第三章布朗运动1讲解

布朗运动理论布朗运动是物理学中的一种现象，由罗伯特·布朗在19世纪末观察到并进行了详细研究。

该理论被广泛应用于许多领域，如颗粒物理学、化学、生物学和金融等。

本文将探讨布朗运动的定义、原理以及应用，并对其重要性进行分析。

一、布朗运动的定义布朗运动是一种无规则的、连续的、无记忆性质的运动。

在布朗运动中，微小粒子或颗粒不断地做无规则的运动，呈现出随机性和不可预测性。

这种运动的主要特点是颗粒以相对较小的速度在液体或气体中做无规则的碰撞和扩散运动。

二、布朗运动的原理布朗运动的原理主要是由液体或气体中的分子碰撞引起的。

根据统计物理的观点，在溶液或气体中，微观颗粒受到分子碰撞的力的作用，从而产生了布朗运动。

这种分子碰撞是随机的，没有规律可循。

三、布朗运动的数学描述布朗运动的数学描述采用随机游动的模型。

在一段极短的时间间隔内，粒子的运动方向和速度都是随机的。

根据这一模型，布朗运动可以使用随机过程来描述，其中最普遍的模型是随机游动模型。

四、布朗运动在物理学中的应用1. 粒子物理学：布朗运动在粒子物理学中是一个重要的参考，可以用来描述粒子在物质中的扩散运动。

2. 化学反应：布朗运动在化学反应中起到了重要的作用。

通过对布朗运动的研究，可以更好地理解化学反应速率和反应动力学。

3. 生物学：布朗运动在细胞生物学和分子生物学中也具有重要意义，用来描述细胞内分子的运动。

五、布朗运动在金融中的应用布朗运动在金融学中有着广泛的应用。

布朗运动模型被用来描述股票价格、证券价格等金融市场中的随机波动。

通过布朗运动模型，可以进行期权定价、风险管理等金融工具的应用和分析。

六、布朗运动的重要性布朗运动的研究对我们理解自然界、物质运动和微观粒子行为有着重要的意义。

它为我们提供了对随机性运动的认识，并在许多领域中提供了解决问题的方法和途径。

布朗运动的应用广泛，在理论和实践中均发挥着重要的作用。

七、结论布朗运动理论从物理学、化学、生物学到金融学等领域都有着广泛的应用，对于研究和理解自然界中的随机运动具有重要意义。

随机过程中的布朗运动随机过程是数学中研究随机变量随时间演化的数学对象。

其中，布朗运动是一种常见的随机过程，它在多个领域中有着广泛的应用，如金融学、物理学和生物学等。

本文将对布朗运动的定义、性质以及应用进行介绍。

一、布朗运动的定义布朗运动又被称为维纳过程，它是一种连续时间的马尔可夫过程。

在数学上，布朗运动被定义为满足以下三个条件的随机过程：1. 初始条件：布朗运动在t=0时刻的取值为0，即B(0) = 0；2. 独立增量：对于任意时刻s < t < u < v，布朗运动的增量B(t)－B(s)和B(u)－B(v)是独立的；3. 正态分布增量：布朗运动的增量B(t)－B(s)服从均值为0、方差为t-s的正态分布。

