2.2.2_向量的减法(说课稿)

向量的减法
【教学目标】
1 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．
2 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．
【教学重点】
向量减法的三角形法则．
【教学难点】
理解向量减法的定义．
【教学方法】
这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．
【教学过程】。

2.2.2 向量减法运算及其几何意义【教学目标】1、知识与技能理解向量减法的意义；能熟练掌握向量减法的三角形法则；能准确作出两个向量的差向量；知道向量的减法运算可转化为向量的加法运算。

2、过程与方法理解向量减法定义时要结合图形语言，并通过相反向量来揭示加法和减法的内在联系，通过本节课的学习，对学生渗透化归思想和数形结合思想，继续对培养学生识图、作图的能力及运用图形运算的能力。

3、情感、态度与价值观培养学生用联系的观点看问题，继续培养学生对数学美的感受。

【教学重点】向量减法的运算。

【教学难点】对向量减法法则的理解。

【教学方法】引导探究法。

【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】上一节课，我们学习了向量的加法，知道了加法的三角形法则和平行四边形法则，并用这两种法则进行了加法运算，这一节课，我们将进一步学习向量的减法。

〖合作交流 解读探究〗 1、向量减法的定义：定义1：求两个向量的差的运算，叫做向量的减法。

定义2：向量a 加上向量b 的相反向量，叫做向量a 与向量b 的差，记作：a b -。

即：()a b a b -=+- 。

（减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。

）【说明】向量的差仍然是一个向量。

【导语】()()()0b a b b a b a b b a a ⎡⎤⎡⎤+-=++-=++-=+=⎣⎦⎣⎦∴求a b - 就是求这样一个向量：它与b 的和向量为a。

因此，根据向量加法的三角形法则可作出如图所示的a b -。

已知,a b 是平面上的任意两个向量，在平面上任取一点A ，作,AB a AC b ==，则CB a b =-。

2、向量减法的三角形法则：（特点：向量的“起点相同”）其法则为：当两个向量的起点相同时，则连接两个向量的终点，且方向指向被减向量的终点所对应的向量就是这两个向量的差向量。

即：AB AC CB -=。

【说明】（1）运用这一法则时要特别注意“起点相同”。

（2）三角形法则可用于求任何两个向量的差向量。

《向量的减法运算》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解向量的减法运算概念。

2. 掌握向量的减法运算规则和方法。

3. 能够正确进行向量的减法运算。

二、教学重难点1. 教学重点：理解向量的减法运算概念，掌握规则和方法。

2. 教学难点：正确进行向量的减法运算，特别是遇到复杂情况时的处理。

三、教学准备1. 准备教学用PPT，包括图片、案例等，以帮助学生理解。

2. 准备相关数学工具，如笔、纸以及向量图。

3. 设计一些练习题，供学生实践和巩固。

4. 确定互动的教学方式，如小组讨论、个人练习等。

5. 解释清楚向量的概念和加减法运算的规则，为教学打下基础。

四、教学过程：（一）导入1. 复习向量加法的概念及几何意义。

2. 引入向量减法的概念及几何意义，说明向量的减法可以转化为减法的反向加法。

（二）新课探究探究1：用几何方式进行向量减法运算探究2：用代数方式进行向量减法运算教师举例，让学生感受两种运算方式的优劣，从而选择合适的运算方式。

（三）例题分析通过例题分析，让学生掌握向量减法的具体运算方法，并能够解决相关问题。

（四）课堂练习设计一些与本节课内容相关的练习题，让学生进行练习，以检验学生对本节课内容的掌握情况。

（五）小结对本节课的内容进行总结，强调本节课的重点和难点，并引导学生思考向量的减法在实际问题中的应用。

（六）作业布置布置一些与本节课内容相关的作业，以帮助学生进一步巩固和提高对本节课内容的掌握程度。

（七）教学反思对本节课的教学效果进行反思，总结教学中的优点和不足，为今后的教学提供参考。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 理解向量减法的定义。

