000,V 〔乙〕=160000.9．交5元钱,可以参加一次摸奖.一袋中有同样大小的球10个,其中有8个标有1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是所抽2球的钱数之和〔设为ξ〕,求抽奖人获利的数学期望.答案：解：因为ξ为抽到的2球的钱数之和,如此ξ可能取的值为2,6,10.4528)2(21028===C C P ξ,4516)6(2101218===C C C P ξ,451)10(21022===C C P ξ 设η为抽奖者获利的可能值,如此5-=ξη,抽奖者获利的数学期望为 故,抽奖人获利的期望为-75.10．甲乙两人独立解某一道数学题,该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92. 〔1〕求该题被乙独立解出的概率；〔2〕求解出该题的人数ξ的数学期望和方差.答案：解：〔1〕记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1,乙为P 2. 1 2222()(0 1.4)0.08(1 1.4)0.44(2 1.4)0.480.15680.07040.17280.4V ξ=-⨯+-⨯+-⨯=++=,或利用22()()() 2.36 1.960.4V E E ξξξ=-=-=. [作业本]A 组1．袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以X 表示取出球的最大,如此E 〔X 〕等于 〔 〕A 、4B 、5C 、4.5D 、4.752．如下函数是正态分布密度函数的是 〔 〕 A ．()σσπ2221)(r x ex f -=B ．2222)(x e x f -=ππ C ．()412221)(-=x ex f πD ．2221)(x e x f π=答案：B.解析：选项B 是标准正态分布密度函数.3．正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 〔 〕 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 答案：B.解析：22()x f x -=.4．正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0．5,那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点. 答案：0.2.解析：正态曲线关于直线x μ=对称,由题意知0.2μ=.5．一次英语测验由40道选择题构成,每道有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,总分为120分,某学生选对一道题的概率为0.7,求该生在这次测验中的成绩的期望为；方差为.答案：84；75.6.解析：设X 为该生选对试题个数,η为成绩,如此X ～B 〔50,0.7〕,η=3X ∴E<X>=40×0.7=28 V<X>=40×0.7×0.3=8.4故E<η>=E<3X>=3E<X>=84 V<η>=V<3X>=9V<X>=75.66．某人进展一个试验,假如试验成功如此停止,假如实验失败,再重新试验一次,假如试验三次均失败,如此放弃试验,假如此人每次试验成功的概率为32,求此人试验次数X 的分布列与期望和方差. 解：X 的分布列为故22113()1233999E X =⨯+⨯+⨯=,22211338()149()399981V X =⨯+⨯+⨯-=.7．甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中10环的概率为0.5,乙射击一次命中10环的概率为s,假如他们独立的射击两次,设乙命中10环的次数为X,如此EX=34,Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s 的值与Y 的分布列与期望.答案：解：由可得),2(~s B X ,故32,342===s s EX 所以． 有Y 的取值可以是0,1,2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22=⨯,甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯,甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36139192361)0(=++==Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22=⨯,甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36591361)2(=+==Y P ,故21)2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P所以 Y 的期望是E 〔Y 〕=9.8．一软件开发商开发一种新的软件,投资50万元,开发成功的概率为0.9,假如开发不成功,如此只能收回10万元的资金,假如开发成功,投放市场前,召开一次新闻发布会,召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元,召开新闻发布会成功的概率为0.8,假如发布成功如此可以销售100万元,否如此将起到负面作用只能销售60万元,而不召开新闻发布会如此可能销售75万元.〔1〕求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率. 〔2〕求开发商盈利的最大期望值. 答案：解：〔1〕设A="软件开发成功〞,B="新闻发布会召开成功〞 软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是P<AB>=P<A>P<B>=0.72. 〔2〕不召开新闻发布会盈利的期望值是5.189.0)5075()9.01(401=⨯-+-⨯-=E <万元>； 召开新闻发布会盈利的期望值是8.249.010)5060()8.01(9.072.0)50100()9.01(402=⨯--⨯-⨯+⨯-+-⨯-=E 〔万元〕故开发商应该召开新闻发布会,且盈利的最大期望是24.8万元..B 组1．某产品的废品率为0.05,从中取出10个产品,其中的次品数X 的方差是 〔 〕 A 、0.5 B 、0.475 C 、0.05 D 、2.5答案：B.解析：X —B 〔10,0.05〕,()100.050.950.475V X =⨯⨯=.2．假如正态分布密度函数()212(),()x f x x R --=∈,如下判断正确的答案是 〔 〕A ．有最大值,也有最小值B ．有最大值,但没最小值C ．有最大值,但没最大值D ．无最大值和最小值 答案：B.3．在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布)36,100(,那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是 〔 〕A ．0．6826B ．0．3174C ．0．9544D ．0．9974 答案：C.解析：由X —N 〔100,36〕,故88100112100(88112)()(22)2(2)10.954466P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=.4．袋中有4个黑球,3个白球,2个红球,从中任取2个球,每取到一个黑球得0分,每取到一个白球得1分,假如取到一个红球如此得2分,用X 表示得分数,如此E 〔X 〕=________；V<X>= _________.答案：14；165.解析：由题意知,X 可取值是0,1,2,3,4.易得其概率分布如下：E<X>=0×6+1×3＋2×36＋3×6＋4×136＝149V<X>= 20×16+21×13＋22×1136＋23×16＋24×136－2914⎪⎭⎫ ⎝⎛＝162165注：要求次品数的数学期望与方差,应先列出次品数X 的分布列.5．假如随机变量X 的概率分布密度函数是())(,221)(82,2R x ex x ∈=+-πϕσμ,如此)12(-X E =.答案：-5.解析：2,2,(21)2()12(2)15E X E X σμ==--=-=⨯--=-.6．一本书有500页,共有100个错字,随机分布在任意一页上,求一页上错字个数X 的均值、标准差. 解：∵X —B 1111(100,),()1000.2,()100(1)0.1996500500500500E X V X ∴=⨯==⨯⨯-=X 的标准差0.04468σ==.7．某公司咨询热线 共有10路外线,经长期统计发现,在8点至10点这段时间内,外线同时使用情况如下表所示：假如这段时间内,公司只安排2位接线员〔一个接线员只能接一部 〕. 〔1〕求至少一路 号不能一次接通的概率；〔2〕在一周五个工作日中,如果有三个工作日的这一时间至少一路 不能一次接通,那么公司形象将受到损害,现在至少一路 不能一次接通的概率表示公司的"损害度〞,,求这种情况下公司形象的"损害度〞； 〔3〕求一周五个工作日的时间内,同时打入 数X 的数学期望.答案：解：〔1〕只安排2位接线员如此至少一路 号不能一次接通的概率是 1-0.13-0.35-0.27=0.25； 〔2〕"损害度〞51245)43()41(2335=C ； 〔3〕一个工作日内这一时间内同时打入 数的期望是4.87,所以一周内5个工作日打入 数的期望是24.35..8．一批电池〔一节〕用于手电筒的服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？答案：解：电池的使用X —N<35.6,4.42>如此35.64035.6(40)()(1)1(1)0.15874.4 4.4X P X P P Z P Z --≥=≥=≥=-≤=即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587.。