根据这些性质，我们可以看出布朗运动是一种具有连续性、不可预测性和自相似性的随机过程。

二、布朗运动的性质1. 连续性：布朗运动在任意时刻的取值都是连续的。

这意味着在任意时间间隔内，布朗运动的取值可以变化无穷多次。

2. 独立增量：布朗运动的增量在不同的时间间隔内是独立的。

这意味着过去的演化轨迹对未来的演化轨迹没有影响。

3. 高斯分布：布朗运动的增量服从高斯分布，即正态分布。

这意味着在短时间内，布朗运动的变化趋势可以视为近似线性。

4. 无趋势：布朗运动的期望增量为0，即E[B(t)－B(s)] = 0。

这意味着在长时间尺度内，布朗运动没有明显的趋势。

三、布朗运动的应用1. 金融学：布朗运动在金融学中有广泛应用，特别是在期权定价和风险管理领域。

布朗运动模型可以描述股票价格的随机变动，并为衍生品定价提供基础。

2. 物理学：布朗运动的概念最早是用来解释在液体中浮游微粒的无规运动。

它在研究扩散过程、热力学平衡和粒子统计等问题中起到重要作用。

3. 生物学：布朗运动在生物学中被用来描述微生物和生化分子在胞浆中的运动。

通过对布朗运动的观察和分析，科学家可以了解细胞内生物分子的行为和相互作用。

总结：布朗运动作为一种随机过程，具有连续性、不可预测性和自相似性等特点。

布朗运动的解析与应用布朗运动是一种物理现象，也被称为布朗动力学。

在这种运动中，微小颗粒在液体或气体中受到了不断的无规则的碰撞，实现了不断地随机移动。

布朗运动既反映了物质的微观运动特性，也深刻地影响了科学技术的发展。

布朗运动的物理原理布朗运动是由英国植物学家布朗在1827年首先观察到的。

他在显微镜下观察到了悬浮在水中的花粉粒子的移动，发现它们随机地在水中晃动。

这就是布朗运动的雏形。

布朗认为这种运动可以解释柔软和流体材料的性质，同时也可以作为微生物活动的标志。

1897年，法国物理学家爱因斯坦对布朗运动进行了解析。

他认为，颗粒受到了气体或液体的无规则的冲撞，因此它们表现出了随机的位置变化。

假设这些颗粒体积很小，质量也很小，那么它们与分子之间的碰撞是相互独立的。

每次碰撞的大小和方向是随机的。

那么，我们就可以将布朗运动看作是一个随机游走过程。

这种过程的平均位移与时间成立方关系，而且没有固定的方向，这也就是布朗运动的核心原理。

布朗运动的应用布朗运动对理论和实验物理、化学和生物学都有重要的应用。

先来看一下物理学。

布朗运动的随机性体现了微观粒子运动的本质特征。

这对于量子力学等领域的研究有很大的帮助。

由于布朗运动是一种随机游走，因此有很多类似的应用。

在金融领域，考虑利率波动、股票价格等随机游走的模型，可以借助布朗运动的理论去分析。

在计算机计算中，随机游走算法也可以通过布朗运动的过程来实现。

同时，在化学重新合成和材料科学等领域，也都用到了布朗运动的原理。

另外，布朗运动在生物学中也发挥了非常重要的作用。

生物分子的广泛分布通常在细胞和分子间的扩散中采取布朗运动的方式。

人们通过控制生物分子的运动来了解生命本质，如蛋白质、酶等的作用机制，以及生物间距离的作用等问题。

这些都是通过布朗运动模型来实现的。

另外，布朗运动模型在医学中也有应用。

比如，著名的核磁共振成像技术，该技术可以通过捕捉组织内水分子的布朗运动，从而快速成像人体器官。

布朗运动的解释
一、布朗运动的定义
1. 现象描述
- 1827年，英国植物学家布朗用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现，花粉颗粒在不停地做无规则运动。