2. 掌握向量减法的运算法则，能进行简单的向量减法运算。

3. 培养观察、比较、分析、归纳和解决问题的能力。

二、教学重难点教学重点：掌握向量减法的运算法则，能进行简单的向量减法运算。

教学难点：理解向量减法运算法则。

三、教学准备1. 准备教学用PPT，包含教学图片、视频等素材。

2．2．2 向量的减法一、课题：向量的减法二、教学目标：1．掌握向量减法及相反向量的的概念；2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；3．能用向量运算解决一些具体问题。

三、教学重、难点：向量减法的定义。

四、教学过程：（一）复习：1．向量的加法法则。

2．数的运算：减法是加法的逆运算。

（二）新课讲解：1．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。

说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。

（2）性质：()a a --=；()()0a a a a +-=-+=．2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

表示()a b a b -=+-．3．向量减法的法则： 已知如图有a ，b ，求作a b -．（1）三角形法则：在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =-．说明：a b -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a ，b 有共同起点）．（2）平行四边形：在平面内任取一点O ，作OA a = ，BO b =-，则BA BO OA a b =+=-．思考：若//a b ，怎样作出a b -？4．例题分析：例1 试证：对任意向量a ，b 都有||||||||||||a b a b a b -≤+≤+．证明：（1）当a ，b 中有零向量时，显然成立。

（2）当a ，b 均不为零向量时：①a ，b ，即//a b 时，当a ，b 同向时，||||||||||||a b a b a b -<+=+；当，b 异向时，||||||||||||a b a b a b -=+<+．②a ，b 不共线时，在ABC ∆中，||||||AB BC -<||AC <||||AB BC +， 则有||||||||||||a b a b a b -<+<+．∴||||||||||||a b a b a b -≤+≤+其中：当a ，b 同向时，||||||a b a b +=+， 当a ，b 同向时，||||||||a b a b -=+． 例2 用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。

2.2.2向量减法运算及其几何意义〔导学与探究〕学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.知识点一相反向量思考实数a的相反数为－a，向量a与－a关系应叫做什么？答相反向量.1.定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量.2.性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0.(2)假设a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.(3)零向量的相反向量仍是零向量.知识点二向量的减法思考1根据向量的加法，如何求作a－b?答先作出－b，再按三角形或平行四边形法则作出a＋(－b).思考2向量减法的三角形法则是什么？答(1)两个向量a，b的始点移到同一点；(2)连接两个向量(a与b)的终点；(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点.这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减〞.1.定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →.(向量减法的三角形法则)如下图.2.几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.向量减法几何意义的实际运用例1 |AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围.解 ∵||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD →|≤15. 当AD →与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3； 当AD →与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15. ∴|AB →－AD →|的取值范围为[3,15].反思与感悟 1.如下图，平行四边形ABCD 中，假设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .2.在公式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相反且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a ＋b |；当a 与b 方向相同时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.3.在公式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相同，且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a －b |；当a与b 方向相反时，|a －b |＝|a |＋|b |.例2在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，且AC →＝a ＋b ，|a ＋b |＝|a －b |，则四边形ABCD 的形状是( ) 答案 B解析 由AC →＝a ＋b ，∴四边形ABCD 为平行四边形， 又DB →＝a －b ，∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|. ∴四边形ABCD 为矩形.2.2.2 向量减法运算及其几何意义〔梳理与作业〕课时目标 1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝________.如下图．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA →－OB →＝________.一、选择题1. 在如图四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ →3．假设O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →4．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则有( ) A. AD →＝0 B. AB →＝0或AD →＝0 C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是菱形 5．假设|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D.3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7. 如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________．9. 如下图，O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则OD →＝____________(用a ，b ，c 表示)．10．非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝________.三、解答题11. 如下图，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.12. 如下图，正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出以下向量并分别求出其长度，(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .能力提升13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并答复：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？14．如下图，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数〞．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB →＝a 、AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2 向量减法运算及其几何意义〔答案与解析〕知识梳理(1)相反向量 (2)BA → (3)始点 终点 BA →作业设计4．C [AB →＋AD →与AB →－AD →分别是平行四边形ABCD 的两条对角线，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|， ∴ABCD 是矩形．] 5．C [∵|BC →|＝|AC →－AB →|且 ||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|. ∴3≤|AC →－AB →|≤13. ∴3≤|BC →|≤13.]6．D [如下图，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连结AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →.在△ABD 中，AB ＝BD ＝1， ∠ABD ＝120°，易求AD ＝3， ∴|AB →－BC →|＝ 3.] 7.CA → 8．0解析 方法一 (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →) ＝AD →＋DA →＝0.方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0. 9．a －b ＋c解析 OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 10．4解析 如下图．设O A →＝a ，O B →＝b ，则|B A →|＝|a －b |. 以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ， 则|O C →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42. 故|O A →|2＋|O B →|2＝|B A →|2，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形， 从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形， 根据矩形的对角线相等有|O C →|＝|B A →|＝4， 即|a ＋b |＝4.11．证明 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →. 12．解 (1)由得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2.∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF ，则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.∴|a －b ＋c |＝2.13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形； 当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形；当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．14．证明 作直径BD ，连接DA 、DC ，则OB →＝－OD →，DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形．∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.。

