2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测13含解析

学必求其心得，业必贵于专精

课时跟踪检测(十三)

[高考基础题型得分练]

1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a）2的导数为( )

A．2（x2－a2） B．2(x2＋a2)

C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2）

答案：C

解析：∵f（x)＝（x＋2a)（x－a）2＝x3－3a2x＋2a3，

∴f′（x）＝3(x2－a2)．

2．2016世界机器人大会于10月21日～10月25日在北京举行，现场有一机器人的运动方程为S（t)＝错误!＋t,其中S的单位是米，t的单位是秒，那么该机器人在6秒末的瞬时速度是( )

A．4米/秒 B．6米/秒

C．13米/秒 D．15米/秒

答案：C

解析：因为S(t）＝错误!＋t，所以S′（t)＝错误!＋1，所以S′（6)＝13，即6秒末的瞬时速度为13米/秒,故选C.

3．[2017·山东师大附中月考]曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0，则a＝（ ）

A.错误! B．2 学必求其心得，业必贵于专精

C．ln 2 D．ln12

答案：A

解析：由题知y′＝axln a,y′｜x＝0＝ln a，又切点为（0，1），故切线方程为xln a－y＋1＝0,∴a＝错误!。

4．若f(x）＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝（ ）

A．2 B．0

C．－2 D．－4

答案：D

解析:f′(x)＝2f′(1）＋2x，∴令x＝1,得f′（1）＝－2，∴f′（0)＝2f′(1）＝－4.

5．[2017·河北保定调研］已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ）

A．e B．－e

C.错误! D．－错误!

答案：C

解析：y＝ln x的定义域为(0,＋∞)，且y′＝1x,设切点为(x0，ln x0），则y′｜ x＝x0＝错误!，切线方程为y－ln x0＝错误!（x－x0)，因为切线过学必求其心得，业必贵于专精

点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为错误!.

6．[2017·河南开封一模］已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A（1，3),则n＝( )

A．－1 B．1

C．3 D．4

答案：C

解析:对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，所以k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.

7．［2017·郑州质检]已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x)在x＝3处的切线，令g(x）＝xf（x)，g′（x)是g(x)的导函数,则g′（3)＝（ )

A．－1 B．0

C．2 D．4

答案:B

解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－错误!，学必求其心得，业必贵于专精

∴f′(3)＝－错误!,

∵g（x)＝xf（x），∴g′(x）＝f（x)＋xf′(x)，∴g′（3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f（3）＝1，∴g′（3）＝1＋3×错误!＝0.

8．若点P是函数y＝ex－e－x－3x错误!图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ）

A.错误! B。错误!

C。错误! D。错误!

答案:B

解析：由导数的几何意义,k＝y′＝ex＋e－x－3≥2ex·e－x－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立,即tan α≥－1,α∈[0,π）,又－错误!≤x≤错误!，tan α＝k<0，所以α的最小值是错误!，故选B。

9．已知函数f(x)＝xln x,若f′(x0）＝2，则x0＝________.

答案：e

解析:f′(x）＝ln x＋1，由f′（x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.

10．若直线l与幂函数y＝xn的图象相切于点A（2，8),则直线l的方程为________．

答案：12x－y－16＝0

解析：由题意知,A(2，8)在y＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3,∴y′＝学必求其心得，业必贵于专精

3x2,直线l的斜率k＝3×22＝12，又直线l过点(2,8）,∴y－8＝12（x－2），即直线l的方程为12x－y－16＝0。

11．设函数f(x）＝（x－a）（x－b）（x－c）(a，b,c是两两不等的常数)，则错误!＋错误!＋错误!＝________。

答案:0

解析：∵f(x)＝x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca）x－abc，

∴f′(x）＝3x2－2（a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca，

f′(a）＝（a－b)(a－c),

f′(b)＝(b－a）（b－c)，

f′（c)＝(c－a）（c－b）．

∴错误!＋错误!＋错误!

＝错误!＋错误!＋错误!

＝错误!＝0.

［冲刺名校能力提升练］

1．[2017·河北衡水一调]设a∈R，函数f（x）＝ex－ae－x的导函数为f′(x)，且f′（x)是奇函数,则a＝( ）

A．0 B．1

C．2 D．－1

答案：D 学必求其心得，业必贵于专精

解析：f′(x）＝ex＋ae－x，由f′（x)是奇函数，即f′（x)＝－f′（－x）⇒ex＋ae－x＝－（e－x＋aex)⇒a＝－1,故选D。

2．［2017·湖北七校联考］设曲线y＝错误!sin x(a∈R)上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x）的部分图象可以为( )

A B C D

答案：B

解析:由题意,得g(x)＝错误!cos x，则y＝错误!·x2cos x为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项A,D;显然，x＝0是函数y＝错误!·x2cos x的一个零点,故排除选项C。故选B。

3．［2017·江西上饶模拟]若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为（ ）

A．1 B.2

C.错误! D.错误!

答案：B

解析：因为定义域为（0，＋∞），所以y′＝2x－错误!＝1,解得x＝1,则在P(1，1）处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离学必求其心得，业必贵于专精

为d＝错误!＝错误!.

4．已知函数f(x)＝错误!，g（x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求切线方程．

解:f′(x)＝错误!,g′（x）＝错误!(x＞0),

由已知得错误! 解得错误!

∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2）＝错误!，∴切线的方程为y－e＝错误!（x－e2)，即y＝错误!x＋错误!。

5．已知函数f（x）＝x3－4x2＋5x－4。

（1)求曲线f（x）在点(2，f（2)）处的切线方程;

(2）求经过点A（2，－2）的曲线f(x)的切线方程．

解：（1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，

∴f′(2）＝1,又f（2）＝－2，

∴曲线f（x)在点（2，f(2))处的切线方程为

y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.

（2）设切点坐标为（x0,x错误!－4x错误!＋5x0－4)，

∵f′（x0)＝3x2，0－8x0＋5，

∴切线方程为y－(－2)＝（3x2，0－8x0＋5）（x－2)，

又切线过点(x0，x错误!－4x错误!＋5x0－4),

∴x30－4x错误!＋5x0－2＝(3x错误!－8x0＋5)(x0－2）， 学必求其心得，业必贵于专精

整理得（x0－2）2(x0－1)＝0，

解得x0＝2或x0＝1，

∴经过A（2,－2）的曲线f（x）的切线方程为

x－y－4＝0或y＋2＝0.

6．设函数f(x)＝ax－错误!，曲线y＝f（x）在点（2，f（2）)处的切线方程为7x－4y－12＝0.

（1)求f(x）的解析式;

(2)求证曲线f(x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值,并求此定值．

解:（1）方程7x－4y－12＝0可化为y＝错误!x－3，

当x＝2时，y＝错误!.又f′(x)＝a＋错误!，

于是错误!解得错误!

故f（x）＝x－错误!。

（2)设P(x0，y0)为曲线上任一点,

由y′＝1＋错误!知，曲线在点P(x0，y0）处的切线方程为y－y0＝错误!（x－x0)，

即y－错误!＝错误!(x－x0)．

令x＝0，得y＝－错误!，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为学必求其心得，业必贵于专精

错误!。令y＝x，得y＝x＝2x0,从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0，2x0）．

所以点P（x0,y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝错误!错误!|2x0|＝6.

故曲线y＝f（x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.