这种悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动。

2. 微观本质
- 布朗运动是由于液体分子的无规则运动对悬浮微粒撞击的不平衡引起的。

微粒越小，布朗运动越明显；温度越高，布朗运动越剧烈。

- 例如，在相同温度下，花粉颗粒越小，受到液体分子撞击后，其运动状态改变越明显，表现出的无规则运动就越剧烈。

二、布朗运动的特点
1. 无规则性
- 布朗运动中的微粒在各个方向上受到液体分子撞击的概率是相同的，所以微粒的运动轨迹是杂乱无章的。

它不是分子的运动，而是悬浮微粒的运动。

2. 永不停息性
- 只要液体（或气体）存在，分子就会做无规则运动，就会不断撞击悬浮微粒，所以布朗运动不会停止。

三、布朗运动与分子热运动的关系
1. 反映关系
- 布朗运动间接反映了液体（或气体）分子的无规则运动。

分子的无规则运动是布朗运动产生的原因，而布朗运动是分子无规则运动的宏观表现。

2. 区别
- 分子热运动是分子本身的运动，是微观的，直接用肉眼看不见；而布朗运动是悬浮微粒的运动，是宏观现象，可以通过显微镜观察到。

布朗运动原理：微小颗粒在液体中无规则运动的原理第一章：引言布朗运动是19世纪末由英国物理学家罗伯特·布朗发现的一种现象，它描述的是微小颗粒在液体中的无规则运动。

布朗运动的研究对于理解分子动力学和扩散过程有着重要意义。

本文将介绍布朗运动的基本原理以及相关的研究成果。

第二章：布朗运动的基本原理布朗运动的基本原理可以用分子动力学理论来解释。

根据动力学理论，微小颗粒在液体中的运动是由于液体分子对颗粒的碰撞而产生的。

当颗粒受到分子碰撞时，它会随机地改变速度和方向，从而导致其在液体中呈现出无规则运动的特点。

第三章：分子碰撞的影响因素布朗运动的特点受到多种因素的影响。

首先，液体的温度对布朗运动的强度有着重要影响。

在较高的温度下，液体的分子运动速度更快，颗粒受到的碰撞频率也更高，因此布朗运动更为剧烈。

其次，颗粒的大小和形状也会影响布朗运动的特性。

较小的颗粒受到分子碰撞的影响更明显，其运动更加剧烈。

此外，颗粒与液体分子之间的相互作用力也会影响布朗运动的特性。

第四章：布朗运动的观测方法布朗运动的观测方法主要包括光学显微镜和粒子追踪技术。

在光学显微镜下观察布朗运动时，颗粒会在显微镜视野中随机地移动。

通过记录颗粒的运动轨迹，可以获得布朗运动的相关参数，如平均速度、扩散系数等。

粒子追踪技术则是利用计算机算法对颗粒的运动进行跟踪和分析，以获得更精确的数据。

第五章：布朗运动的应用布朗运动在多个领域有着广泛的应用。

首先，在生物学和医学领域中，布朗运动被用于研究细胞和分子的扩散过程。

通过观察颗粒在细胞内的运动，可以了解细胞内分子的输运机制。

其次，在物理学领域中，布朗运动被用于研究粒子在凝聚态物质中的行为，如液滴的形成和蒸发过程。

此外，布朗运动还被应用于材料科学和环境科学中，用于研究颗粒在复杂介质中的运动行为。

第六章：布朗运动的研究进展布朗运动的研究一直在不断发展。

近年来，随着纳米技术的发展，人们对布朗运动的研究越来越关注纳米颗粒的运动特性。

1布朗运动1.1基本性质定义1.1.称一个0初值的实值随机过程B={B t,t≥0}是一维标准布朗运动(SBM),若(1)它有独立增量性:对任意的有限正数0=t0<t1<···<t n,随机变量B0,B t1−B t,···,B tn−B tn−1相互独立.(2)对任意的t>s,增量B t−B s∼N(0,t−s).(3)它的轨道连续,i.e.,P{ω:t−→B t(ω)连续}=1.设B i是d个标准的布朗运动,则称B=(B1,···,B d)是d-维标准布朗运动.一般地,称满足上面条件(1)-(2)的随机过程为一维布朗运动.对任意的x∈R,称B x=x+B t为初值为x的布朗运动.定义1.2.概率空间(Ω,F,P)上的随机过程X={X t,t∈}称为Gauss过程,若对任意的n≥1,t1,t2,···,t n∈,(X t1,···,X t n)服从Gauss分布(可以是退化的).定理1.3.设B={B t,t≥0}是零初值的实值随机过程.则它是布朗运动的充要条件是它是一个Gauss过程,并且E B t=0,E B t B s=t∧s.证明:必要性.首先证明:对任意的t1<t2<···<t n,(B t1,···,B tn)服从正态分布.由独立增量性(B t1,B t2−B t1,···,B tn−B tn−1)服从正态分布.又因为B t1B t2...B tn=100 0110 0.........···...111 (1)B t1B t2−B t1...B tn−B tn−1.因此,(B t1,···,B tn)服从正态分布.显然,E B t=0,对任意的t≥s≥0,E B t B s=E(B t−B s)B s+E B2s=s.充分性:先证独立增量性,即:对任意的t1<t2<···<t n,(B t1,B t2−B t1,···,B tn−B tn−1)相互独立.由于它们服从正态分布,所以只需要证明不相关性.事实上,对任意的i<j,E(B ti −B ti−1)(B tj−B tj−1)=E B tiB tj−E B tiB tj−1−E B ti−1B tj+E B ti−1B tj−1=t i−t i−t i−1+t i−1=0.1显然,对任意的t >s ,B t −B s 服从正态分布,均值为0,方差为E (B t −B s )2=E B 2t −2E B t B s +E B 2s =t −s.证明完毕.由布朗运动的定义和上定理可以直接验证下面的性质.定理1.4.设B 是一维标准布朗运动.则(1)对任意的s >0,过程{B t +s −B s ,t ≥0}是与σ{B u ,0≤u ≤s }独立的布朗运动.(2)对任意的c =0,{cB t/c 2}是布朗运动.