《向量减法》说课稿一、教材分析向量在数学和物理中应用广泛，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题.本章分两大节，第一大节是＂向量及其运算＂，包括向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算、线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量的数量积的坐标表示、平移等小节，第二大节是＂解斜三角形＂．向量的加法是第一大节的基础内容，也是向量一章内容的基础，该节的掌握对后续知识的理解，对解决解析几何，甚至空间几何中的有关问题都有非常重要的作用，本小节是本章的重点内容之一．向量不同于数量，它是一种新的量，数量在代数运算在向量范围内不都能运算．那么在学习向量的概念时更应重点说明向量与数量运算的区别．结合其几何意义，理解向量减法运算的定义、相反向量，教学目标1.知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.学法与教法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学方法：在教学过程中，既要充分体现教师的主导作用，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动的讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；又要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论．进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展．根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取了引导发现法和多媒体辅助教学的方法．引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学．在教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考，动手操作来达到对知识的“发现 ”和接受，进而完成对知识的消化，使书本的知识成为自己的知识．课堂不再成为“一言堂”学生也不再成为教师注入知识的容器．教学过程（一）知识回顾：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++BA BA CB .解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++提出课题：向量的减法 （二）分析新课：从上述问题中可引导学生归纳出向量减法的定义，相反向量的定义探究如何求两个向量的差得出结论：b a b a b a +≤-≤-通过例题及练习深化理解向量的减法的定义：结合例题1、2加强学生采用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差的应用能力。

向量的减法运算及其几何意义教案参赛选手编号：21一、教材分析和学情分析：“向量的减法运算及其几何意义”是高中数学教材人教 A版必修 4 第二章“平面向量”第二单元第二节的内容向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景本节课的学习是建立在学生已经掌握了平面向量的基本概念和相等向量、共线向量的特点，以及向量加法运算的基础上，进一步对于向量减法运算及其几何意义进行研究类比实数的减法运算，通过相反向量将向量减法运算转化为向量加法运算，体现了加法运算与减法运算的内部联系向量减法的学习是对数学中减法运算的丰富与升华，是对运算认识的又一次质的飞跃根据本节课的内容特点以及学生的实际情况。

本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用向量语言和方法表述及其解决实际问题的能力另外，向量减法运算及几何意义与向量加法运算及即将学习的向量数乘运算及其几何意义都有着密不可分的关系，因此本节课的内容起到了承前启后的重要作用并且本节课内容的教学还为培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合、类比、转化的数学思想方法提供了重要的素材二、重难点分析重点:让学生自己去感受向量减法的形成过程。