专题：正态分布例：〔1〕随机变量X 服从二项分布，且E 〔X 〕=2.4，V 〔X 〕=1.44，那么二项分布的参数n ，p 的值为A ．n=4，p=0.6B ．n=6,p=0.4C ．n=8，p=0.3D ．n=24，p=0.1 答案：B 。

解析：()4.2==np XE ，()44.1)1(=-=p np X V 。

〔2〕正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。

A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定〔与标准差的大小有关〕 答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

〔3〕某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 〔 〕A 32B 16C 8D 20 答案：B 。

解析:数学成绩是X —N(80,102)， 80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。

〔4〕从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。

∴ 〔5〕如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，那么1μ2μ，1σ2σ〔填大于，小于〕答案：＜，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

【课内练习】1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。

A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。

解析：由标准正态分布的定义知。

2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小 答案： C 。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么()∑=-ni i x x n 121是指A ．σB ．μC ．2σ D ．2μ〔 〕答案：C 。

解析：由方差的统计定义知。

4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4D ξ=，那么n 的值是。

正态分布习题及答案习题一某机械工厂生产的产品质量服从正态分布，均值为200，标准差为20。

问：1.产品的质量指标在180到220之间的概率是多少？2.超过240的产品的概率是多少？答案1.产品的质量指标在180到220之间的概率可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算180和220的标准分别为：$$ Z_1 = \\frac{180 - 200}{20} = -1 \\\\ Z_2 = \\frac{220 - 200}{20} = 1 $$2.然后查找标准正态分布表，查得Z1对应的累积概率为0.1587，Z2对应的累积概率为0.8413。

因此，产品的质量指标在180到220之间的概率为：Z(180<Z<220)=Z(−1<Z<1)=0.8413−0.1587=0.68263.超过240的产品可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算240的标准分为：$$ Z = \\frac{240 - 200}{20} = 2 $$4.然后查找标准正态分布表，可得Z对应的累积概率为0.9772。

因此，超过240的产品的概率为：Z(Z>240)=Z(Z>2)=1−0.9772=0.0228习题二某考试的分数服从正态分布，均值为70，标准差为10。

假设该考试成绩近似服从正态分布，问：1.90分以上的考生占总人数的比例是多少？2.80分到90分之间的考生占总人数的比例是多少？答案1.90分以上的考生可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算90的标准分为：$$ Z = \\frac{90 - 70}{10} = 2 $$2.然后查找标准正态分布表，可得Z对应的累积概率为0.9772。

因此，90分以上的考生占总人数的比例为：Z(Z>90)=Z(Z>2)=1−0.9772=0.02283.80分到90分之间的考生可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算80和90的标准分别为：$$ Z_1 = \\frac{80 - 70}{10} = 1 \\\\ Z_2 = \\frac{90 - 70}{10} = 2 $$4.然后查找标准正态分布表，查得Z1对应的累积概率为0.8413，Z2对应的累积概率为0.9772。