高中数学基础知识手册(草稿)

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1第一章 集合和命题1.集合及其表示法能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集；集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性；集合常用大写字母A B C 、、…表示，集合中的元素用小写字母a b c 、、…表示；如果a 是集合A 的元素，就记作a A ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作a A ∉，读作“a 不属于A ”； 数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作Ν，不包括零的自然数组成的集合，记作*Ν；全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作R ；另外正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为+-+-+-Z Z Q Q R R 、、、、、； 点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作∅；集合的表示方法常用列举法和描述法；将集合中的元素一一列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即 A ={x | x 满足性质 p }，这种表示集合的方法叫做描述法2.集合之间的关系对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”；空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若A B ⊆，不要遗漏A =∅的情况；对于一个含有n 个元素的集合P ，它的子集个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集个数为21n -，非空真子集的个数为22n -；用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图；对于两个集合A 和B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A B =，读作“集合A 等于集合B ”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等；对于两个集合A 和B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ⊂≠B 或B ⊃≠A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”； 对于数集N Z Q R 、、、来说，有N ⊂≠Z ⊂≠Q ⊂≠R ；3.集合的运算一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A B ，读作“A 交B ”，即{A B x x A =∈ 且}x B ∈；由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作A B ，读作“A 并B ”，即{A B x x A =∈ 或}x B ∈；在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在 全集U 中的补集，记作U C A ，读作“A 补”，即{},U C A x x U x A =∈∉；德摩根定律：()U U U C A B C A C B = ；()U U U C A B C A C B = ；容斥原理：用||A 表示集合A 的元素个数，则||||||||A B A B A B =+- ； ||||||||||||||||A B C A B C A B B C C A A B C =++---+ ；4.命题可以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表述，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由α可以推出β，记作αβ⇒，读作“α推出β”，换言之，αβ⇒表示以α为条件、β为结论的命题是真命题；如果αβ⇒，并且βα⇒，那么记作αβ⇔，叫做α与β等价；推出关系满足传递性：αβ⇒，βγ⇒，那么αγ⇒；一个数学命题用条件α，结论β表示就是“如果α，那么β”，如果把结论和条件互相交换，就得到一个新命题“如果β，那么α”，这个命题叫做原命题的逆命题；一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做互否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题；如果把α、β的否定分别记作α、β，那么命题“如果α，那么β”的否命题就是“如果α，那么β”；如果把原命题“如果α，那么β”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可得到一个新命题，我们把它叫做原命题的逆否命题，即“如果β，那么α”；如果A 、B 是两个命题，A B ⇒，B A ⇒，那么A 、B 叫做等价命题； 原命题与逆否命题是等价命题；不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题；复合命题有三类：p 或q ，p 且q ，非p ； pq 非p p 或q p 且q 真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假一些常用结论的否定形式：原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n 个 至多有1n -个 小于不小于至多有n 个 至少有1n +个 p 或q 非p 且非q对所有x 成立 存在某个x 不成立p 且q非p 或非q 对任何x 不成立 存在某个x 成立 5.充要条件一般地，用α、β分别表示两个命题，如果命题α成立，可以推出β也成立，即αβ⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件；一般地，用α、β分别表示两个命题，如果既有αβ⇒，又有βα⇒，即αβ⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，这时我们就说，α是β的充分必要条件，简称充要条件；设具有性质p 的对象组成集合A ，具有性质q 的对象组成集合B ，则①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件；②若A ⊂≠B ，则p 是q 的充分非必要条件；③若A B ⊇，则p 是q 的必要条件；④若A ⊃≠B ，则p 是q 的必要非充分条件；⑤若A B =，则,p q 互为充要条件；等价关系：“p q ⇒”⇔“A B ⊆”⇔“A B A = ”⇔“A B B = ”⇔“U U C B C A ⊆”⇔“U A C B =∅ ”⇔“U C A B U = ”（注意考虑A =∅的情况）；第二章 不等式1.不等式的基本性质性质1 如果,a b b c >>，那么a c >；性质2 如果a b >，那么a c b c +>+；性质3 如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <，那么ac bc <； 性质4 如果,a b c d >>，那么a c b d +>+；性质5 如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >；性质6 如果0a b >>，那么110a b<<； 性质7 如果0a b >>，那么n n a b >(*)n ∈N ；性质8 如果0a b >>>(*,1)n n ∈>N ；2.不等式的解法（1）一元二次不等式对于一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax 2 +bx +c >0或 ax 2 +bx +c <0（ a ≠0 ）； 一般地，设一元二次不等式为 ax 2 +bx +c >0或 ax 2 +bx +c <0（ a >0 ），当对应的一 元 二 次 方 程 ax 2 +bx +c =0 的 根 的 判 别 式 = ∆b 2 −4ac >0 时 ， 先 求 出 方程20ax bx c ++=的两个实数根12,x x （不妨设12x x <），于是不等式20ax bx c ++>的解集为1{|x x x <或2}x x >，不等式20ax bx c ++<的解集为12{|}x x x x <<；不等式的解集经常用区间来表示，设,a b 都为实数，并且a b <，我们规定：①集合{|}x a x b ≤≤叫做闭区间，表示为[,]a b ；②集合{|}x a x b <<叫做开区间，表示为(,)a b ；③集合{|}x a x b ≤<或{|}x a x b <≤叫做半开半闭区间，分别表示为[,)a b 或(,]a b ； ④实数集R 表示为(,)-∞+∞，集合{|}x x a ≥、{|}x x a >、{|}x x b ≤和{|}x x b <分别用区间[)a +∞、()a +∞、(,]b -∞和(,)b -∞表示；a 与b 也叫做区间的端点，“+∞”读作“正无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”；前面讨论的是判别式0∆>的情形，当0∆<时，抛物线2y ax bx c =++(0)a >与x 轴没有交点，整个图像都在x 轴的上方，于是不等式20ax bx c ++>的解集为实数集R ，不 等式20ax bx c ++<的解集为空集∅；当0∆=时，抛物线2y ax bx c =++(0)a >与x 轴两个交点重合，即122b x x a ==-， 除了这一个点外，抛物线的其余部分都在x 轴的上方，于是不等式20ax bx c ++>的解集 为(,)(,)22b b a a-∞--+∞ ，不等式20ax bx c ++<的解集为空集∅； （2）高次不等式高次不等式常用“数轴标根法”来解，其步骤是：①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积；（未知数系数一定是正数）②把各因式的根标在数轴上；③从右上角起，用曲线穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透），看图像写出解集；如图：123()()()0x x x x x x ---≥（假设123x x x <<）的解为123[,][,)x x x x ∈+∞ ；（3）分式不等式型如()0()f x x ϕ>（或0≥）或()0()f x x ϕ<（或0≤）（其中()f x 、()x ϕ为整式且()0x ϕ≠）的不等式称为分式不等式；解分式不等式的关键是转化为整式不等式；()0()()0()f x f x x x ϕϕ>⇔⋅>，()0()()0()f x f x x x ϕϕ<⇔⋅<； ()0()f x x ϕ≥（或0≤）()()0f x x ϕ⇔⋅≥（或0≤）且()0x ϕ≠； （4）含绝对值不等式||x 表示实数x 在数轴上所对应的点到原点的距离；所以，不等式||x a <(0)a >的解集为(,)a a -，类似地，不等式||x a >(0)a >的解 集为(,)(,)a a -∞-+∞ ；解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值，一般有如下方法：①定义法；② 零点分段法；③ 平方法；④ 数形结合法；绝对值不等式的性质：||||||||||a b a b a b -≤±≤+（5）无理不等式只含有一个未知数，并且未知数在根号中的不等式叫做无理不等式；解无理不等式，关键是转化为有理不等式；()0,()0,()()f x g x f x g x >⇔≥≥>；2()()0,()0,()[()]g x f x g x f x g x >⇔≥≥>或()0,()0f x g x ≥<；（6）指数对数不等式解指数对数不等式的关键是化成相同的底数，然后同时去掉底数；①当1a >时，()()()()f x g x a a f x g x >⇔>，log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >⇔>>；②当01a <<时，()()()()f x g x a a f x g x >⇔<，log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >⇔<<3.基本不等式基本不等式1 对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立；基本不等式2 对任意正数a 和b ，有2a b +≥，当且仅当a b =时等号成立； 推论1 若,,a b c +∈R ，则3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时等号成立；推论2 若,,a b c +∈R ，则3a b c ++≥a b c ==时等号成立；推论3 12n a a a n+++≥…*,,1i n a i n +∈∈≤≤N R ；均值不等式2112a b a b+≥≥≥+，,a b +∈R ； 柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+；注意：一正二定三相等；和定积最大，积定和最小；4.不等式的证明（1）比较法要证明a b >，只要证明0a b ->，同样，要证明a b <，只要证明0a b -<，这种证明不等式的方法叫做比较法；用比较法证明不等式的一般步骤是：先作出要求证的不等式两边的差，通过对这个差的变形，确定其值是正的还是负的，从而证明不等式成立；（2）分析法从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立，这种证明方法叫做分析法；（3）综合法从已知条件出发，利用各种已知的命题和运算性质作为依据，推导出要求证的结论，这种方法叫做综合法；（4）放缩法在证明过程中，根据不等式传递性，常采用舍去（或添加）一些项而使不等式的各项之和变小（或变大），或把某些项换成较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式的分子（或分母），从而达到证明的目的，这种证明不等式的方法叫做放缩法；（5）换元法根据证明需要进行一些等量代换，选择适当的辅助参数简化问题的一种方法；（6）判别式法根据证明需要，通过构造一元二次方程，利用关于某一变量的二次三项式有实根时的判别式的取值范围来证明不等式；（7）分解法按照一定的法则，把一个数（或式）分解为几个数（或式），使复杂的问题转化为简单易解的基本问题，然后各个击破，从而证明不等式的一种方法；（8）反证法（9）数学归纳法第三章 函数的基本性质1.函数概念与运算（1）函数概念在某个变化过程中有两个变量,x y ，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的 值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么y 就是x 的函数，记 作()y f x =，x D ∈，x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围D 叫做函数的定义域， 和x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域；求函数定义域时，主要考虑以下因素：①分母不为零；② 偶次方根号内大于等于零；③ 真数大于零；④ 实际意义；求定义域时，遵循“括号内范围一致”原则；当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来，通常这个过程叫做建模；（2）函数的和与积一般地，已知两个函数1()()y f x x D =∈，2()()y g x x D =∈，设12D D D = ，并且 D ≠∅，那么当x D ∈时，()y f x =与()y g x =都有意义，于是把函数()()y f x g x =+ ()x D ∈叫做函数()y f x =与()y g x =的和；类似于求两个函数的和，我们也可以求两个 函数的积，同样考虑两函数的公共定义域后，可以定义两个函数的积；2.