向量减法与向量加法的类比、和转化则为本节课的教学重点难点：向量减法方向的方向的确定及向量减法的实际应用。

突破点：从本节课知识出发，借助相反向量利用转化及类比思想培养学生良好的数学思维能力。

三、目标定位1、知识与能力（1）掌握相反向量的概念，通过类比数的运算理解向量减法的定义，并掌握做两个向量的差向量的方法（2）掌握向量减法的几何意义并体会向量加、减法的内在联系，从而渗透转化的数学思想方法2、过程与方法（3）通过学习，感知向量具有数形兼备的特征，同时也是研究图形的重要工具，从而深入体会数形结合的思想方法（4）通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题的过程，提高学生分析实际问题的能力，增强数学应用意识3、情感态度与价值观（5）营造和谐的课堂氛围，通过独立思考及合作交流使学生获得学习数学的成功体验，培养良好的学习习惯及利用转化、类比、数形结合等方法形成严谨的思维方式四、教学设想小结升华，布置作业1、创设情境、引出课题—概念形成教学过程设计意图与反思（1）通过前面的学习，我们知道向量是既有大小又有方向的量，并掌握了相等向量和共线向量的概念，了解了向量可以进行加法运算，现在大家看这样一道复习题，（2）2．提出问题，创设情境正如教材的第二章扉页上所说，如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限同时通过向量加法的学习，我们已经初步感受到了将知识的复习融入一道题目之中，巧妙地安排设问，复习相关概念并巩固向量加法的两种法则，为后续的教学做好准备【设计意图】问题串的引入符合学生的认知规律，从加法到减法的过渡自然流畅通过总结点明本节课所用到的三种数学思想类比、转化及数形结合的思想。

2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1.知识与技能
(1)了解相反向量的概念.
(2)掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义.
2.过程与方法
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.
3.情感、态度与价值观
通过本节学习,使学生利用类比的方法探究向量减法的运算法则,培养学生的探索精神与创新
意识.
重点:向量减法的概念和向量减法的作图法.
难点:减法运算时方向的确定.
重难点突破:向量的减法运算是加法运算的逆运算.在进行减法运算时,有时可转化为加法运算.向量的减法满足三角形法则:连接两个向量的终点,箭头指向被减向量,所得的向量即为差向量.要
注意在用三角形法则时两向量必须是同一个起点.
非零向量a,b的差向量的三角不等式:(1)当a,b不共线时,如图①,作=a ,=b,则a-b =.
(2)当a,b共线且同向时,若|a|>|b|,则a-b与a,b同向(如图②),
于是|a-b|=|a|-|b|;
若|a|<|b|,则a-b与a,b反向(如图③),
于是|a-b|=|b|-|a|.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向.于是|a-b|=|a|+|b|(如图④).
可见,对任意两个向量,总有下列向量不等式成立:
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
说明:若a,b至少有一个零向量时,向量不等式的等号成立.
1。

2.2.2_向量的减法（说课稿）《向量的减法运算及几何意义》说课稿各位专家，您们好！今天我说课的题目是《普通高中课程标准实验教科书·北师大版·数学·必修4》第二章第二节《从位移的合成到向量的加法》的第二节课《向量的减法》。

现在我就教材分析、目标定位、教法与学法分析、教学程序、板书设计五个方面进行说明，恳请各位专家批评指正。

一、教材分析1、教材所处的地位和作用《向量的减法运算及几何意义》是高中必修四第二章第二节内容，是平面向量线性运算的一种。

在学完向量的加法运算及几何意义后，本节课是对上节课内容的一个转换。

通过类比数的减法，得到向量的减法及几何意义，培养了学生的化归思想和数形结合思想。

这样，不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解，也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。

2、学情分析学生已经学习了平面向量的加法运算及几何意义，会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量，具备了一定的作图能力。

这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。

类比数的减法运算时，应让学生注意对“被减数”的理解。

3、教学目标知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.4、教学重点和难点教学重点：向量减法的运算和几何意义教学难点：减法运算时差向量方向的确定二、教学方法及教学手段教学方法：类比法、探究法、讲练结合教学手段：采用多媒体与学案相结合，提高课堂的利用率。

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1、 了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律： 例：在四边形中，CB+BA+BC= . 解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD . 二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b =-a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， = b 则= a - bA BD COabBa ba -b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？ 三、 例题：例1、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d . 解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作， ， 则= a -b ， = c -d例2、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ， 用a 、b 表示向量、.O Aa B’b -b bBa + (-b )a bA BD CABCbad cDOa -bAABBB’Oa -ba a bbO AOBa -ba -b BA O-b解：由平行四边形法则得：AB = a-b= a + b，DB= AD变式一：当a，b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）变式二：当a，b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a，b互相垂直）变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能，∵练习：Ｐ98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业：P103第4、５题六、板书设计（略）。