特别地,{−B t ,t ≥0}是布朗运动.(3){tB 1/t ,t ≥0}是布朗运动.1.2Gauss 过程定理1.5.X ={X t ,t ∈T }称为Gauss 过程,当且仅当对任意的n ≥1,t 1,···,t n ≥0,αi ∈R ,随机变量∑k αk X t k 服从一维的Gauss 分布(可以是退化的).证明:设X ={X t ,t ∈T }是Gauss 过程,则E ei ∑kλk X t k=ei∑kλk µk −12∑nj,k =1λi σij λj,其中µk =E X t k ,σij =Cov (X t i ,X t j ).特别地,取λk =λαk ,得:Y =∑kαk X t k 的特征函数为E eiλY=eiλ∑kαk µk −12λ2∑nj,k =1αi σij αj=e iλE Y −12λ2Cov (Y,Y).故Y 服从一维Gauss 分布.反正,若对任意的t 1,···,t n ∈,α1,···,αn ∈R ,∑k αk X t k 服从一维Gauss 分布,其均值E ∑k αk X t k =∑k αk µk ,方差Cov(∑kαk X t k ,∑kαk X t k )=n ∑j,k =1αi σij αj ,其中µk =E X t k ,σij =Cov (X t i ,X t j ).则∑k αk X t k 的特征函数为:E eiλ∑kαk X t k=eiλ∑kαk µk −12λ2∑nj,k =1αi σij αj,∀λ∈R .取λ=1得,E ei∑k αk X t k=ei∑kαk µk −12∑nj,k =1αi σij αj.因此,(X t 1,···,X t n )服从n -维正态分布.2定义1.6.设X={X t,t∈T}是一个Gauss过程,分别称µ(t)=E X t,σ(s,t)=Cov(X s,X t).为X的均值函数和协方差函数.例子1.7.一维布朗运动是高斯过程,其µ(t)=0,σ(s,t)=s∧t.定理1.8.设{X n,n≥1}是一列Gauss分布.若X n依分布收敛到某个随机变量X,则E X n→E X,E X2n→E X2,并且X也服从Gauss分布.证明:记µn=E X n,σ2n=Cov(X n,X n).则由X n依分布收敛到某个随机变量X,可知X n的特征函数收敛到X的特征函数,即lim n→∞exp{iµn t−σ2n t22}=E e itX.由于E e itX是t的连续函数,所以{σ2n,n≥1}是有界的.否则,对任意的t=0,lim inf n→∞exp{iµn t−σ2n t22}=0,于是,对任意的t=0,E e itX=0,这与E e itX在t=0处的连续矛盾.由于{σ2n,n≥1}有界,不妨假设σ2n→σ2∈(0,∞)(否则抽取子列).设F是X的分布函数, x是它的一个连续点.由于标准正态分布函数的分布函数Φ严格单调增,所以x−µn σn =Φ−1(Φ(x−µnσn))=Φ−1(P(X n≤x))→Φ−1(F(x)).故µn→µ∈R,进而E e itX=exp {iµt−σ2t22},X服从正态分布.1.3布朗运动的构造如果不考虑样本的连续性,利用Kolmogorov延拓定理可以证明布朗运动的存在性.下面我们利用Fourier级数直接构造布朗运动.假设B是一个标准布朗运动.定义过程W t=B t−tB1,t∈[0,1].称它为[0,1]上的布朗桥.注意到W(0)=W(1)=0.将W在[0,1]上的Fourier展开W t=∞∑n=1X n sin(nπt),(L2意义下)其中系数X n是随机变量,表达式为X n=2∫tW t sin(nπt)dt.3则X n 服从Gauss 分布,可以计算E X n =0,E [X n X m ]=2π2n 2δmn .令Z 0=B 1,Z n =nπX n /√2,n ≥1.则{Z n }i.i.d.∼N (0,1).我们可以将布朗运动写成B t =tZ 0+√2π∞∑j =1Z nnsin(nπt ),t ∈[0,1].将上面的过程反过来,就可以把布朗运动可以用上面的随机级数表示.1.4轨道性质1.4.1二次变差定义 1.9.设X ={X t ,t ≥0}是一个实值随机过程,对任意的t >0,任何[0,t ]的一个分划∆:0=t 0<t 1<·<t n =t ,记T ∆t =∑i ∈∆|X i −X i −1|2,|∆|=sup i ∈∆|t i −t i −1|.若存在实值随机过程[X,X ]t ,对任意[0,t ]的一列分划(∆n )满足lim |∆n |→0P (|T δt −[X,X ]t |≥δ)=0,∀δ>0.则称X 具有有限的二次变差,[X,X ]t 为它的二次变差过程.定义布朗运动的二次变差为⟨B,B ⟩t =lim|δ|→0∑i ∈δ|B (t i −B (t i −1))|2,定理1.10.设B 是一个标准布朗运动,则⟨B,B ⟩t =t.4证明:设∆n:0=t(n)0<t(n)1<···<t(n)k n=t,则E(k n−1∑i=1(B ti+1−B ti)2−t)2=E(k n−1∑i=1[(B ti+1−B ti)2−(t i+1−t i)])2=(k n−1∑i=1E[(B ti+1−B ti)2−(t i+1−t i)])2=k n−1∑i=1E([(B ti+1−B ti)4−(t i+1−t i)2])=k n−1∑i=1[3(t i+1−t i)2−(t i+1−t i)2]=k n−1∑i=1(t i+1−t i)2≤2t sup0≤i≤t k n−1|t i+1−t i|→0,as|∆n|→0.设f:[0,∞]→R,V f[a,b]表示f在[a,b]上的全变差,i.e.,V f[a,b]=sup∆∑i∈∆|f(x i+1)−f(x i)|,其中∆是[a,b]的任意有限划分.若存在常数M>0,α>0使得|f(x)−f(y)|≤M|x−y|α,∀x,y∈[a,b],则称f在[a,b]上α-H¨o lder连续.