函数的基本性质（1）奇偶性一般地，如果对于函数()y f x =的定义域D 内的任意实数x ，都有()()f x f x -=，那么就把函数()y f x =叫做偶函数；如果函数()y f x =()x D ∈是偶函数，那么()y f x =的图像关于y 轴成轴对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数；如果对于函数()y f x =的定义域D 内的任意实数x ，都有()()f x f x -=-，那么就把函数()y f x =叫做奇函数；如果函数()y f x =()x D ∈是奇函数，那么()y f x =的图像关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形，那么这个函数必是奇函数；由上可知，函数定义域D 关于原点对称是这个函数有奇偶性的必要非充分条件； 奇偶性分类：① 奇函数；② 偶函数；③ 既是奇函数又是偶函数；④ 非奇非偶函数；奇偶性常用性质结论：①奇函数()y f x =在0x =处有意义(0)0f ⇒=②奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称；③对于多项式函数12()n n f x ax bx cx dx e -=+++++…；若()f x 是奇函数()f x ⇔偶次项的系数全为零；若()f x 是偶函数()f x ⇔奇次项的系数全为零；④()y f x a =+为奇函数()()f x a f x a ⇔-+=-+；()y f x a =+为偶函数()()f x a f x a ⇔-+=+；⑤()y f x =为奇函数()()f x a f x a ⇔+=---；()y f x =为偶函数()()f x a f x a ⇔+=--；⑥任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和；即：()()()()()22f x f x f x f x f x --+-=+；复合函数奇偶性：①对于(())f g x ，同奇则奇，有偶则偶；②奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶；偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶；奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇；一般地，对于给定区间I 上的函数()y f x =：如果对于属于这个区间I 的自变量的任 意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x =在这个区间上 是单调增函数，简称增函数；如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调减函数，简称减函数；如果函数()y f x =在某个区间I 上是增（减）函数，那么说函数()y f x =在区间I 上 是单调函数，区间I 叫做函数()y f x =的单调区间；证明单调性步骤：① 在定义域上任取12x x <；② 作差12()()f x f x -；③ 变形判断； 单调性常用性质结论：①在对称的两个区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反；②互为反函数的两个函数有相同的单调性复合函数单调性：①对于(())f g x ，同增异减；②增＋增＝增；减＋减＝减；增－减＝增；减－增＝减；注意：单调性是函数局部的性质，奇偶性是整体的性质；（3）最值一般地，设函数()y f x =在0x 处的函数值是0()f x ，如果对于定义域内任意x ，不等 式0()()f x f x ≥都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最小值，记作min 0()y f x =；如 果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≤都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最 大值，记作max 0()y f x =；求函数最值的方法：①利用基本初等函数的值域：反比例函数、一次函数、二次函数、幂指对函数等；②配方法：主要用于二次函数求最值；③换元法：无理函数，复合函数等，包括三角换元，注意新变量的取值范围；④数形结合法：利用函数图像求最值，或根据几何意义（斜率、距离等）；⑤单调性法：结合函数单调性求最值；⑥不等式法：利用常见的基本不等式，注意一正二定三相等；⑦分离常数法：分式函数；⑧判别式法：定义域为R ，有二次项的分式方程，⑨转化法：利用某些式子的有界性进行转化求最值；或转化成求反函数的定义域；⑩其他法：包括向量法、构造法、平方法、导数法等；一般地，对于函数()y f x =()x D ∈，如果存在实数c ()c D ∈，当x c =时，()0f c =，那么就把x c =叫做函数()y f x =()x D ∈的零点；实际上，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的解，也就是函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标；通过每次把()y f x =的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法；零点定理：若()()0f m f n <，则方程()0f x =在区间(,)m n 内至少有一个实根；（5）周期性一般地，对于函数()f x ，如果存在一个常数T (0)T ≠，使得当x 取定义域D 内的任意值时，都有()()f x T f x +=成立，那么函数()f x 叫做周期函数，常数T 叫做函数()f x 的周期，对于一个周期函数()f x 来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数()f x 的最小正周期；周期性的判断：①()()f x a f x a +=-，2T a =；()()f x a f x b +=+，T a b =-；②()()f x a f x +=-，1()()f x a f x +=±，1()()1()f x f x a f x -+=+，2T a =； ③1()1()f x a f x +=-或1()1()f x f x a =-+，3T a =；④1()()1()f x f x a f x -+=-+，1()()1()f x f x a f x ++=-，4T a =；⑤()()()()f x f x a f x f x a ++=+，2T a =；()()(2)()()(2)f x f x a f x a f x f x a f x a ++++=++，3T a =；1()()()()()()n f x f x a f x na f x f x a f x na ++++++=⋅++项……，(1)T n a =+；（6）对称性①一个函数的对称性对于函数()y f x =，若()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立，则函数对称 轴是x a =；若()()f a x f b x +=-恒成立，则函数对称轴是2a bx +=； 若()()0f a x f a x ++-=或()(2)0f x f a x +-=恒成立，则函数对称中心是(,0)a ；若()()2f a x f a x b ++-=，则函数的对称中心是(,)a b ；注意：括号内相减得常数，一般有周期性；括号内相加得常数，一般有对称性；②两个函数的对称性函数()y f x =与函数(2)y f a x =-的图像关于直线x a =对称； 函数()y f x a =+与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称；函数()y f x =与函数2(2)b y f a x -=-的图像关于点(,)a b 对称；3.函数的图像变换（1）平移变换①左加右减()()a y f x y f x a =−−−−−→=+左移个单位；()()a y f x y f x a =−−−−−→=-右移个单位；②上加下减()()b y f x y f x b =−−−−−→=+上移个单位；()()b y f x y f x b =−−−−−→=-下移个单位；（2）伸缩变换①1()()y f x y f x ωω=−−−−−−−−−−→=纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(0)ω>； ②()()A y f x y Af x =−−−−−−−−−−→=横坐标不变，纵坐标变为原来的倍(0)A >； （3）翻折变换①()|()|y f x y f x =→=；函数()y f x =图像在x 轴上方的部分保持不变，将函数()y f x =图像在x 轴下方的部分对称翻折到x 轴上方；②()(||)y f x y f x =→=；保留()y f x =图像在y 轴右边的部分，并将y 轴右边的部分沿y 轴对称翻折到y 轴左边，替代原有的y 轴左边图像；（4）对称变换函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于原点对称； 函数()y f x =与函数(2)y f a x =-的图像关于直线x a =对称； 函数()y f x a =+与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称；函数()y f x =与函数2(2)b y f a x -=-的图像关于点(,)a b 对称；第四章 幂函数、指数函数和对数函数1.幂函数一般地，函数ky x =（k 为常数，k ∈Q ）叫做幂函数； 幂函数k y x =（k ∈Q ）的性质：①幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如果与坐标轴相交，则交点一定是原点；②所有幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图像都经过点(1,1)；③若0k >，幂函数图像都经过点(0,0)和(1,1)，在第一象限内递增；若0k <，幂函数图像只经过点(1,1)，在第一象限内递减；注意：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，再根据奇偶性完成整个图像一般地，函数x y a =(0a >且1)a ≠叫做指数函数，自变量x 叫做指数，a 叫做底数，函数的定义域是R ；指数运算法则：x y x y a a a +⋅=(0,,)a x y >∈R ；()x y xy a a =(0,,)a x y >∈R ；()xxxa b a b ⋅=⋅(,0,)a b x >∈R ；一般地，指数函数x y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图像如图所示：指数函数有下列性质：性质1 指数函数xy a =的函数值恒大于零，定义域为R ，值域(0,)+∞；性质2 指数函数xy a =的图像经过点(0,1)；性质3 函数x y a =(1)a >在R 上递增，函数x y a =(01)a <<在R 上递减；3.对数及其运算一般地，如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即b a N =，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数；根据对数定义，可知：①零和负数没有对数，真数大于零；②1的对数为0，即log 10a =；③底的对数等于1，即log 1a a =；④对数恒等式：log a NaN =成立；通常将以10为底的对数叫做常用对数，常用对数10log N 简记作lg N ；以无理数2.71828...e =为底的对数叫做自然对数，自然对数log e N 简记作ln N ；对数运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么：log log log ()a a a M N MN +=；log log log a a aMM N N-=；log log n a a M n M =； 对数换底公式：log log log a b a NN b=（其中0,1,0,1,0a a b b N >≠>≠>）；常用恒等式：① log a NaN =；② log N a a N =；③ log log 1a b b a ⋅=；④ log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=；⑤ log log m n a a nb b m=；一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为1()y fx -=()x A ∈；反函数的判定：①反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；定义域上的单调函数必有反函数；②周期函数不存在反函数；定义域为非单元素的偶函数不存在反函数；反函数的性质：①原函数()y f x =和反函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；若点(,)a b 在原函数()y f x =上，则点(,)b a 必在其反函数1()y fx -=上；②函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数；原函数()y f x =的定义域是它反函数1()y f x -=的值域；原函数()y f x =的值域是它反函数1()y f x -=的定义域；③原函数与反函数具有对应相同的单调性；奇函数的反函数也是奇函数；求反函数步骤：①用y 表示x ，即求出1()x f y -=；②,x y 互换，即写出1()y f x -=；③确定反函数定义域；注意事项：若函数()y f ax b =+存在反函数，则其反函数为11[()]y f x b a-=-，而不 是1()y f ax b -=+，函数1()y f ax b -=+是1[()]y f x b a=-的反函数； 5.对数函数一般地，对数函数log a y x =(0a >且1)a ≠就是指数函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数；因为x y a =的值域是(0,)+∞，所以，函数log a y x =的定义域是(0,)+∞；对数函数log a y x =(0a >且1)a ≠在1a >及01a <<两种情形下的图像如图所示：对数函数log a y x =(0a >且1)a ≠的性质：性质1 对数函数log a y x =的图像都在y 轴的右方，定义域(0,)+∞，值域为R ； 性质2 对数函数log a y x =的图像都经过点(1,0)；性质3 对数函数log a y x =(1)a >，当1x >时，0y >；当01x <<时，0y <；对数函数log a y x = (01)a <<，当1x >时，0y <；当01x <<时，0y >；性质4 对数函数log a y x =(1)a >在(0,)+∞上是增函数，log a y x = (01)a <<在(0,)+∞上是减函数；6.指数对数方程我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在解指数方程时，常利用指数函数的性质：a a αβαβ=⇔=，其中0a >且1a ≠，将指数方程化为整式方程求解；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程；解对数方程时，必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程变形过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能产生增解；解指数对数方程的基本思路是通过“化成相同底数”“换元”等方法转化成整式方程；7.抽象函数抽象函数的解法：①赋值法；如赋值0x =、1x =±、y x =±、0x y ==等；②结构变换法；如1122()[()]f x f x x x =-+、1122()()x f x f x x =⋅等；抽象函数特征可能对应函数()()()f x y f x f y +=+或()()f xy x f y =⋅，(1)f c =正比例函数()f x cx =(0)c ≠()()()f x y f x f y +=⋅或()[()]y f xy f x =，(0)1f =指数函数xy a =(0a >且1)a ≠()()()f xy f x f y =+或()()yf x y f x =⋅，(1)0f =对数函数log a y x =(0a >且1)a ≠()()()f xy f x f y =⋅，(1)1f = 幂函数()kf x x =第五章 三角比1.角的概念与度量一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的；特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角；在平面直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与x 轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限；当角的终边在坐标轴上时，就认为这个角不属于任何象限；我们把所有与角α有重合终边的角 （包括角α本身）的集合表示为{|360,}k k ββα=⋅︒+∈Z ；在平面几何里，我们把周角分成360等份，每一份叫做1度的角，这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制；我们也可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧或圆弧所对的圆心角的大小；把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度；用“弧 度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么比值lr就是角α的弧度数的绝 对值，即lrα=，这里α的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零；。

