数学分析第一学期模拟试卷及解析2
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第1学期模拟试卷1
一、填空题（15分, 每小题3分）
1..... .
2.用 语言叙述 的定.:
3.数集 的上确界... .下确界.....
4．设 , 则n阶导数 .
5. 定积分 .
二、选择题（15分, 每小题3分）
1.设.则当 . .....
（A）()fx与()gx为等价无穷小；（B）()fx与()gx为同阶无穷小但不等价； （C）()fx是()gx的高阶无穷小；（D）()fx.是()gx的低阶无穷小；
2..当 . 不以 为极限的定义是...)
（A）;0, 0, , ().MxMfxa;
（B）000, 0, , ().MxMfxa;
（C）00000, 0, , ().MxMfxa;
（D） .
3. 数集 的所有聚点的集合是 ( )
（A）A ； （B） [1,0.1 ] 0 [ 0.1 ,1 ]；
（C） [1,0.1 ] [ 0.1 ,1 ] ；（D） (1,0.1) ( 0.1 ,1 )；
4.设 在 处二阶可导, . .则...).
（A）0x是)(xf的极小值点； （B）0x是)(xf的极大值点；
（C）.为曲线 的拐点. （D）.以上都不是。
5.设 是周期为 的连续函数，则下列函数为周期函数的是...).
（A）0()()xFxftdt; （B）0()()xTFxftdt;
( C ) 0()()xFxftTdt; （D）()()xTxFxftdt.
三、求极限（12分, 每小题6分）
1.... 2.
四、求不定积分（12分, 每小题6分）
1. 2. .
五、计算定积分（12分, 每小题6分） 1.201sin2 xdx 2.12201xxdx
六、（8 分）设 是 的一个原函数, 求
七、（10分）设曲线 2yx(01)x 和直线 1 , 0yx 围成平面图形D。
( 1 ) 求D的面积； ( 2 )求D绕x轴旋转而成的旋转体的体积;
...求 绕直..旋转而成的旋转体的体积.
八、（8分）设 在 上二阶可导,
求证: 使 .
九、（8分）.利用确界存在定理证明闭区间套定理.
设 为闭区间套, 则 必存在唯一的公共点。
第1学期模拟试卷1答案
一、填空题（15分, 每小题3分）
1.
2.用 语言叙述 的定.:
0, 0, , ()LMxMfxL
3.数集 的上确界...下确界是
4．设 , 则n阶导数 .
5. 定积分
二、选择题（15分, 每小题3分）
1...2.. . 3. ..4. ..5. ..
三、求极限（12分, 每小题6分）
1.11lim()1lnxxxx
=1111ln1ln11lnln11limlimlimlim1(1)lnln1ln22ln(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
2. =
四、求不定积分（12分, 每小题6分）
1.
243521(12coscos)(cos)coscoscos35xxdxxxxC
2. .=
2221111ln(1)(1)ln(1)ln(1)22124xxxxdxxxxxCx
五、计算定积分（12分, 每小题6分）
1.
224200041sin2 cossin(cossin)(sincos)2(21)xdxxxdxxxdxxxdx2.12201xxdx.(sinxt) 2222200011sincoscossin2(1cos4)48tttdttdttdt
=2011sin8416tt
六、（8 分）设 是 的一个原函数, 求
解1
2()1sinsin2 , fxxx
解2 2()1sinsin2 , 2 , 2ddfxxxxtxt
42200011 (2) () ()44xfxdxtftdttdft220011()()44tftftdt
22200011111sin2sin2cos2(coscos0)44884tttdtt
七、（10分）设曲线 2yx(01)x 和直线 1 , 0yx 围成平面图形D。
( 1 ) 求D的面积； ( 2 )求D绕x轴旋转而成的旋转体的体积;
...求 绕直..旋转而成的旋转体的体积.
解 1312002(1)133xAxdx
122014()55xVxdx
21112000(1),
5(1)(12)6dVdyydyVdyydyyydy
另解 平移坐标 1,,xuyv 曲线方程为 2(1),1,vuuv
112005(1)(12)6Vvdvvvdv
八、（8分）设 在 上二阶可导,
求证: 使 .
证1 令2()(),Fxfxxx 则 ()0,1(0,1),FxCD (0)(1)FF 444000444400004011 (2) (2) (2) (2)221111(2)(2)sin4sin42222111cos4(coscos0)884xfxdxxfxdxxdfxxfxfxdxxxxdxx 由洛尔定理知 (0,1), ()0F
()()21Fxfxx, ()0,1(0,1)FxCD, (1)(1)10()FfF
由洛尔定理知 (0,1), ()0, ()()2, ()2FFxfxf
证2 令2()(),Fxfxx ()0,1(0,1),FxCD 由拉格朗日定理知
(0,1), ()()(10)(1)(0)1,FFFF
()0,1(0,1),FxCD (1)(1)21(),FfF
由洛尔定理知 (0,1), ()0, ()()2, ()2FFxfxf
证3 在1x展开为一阶泰勒公式
2111()(1)(1)(1)()(1), (,1)2fxffxfxx
1(0)(1)(1)(), (0,1)2ffff
因(0)(1) , (1)1,fff 故 (0,1), ()2 f
证4 令 21()()()2Fxfxx, 用两次洛尔定理。
证5 令 2()()()Fxxfxxfx, 用一次洛尔定理。
九、（8分）.利用确界存在定理证明闭区间套定理.
设 为闭区间套, 则 必存在唯一的公共点。
证 (存在性) 因,nnab为闭区间套,故1221nnaaabbb
因 有上界 , 故由确界存在定理知 必有上确界, 设它为 ;
则由上确界定义有 因 都是 的上界, 而 是的最小上界, 故 ; 因此,
, 从而有
(惟一性) 若另 1,.nnnab, 则0nnba, 因 lim()0nnnba
故, 从而有 1,.nnnab