推论1.11.对a.e.ω,B·(ω)在任意有限区间上的全变差为∞.证明:由于布朗运动的二次变差为t,存在Ω0⊂Ω满足:P(Ω0)=1,且对任意的有理数p<q,存在[p,q]的一列分划∆n,使得:|∆|→0且对任意的ω∈Ω0,lim n→0∑i∈∆n|B ti(ω)−B ti−1(ω)|2=q−p.5设V(ω)是B(ω)在[p,q]上的全变差,则∑i∈∆n |B ti(ω)−B ti−1(ω)|2≤(supi∈∆n|B ti(ω)−B ti−1(ω)|)V(ω)令n→∞.由布朗运动的连续性知:它在有限区间上一致连续,所以sup i∈∆n |B ti(ω)−B ti−1(ω)|→0.若V(ω)<∞,则右侧趋于0,而左侧趋于q−p,矛盾.推论 1.12.对任意的α>1/2,对a.e.ω,B·(ω)无处局部α-H¨o lder连续.特别地,对a.e.ω, B·(ω)无处连续可微.证明:设Ω0如前所述,α>1/2.若存在有理数p<q,使得对任意的p<s<t<q,|B t(ω)−B s(ω)|≤C|t−s|α则对[p,q]的任意划分∆nq−p←−∑i∈∆n |B ti(ω)−B ti−1(ω)|2≤C2(q−p)supi|t i+1−t i|2α−1−→0.矛盾.Kolmogorov连续修正定理定义1.13.设X t和Y t是定义在同一个概率空间(Ω,F,P)上的随机过程.称Y t是X t的一个修正,若对任意的t∈T,P(X t=Y t)=1.显然,若Y t是X t的一个修正,则X t和Y t有相同的有限维分布.定义1.14.设X t和Y t是定义在同一个概率空间(Ω,F,P)上的随机过程.称Y t和X t是无区别的,若存在全测度集Ω′使得X t(ω)=Y t(ω),t∈T,ω∈Ω′.(1)若指标集T是可数的,则两个过程是无区别的当且仅当它们互为修正.若T不可数的,则存在互为修正但不是无区别的两个随机过程.定理1.15.设X t,t∈[0,1]d是一个实值随机场.假设存在常数γ,c,ϵ>0满足E[|X t−X s|γ]≤c|t−s|d+ϵ.则存在X的一个修正˜X满足E [(sups=t|˜X t−˜X s||t−s|α)γ]<+∞,其中α∈(0,ϵ/γ).特别地,˜X是α-H¨o lder连续的.6对于布朗运动B,由于E|B t−B s|2n=(2n−1)!!|t−s|n,应用上面的定理可以得到定理1.16.对任意的α∈(0,1/2),布朗运动是局部α-H¨o lder连续的.证明:由上面的结果知道:布朗运动是局部α-H¨o lder连续的,其中α∈(0,n−12n),∀n≥1.令n→∞,得证.下面的定理表面,布朗运动的轨道不是12-H¨o lder连续的.定理1.17(L´e vy连续模定理).lim supϵ→0sup0≤t1<t2≤1,t2−t1<ϵ|B t2−B t1|√2t log1t=1, a.s.证明:见Theorem2.1in Chapter2of[Revuz-Yor].1.5马氏性和强马氏性设E是一个局部紧可分度量空间,E是它的所有开集生成的Borelσ-代数.随机过程X={X t,t≥0}是(F t)-适应过程.定义1.18.称X是一个马氏过程,若对任意的t≥s,f∈b E(等价地,f∈C c(E)),E[f(X t)|F s]=E[f(X t)|X s]定义1.19.称{P s,t(·,·),0≤s<t<∞}为(E,E)上的马氏转移函数(马氏半群),若满足,(1)对任意的x∈E,A→P s,t(x,A)是E上的概率测度;(2)对任意的A∈E,x→P s,t(x,A)是E可测的;(3)(Chapman-Kolmogorov方程)对任意的x∈E,A∈E,s<t<u,P s,u(x,A)=∫EP s,t(x,dy)P t,u(y,A).称它是时齐的,若P s,t(x,A)=P t−s(x,A).对任意的f∈B E,记P t f(x)=∫EP t(x,dy)f(y).7定义1.20.称{X t,F t}为转移函数为P t的马氏过程,若对若对任意的t≥s,f∈b EE[f(X t+s)|F t]=P s f(X t).给定初始分布µ,它的有限维分布为P(X0∈A0,X t1∈A1,···,X t n∈A n)=∫A0µ(dx0)∫A1P t(x0,dx1)···∫A nP tn−t n−1(x n−1,dx n).例如:布朗运动的转移密度函数为p t(x,y)=1√2πte−|y−x|22t.定义1.21.称X是一个强马氏过程,若对任意的停时τ,t≥0,f∈b E,E[f(Xτ+t)|Fτ]=E[f(Xτ+t)|Xτ]下面,我们介绍布朗运动的强马氏性.设B关于F∗是一个布朗运动,i.e.B t∈F t,B t+s−B s与F s独立,并且B t+s−B s∼N(0,t),∀t,s≥0.定理1.22.对任意的有限停时τ,过程τB={B t+τ−Bτ}是一个与Fτ独立的布朗运动.证明:首先证明对任意的τ∈Fτ,0≤t1<t2<···<t n,f∈C(R n,R),下式成立E[f(τB t1,···,τB tn);C]=P(C)E[f(τB t1,···,τB tn](2)eq strong我们首先证明上式对离散停时成立,然后通过逼近证明对一般的停时成立.假设τ的取值{s i,i=1,2,···}.由布朗运动的马氏性,我们知s B={B t+s−B s,t≥0}是与F s独立的布朗运动.由于C∈Fτ,则C i:=C∩{τ=s i}∈F s i.所以E[f(τB t1,···,τB tn);C]=∞∑i=1E[f(B t1+s i−B si,···,B tn+s i−B s n);C i]=∞∑i=1P(C i)E[f(B t1+s i−B si,···,B tn+s i−B si)]=∞∑i=1P(C i)E[f(B t1,···,B tn)]=P(C)E[f(B t1,···,B tn)].8对于一般的停时τ,取τn=[2nτ]+12n.