数学知识手册(高中)一、代数1.1 一元二次方程一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0，其中a eq0。

解一元二次方程的公式为：$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。

请注意，判别式D=b2−4ac的值决定了方程的解的性质。

1.2 因式分解因式分解是将一个代数式分解为若干个乘积的形式。

常见的因式分解方法有提公因式法、配方法、分组分解法等。

1.3 多项式多项式是由有限个数的变量与常数通过加法、减法和乘法运算构成的代数式。

多项式的次数为含有非零系数的最高次幂的指数。

二、几何2.1 直角三角形直角三角形是一种有一个角为90度的三角形。

直角三角形的斜边上的平方等于两直角边上的平方和，即勾股定理：a2+b2=c2。

2.2 圆的性质圆是平面上到一个确定点距离等于定长的点的集合。

圆的周长公式为$C =2\\pi r$，面积公式为$S = \\pi r^2$。

2.3 向量向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量的加法满足三角形法则，即两向量相加的结果是以它们为边的三角形的第三条边。

三、概率与统计3.1 随机变量随机变量是描述随机试验结果的数值的变量。

随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。

3.2 概率概率是随机事件发生的可能性大小的度量。

概率的基本性质包括非负性、规范性和可列可加性。

3.3 统计统计是研究数据的收集、整理、分析和解释的学科。

统计的应用包括描述统计和推断统计等。

四、微积分4.1 导数导数是函数在某一点处的变化率，也是函数的切线斜率。

导数的定义为$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。

4.2 不定积分不定积分是确定函数的原函数。

不定积分的计算使用基本积分公式或换元法、分部积分法、分式分解法等方法。

4.3 微分方程微分方程是涉及未知函数及其导数的方程。

常见的微分方程包括一阶微分方程和二阶微分方程。

高中数学知识必背手册目录复数 ............................................................................................................................................. - 1 -集合与逻辑.................................................................................................................................. - 2 -三角学部分.................................................................................................................................. - 4 -数列部分...................................................................................................................................... - 8 -立体几何部分............................................................................................................................ - 11 -统计与概率................................................................................................................................ - 24 -解析几何必背公式.................................................................................................................... - 26 -导数必背知识清单.................................................................................................................... - 29 -平面向量.................................................................................................................................... - 30 -复数虚数定义：,i叫做虚数，不同于实数.同理：复数：实数和虚数是两种不同的数，放在一起构成复数，用Z指代其中a,b是实数，这样任何一种实数和虚数的组合都可以拆解为实数部分，加虚数部分，a叫做实部，b叫做虚部.a=0叫做纯虚数，b=0.复平面：Z对应实部，虚部，如果把实数轴当成x轴，虚部轴当成y轴Z就形成了一个平面，叫做复平面，Z的坐标为（a,b）复数的模：Z到原点（0,0共轭复数：称为Z的共轭复数.分式化整式的方法：此时分母分子同时乘以共轭复数，（仿照分母有理化方法）可化为整式集合与逻辑集合部分表示方法：列举法，描述法，维恩图法，区间法特征：确定性，无序性，互异性元素：a,b,c小写字母指代集合：A，B，C大写字母指代集合与元素的关系：属于或集合与集合的关系：包含或空集：集合间的运算：交集并集补集逻辑部分必要条件与充分条件：p为q的充分条件，q为p的必要条件推出去的是充分，被推的是必要从集合观点看：子集是母集的充分条件，例如：正方形是长方形的充分条件四种命题形式：原命题逆命题：互为逆否命题真假性等价.——可从集合的观点证明逻辑连词：一真则全真类比于并集一假则全假类比于交集非：进行否定量词：存在：——特称命题证明时举例就行，否定得证明所有情况证明时需要证明所有情况，否定举反例就行命题的否定：与原命题真假性相反只否定结论，不否定条件全称否定为特称，特称否定为全称或否定变为且，且否定变成或推理部分：合情推理（猜）：归纳推理与类比推理演绎推理（假设正确时，只要推理不犯错，结论必然正确）三角学部分角度弧度制部分为弧度，为角度弧度制转换公式：角度制转换公式：扇形部分（为弧度制）为弧长三角函数定义锐角三角函数定义：a,b,c分别指直角三角形，角x的对边，邻直角边，和斜边，，三角函数单位圆定义：，正余弦诱导公式唯一需要变名的公式：抽加要变号：正弦为奇函数，余弦为偶函数正切诱导公式周期为正切为奇函数同角基本关系二倍角公式降幂公式正弦定理余弦定理第一式：三角形面积公式数列部分一、等差数列定义：从第2项起，每一项与前一项的差值为一个常数，即：,这个数列就为等差数列.通项公式：等差中项：若a,b,c成等差数列前n项和求和公式：单调性：等差，公差为.单调递增单调递减为常数列二、等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比为同一个常数，即：，那么这个数列就叫等比数列.通项公式：等比中项：若a,b,c成等比数列，反之不成立.前n项和求和公式：单调性：为摆动数列为常数列递增数列：或递减数列：或三、S n与a n递推关系通常代表一个数列的前n项和，S当然也可以用,表示，大写字母都可以.a n与其前n项和S n的关系式为：四、求和符号与公式求和符号性质1求和符号性质2（c为常数）特殊的两个求和公式：五、关于对数的知识补充六、S n与a n递推关系处理方法法一：两式做差法，消去S n，得到a n的递推关系法二：运用a，得到S n的递推关系七、数列求和的方法法一：裂项抵消法法二：错位相减法法三：分组求和法立体几何部分一、平行证明部分（一）平面几何补充包知识点1：两直线平行的判定两直线平行的判定方法1.同位角相等，两直线平行2.内错角相等，两直线平行3.同旁内角互补，两直线平行中位线定理：在三角形ABC中，若D、E分别为AB、AC中点，则：位置关系上：如果想一起说明，可以写作：推广：等分线定理在三角形ABC中，若则：位置关系上：如果想一起说明，可以写作：知识点2：平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定空间中平行四边形的判定方法：1.两组对边平行的四边形2.一组对边平行且相等的四边形3.对角线相互平分的四边形平行四边形成为矩形的判定方法：1.对角线相等的平行四边形2.一个角是90°的平行四边形（邻边垂直）平行四边形成为菱形的判定方法：1.对角线垂直的平行四边形2.邻边相等的平行四边形正方形的判定方法：1.对角线垂直的矩形2.邻边相等的矩形3.对角线相等的菱形4.邻边垂直的菱形【总结】即是菱形又是矩形的四边形是正方形知识点3：等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一性质：在三角形ABC中，如果AB=AC，为腰，则：（1）如果AD为中线，那么AD就是角平分线，还是垂线（高线）.（2）如果AD为角平分线，那么AD就是中线，还是垂线（高线）.（3）如果AD为高线，那么AD就是中线，还是角平分线.格式如何写：假如我们知道D为中点，想说明AD垂直于BC就这么表述就可以了.中线即为垂线同理如果我们知道AD垂直于BC，想说明BD=CD，可以这样表述.（二）空间中的位置关系知识点1：四点共面的证明如何证明四点共面：方法一：这四个点在两条平行直线上，所以可以确定一个平面.方法二：这四个点在两条相交直线上，所以可以确定一个平面.知识点2：空间中的位置关系空间中的位置关系：线线关系：平行（重合自动剔除），相交，异面线面关系：平行，相交，线在面内面面关系：平行（重合自动剔除），相交（三）平行的判定和性质定理知识点1：线面平行判定定理线面平行判定定理：如果不在一个面内的一条直线平行于平面内的另一条直线，则这条直线平行于那个平面.符号表示：知识点2：线面平行性质定理线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，则过该条直线的平面与平行的平面产生的交线平行.符号表示：知识点3：面面平行判定定理面面平行的判定定理：如果两条相交直线分别平行于一个平面，那么这两条相交直线所在的平面平行于那个平面.符号表示：知识点4：面面平行性质定理面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么第三个平面和这两个平面产生的交线互相平行.（四）棱柱，棱台几何体性质知识点1：棱柱棱柱的定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行.棱柱的性质：（考试中可以直接使用的）（1）侧棱互相平行，且相等.（2）上下两个底面的棱对应平行，且相等.（3）由（1）（2）可以推知各侧面是平行四边形.知识点2：棱台棱台的定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.棱台的性质：（1）侧面是梯形.（2）上下两个底面相似.（3）上下两个底面的棱比例相等.二、垂直证明部分（一）线线垂直线线垂直分为共面垂直和异面垂直：（二）平面几何补充包知识点1：圆中的垂直:1.直径所对的圆周角是90°2.垂径定理：圆心和弦的中点的连线垂直于弦；过圆心作垂直于弦的垂线段平分弦.3.圆的切线垂直于圆心和切点的连线.知识点2：三角形中的垂直1.一边中线=一边一半的三角形是直角三角形2.等腰三角形三线合一：角平分线即为垂线，中线即为垂线.知识点3：四边形中的垂直1.菱形的对角线垂直2.正方形中的对角线垂直知识点4：全等三角形中的垂直两个具有一个公共边的全等三角形，对顶点连线与公共边垂直.知识点5：勾股定理一边的平方和等于另外两边的平方和三角形，这个边对应的角是直角.若，则C为直角.知识点6：余弦定理:（三）空间中的垂直知识点1：直棱柱的垂直定义：侧棱垂直于底面的棱柱.性质：直棱柱的侧棱垂直于上下底面所有的直线.（四）垂直中的判定与性质定理知识点1：线面垂直定义直线垂直于一条面内所有直线，则称这条直线垂直于这个平面.考试用法：线垂直于这个平面，自然这个线就垂直于面内任意一条直线.符号表示为：知识点2：线面垂直判定定理如果一条直线垂直于面内两条相交直线，那么这个直线就垂直于这个平面.符号表示为：知识点3：面面垂直判定定理如果一条直线垂直于一个平面，那么过这个直线的任意一个平面都和这个平面垂直.符号表示：知识点4：面面垂直性质定理如果两个平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于两个平面的交线，则这条直线垂直于另一个平面.符号表示为：表面积与体积公式常见几何图形和几何体的表面积公式如下：1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2。