向量的减法【教学过程】一、基础铺垫 (－b )，求两个向量差的运算，叫作向量的减法如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量思考：向量减法的三角形法则是什么？[提示] （1）两个向量a ，b 的始点移到同一点；（2）连接两个向量(a 与b )的终点；（3）差向量a －b 的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a －b 的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．二、合作探究1．向量减法法则的应用【例1】 如图所示，已知向量a ．b ．c ．d ，求作向量a －b ．c －d ．[解] 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ．则a －b ＝BA →，c －d ＝DC →.【规律方法】利用向量减法进行几何作图的方法（1）已知向量a ，b ，如图①所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，利用向量减法的三角形法则可得a－b ，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a －b ．如图②所示，作OA→＝a ，OB →＝b ，AC →＝－b ，则OC →＝a ＋(－b )，即BA →＝a －b ．2．向量加减法的混合运算【例2】 化简下列各式：（1）(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)；（2）AB →－AD →－DC →.[解] （1）法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →.（2）法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.【规律方法】化简向量的和差的方法：（1）如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号.（2）可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简.（3）化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点.提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.3．向量加减法的综合应用[探究问题]（1）向量减法的实质是什么？[提示] 加法的逆运算．（2）|a －b |与|a |，|b |之间的大小关系如何？[提示] |a|－|b|≤|a －b|≤|a|＋|b|.（3）怎样求两个向量的差？[提示] 两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是对角线所对应的向量点，和向量是对角线所对应的向量AC →，而差向量是另一条对角线所对应的向量DB →，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．即作非零向量a ，b 的差向量a －b ，可以简记为：共起点，连终点，指向被减．（4）向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些？[提示] 在▱OACB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，则：（1）若|a |＝|b |，则▱OACB 为菱形．（2）若|a ＋b |＝|a －b |，则▱OACB 为矩形．（3）若|a |＝|b |，且|a ＋b |＝|a －b |，则▱OACB 为正方形．【例3】 如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，用向量a ，b 表示AC →、DB →，并回答下面几个问题．（1）当a ．b 满足什么条件时，AC ⊥BD?（2）当▱ABCD 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |?[思路探究] 解答本题首先要弄清四边形与向量条件的对应关系，再结合图形，灵活转化求解．[解] ∵AB →＝a ，AD →＝b ，∴AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ．（1）当|a |＝|b |时，▱ABCD 为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，故此时有AC ⊥BD ．（2）当▱ABCD 为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a ＋b |＝|a －b |.【母题探究】1．将例3中的条件变为“▱ABCD 中∠ABC ＝60°，AB →＝a ，AD →＝b ，若|a |＝|a ＋b |＝2”，求|a －b |的值．[解] 依题意，|AC →|＝|a ＋b |＝2，如图所示．而|AB →|＝|a |＝2．因为∠ABC ＝60°，所以△ABC 是等边三角形，所以BC ＝AB ．所以▱ABCD 为菱形，AC ⊥BD ，所以|a |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|a ＋b |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|a －b |2，即4＝1＋|a －b |24，所以|a －b |＝2 3.2．若将例3中的条件变为“设平面内四边形ABCD 及任一点O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d 且|a －b |＝|a －d |”．试判断四边形ABCD 的形状．[解] 由a ＋c ＝b ＋d 得a －b ＝d －c ，即OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，于是AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．又|a －b |＝|a －d |，从而|OA →－OB →|＝|OA →－OD →|，∴|BA →|＝|DA →|，∴四边形ABCD 为菱形．【规律方法】1．关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果．三、课堂总结1．向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a －b 与b －a ．3．以向量AB →＝a ，AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ．四、课堂检测1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）两个向量的差仍是一个向量．( )（2）BA →＝OA →－OB →.( )（3）a －b 的相反向量是b －a ．( )（4）|a －b|＜|a ＋b|.( )[答案] （1）√ （2）√ （3）√ （4）×2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________.2 [|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2．]3．若向量a 与b 满足|a |＝5，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值为________，|a －b |的最大值为________．7 17 [由||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |可得．]4．如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示OA →.[解] OA →＝OB →＋BA →＝OC →＋CB →＋BA →＝OC →＋DA →－AB →＝c ＋b －a ．。

