平面向量的减法教案

6.2.2向量的减法运算一、内容和内容解析内容：向量的减法运算．内容解析：本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量减法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的，学生在做减法运算时，会有一定的困难．解决方案：将减法转化为加法，通过图形刻画其几何意义辅助理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量减法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计类比实数x的相反数对于向量a，你能定义-吗？它有哪些a()-=+-,即减去一a b a b个向量相当于加上这个向量的相反向量.已知向量a和b，教师动手实践理解几何意义a b-的几何意义是什么？[问题4] 能否概括向量减法的作图步骤？[问题5]若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？学生3：动手实践，小组交流，代表展示：如图1，设OA=a,OB=b, OD=b,连接AB，由向量减法的定义知，()a b a b OA OD OC-=+-=+=．在四边形OCAB中，,OB CA OB CA=，所以OCAB是平行四边形．所以BA OC a b==-．教师4：提出问题4：学生4：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=ab,即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．教师5：我们也可以通过：“作平移，共起点，两尾连，指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.教师6：提出问题5学生5：如图所示，设OA=a,OB=b,则OC＝a+b，BA＝ab.因为四边形OACB是平行四边形，所以让学生明确向量减法的几何意义．在理解向量减法几何意义的基础上，通过口诀辅助记忆.通过探究让[问题6] 若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？|a+b|＝OC，|ab|＝BA，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.教师7：提出问题6学生6：(1)当向量a,b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)当向量a,b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a,b共线且反向时，后一个等号成立.学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养.巩固法则综合应用例1.(1)在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，则AB→等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－bD．b－a(2)如图所示，O为△ABC内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，求作向量b＋c－a.教师8：展示例题1．学生7：（1）选B，AB→＝CB→－CA→＝－a－b＝－a＋(－b)．学生8：(2)以OB→，OC→为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c，AD→＝OD→－OA→＝b＋c－a.理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．例2.(1)向量MN →可以写成：①MO →＋ON →；②MO →－ON →；③OM →－ON →；④ON →－OM →. 其中正确的是________(填序号).(2)化简：①BA →＋OD →－OA →－BC →；②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).3.向量加减法的应用 例3.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.[课堂练习] 1. 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).教师9：展示例题2．学生9：①MO →＋ON →＝MN →；②MO →－ON →＝－OM →－ON →＝－(OM →＋ON →)≠MN →；③OM →－ON →＝NM →；④ON →－OM →＝MN →， 故填①④.学生10：①BA →＋OD →－OA →－BC →＝(BA →－BC →)＋(OD →－OA →)＝CA →＋AD →＝CD →.②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－OC →＋OB →＝AC →＋CO →＋OB →＋BA →＝AB →＋BA →＝0.教师10：展示例题3．学生11：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .教师11：布置课堂练习1、2．学生12：完成课堂练习，并订正答案．1. (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－明晰概念: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂练习1: 掌握作两个向量的差的基本方法．2.如图所示，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用c ，d 表示EC →.DB →)＝CB →＋BC →＝0.2. (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .课堂练习2: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂小结[问题7] 通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( )A.MP →B.NP →C.0D.MN →2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，教师12：提出问题7． 学生13：思考.学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：1.C 2.B 3.AB →4.2师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习:。

6.2.1 向量的加法运算本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。

本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。

向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。

所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。

A.理解向量加法的意义；B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；C.理解向量的运算律；D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。

1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义；2.教学难点：向量加法的运算律。

多媒体一、复习回顾，温故知新1. 向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 【答案】向量：既有方向又有大小的量。

平行向量：方向相同或相反的向量。

相等向量：方向相同并且长度相等的向量。

2. 用有向线段表示向量，向量的大小和方向 是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？【答案】向量的大小：有向线段的长度。

向量的方向：有向线段的方向。

零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。

二、探索新知思考1：如图，某质点从点A 经过点B 到点C ，则这个质点的位移怎么表示？【答案】 从运算的角度看， AC 可以认为是AB 与BC 的和，即位移、可以看作向量的加法。

1.已知向量a 和b ，如图在平面内任取一点O ，作b AB a OA ==,，则向量OB 叫做a 和b 的和，记作b a +．即OB AB OA b a =+=+。