高中数学第三章函数的概念与性质基础知识手册单选题1、已知函数f(1x+1)=2x+3．则f(2)的值为（）A．6B．5C．4D．3答案：B分析：根据题意，令1x +1=2可得x的值，将x的值代入f(1x+1)=2x+3，即可得答案．解：根据题意，函数f(1x +1)=2x+3，若1x+1=2，解可得x=1，将x=1代入f(1x+1)=2x+3，可得f(2)=5，故选：B．2、函数的y=√−x2−6x−5值域为（）A．[0,+∞)B．[0,2]C．[2,+∞)D．(2,+∞)答案：B分析：令u=−x2−6x−5，则u≥0，再根据二次函数的性质求出u的最大值，进而可得u的范围，再计算y=√u的范围即可求解.令u=−x2−6x−5，则u≥0且y=√u又因为u=−x2−6x−5=−(x+3)2+4≤4，所以0≤u≤4，所以y=√u∈[0,2]，即函数的y=√−x2−6x−5值域为[0,2]，故选：B.3、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y ，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x −30)元， 则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x=x +8100x +40≥2√x ⋅8100x +40=220， 当且仅当x =8100x ，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D ．4、函数f (x )=x 2−1|x |的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．答案：D 分析：求定义域，确定奇偶性后排除两个选项，再由单调性排除一个，得正确结论．f (x )=x 2−1|x |的定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称，f(−x)=(−x)2−1|−x |=x 2−1|x |=f (x )，所以f (x )是偶函数，排除B ，C ；当x >0时，f(x)=x 2−1x =x −1x ，易知f (x )在(0,+∞)上是增函数，排除A ． 故选：D ． 5、已知幂函数f(x)=k ⋅x α的图象经过点(3,√3)，则k +α等于（ ）A ．32B ．12C ．2D ．3答案：A分析：由于函数为幂函数，所以k =1，再将点(3,√3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k +α 解：因为f(x)=k ⋅x α为幂函数，所以k =1，所以f(x)=x α，因为幂函数的图像过点(3,√3)，所以√3=3α，解得α=12，所以k +α=1+12=32， 故选：A6、下列图形是函数图像的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C 分析：根据函数的定义，对四个选项一一判断.按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.对于A ：当x =0时，y =±1，不符合函数的定义.故A 错误；对于B ：当x =0时，y =±1，不符合函数的定义.故B 错误；对于C ：每一个x 都对应唯一一个y 值，符合函数的定义.故C 正确；对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；故选:C7、下列各组函数表示同一函数的是（）3B．f(x)=1，g(x)=x0A．f(x)=x，g(x)=√x3D．f(x)=√x2，g(x)=(√x)2C．f(x)=x+1，g(x)=x2−1x−1答案：A分析：根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，即可得出答案. 解：对于A，两个函数的定义域都是R，3=x，对应关系完全一致，g(x)=√x3所以两函数是相同函数，故A符合题意；对于B，函数f(x)=1的定义域为R，函数g(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，故两函数不是相同函数，故B不符题意；对于C，函数f(x)=x+1的定义域为R，的定义域为{x|x≠1}，函数g(x)=x2−1x−1故两函数不是相同函数，故C不符题意；对于D，函数f(x)=√x2的定义域为R，函数g(x)=(√x)2的定义域为[0,+∞)，故两函数不是相同函数，故D不符题意.故选：A.8、已知函数f(x+2)=x2+6x+8，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2+2x B．f(x)=x2+6x+8C．f(x)=x2+4x D．f(x)=x2+8x+6答案：A分析：利用配凑法（换元法）计算可得.解：方法一（配凑法）∵f(x+2)=x2+6x+8=(x+2)2+2(x+2)，∴f(x)=x2+2x.方法二（换元法）令t=x+2，则x=t−2，∴f(t)=(t−2)2+6(t−2)+8=t2+2t，∴f(x)=x2+2x.故选：A多选题9、已知函数f(x)={x2,x≤0,−x2,x>0,则下列结论中正确的是（）A．f(√2)=2B．若f(m)=9，则m≠±3C．f(x)是奇函数D．在f(x)上R单调递减答案：CD分析：A.由分段函数求解判断；B.分m≤0，m>0，由f(m)=9求解判断；不成立；C.利用奇偶性的定义判断； D.画出函数f(x)的图象判断.因为f(x)={x2,x≤0,−x2,x>0,A. f(√2)=−(√2)2=−2，故错误；B. 当m≤0时，f(m)=m2=9，解得m=−3或m=3（舍去），当m>0时，f(m)=−m2=9，不成立；故错误；C. 当x<0时，f(x)=x2，则−x>0，f(−x)=−(−x)2=−x2，又f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)；当x>0时，f(x)=−x2，则−x<0，f(−x)=(−x)2=x2，又f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，故正确；D.函数f(x)的图象如图所示：，由图象知f (x )在上R 单调递减，故正确.故选：CD10、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1 C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B ，f(x)=x +1，g(x)=x +1(x ≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B 不正确；对于C ，f(x)={1,x >0−1,x <0，g (x )={1,x >0−1,x <0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C 正确；对于D ，f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D 正确. 故选：ACD11、有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A ．若幂函数y =f (x )的图象过点(2,12)，则f (3)>12B ．函数f (x )=a x−1+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(1,2)C ．函数f (x )=x 2−1在(0,+∞)上单调递减D ．若函数f (x )=x 2−2x +4在区间[0,m ]上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 答案：BD分析：由f (x )所过点可求得幂函数f (x )解析式，由此得到f (3)<12，知A 错误；由f (1)=2恒成立可知f (x )过定点(1,2)，知B 正确；由二次函数的性质可知C 错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定m 的范围，知D 正确.对于A ，令f (x )=x α，则2α=12，解得：α=−1，∴f (x )=x −1，∴f (3)=13<12，A 错误； 对于B ，令x −1=0，即x =1时，f (1)=1+1=2，∴f (x )恒过定点(1,2)，B 正确；对于C ，∵f (x )为开口方向向上，对称轴为x =0的二次函数，∴f (x )在(0,+∞)上单调递增，C 错误； 对于D ，令f (x )=4，解得：x =0或x =2；又f (x )min =f (1)=3，∴实数m 的取值范围为[1,2]，D 正确. 故选：BD.12、已知函数f(x)={−x 2−2x,x ≤m x −4,x >m，如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m 的取值范围可以是（ ） A ．m <−2B ．−2≤m <0C ．0≤m <4D ．m ≥4.答案：BD解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，观察函数图象即可得出答案. 在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，如图，由图象可知，当−2≤m <0时，函数f (x )有两个零点−2和4，当m ≥4时，函数f (x ）有两个零点−2和0.故选：BD13、函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈R都满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列结论正确的是（）A．函数f(x)在R上是单调递减函数B．f(−2)<f(1)<f(2)C．f(x+1)<f(−x+2)的解为x<1D．f(0)=02答案：BC分析：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，可得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以可判断出f(x)在R 上为增函数，然后逐个分析判断即可解：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以f(x)在R上单调递增，所以A错，因为f(x)为R上的递增函数，所以f(−2)<f(1)<f(2)，所以B对，，所以C对因为f(x)在R上为增函数，f(x+1)<f(−x+2)⇔x+1<−x+2⇒x<12函数R上为增函数时，不一定有f(0)=0，如f(x)=2x在R上为增函数，但f(0)=1，所以D不一定成立，故D 错．故选：BC填空题14、已知幂函数f(x)=x p2−2p−3 (p∈N∗)的图像关于y轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，实数a满足(a2−1)p3<(3a+3)p3，则a的取值范围是_____．答案：−1<a<4分析：根据幂函数的性质求出p的值，根据幂函数的单调性得到关于a的不等式解出即可.∵幂函数f(x)=x p2−2p−3(p∈N∗)在(0，+∞)上是减函数，∴p2−2p−3<0，解得−1<p<3，∵p∈N∗，∴p=1或2．当p=1时，f(x)=x−4为偶函数满足条件，当p=2时，f(x)=x−3为奇函数不满足条件，则不等式等价为(a2−1)p3<(3a+3)p3，即(a2−1)13<(3a+3)13，∵f(x)=x13在R上为增函数，∴a2−1<3a+3，解得：−1<a<4.所以答案是：−1<a<4.15、已知a∈R，函数f(x)={x2−4,x>2|x−3|+a,x≤2,若f[f(√6)]=3，则a=___________.答案：2分析：由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.f[f(√6)]=f(6−4)=f(2)=|2−3|+a=3，故a=2，所以答案是：2.16、已知f(x)=k⋅2x+2−x为奇函数，则k=______．答案：−1分析：根据奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，即(k+1)⋅(2−x+2x)=0，由此可求得答案.由题意f(x)=k⋅2x+2−x是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即k⋅2−x+2x=−k⋅2x−2−x，故(k+1)⋅(2−x+2x)=0，由于2−x+2x≠0，故k=−1，所以答案是：−1解答题17、已知幂函数f(x)=(2m2−5m+3)x m的定义域为全体实数R.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)>3x+k−1在[−1,1]上恒成立，求实数k的取值范围.答案：(1)f(x)=x2(2)(−∞,−1)分析：（1）根据幂函数的定义可得2m2−5m+3=1，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式; （2）将f(x)>3x+k−1在[−1,1]上恒成立转化为函数g(x)=x2−3x+1−k在[−1,1]上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．（1）∵f(x)是幂函数，∴2m2−5m+3=1，∴m=12或2.当m=12时，f(x)=x12，此时不满足f(x)的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴f(x)=x2.（2）f(x)>3x+k−1即x2−3x+1−k>0，要使此不等式在[−1,1]上恒成立，令g(x)=x2−3x+1−k,只需使函数g(x)=x2−3x+1−k在[−1,1]上的最小值大于0. ∵g(x)=x2−3x+1−k图象的对称轴为x=32，故g(x)在[−1,1]上单调递减，∴g(x)min=g(1)=−k−1，由−k−1>0，得k<−1，∴实数k的取值范围是(−∞,−1).18、已知函数f(x)=kx2+(2k+1)x+2．(1)当k=−1时，写出函数y=|f(x)|的单调递增区间（写出即可，不要过程）；(2)当k<12时，解不等式f(x)>0．答案：(1)函数y=|f(x)|的单调递增区间有[−2,−12]和[1,+∞)；(2)当k<0时，f(x)>0的解集为(−2,−1k )；当k=0时，f(x)>0的解集为(−2,+∞)；当0<k<12时，f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞)分析：（1）化简函数y=|f(x)|解析式，作出函数图象，利用图象求函数的单调递增区间；（2）分别在k=0，k<0，0<k<12时解不等式f(x)>0即可.（1）因为f(x)=kx2+(2k+1)x+2，所以当k=−1时，y=|f(x)|=|−x2−x+2|=|x2+x−2|所以当x<−2或x>1时，|f(x)|=x2+x−2，当−2≤x≤1时，|f(x)|=−x2−x+2，作出函数y=|f(x)|的图象如下：所以函数y=|f(x)|的单调递增区间有[−2,−12]和[1,+∞)；（2）因为f(x)=kx2+(2k+1)x+2，所以f(x)=(kx+1)(x+2)，当k=0时，不等式f(x)>0，可化为x+2>0，解得x>−2，故解集为(−2,+∞)当k≠0时，方程f(x)=0的解为x1=−2，x2=−1k当k<0时，x1=−2<0<x2=−1k ，不等式f(x)>0的解集为(−2,−1k)，当0<k<12时，x2=−1k<x1=−2，不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞)；综上，当k<0时，f(x)>0的解集为(−2,−1k)；当k=0时，f(x)>0的解集为(−2,+∞)；当0<k<12时，f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞).。