则强马氏性对τn成立.设C∈Fτ.因为τ≤τn,Fτ⊂Fτm,所以C∈Fτm,进而下式成立E[f(τm B t1,···,τm B tn);C]=P(C)E[f(τB t1,···,τB tn].由布朗运动轨道的连续性,τm B t→τB t.由控制收敛定理,上式左端收敛,(2)得证.由于所有{f(τB t1,···,τB tn)}构成的空间在σ{τB t,t≥0}中稠密,所以τB与Fτ独立.取C=Ω可得,τB与B同分布.1.6强马氏性的应用在这一节,我们利用布朗运动的强马氏性,证明布朗运动的一些性质.回忆,对任意的有限停时τ,过程τB={B t+τ−Bτ}是一个与Fτ独立的布朗运动.设随机变量X∈σ{τB},Y∈Fτ,则X,Y独立,它们的联合分布一定是边缘分布的乘积测度.由Fubini定理,可以计算E f(X,Y)=∫f(x,y)P(X∈dx)P(Y∈dy)=E[E[f(x,Y]|x=X]=E[E[f(X,y]|y=Y].性质1.23.令M t=max0≤s≤t B s是布朗运动的最大值过程.则M t与|B t|同分布.证明:设b>0,τb=inf{t>0:B t=b}是布朗运动首次到达b的时间.利用Kolmogorov0-1律可以证明lim sup t→∞B t=∞a.s..因此τb<∞,a.s.,它是有限停时.下面我们利用强马氏性计算P(B t≥b,τb≤t).注意到{B t≥b}可以推出τb≤t,因此上面的概率为P(B t≥b).定义转移过程W t=B t+τb−Bτb= B t+τb−b.上面的概率可以重新表示成P(W t−τb≥0,τb≤t).9上面的概率可以看成某个随机变量W和τ的函数的期望.因为W∈σ{τB},τb∈Fτ,所以由强马氏性知道这两个随机变量独立.因此,由Fubini定理,取期望时,可以首先固定一个变量,然后取条件期望.这里,我们先把τ看成常数,因为W是布朗运动,P(W t−s≥0)=12,∀s.这推出了P(B t≥b)=P(B t≥b,τb≤t)=12P(τb≤t).另一方面,由于{τb≤t}={M t≥b},P(M t≥b)=2P(B t≥b)=P(|B t|≥b).这表明了M t与|B t|同分布.下面计算首中时τb的密度函数.从上面的定理知P(τb≤t)=22πt ∫∞be−x2/2t dx.关于t求导数,利用分部积分可得密度函数为pτb (t)=b√2πt3e−b2/2t.定理1.24.设B是标准布朗运动,τ是一个停时.设W是另外一个从0出发的,与Fτ独立的布朗运动.定义过程Z:Z t=B t if t≤τ; W t−τ+Bτif t>τ.则Z是一个布朗运动.证明:由强马氏性知τB是一个与(Bτ,τ)独立的布朗运动,其中Bτ={B t∧τ,t≥0}.由假设知:三元组(W,Bτ,τ)与(τB,Bτ,τ)同分布.过程Z,B是由这两个三元组用相同的方法构造的.精确到讲,存在可测函数F满足Z=F(W,Bτ,τ),B=F(τB,Bτ,τ).这证明了Z,B由相同的分布,所以Z是布朗运动.推论1.25.(Andr´e反射布朗运动)设τ是一个布朗运动的有限停时.在时刻τ后,对Bτ做反射,定义过程Z:Z t=B t if t≤τ; 2Bτ−B t if t>τ.则Z是一个布朗运动.10证明:和τB一样,−τB也是与Fτ独立的布朗运动,在上定理中取W t=−τB,得证结论.利用反射原理,可以得到B t与M t=max0≤s≤t B s的联合分布.性质1.26.B t与M t=max0≤s≤t B s的联合分布为P(B t∈da,M t∈db)=(2πt3)(2b−a)e−(2b−a)2/2t dadb,其中b>0,a<b.证明:设Z是布朗运动B在τb后经过反射得到的布朗运动.为了方便,我们记τBb 和τZb表示B和Z首次到达b的时刻.显然,这两个时刻相同.对b>0,a<b,我们有P(B t≤a,M t≥b)=P(B t≤a,τB b≤t)=P(Z t≤a,τZ b≤t)=P(B t≥2b−a,τB b≤t)=P(B t≥2b−a)=1√2πt∫∞2b−ae−x2/2t dx.关于a,b求导,就可以得到密度函数.推论1.27.对固定的t>0,M t−B t和|B t|同分布.证明:把密度函数p Mt,B t在区域b−a≥c上积分,可以发现它们的分布函数相同.注记 1.28.观察到M t−B t与M t同分布,因为它们都与|B t|同分布.过程|B t|称为反射布朗运动.我们在后面会详细介绍反射布朗运动.实际上,有更强的结果成立:过程{M t−B t,t≥0}与{|B t|,t≥0}同分布.下面的例子表面布朗运动在任意的区间(0,ϵ)内都会变号,不论ϵ多小.ex1例子1.29.计算P(B(t)≤0,∀t∈[0,ϵ]).由于P(B(t)≤0,∀t∈[0,ϵ])=P(sup0≤t≤ϵB(t)≤0)=1−P(sup0≤t≤ϵB(t)>0).而P(sup0≤t≤ϵB(t)>0)=2P(B(t)>0)=1.所以P(B(t)≤0,∀t∈[0,ϵ])=0.定理1.30.布朗运动的零点集L0是个随机不可数闭集,它没有孤立点,Lebesgue测度为0.11证明:根据上面的定理,我们知道布朗运动在任何一个小区间[0,t ]上变号,因此,在这个区间里面总是存在零点.这推出了,零点集是无限集,t =0可以是它右侧的一列零点的极限.另外,由于B (t )的轨道是连续的,零点集是闭集,即若B (τn )=0,τn →τ,则B (τ)=0.下证零点集是不可数的.由强马氏性知:若τ是一个停时,B (τ)=0,则τB (t ):=B (τ+t )−B (τ)=B (τ+t )也是一个布朗运动.因此,t =0是新的布朗运动τB 零点的极限.注意到B (τ+t )的零点是B (t )的零点.因此,如果一个零点是停时,则它一定是它右侧一列零点的极限,它是聚点.但是并不是所有的零点都是停时,比如说对于固定的t ,t 之前的最后的一个零点不是停时.下面用更复杂的方法证明每个零点都是聚点.