《2.2.2向量的减法》教学案●三维目标1．知识与技能(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．(2)能结合图形进行向量计算．2．过程与方法由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想．3．情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．●重点难点重点：相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系．难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义．教学方案设计●教学建议1．关于相反向量的教学教学时，建议教师类比相反数的定义，结合向量的特征，由学生自主给出“相反向量的概念”，并会画出某具体向量的相反向量．2．关于向量减法的教学教学时，建议教师结合相反向量的表示及向量加法的几何意义，师生共同完成向量的减法及其几何意义的推导，并让学生会用向量减法的几何意义作图、化简、求值．●教学流程创设问题情境，引入相反向量概念.⇒引导学生结合向量加法的几何意义，探究向量减法的几何意义，并强调用向量减法的几何意义作图时注意问题.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握作已知向量的和差的作图方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握向量加减法的基本运算方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握结合图形，用已知向量表示其他向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学若a ＋b ＝0，则a 与b 有何关系？ 【提示】 由a ＋b ＝0，得a ＝－b ， ∴a 是b 的相反向量．若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b .求两个向量差的运算，叫做向量的减法.课堂互动探究图2－2－13例1 如图2－2－13，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【思路探究】 先将a ，b 首尾相连，作出a ＋b ，然后根据向量减法的定义作a ＋b 与c 的差向量．【自主解答】 作法一 如图(1)所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .作法二 如图(2)所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，过点B 作CB →＝c ，则OC →＝a ＋b －c .规律方法1．求作向量的和与差就是三角形法则或平行四边形法则的运用．2．求作向量的差可以转化为两个向量的和进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连结两个向量的终点，并指向被减向量．3．作图时一定要注意箭头的方向． 互动探究用本例所示的向量，作出向量a －b ＋c .【解】 如图，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，再过A 作AC →＝c ，则BC →＝a －b ＋c .例2 化简：(AB －CD )－(AC －BD )．【思路探究】 思路一：相反向量法，即把向量的减法转化成向量的加法求解；思路二：利用减法的几何意义，即利用向量减法的三角形法则求解；思路三：向量分解法，即把向量转化成从一点出发的两向量的差向量，如AB →＝OB →－OA →等．【自主解答】 法一 (利用相反向量) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二 (利用向量减法的几何意义)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD → ＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0.法三 (利用AB →＝OB →－OA →) 设O 是平面内任意一点，则(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →) ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0. 规律方法1．向量减法运算的常用方法：2．注意满足下列两种形式可以化简： (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． 变式训练(1)化简：(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝________. (2)化简：(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝________. 【解析】 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0.【答案】 (1)DA →(2)0图2－2－14例3 如图2－2－14，解答下列各题： (1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【思路探究】 根据图形特点，正确运用向量加法、减法的几何意义即可将要求的向量表示出来．【自主解答】 由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e . (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝e ＋a ＋b . (4)EC →＝DC →－DE →＝－CD →－DE →＝－c －d . 规律方法用已知向量表示某向量的四个步骤： 第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形； 第三步：运用法则找关系； 第四步：化简结果． 变式训练图2－2－15如图2－2－15，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：(1)AC →； (2)AD →； (3)AD →－AB →； (4)AB →＋CF →；(5)BF →－BD →.【解】 (1)AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d . (3)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .(4)AB →＋CF →＝OB →－OA →－OC →＋OF →＝b －a －c ＋f . (5)BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →＝f －d .易错易误辨析向量减法运算法则运用出错致误图2－2－16典例 如图2－2－16所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为r 1，r 2，r 3，求OD →.【错解】 因为OD →＝OC →＋CD →， 且CD →＝BA →＝OB →－OA →，所以OD →＝OC →＋OB →－OA →＝r 3＋r 2－r 1.【错因分析】 错误使用了向量的减法法则．【防范措施】 注意运用三角形法则时，两向量的差等于以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量，即AB →＝OB →－OA →，防止出现AB →＝OA →－OB →的错误．【正解】 OD →＝OA →＋AD →＝r 1＋BC →＝r 1＋OC →－OB →＝r 1＋r 3－r 2.向量减法的运算法则(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线(AC →)，而差向量是另一条对角线(DB →)，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.当堂双基达标1．△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →＝________. 【解析】 AB →＝CB →－CA →＝－BC →－CA →＝－a －b . 【答案】 －a －b2．下列各式：①OA →＋OC →＋BO →＋CO →；②OA →－OD →＋AD →；③(AB →＋MB →)＋OM →＋BO →， 其中结果为0的有________．【解析】 ①OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝BO →＋OA →＋OC →＋CO →＝BA →； ②OA →－OD →＋AD →＝DA →＋AD →＝0；③(AB →＋MB →)＋OM →＋BO →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 【答案】 ②3．