高中数学基础知识系统导记（学生可根据自己的实际，选择记忆，突出重点和针对性）一、集合与简易逻辑1．元素与集合的关系：)(A a A a ∉∈或。

2．集合的元素具有：确定性、无序性、互异性。

如若{}2,,1aa A =，则01≠±≠a a 且。

3．集合常用的表示方法：列举法、描述法、图示法。

其中要特别注意用描述法表示的集合，要弄清楚集合元素的属性，如若A={椭圆}，B={直线}，则φ=⋂B A ，又若⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>=+=)0(1|),(2222b a b y a x y x A ，{}0|),(=++=C By Ax y x B ，则B A ⋂可能有0个或1个或2个元素，再如{})23(log |22+-==x x y x A ，{})23(log |22+-==x x y y B ，{})23(log |),(22+-==x x y y x C ,A 表示函数的定义域，B 表示函数的值域，C 表示函数图象上的点集。

注意：若{}R x x x A ∈>=,1|，{}R y y y B ∈>=,1|，则B A =。

4．常见数集：R ．表示实数集；N ．表示自然数集；)(*+N N 或表示正整数集；Q ．表示有理数集；Z 表示整数集。

5．空集是任何集合的子集，记作：A ⊆φ，空集是任何非空集合的真子集；记作：φA ，任何一个集合是它本身的子集，记作：A A ⊂。

6．包含关系：AB A A B B =⇔=U U A BC B C A ⇔⊆⇔⊆（U 为全集）。

注意：当A B A =⋂或B B A =⋃时，要注意考虑φ=A 与φ≠A 的情况。

7．要证明集合A=B ，则须证明：A B B A ⊆⊆且。

8．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有12-n 个；非空子集有12-n 个；非空的真子集有22-n个。

9．判断命题的真假要以真值表（p 与非p ：真假相对；q p 或：一真必真；q p 且：一假必假）为依据。

高中基础知识手册高中基础知识手册高中是学生学习的重要阶段，掌握一些基础知识对于学习其他学科有着至关重要的作用。

下面是一份高中基础知识手册，希望能够帮助同学们更好地学习。

一、数学基础知识1.基本运算：加法、减法、乘法、除法的运算规则和运算法则。

2.代数基础：整式的加法、减法、乘法、除法；分式的加法、减法、乘法、除法。

3.方程与不等式：一元一次方程的解法、一元一次不等式的解法等。

4.几何基础：平面图形、立体图形的基本属性与判定，如平行、相似关系、三角形的性质等。

5.函数与图像：函数的概念、函数与方程的关系、函数的图像及其性质等。

二、物理基础知识1.力学基础：牛顿三定律、力的合成与分解、摩擦力、弹力等。

2.热学基础：温度、热量、热传递等基本概念及物质状态变化规律。

3.光学基础：光的反射、折射、色散等基本现象及光的三原色原理。

4.电学基础：电荷、电场、电流、电压、电阻等基本概念及电路的基本知识。

5.波动基础：波的传播、波的性质、声音、光波等基本知识。

三、化学基础知识1.化学元素：常见元素的周期表信息，如元素符号、原子序数、主要性质等。

2.化学键：离子键、共价键、金属键等基本类型的化学键。

3.酸碱中和反应：酸的性质、碱的性质，以及酸碱中和反应的原理。

4.氧化还原反应：氧化反应、还原反应、氧化还原反应的判别及应用。

5.化学反应速率：反应速率的概念、表达式及影响因素。

四、生物基础知识1.细胞结构与功能：细胞的基本结构及其功能，如核糖体、核膜、线粒体等。

2.遗传与进化：基因的遗传规律、染色体的结构与功能、变异与进化的关系。

3.生态系统：生态系统的组成、结构及其内部相互关系。

4.生物分类：生物分类的原则及常见生物分类群。

5.人体健康：常见疾病的防治知识、健康饮食的重要性等。

以上仅是高中基础知识的一部分，同学们可以根据自己的需要进行深入学习和拓展。

通过高中基础知识的掌握，同学们可以为以后的学习打下坚实的基础，在学习其他学科时更加得心应手。

全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数基础知识手册单选题1、若tanθ=−2，则sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θ的值是（ ） A ．−15B ．−35C ．−75D ．15 答案：A分析：利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 解：因为tanθ=−2， 所以sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θ=sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+2tanθ−1tan 2θ+1=(−2)2+2×(−2)−1(−2)2+1=−15.故选：A2、若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ）A ．25B ．−25C ．65D ．−65 答案：A分析：由二倍角正弦公式和同角关系将sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ转化为含tanθ的表达式，由此可得其值. sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=25．故选：A.3、小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为74，则cos∠BAC =（ ）．A ．1725B ．4√37C ．45D ．57答案：A分析：设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为|OA |+R，竖直高度为2R ，根据题意求得OA =52R ，由切线的性质和正弦函数的定义可得sin∠BAO =25，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如下图所示易知“水滴”的水平宽度为|OA |+R ，竖直高度为2R ，则由题意知OA+R 2R=74，解得OA =52R ，AB 与圆弧相切于点B ，则OB ⊥AB ，∴在Rt △ABO 中，sin∠BAO =OB OA =R 52R=25，由对称性可知，∠BAO =∠CAO ，则∠BAC =2∠BAO ， ∴cos∠BAC =1−2sin 2∠BAO =1−2×(25)2=1725， 故选：A ．4、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=( )A ．−1B ．−√22C ．√22D ．1 答案：C分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2， ∴cosα=xr =√2=√22， 故选：C.5、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ）A ．−17B ．0C ．7D ．17 答案：D分析：由题知A(3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A(3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43，所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D6、《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为4m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）A ．6m 2B ．9m 2C ．12m 2D ．15m 2答案：B分析：根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.依题意，弦=2×4sinπ3=4√3(m)，矢=4−4cosπ3=2(m)，则弧田面积=12(4√3×2+22)=4√3+2≈9(m2)，所以弧田面积约是9m2.故选：B7、如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin(ωx＋φ)＋2，则有（）A．ω＝2π15，A＝3B．ω＝152π，A＝3C．ω＝2π15，A＝5D．ω＝152π，A＝5答案：A分析：根据最大值及半径求出A，根据周期求出ω.由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3．T=604=15，则ω=2πT=2π15．故选:A8、f(x)=−sinx−xcosx+x2在[−π,π]的图象大致为（）A．B．C．D．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A，再通过特殊值排除B、D即可.由f(−x)=−sin (−x )+x cosx+x 2=−−sinx−x cosx+x 2=−f (x )，所以f (x )为奇函数，故排除选项A.又f (π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D故选：C9、sin1860°等于（ ） A ．12B ．-12C ．√32D ．-√32 答案：C分析：用诱导公式先化简后求值.sin1860°=sin (5×360°+60°)=sin60°=√32, 故选: C10、若函数f (x )=sin (ωx +π3) (ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，112]∪[16，712]B ．(0，16]∪[13，23] C ．(0，712]D ．[13，23] 答案：A分析：根据题意可得函数f (x )在区间(π，2π)内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间(π，2π)为单调区间的子集得到关于ω的不等式组，解不等式组可得所求． 解：函数y =sin x 的单调区间为[kπ+π2，kπ+3π2]，k ∈Z ，由kπ+π2⩽ωx +π3⩽kπ+3π2，k ∈Z ，得kπ+π6ω⩽x ⩽kπ+7π6ω，k ∈Z ．∵函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0) 在区间(π，2π)内没有最值， ∴函数f (x ) 在区间(π，2π)内单调，∴(π，2π)⊆[kπ+π6ω，kπ+7π6ω]，k ∈Z ，∴ {kπ+π6ω⩽πkπ+7π6ω⩾2π，k ∈Z ，解得k +16⩽ω⩽k 2+712，k ∈Z.由k +16<k 2+712，得k <56．当k=0时，得16⩽ω⩽712，当k=−1时，得−56⩽ω⩽112，又ω>0，故0<ω⩽112，综上得ω的取值范围是(0，112]∪[16，712]，故选A 填空题11、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则满足条件(f(x)+f(−5π4))(f(x)+f(7π3))<0的最小正偶数x为___________.答案：4分析：先根据图象求出函数f(x)的解析式，再求出f(−5π4),f(7π3)的值，然后求解三角不等式可得最小正偶数.由图可知34T=5π6−π12=3π4，即T=2πω=π，所以ω=2；由五点法可得2×π12+φ=π2，即φ=π3；所以f(x)=2sin(2x+π3).因为f(−5π4)=2sin(−13π6)=−1，f(7π3)=2sin(5π)=0；所以由(f(x)+f(−5π4))(f(x)+f(7π3))<0可得0<f(x)<1；由0<2sin(2x+π3)<1，即0<sin(2x+π3)<12，∴2kπ<2x+π3<2kπ+π6,k∈Z或2kπ+5π6<2x+π3<2kπ+π,k∈Z，解得kπ−π6<x<kπ−π12,k∈Z或kπ+π4<x<kπ+π3,k∈Z，令k=1，可得5π6<x<11π12或5π4<x<4π3，所以最小正偶数x为4.所以答案是：4.12、设函数f (x )=sin (ωx +φ)，A >0，ω>0，若f (x )在区间[π6，π2]上单调，且f (π2)=f (2π3)=−f (π6)，则f (x )的最小正周期为____． 答案：π分析：根据单调性可确定0<ω≤3，结合f (π2)=f (2π3)=−f (π6)，可得x =7π12，(π3，0)分别为对称轴和对称中心，即可结合周期求解.函数f (x )=sin (ωx +φ)，A >0，ω>0，若f (x )在区间[π6，π2]上单调， 则T2=πω≥π2-π6，∴0<ω≤3．∵f (π2)=f (2π3)=−f (π6)，∴x =π2+2π32=7π12为f (x )=sin (ωx +φ)的一条对称轴，且(π6+π22，0)即(π3，0)为f (x )=sin (ωx +φ)的一个对称中心，只有当T4=14⋅2πω=7π12−π3=π4时，解得ω=2∈(0，3]，∴T=2π2=π，故答案为:π13、已知f(x)=2sin(2x +π3)，若∃x 1,x 2,x 3[0,3π2]，使得f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，若x 1+x 2+x 3的最大值为M ，最小值为N ，则M +N =___________. 答案：23π6分析：作出f(x)在[0,3π2]上的图象，x 1,x 2,x 3为f(x)的图象与直线y =m 交点的横坐标， 利用数形结合思想即可求得M 和N ﹒作出f(x)=2sin(2x +π3)在[0,3π2]上的图象（如图所示）因为f(0)=2sin π3=√3，f(3π2)=2sin(π+π3)=−√3，所以当f(x)的图象与直线y =√3相交时，由函数图象可得， 设前三个交点横坐标依次为x 1、x 2、x 3，此时和最小为N ， 由2sin(2x +π3)=√3，得sin(2x +π3)=√32， 则x 1=0，x 2=π6，x 3=π，N =7π6；当f(x)的图象与直线y =−√3相交时，设三个交点横坐标依次为x 1、x 2、x 3，此时和最大为M ， 由2sin(2x +π3)=−√3，得sin(2x +π3)=−√32， 则x 1+x 2=7π6，x 3=3π2，M =8π3；所以M +N =23π6.所以答案是：23π6.解答题14、已知函数f(x)=cos(2x +φ)(0<φ<π)是奇函数. (1)求φ的值；(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到函数g(x)的图象，求g(x). 答案：(1)π2；(2)g(x)=−sin(12x −π3).分析：（1）利用奇函数f(0)=0求参数φ.（2）由（1）得f(x)=−sin2x ，根据图象平移过程写出g(x)解析式. （1）因为f(x)是奇函数， 所以f(0)=0，即cosφ=0.又0<φ<π，所以φ=π2，检验符合.（2）由（1）得：f(x)=cos(2x +π2)=−sin2x .将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y =−sin2(x −π6)=−sin(2x −π3)的图象，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到y =−sin(12x −π3)的图象.故g(x)=−sin(12x −π3).15、已知函数f(x)=sinx −cosx (x ∈R). (1)求函数y =f(x)⋅f(π−x)的单调递增区间； (2)求函数y =f 2(x)+f(2x −π4)的值域. 答案：(1)[k π,k π+π2] (k ∈Z )(2)[1−√3,1+√3]分析：（1）利用诱导公式及其余弦的二倍角公式化简，即为y =−cos 2x ，然后利用余弦函数的性质求其单调递增区间即可；（2）利用正弦的二倍角公式及其辅助角公式化简，即为y =1−√3sin(2x +φ)，利用正弦函数的性质求值域即可. （1）∵y =(sin x −cos x)[sin (π−x )−cos (π−x )]=(sin x −cos x)(sin x +cosx)=sin 2x −cos 2x =−cos 2x∴2k π≤2x ≤2k π+π⇒k π≤x ≤k π+π2 (k ∈Z )， 即所求单调递增区间为：[k π,k π+π2] (k ∈Z )；（2）y =(sin x −cos x)2+[sin (2x −π4)−cos (2x −π4)]=1−sin2x +√2sin(2x −π2) =1−sin2x −√2cos2x =1−√3sin(2x +φ)，其中tanφ=√2 ， 即y ∈[1−√3,1+√3].。