对任意的t ≥0,t 之后的首个零点τ(t )是停时.则P (γ:τ(t )是它右侧一列零点的极限)=1.关于所有的有理数t 取交集,上面的集合仍然概率为1.因此,每个有理数之后的第一个零点都是聚点.这推出了L 0的每个点都是它的聚点,即L 0是perfect 集.由集合论的知识,我们知道L 0是不可数的.尽管L 0是不可数的,它的Lebesgue 测度为0.这是因为L 0的Lebesgue 测度|L 0|=∫10I (B (t )=0)dt ,它是非负随机变量.由Fubini 定理知E |L 0|=E ∫10I (B (t )=0)dt =∫10P (B (t )=0)dt =0.这推出P (|L 0|=0)=1.1.7布朗运动的零点.Arcsin 律若B (τ)=0,则称时刻τ为布朗运动的零点.由布朗运动极大值分布可以推出布朗运动零点的信息.记{B x (t )}为从x 点出发的布朗运动.定理1.31.对任意的x =0,{B x (t )}在区间(0,t )上至少一个零点的概率是|x |√2π∫t 0u −32e −x 22u du.证明:由对称性,我们仅对x <0证明.由布朗运动的连续性,P (B x 在(0,t )区间存在零点)=P (max 0≤s ≤tB x (t )≥0)=P 0(max 0≤s ≤t B (t )+x ≥0)=P 0(max 0≤s ≤t B (t )≥−x )=2P 0(B (t )≥−x )=2√2πt ∫∞−x e −u 22t du =−x √2π∫t 0v −32e −x22v dv.上式最后一步用到了变量替换u =−x √t/v .12利用上面的结果可以证明定理1.32.布朗运动B在区间(a,b)中至少存在一个零点的概率为2πarccos√ab.证明:记h(x)=P(B在区间(a,b)中至少存在一个零点|B a=x).由马氏性知h(x)=P(B x在区间(a,b)中至少存在一个零点).利用条件期望,得P(B x在(a,b)区间存在零点)=∫∞−∞P(B在区间(a,b)中至少存在一个零点|B a=x)P(B a∈dx)=∫∞−∞h(x)P(B a∈dx)=√2πa∫∞h(x)e−x22a dx.将上面定理中的h(x)代入上式,可得结论.定理1.33.布朗运动B在区间(a,b)中不存在一个零点的概率为2πarcsin√ab.下面的结果给出了t之前最后一个零点,和t之后第一个零点的分布.令γt=sup{s≤t:B(s)=0}=t之前最后一个零点,βt=inf{s≥t:B(s)=0}=t之后第一个零点.注意到βt是停时,γt不是.定理1.34.P(γt≤x)=2πarcsin√xt.P(βt≥y)=2πarcsin√ty.P(γt≤x,βt≥y)=2πarcsin√xy.证明:应用上面的定理可得结论.比如最后一个事件表示B在(x,y)之间没有零点.131.8布朗运动的极限行为下面考虑长时间的渐近行为.证明见Karatzas-Shreve.定理1.35(大数定律).lim sup t →∞B t t =0a.s.更精确地,有下面的重对数律.定理1.36(重对数律).lim sup t →∞B t√2t log log t =1 a.s.引理1.37.对任意的a >0,a a 2+1exp {−a 22}≤∫∞a exp {−x 22}dx <1a exp {−a 22}.证明:求导验算.证明:[重对数律](1)上界.首先对固定的θ>1,上界对子列B θk 成立.由上引理得P (B θk ≥√2θk log log θk (1+ε))≤exp {−(1+ε)2log log θk }=1(k log θ)(1+ε)2.所以∑k ≥1P (B θk ≥√2θk log log θk (1+ε))<+∞.由Borel-Cantelli 引理知lim sup k →∞B θk√2θk log log θk ≤1+ε, a.s.再由ε的任意性,可以选一列εn ↓0,得lim sup k →∞B θk√2θk log log θk ≤1, a.s.再证上界.对任意的t >θ,存在k =k (t ),使得θk≤t <θk +1.则有P (sup θk ≤s<θk +1|B s −B θk |>√(θ−1)θ√2θk log log θk)=P (sup 0≤s<θk +1−θk |B s −B θk |>√(θ−1)θ√2θk log log θk)=2P (|B θk +1−B θk |>√(θ−1)θ√2θk log log θk )≤2exp {−θlog log θk }=2(k log θ)θ.14由Borel-Cantelli 引理知lim sup k →∞sup θk ≤s<θk +1|B s −B θk |√2θk log log θk ≤√(θ−1)θ,a.s.再由B t ≤B θk +sup θk ≤s<θk +1|B s −B θk |,得lim sup t →∞B t √2t log log t ≤1+√(θ−1)θa.s.选θn ↓1,得上界成立.(2)下界.对固定的θ>1,由上界和布朗运动的对称性,有lim sup k →∞|B θk |√2θk log log θk ≤1, a.s.对任意的δ>0,对很大的k >1,P (B θk +1−B θk ≥(1−δ)√2θk (θ−1)log log θk )≥1(k log θ)(1−δ/2)2.由Borel-Cantelli 引理和δ的任意性,我们有lim sup k →∞B θk +1−B θk√2θk (θ−1)log log θk ≥1, a.s.再由B θk +1≥B θk +1−B θk −|B θk |,得:lim sup k →∞B θk +1√2θk (θ−1)log log θk ≥≥√θ−1θ−√1θ, a.s.所以lim sup t →∞B t √2t log log t ≥√θ−1θ−√1θ a.s.选θn →∞,得下界成立.15。