下列四式中，不能化简为PQ →的是________．①QC →－QP →＋CQ →；②AB →＋(P A →＋BQ →)；③(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)；④P A →＋AB →－BQ →. 【解析】 QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； AB →＋(P A →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋P A →＝AQ →＋P A →＝PQ →； (AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝PC →－QC →＝PQ →； P A →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →≠PQ →，故填④. 【答案】 ④图2－2－174．已知不共线的两个非零向量a ，b (如图2－2－17所示)，求作向量－a －b . 【解】 法一 如图①，作OA →＝－a ，OB →＝b ，则BA →＝－a －b .法二 如图②，作OA →＝a ，OB →＝b ，再以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ， 则CO →＝－a －b . 课后知能检测一、填空题1．下列命题中，正确的个数是________． ①在平行四边形中，BA →＋AD →－BD →＝AB →＋CD →； ②a ＋b ＝a ⇔b ＝0； ③a －b ＝b －a ；④AB →－CB →＋CD →－AD →的模为0.【解析】 由向量的加法与减法法则知①④正确．由a ＋b ＝a ⇔a ＋b －a ＝0⇔(a －a )＋b ＝0⇔b ＝0知，②正确．由a －b ＝a ＋(－b )＝－(b －a )知，③是不正确的． 【答案】 32．已知六边形ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中a ＝OF →，b ＝OA →，c ＝OB →，则EF →等于________．【解析】 由正六边形性质知：EF →＝CB →＝OA →＝b ＝a ＋c . 【答案】 a ＋c3．已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且满足OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →. ∴BA →＝CD →，∴BA 綊CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． 【答案】 平行四边形4．化简(AB →＋CD →－EB →)＋(BC →－BD →＋EF →)－AF →＝________.【解析】 原式＝(AB →＋BE →)＋(CD →＋DB →)＋BC →＋(EF →＋F A →)＝AE →＋CB →＋BC →＋EA →＝0. 【答案】 0图2－2－185．如图2－2－18，在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →，则OD →＝________.【解析】 因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，所以BC →＝OC →－OB →＝c －b ，又AD →＝BC →，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋c －b .【答案】 a ＋c －b 6．给出以下五个说法： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②任一非零向量的方向都是惟一的； ③|a |－|b |＜|a ＋b |；④若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；⑤已知A ，B ，C 是平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. 其中正确的说法有________．【解析】 由|a |＝|b |，得不到a ＝b ，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b ＝0时，|a |－|b |＝|a ＋b |，故③不正确．【答案】 ②④⑤7．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝5，|OB →|＝12，且∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】 如图，在矩形OACB 中，OA →＋OB →＝OC →，即|a ＋b |＝|OC →|＝|a |2＋|b |2＝52＋122＝13.同理|a －b |＝13.【答案】 13 138．如图2－2－19，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＝________.图2－2－19【解析】 法一 BA →－BC →－OA →＋OD →＝BA →＋CB →＋AO →＋OD →＝(CB →＋BA →)＋(AO →＋OD →) ＝CA →＋AD →＝CD →.法二 BA →－BC →－OA →＋OD →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →) ＝CA →－DA →＝CA →＋AD →＝CD →.【答案】 CD →二、解答题9．已知菱形ABCD 边长都是2，求向量AB →－CB →＋CD →的模．【解】 ∵AB →－CB →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →－CB →＋CD →|＝|AD →|＝2.10．如图2－2－20，在五边形ABCDE 中，若AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，求作向量a －c ＋b －d －e .图2－2－20【解】 a －c ＋b －d －e ＝(a ＋b )－(c ＋d ＋e )＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.连结AC ，并延长至点F ，使CF ＝AC ，则CF →＝AC →. ∴AF →＝AC →＋AC →即为所求作的向量a －c ＋b －d －e .如图．11．已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a |＝|b |＝|a －b |＝2，求|a ＋b |与△OAB 的面积．【解】 由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，如图，且OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a －b |，即OA ＝OB ＝BA ，∴△OAB 为正三角形，|a ＋b |＝|OC →|＝2×3＝23，∴S △OAB ＝12×2×3＝ 3. 教师备课资源备选例题已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，求|a ＋b |的值．【思路探究】 解答本题可先由|a |，|b |及|a －b |出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断三角形的形状，再求|a ＋b |的值.【自主解答】 如图，OA →＝a ，OB →＝b ，则|BA →|＝|a －b |，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|OC →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42.故|OA →|2＋|OB →|2＝|BA →|2，所以△AOB 是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等有|OC→|＝|BA →|＝4，即|a ＋b |＝4.规律方法向量在平面几何中的应用一般有两种题型：(1)以平面几何为背景的向量计算、证明问题；(2)利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用．解题的关键是应用向量加法、减法的几何意义，对相关向量进行合理转化．备选变式已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |， |a －b |.【解】 以OA →、OB →为邻边作平行四边形OACB ，∵|OA →|＝|a |＝4，|OB →|＝|b |＝4，∴四边形OACB 为菱形．∵a ＋b ＝OA →＋OB →＝OC →，a －b ＝OA →－OB →＝BA →，∠AOB ＝60°，∴|a ＋b |＝|OC →|＝43，|a －b |＝|BA →|＝4.。