原命题若p 则q逆命题若q 则p互为逆互互逆否互第一章 集合与简易逻辑一、集合知识1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.4. 集合运算：交、并、补.5. 主要性质: ①U A B AB A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C ②C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 设集合A 中有n 个元素,则①A 的子集个数为n 2；②A 的真子集个数为12-n ；③A 的非空子集个数为12-n ；④A 的非空真子集个数为22-n. 7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集二．含绝对值不等式、一元二次不等式的解法1.整式不等式的解法：① 一元一次不等式的解集b ax >（)00<>a a 或分②一元二次不等式的解集)0(02>>++a c bx ax ：（大于取两边，小于取中间） ③一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x 的系数全化为正，从右到左、从上到下，奇（次幂）穿，偶（次幂）穿而不过） 2.分式不等式的解法⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f （移项通分，不能去分母）3.含绝对值不等式的解法c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（将x 的系数化为正,大于取两边，小于取中间）三．简易逻辑1．构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )(一真则真)；p 且q(记作“p ∧q ” )（一假则假）；非p(记作“┑q ” )（真假相反） 。

2．四种命题的形式：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

高中数学基础知识手册高中数学是中学教育的重要组成部分，它不仅为学生提供了解决实际问题的工具，还培养了学生的逻辑思维和抽象思维能力。

本手册旨在帮助学生系统地复习和巩固高中数学的基础知识，以便更好地应对学习和考试的挑战。

一、数与式1. 实数：实数包括有理数和无理数，有理数可以表示为两个整数的比，无理数则不能表示为分数形式。

2. 指数与对数：指数表示一个数的幂，对数是指数的逆运算，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。