高三物理布朗运动知识点布朗运动是物理学中的一个重要概念，它描述的是微观粒子在溶液中的无规则运动。

本文将详细介绍高三物理布朗运动的知识点，包括概念、原理、特点以及相关实验等内容。

1. 概念布朗运动，又称为布朗分子运动，是由英国植物学家罗伯特·布朗于1827年观察到的一种现象。

它指的是微观粒子（如悬浮在液体中的微粒）在液体或气体中无规则地做无规则运动的现象。

这种运动是由于周围分子的碰撞和作用力的不断变化而引起的。

2. 原理布朗运动的原理可以从分子动理论解释。

根据分子动理论，溶液中的微粒不断受到周围分子的碰撞，碰撞力的大小和方向是随机的，因此微粒在溶液中的运动是无规则的。

此外，布朗运动还受到扩散作用的影响，即微粒沿着浓度梯度从高浓度区域向低浓度区域扩散的趋势。

3. 特点布朗运动具有以下几个特点：（1）无规则性：微粒在溶液中做的运动是无规则、随机的，并且运动轨迹呈现无规则性。

（2）分子碰撞：微粒受到周围分子的碰撞力作用，碰撞力的大小和方向是随机的。

（3）扩散：布朗运动是由于微粒在溶液中沿浓度梯度的扩散趋势引起的。

4. 实验为了观察和研究布朗运动，科学家进行了一系列的实验。

其中最著名的是爱因斯坦于1905年提出的布朗运动的理论模型，即爱因斯坦关于布朗运动的论文，为量子理论的发展奠定了基础。

5. 应用布朗运动不仅仅是物理学研究的一个现象，它还在许多领域有着广泛的应用。

例如，在生物学研究中，通过观察细胞内部物质的布朗运动，可以了解细胞的结构和功能。

在纳米技术领域，布朗运动可以作为测量纳米粒子的方法之一。

此外，布朗运动还在金融市场、社会科学等领域有着一定的应用价值。

总结：高三物理布朗运动是微观粒子在溶液中无规则运动的现象，其原理是受到周围分子碰撞和扩散作用的影响。

布朗运动具有无规则性、分子碰撞和扩散等特点，它的研究得益于科学家们的实验和爱因斯坦的理论模型。

此外，布朗运动还在生物学、纳米技术等领域有着重要的应用。