《向量的减法》说课材料一、教材分析教材的地位与作用：本节课是中职教材数学（基础模块）下册第7章第一节的内容。

本节内容分4课时，第一课时教学内容是平面向量，第二课时为平面向量的加法，所讲小节的内容是第三课时向量的减法。

向量的减法是向量运算的一个重要组成部分，也是学生掌握向量方法和今后进一步学习其他知识的基础；同时，本节课的内容蕴含了重要的数学思想方法（如：类比思想、化归思想和分类讨论思想等）。

因此，本节课无论在知识上，还是在学生学习数学思想方法和对学生能力的培养上都有十分重要的地位和作用。

教学目标：依据新课改精神和教学大纲，结合学生实际，本着教书育人、寓德于教的原则。

确定教学目标如下：1、知识目标①掌握向量的减法运算，并理解其几何意义，会作两个向量的差向量。

②进一步理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系。

2、能力目标①向量的运算能反映出一些物理规律和解决一些现实问题，是解决几何问题的有力工具，通过学习其运算加深学科之间的联系，提高我们的应用能力。

②培养学生逻辑思维能力、发散思维能力及从多方位，多角度分析问题的能力，提高学生自身解题的能力。

3、德育目标理解事物之间相互类比、相互转化、相互联系的辩证思想。

4、美育目标通过学习体会数学的内在美及向量解决问题的逻辑美。

教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法。

教学难点：减法运算时方向的确定。

教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法。

教学难点:减法运算时方向的确定。

二教材处理1.学生状况分析及对策：因学生为中职生，并且是第一次接触，学生情况及学情不知，故在教学设计中紧扣课本内容，不作过多外延，学生演练仍为主体，但板演要视具体情况而定，以免过多浪费时间或打击学生的积极性。

2.教学内容的安排和组织：⑴、选用教材中的概念、例题和习题，补充《学习与训练中》总结和一个例题一个习题；⑵、对向量减法定义的引入作一个较大的铺垫，来弥补课本直接给出相反向量、向量减法的概念，缺乏对数学知识的再建构过程的不足，增加引领学生进行探究学习的过程，同时使学生在回顾旧知识的基础上形成合理、完善的认知系统。