3. 多项式：多项式是由变量和系数组成的代数表达式，可以进行加、减、乘、除等运算。

4. 分式：分式是两个多项式的比，其分母不为零。

二、方程与不等式1. 一元一次方程：只有一个未知数且未知数的最高次数为1的方程。

2. 一元二次方程：只有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程。

3. 不等式：不等式表示两个数值或表达式之间的关系，不满足等式的性质。

4. 线性不等式：只包含一个变量的一次不等式。

三、函数1. 函数的概念：函数是将一个数集映射到另一个数集的规则。

2. 函数的性质：包括函数的单调性、奇偶性、周期性等。

3. 函数的图像：函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质。

4. 反函数：如果一个函数的值域是其定义域的子集，那么这个函数存在反函数。

四、几何1. 平面几何：研究平面图形的性质和关系，包括直线、角度、三角形、四边形、圆等。

2. 立体几何：研究三维空间中的几何体，包括多面体、圆柱、圆锥、球等。

3. 解析几何：通过坐标系将几何问题转化为代数问题，便于计算和解决。

4. 向量：向量是具有大小和方向的量，可以用于表示几何图形的位置和运动。

五、三角学1. 三角函数：包括正弦、余弦、正切等，它们描述了直角三角形中边与角的关系。

2. 三角恒等式：三角函数之间的一些恒等关系，如和差公式、倍角公式等。

3. 解三角形：利用三角函数解决三角形的问题，包括边长和角度的计算。

4. 三角级数：将函数表示为三角函数的无穷级数，用于近似计算和分析。

高中数学基础知识完全手册 (一)(集合与简易逻辑)一、内容提要1.本章主要内容是集合的初步知识与简易逻辑知识，是掌握和使用数学语言的基础，在学习函数及其它后续内容时，将得到充分的运用.2. 集合的初步知识包括集合的有关概念、简章集合的表示及集合同集合之间的关系. （1）集合的基本概念 ①集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A . 不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．②按集合所含元素的个数分类，集合可分为 . ③集合的元素具有 性、 性、 性. ④集合常用的表示方法： 、 、 .⑤常见数集：R 表示 ；N 表示 ；Q 表示 ；Z 表示 . （2）集合与集合的关系①对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，就说集合B 包含．．集合A ，记作 ，这时也说是集合A 是集合B 的子集．对于两个集合A 与B ，如果A ⊆ B ，且B ⊆ A ，那么A B ．②补集：如果A ⊆S ，那么A 在S 中的补集Cs A= .全集：如果一个集合含有要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示．③交集：A ⋂B = .并集：A ⋃B = . （3）不等式的解法①含绝对值的不等式()0><a a x 的解集是 . ()0>>a a x 的解集是 .②一元二次不等式一元二次不等式)(0>0>++2a c bx ax 的解集如下表．3.简易逻辑主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”，四种命题及充要条件．(1)逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词．简单命题：不含逻辑联结词．．．．．的命题．复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．(2)一个命题与它的命题是等价的．(3)如果已知qp⇒，那么我们说，p是q的条件，q是p的条件．如果已知，那么我们说，p是q的充要条件．．．．．二、学习过程中需要注意的问题(1)集合与集合的元素是两个不定义的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似．但是，应该清楚，集合中的元素具有确定性、互异性．确定性是指给定一个集合，一个对象属于不属于这个集合就是明确的，像美丽的花，比较小的数等，都不能组成一个集合．互异性是指在一个集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象只能算作这个集合的一个元素．此外，集合中的元素还具有无序性，例如：｛1，2，3｝=｛3，2，1｝．(2)容易混淆的符号①∈与⊆的区别：∈符号是表示元素与集合之间关系的，例如，有1∈N，-1 N等；⊆符号是表示集合与集合之间关系的，例如，有N⊆R,Z⊆R等．②a与｛a｝的区别：一般地，a表示一个元素，而｛a｝表示只有一个元素的集合，例如，有l∈{1，2，3}，0∈{0}，{1}⊆{1，2，3}等，不能写成0 ={0}，{1}∈{1，2，3}，l⊆{l，2，3}．(3)认真读懂本章复习小结中的参考例题.高中数学基础知识完全手册(二)(函数)一、内容提要这一章主要内容是函数、指数与指数函数、对数与对数函数. 1．以x 为自变量的函数=y )(x f 是集合A 到集合B 的一种对应，其中A 和B 都是非空的数集，对于A 中的每一个．．．x ，B 中都有唯一确定的．．．．．y 和它对应.自变量x 取值的集合A 就是函数=y )(x f 的定义域，和x 对应的y 的值就是函数值，函数值的集合C 就是函数的值域(C B).给定两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应就是集合A 到集合B 的 ，表示为f ：A →B ．函数是非空数集到非空数集的 ．2.设函数=y )(x f (x ∈A)的值域为C ，根据函数=y )(x f 中x 、y 的关系，用y 表示出x ，得到)(y φx =，如果对于在C 中的任何一个值y ，通过)(y φx =，在A 中都有唯一确定的值．．．．．．x 和它对应，那么)(y φx =表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，记作)(y f x -1=.把字母x ，y 对调以后得到函数)(x fy -1=，就是函数=y )(x f 的反函数．若=y )(x f 有反函数)(x f y -1=，则=y )(x f 是 的反函数．反函数)(x fy -1=的定义域、值域分别是函数=y )(x f 的 、 .函数=y )(x f 和它的反函数)(x f y -1=的图象 对称．3.在定义域I 内某个区间，如果对于自变量x 的任意两个值2121<x x x x 且,,，都有)()(21<x f x f ，那么函数=y )(x f 在这个区间是 ；如果对于任意的两个值,,21x x 且21<x x ，都有 ，那么函数=y )(x f 在这个区间是减函数；如果函数=y )(x f 在这个区间是增函数(或减函数)，就说函数=y )(x f 在这个区间具有(严格的) ．4．如果)(1>∈=n N n a x *n 且 ，那么x 叫做a 的n 次方根．．．.在此基础上，我们规定了分数指数幂的意义：若1>∈0>n N n m a *且，， 则：=nma ； =nm a－ .如果ba N(a 0,a 1)=>≠,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作 .指数式与对数式的关系是 ba aN log N b (a 0,a 1)=⇔=>≠,两个式子表示的N b a ,,三个数之间的关系是一样的，并且可以互化．指数运算性质和对数运算性质5．指数函数和对数函数二、学习过程中需要注意的问题(1)在构成函数的“定义域”、“值域”以及“定义域到值域的对应关系”这三者中，最重要的是对应关系；函数符号)(xy=中，f即表示对应关系．这个符号不．表示“y等于f与fx的乘积”，)f也不一定是解析式．(x(2)映射的定义涉及两个集合A ，B ，它们可以是数集，也可以是点集或其它的集合；这两个集合有先后次序，从A 到B 的影射与从B 到A 的映射是不同的；在映射B A f →:之下，集合A 中的任何一个元素．．．．．．在B 中都有象，并且象是唯一的．．．．．，否则，不能构成映射．例如，设A={0，1，2}，B={0，1，1/2}，对应关系“f ”是“取倒数”，这时由于集合A 中的元素0，在集合B 中无象，所以集合A 、B 与对应关系f 不能构成映射．(3)函数的单调性反映函数值变化趋势．有些函数它在整个定义域内是增函数或减函数，例如函数kx y =，当 时,它在定义域内是增函数；当 时,它在定义域内是减函数.有些函数在定义域内某个区间上是减函数，而在另一些区间上是增函数．例如函数2x y =在[O ，+∞)上是 ，在(一∞，0]上是 ． (4)对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定．．．有反函数．如果函数)(x f y =有反函数)(x fy -1=，那么原来函数)(x f y =也是其反函数)(x fy -1=的反函数，即它们互为．．反函数． 一般地，求函数)(x f y =的反函数时，要分两个步骤进行．第一步根据关系)(x f y =，用y 表示出x ，即把函数)(x f y =的解析式看作方程解出x ，得到关系式)(y f x -1=；第二步将x ，y 互换，得到)(x f y -1=.函数)(x f y =与它的反函数)(x f y -1=在同一直角坐标系．．．．．．．中的图象关于直线 对称．(5)指数幂n a 当指数扩大到有理数时,要注意底数口的变化范围.如当=n 0时,底数a 0≠；当n 为负整数指数时，底数a ≠0；当n 为分数时，底数a >0．在掌握指数函数的图象和性质时，要对底数a 分两种情况讨论，即分为 与 两种情况．(6)在对数式a log N b (a 0,a 1)=>≠中要注意底数a >0，且a ≠1，真数N >O 等条件，这些条件在解题或变形中常常用到． 对数函数与指数函数互为反函数，所以它们的定义域和值域正好互换，它们的对应关系是互逆的．掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，要结合它们的图象理解和记忆．(7)认真读懂本章复习小结中的参考例题.高中数学基础知识完全手册(三)(数列)一、内容提要1．本章的主要内容是数列的概念，等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式． 2．按照一定的次序排列的一列数叫做数列．实际上，从函数观点看，对于一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，…，n })的函数来说，数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．3．等差数列与等比数列是两种简单、常用的数列．等差数列的特点是从第二项起任一项．．．与其前一项．．．的差．相等，等比数列的特点是从 项起任一项与其 项的 相等． 4． 与 是给出一个数列的两种重要方法．5．等差数列{n a }的通项公式是 .推倒思想是 . 等差数列{n a }的通项公式的一般式是 .(即广义的通项公式)6.等比数列{n a }的通项公式是 .推倒思想是 . 等比数列{n a }的通项公式的一般式是 .(即广义的通项公式)7. 等差数列{n a }中,若*m n r s (m,n,r,s N )+=+∈,则s r n m a a a a ,,,满足的关系式是:.等比数列{n a }中,若*m n r s (m,n,r,s N )+=+∈,则s r n m a a a a ,,,满足的关系式是:.8．等差数列{n a }的前n 项和公式是 .或 . 求和思想方法是 .等比数列{n a }的前n 项和公式是n s = 或n s =. 求和思想方法是 .9．数列{n a }中,第n 项n a 与前n 项的和n s 之间的关系式是n a =.10．常用的求和方法有:①倒序相加求和、②错位相减求和、③分组求和、④裂项求和. 写出下列数列对应的求和方法：（填序号）（I ）等差数列 .（II ）等比数列 .(III) 数列{n c } .（其中{n a }是等差数列，{n b }等比数列，n n n b a c +=）.（IV ）数列{1+•1n n a a } .（其中{n a }是等差数列）二、学习过程中需要注意的问题 (1)注意数列与函数的联系，通过相应的函数及其图象的特征变动地、直观地去认识数列的性质．(2)等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，应将它们对比起来学习，以进一步认识它们之间的区别与联系.(3)等比数列{n a }的前n 项和公式是一个分段函数,公比为字母时要讨论公比等于1和不等于1两种情况.高中数学基础知识完全手册(四)(三角函数)一、内容提要1．本章的主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角等．内容结构如下图所示：2．根据生产实际和进一步学习数学的需要，我们引入了任意角的概念，并学习了角的另一种单位制——弧度制．在角的概念推广后，无论采用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立起一种一 一对应的关系．采用弧度制时，弧长公式十分简单，成为: r αl ||=这样的形式(其中l 为弧长，r 为半径，α为圆弧所对圆心角的弧度数)，这就使一些与弧长有关的公式(如扇形面积公式等)也得到了简化．=1rad 度.3．在角的概念推广后，我们定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割这六种三角函数．它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．由于角的集合与实数集之间可以建立一 一对应关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数．在六种三角函数中，正弦、余弦、正切函数尤为重要，我们还学了同一个角α的正弦、余弦、正切、余切四种函数的三个基本关系式：； ； . 它们是进行三角恒等变换的重要基础，在求值、化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中要经常用到，必须熟记．．．．，并能正确运用． 有了正弦、余弦的各组诱导公式，就可以把任意角的三角函数化为锐角三角函数．在各组诱导公式中，公式二（απ+）: ； . 和公式三(-α） ； 以及初中学过的一组诱导公式(2π-α): , 是基本的，由它们可以推出其他各组公式． 各组诱导公式如下：=)(αsin － ； =)(απsin － ； =+)(απsin ；=2)(απsin － ； =+2)(απsin ； =2)(απsin － ；=+2)(απsin ； =23)(απsin － ； =+23)(απsin ； =)(αcos － ；=)(απcos － ； =+)(απcos ；=2)(απcos － ； =+2)(απcos ；=2)(απcos － ；=+2)(απcos ； =23)(απcos － ； =+23)(απcos ； =)(αtan － ；=)(απtan － ； =+)(απtan ；=2)(απtan － ； =+2)(απtan ；=2)(απtan － ；=+2)(απtan ； =23)(απtan － ； =+23)(απtan ； 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．. ．其中奇．是指 .偶．是指 . 变．是指 .看符号时要将．．α视为锐角．．．．. 4．和角公式、差角公式、倍角公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，要熟练掌握．．．．．主要公式如下． 和(差)角公式：=±)(βαsin . =±)(βαtan . =±)(βαcos .倍角公式：=2)(αsin . =2)(αtan . =2)(αcos = = . 