求两个向量和的运算叫做向量的加法.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．【口诀】首尾相连首尾连。

注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。

数学高中向量的减法教案
教学重点与难点：向量的减法运算规则，向量的减法计算。

教学准备：教材、教具、黑板、粉笔。

教学过程：
一、导入新课（5分钟）
教师向学生简单介绍向量的减法概念，并通过例题引出向量的减法规则。

二、示范与讲解（10分钟）
1. 向量的减法规则：将被减向量取相反向量，再进行加法运算。

2. 用具体的例子进行详细讲解，让学生理解向量的减法运算规则。

三、练习与巩固（15分钟）
1. 让学生做一些简单的向量减法计算练习题，巩固所学的知识。

2. 教师及时纠正学生的错误，指导学生正确解题。

四、课堂小结（5分钟）
通过本节课的学习，让学生总结向量的减法规则，再次强调向量减法的步骤。

五、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，巩固学生的学习成果。

教学反思：
本节课主要围绕向量的减法运算展开，通过示范、讲解、练习等多种方式，让学生掌握向量的减法规则。

在教学过程中，要注意引导学生理解向量减法的意义，避免简单地机械运算，鼓励学生多思考多实践，提高数学思维能力。

（新）人教高中数学A版必修二第六章第2节《平面向量的运算》优质说课稿今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修二的第六章第1节《平面向量的概念》。

向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。

向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.向量是描述直线、曲线，平面、曲面以及高维空间数学同题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。

本章的学习可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义;掌握平面向量的概念、运算、平面向量基本定理;用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题:提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养.第2节主要讲平面向量的运算。

本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从课程标准、教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。

一、说课程标准普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】１．平面向量及其应用。

内容包括：向量运算①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。

②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。

理解两个平面向量共线的含义。

③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。

⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。

⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

二、教材分析。

对于“运算"学生并不陌生，他们已经学习了数的运算、代数式的运算、集合的运算等，针对每一种代数运算无外乎要研究运算的背景、意义、法则、性质、应用等，从而建立相应的运算体系，平面向量运算内容关注了以下两个方面: 一是引导学生从物理、几何、代数三个角度理解向量运算；二是引导学生类比数的运算研究向量的运算.本节在学生已经学习了平面向量概念的基础上，对平面向量这个新获得的数学研究对象，从运算的角度进一步展开研究。

平面向量的加减法运算教学设计以平面向量的加减法运算为主题的教学设计第一节：引入引导学生回顾平面向量的定义和性质，强调向量的表示方法和运算规则。

简要介绍平面向量的加法和减法运算，以及它们的几何意义。

第二节：平面向量的加法运算1.1 向量的加法定义向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

引导学生根据定义进行向量的加法运算。

1.2 加法运算的性质向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。

通过示例和练习题让学生理解和应用这些性质。

1.3 加法运算的几何意义向量的加法可以用平行四边形法则来解释，即将两个向量的起点相连，得到一个新的向量，它的起点和终点分别为原向量的起点和终点。

第三节：平面向量的减法运算2.1 向量的减法定义向量的减法是指将第二个向量取负后与第一个向量进行加法运算。

引导学生根据定义进行向量的减法运算。

2.2 减法运算的性质向量的减法满足减去一个向量等于加上其相反向量，即a-b=a+(-b)。

通过示例和练习题让学生理解和应用这个性质。

2.3 减法运算的几何意义向量的减法可以用平行四边形法则来解释，即将第二个向量的起点与第一个向量的终点相连，得到一个新的向量，它的起点和终点分别为原向量的起点和第二个向量的终点。

第四节：应用练习通过一些实际问题和练习题，让学生应用所学的平面向量的加减法运算解决几何和物理问题。

可以设计一些场景，如力的合成、位移的计算等。

第五节：总结与拓展对平面向量的加减法运算进行总结，强调运算的规则和性质，以及几何意义。

鼓励学生进一步拓展应用平面向量的知识，如向量的数量积和向量的夹角等。

通过以上教学设计，可以帮助学生系统掌握平面向量的加减法运算，理解其几何意义，并能够应用于实际问题的求解。

同时，通过练习和拓展，培养学生的问题解决能力和数学思维。