它们的内在联系及其推导线索如下：可以认为，和角公式）（βαS +、）（βαC +是这些公式的基础．5．利用正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象；利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象．可以看出，在长度为一个周期的闭区间上，有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为O 的点)在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度要求不太高时，可找出这五个点: , , , , . 来画出正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数(特别是函数)(φx ωAsin y +=)的简图．正弦、余弦、正切函数的主要性质可以列表归纳如下：>(0>ωy=A sinx,y+(φ)xωAsin=)变化而得到：(1)将sinx(0<φ或向)φ平移个单位，得y=图象上的点沿x轴向)(0>到函数的图象，再将横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，到函数的图象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到)>(0,A的>ω(φxωAsiny+=)简图.(2)将sinxy=图象上点的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，到函数的图象，再沿x轴向)<(0φ平移个单位，得到函数的>(0φ或向)图象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到)>(0,A的>ωx=)ω(φy+Asin简图.二、学习过程中需要注意的问题(1)正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数，其中正弦、余弦函数的周期是2π，正切、余切函数的周期是π.我们画正弦、正切函数的图象时，就利用了它们的周期性．在几何画图中，运用了将图形平行移动的方法，例如由诱导公式和正弦函数的图象，可以通过平行移动的方法，得出余弦函数的简图．在本章中，还根据画图的需要，将已知图形上点的横、纵坐标进行伸长或缩短，例如，由正弦函数的图象，可以通过平行移动，将图象上点的横、纵坐标进行伸长或缩短等方法，得出函数)(0>A的简图．>ω,=)(φωxy+Asin(2)在本章中，我们大量运用了化归思想．．．．，这是一种重要的数学思想．我们用过的化归包括以下几个方面：一一把未知化归为已知．例如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归为求锐角三角函数值．——把特殊化归为一般．例如把正弦函数sinxy=的图象逐步化归为函数>(0A简图，把已知三角函数值求角化归为求[0，2π]上适合条件的,>ω)x(φ=)ωAsiny+角的集合等．——等价化归．例如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式．高中数学基础知识完全手册(五)(平面向量)一、内容提要1.本章主要内容有向量的概念、运算及其坐标表示，线段的定比分点，平移，正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用． 2．向量运算 (1)加法运算 加法法则 如图：三角形法则 平行四边形法则运算性质：= . ( )+ c = . + 0 = 0 + = . 坐标运算：设 =(11y x ,)， =(1x ,2y ),则 = . (2)减法运算 减法法则(如图)：坐标运算： 设， =(11y x ,)， =(2x ,2y )，则 = .设A 、B 两点的坐标分别为(1x ，1y )，(2x ，2y )，则AB = . (3)实数与向量的积定义：λa ，其中λ>0时，λa 与a ， |λa |= .当中λ<0时，λa 与a ， |λa |= .0a = 0． 运算律λ(μa )= ,( λ+μ)a = , λ( )= . 坐标运算：设 a =(y x ,),则: λa =λ(y x ,)= .(4)平面向量的数量积定义：a ·b =|a ||b |cos θ且(a ≠O，b ≠0，0≤θ≤π)．O·a = . cos<a , b >= .运算律： a ·b = .(λa )·b = = .( )·c = . 坐标运算：设，a =(11y x ,)，b =(2x ,2y )，则a ·b = . 3．重要定理、公式a b b a + b a + b a +a a ab b a + a bb a － a b b a －b a + b a +(1)平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a = .(2)两个向量平行的充要条件： 当b ≠0时，a ∥b ⇔ ． 设a =(11y x ,)，b =(2x ,2y )，则a ∥b ⇔ ．(3)两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔ ．设a =(11y x ,)，b =(2x ,2y )，则a ⊥b ⇔ ．(4)线段的定比分点坐标公式设),(y x p ，),(111y x p ，),(222y x p ，且21=pp λp p ，则.中点坐标公式.(5)平移公式如果点),(y x p ，按向量),(k h a =，平移至p(x,y )'''，则 .(6)正弦定理、余弦定理正弦定理 =2R.余弦定理 . . .二、学习过程中需要注意的问题(1)这一章里，我们学习的向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量．(2)共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础．(3)向量的数量积是一个 ．当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积 O ；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积 0；当两个向量的夹角是90度时，它们的数量积等于 ．零向量与任何向量的数量积等于 ．(4)通过向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．(5)数量积不满足结合律，这是因为a ·b 与b ·a 的结果都是数量，所以(a ·b )·c 与a ·(b ·c )都没有意义，当然就不可能相等.请同学们务必要重视基础知识和基本思想方法的复．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．习巩固与整理．．．．．．！．将各章知识条理化、．．．．．．．．．系统化，建构自己．．．．．．．．的知识网络．．．．．！．高中数学基础知识完全手册(六)(不等式)一、内容提要1．本章的主要内容是不等式的性质和不等式的证明.2．不等式的主要性质有：(1)a>b⇒ .(2)a>b，b>c⇒．(3)a>b⇒a+c b+c．(4)a>b，c>O⇒；a>b，c<O⇒ .a>b>0，c>d>O．⇒ .(5)a>b>O ⇒ (n∈N，且n>1)．(6)|a|—|b| |a+b| |a|+|b|.这些性质是推导不等式其他性质的基础，也是证明不等式的依据.3．证明不等式的主要依据有：(1)a一b>O ⇒ .a一b<0 ⇒．(2)不等式的性质．(3)几个重要的不等式：a2≥O(a∈R)．a2+b2≥ . (a，b∈R)．两个正数的算术平均数它的几何平均数．符号语言表术为 . 其中等号成立的条件是 .(4)证明不等式的方法有多种，本章只要求掌握用比较法、分析法和综合法证明简单的不等式．4．本章还介绍了一些简单的不等式的解法．(1)二次不等式、高次不等式常用的求解方法是 .(2)分式不等式、指对不等式求解方法都是根据原理,将其化为一次和二次不等式(或不等式组)来求解.(3)含绝对值的不等式的求解方法是或 .二、学习要求和需要注意的问题2．学习过程中需要注意的问题(1)学习本章内容时，应注意联系以前学过的一元一次不等式、一元二次不等式、方程、函数等内容，以便对不等式知识有较完整的认识．(2)本章对于证明不等式讲了三种方法，即比较法、综合法和分析法．在证明不等式的各种方法中，比较法是一种最基本、最重要．．．．．．．的方法，它是利用不等式两边的差是正数或负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握．分析法是执果索因．．．．，直至得出一．．．．，即从结论开始，一步步寻求上一步成立的充分条件个真命题．．．为止．综合法是由因导果．．．．，即从已知条件或已知的真命题出发一步步推出结论成立．我们常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程．这是解决数学问题的一种重要思想方法．．．．．．． (3)对于公式a 2+b 2≥2ab 和2+b a ≥ab ，应注意以下两点． 一是它们成立的条件不同．前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数． 二是它们都带有等号，因此，对两个定理中“当且仅当 时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚．当a=b 时，a 2+b 2≥2ab 取等号，其含义是:a=b=> a 2+b 2=2ab ；仅当a=b 时，a 2+b2≥2ab 取等号，其含义是:a 2+b 2=2ab =>a=b ．综合起来，其含义就是:a=b <=> a 2+b 2=2ab ，即a=b 是a 2+b 2=2ab 的充要条件．请同学们务必要重视基础知识和基本思想方法的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．复习巩固与整理．．．．．．．！．将各章知识条理化、系统化，建构自．．．．．．．．．．．．．．．．己的知识网络．．．．．．！．高中数学基础知识完全手册(七)( 直线和圆的方程)一、内容提要本章主要内容包括直线和圆的方程、曲线与方程的概念、用二元一次不等式表示平面区域以及简单的线性规划问题．1．直线的斜率是平面直角坐标系中表示直线位置的重要特征数值，在 、 、 和确定 等问题中起着关键作用． 斜率的定义式是 . 斜率的坐标计算公式是 . 若两直线21l l ,的斜率存在，则1l //2l 的充要条件是 . 1l ⊥2l 的充要条件是 .直线21l l ,的斜率存在为1k 、2k ,则21l l 与的夹角θ的正切为 .2．本章介绍了直线方程的 、 、 、 四种特殊形式；也研究了直线方程的一般式，这就是二元一次方程．在平面直角坐标系中，每一个二元一次方程都表示一条直线；反过来，表示一条直线的方程都可以写成二元一次方程．在直线方程的五种形式中， 和 是结论中常用的两种形式.直线方程的五种形式用数学符号语言表述为：、 、 、 、 . 若直线l 与直线Ax+By+C=0平行，则直线l 的方程可表示为 . 若直线l 与直线Ax+By+C=0垂直，则直线l 的方程可表示为 . 点P(x 0,y 0)到Ax+By+C=0的距离d= .3．在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C>0表示在直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域．常用的判断方法是将 的坐标代入不等式Ax+By+C>0，若Ax+By+C>0成立则表示该点所在一侧的平面区域；若Ax+By+C>0不成立，则表示该点所在区域另一侧的平面区域. 简单的线性规划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标函数z=ax+by 的最大值或最小值的问题．一些实际问题可以借助这种方法加以解决．求解简单的线性规划问题的基本步骤是：① ，② ，③ ，并下结论4．曲线和方程的关系，反映了现实世界空间形式．．．．和数量关系．．．．之间的某种联系．我们把曲线看作适合某种条件P 的点M 的集合:P={M|P(M)}．在建立坐标系后，点集P 中任一个元素M 都有一个有序实数对(x ，y)和它对应，(x ，y)是某个二元方程f(z ，y)=0的解，也就是说，它是解集:Q={(x ，y)|f(x ，y)=0)中的一个元素．反过来，对于解集Q 中任一元素(x ，y)，都有一点M 与它对应，且点M 是点集P 中的一个元素．P 和Q 的这种对应关系就是曲线和方程的关系．5．本章介绍了圆的标准方程、一般方程和参数方程．圆心为(a ，b)、半径为r 的圆的标准方程为: .参数方程为圆的一般方程为： (其中 )圆的一般方程是关于x、y的二元二次方程，但并非所有的二元二次方程都表示圆，一般的二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+f=0表示圆的出充要条件是：圆的标准方程明确地指出了圆心和半径；圆的一般方程突出了方程形式上的特点，它没．有．xy．．项．，并且x．2．、．y．2．项的系数相等．．．．．．；圆的参数方程则直接指出了圆上点的横、纵坐标x、y的特点．6.直线与圆的位置关系分有、、三种.判断直线与圆的位置关系的常用方法有两种：一种是通过来判断.另一种是通过来判断7. 圆与圆的位置关系有、、、、五种.常用来判断圆与圆的位置关系.8. 直线b=的方向向量是 .y+kx9. 解析几何的基本思想方法是、 .二、学习过程中需要注意的问题(1)在本章学习中，除要掌握直线和圆的方程的基础知识外，还要对所介绍的独特的数学方法——坐标法引起重视．我们是在平面直角坐标系中研究直线和圆的有关问题的．例如，在研究了直线方程的各种形式之后，还研究了两条直线平行与垂直的条件、两条直线的夹角、交点以及点到直线的距离等有关直线的基本问题．要注意学习如何借助于坐标系，用代数方法来研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想．．．．．．．(2)直线和圆是基本的几何图形，在初中几何里已经学习了一些有关知识，要注意在本章学习中综合已有知识；此外，还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．在处理有关直线的许多问题中，向量是一种重要而有效的工具．(3)曲线方程是解析几何的重要概念，我们学习的曲线方程有两类．一类是普通方程，它直接给出了曲线上点的纵、横坐标之间的关系．．．．，它通过参数．．建立．．．．．．．．．．．．．．．；另一类是参数方程曲线上点的纵、横坐标之间的关系．要根据实际问题确定选择哪一种形式的曲线方程有利于问题的解决．在求曲线方程时，若不容易直接求得普通方程，可考虑选择合适的参数，先求出曲线的一种参数方程，然后消去参数求得普通方程.请同学们务必要重视基础知识和基本思想方法的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．复习巩固与整理．．．．．．．．．．．．．．．．，建构自．．．．．．．！．将各章知识条理化、系统化己的知识网络．．．．．．！．高中数学基础知识完全手册(八)(圆锥曲线)一、内容提要这一章的主要内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质，以及它们在实际中的一些应用．1．椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质．三种曲线的标准方程(各取其中一种)和图形、性质如下表：2．椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下：(1)从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次．．．．的，所以它们属于二次曲线．．．．．(2)从点的集合(或轨迹)的观点看：它们都是与定点．．．距离的比是常数e的点的．．和定直线。