2017年高考真题——数学(上海卷) Word版含答案

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）1、考生注意2、1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.3、2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.4、3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.5、4.用2B 铅笔作答选择题目，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题目.一.填空题目（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知集合{1,2,3,4}A ，集合{3,4,5}B ，则A B ∩2.若排列数6654m P ，则m3.不等式11x x 的解集为4.已知球的体积为36 ，则该球主视图的面积等于5.已知复数z 满足30z z，则||z6.设双曲线22219x y b(0)b 的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF ，则2||PF7.如图，以长方体1111ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC的坐标为8.定义在(0,) 上的函数()y f x 的反函数为1()y f x ，若31,0()(),0x x g x f x x为奇函数，则1()2f x 的解为9.已知四个函数：①y x ；②1y x；③3y x ；④12y x .从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10.已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n ，*n N ，{}n b的项是互不相等的正整数，若对于任意*n N ，{}n b 的第na 项等于{}n a 的第nb 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b11.设1a 、2a R ，且121122sin 2sin(2) ，则12|10| 的最小值等于12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P ，点P ，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧.用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“”的点到P l 的距离之和.若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l ，则 中所有这样的P 为二.选择题目（本大题共4题，每题5分，共20分）13.关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y的系数行列式D 为（）A.0543 B.1024 C.1523 D.605414.在数列{}n a 中，1(2nn a ，*n N ，则lim n n a （）A.等于12B.等于0C.等于12D.不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c ，*n N ，则“存在*k N ，使得100kx 、200kx 、300kx 成等差数列”的一个必要条件是（）A.0aB.0b C.0c D.20a b c 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C 和222:19y C x .P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ的最大值.记{(,)|P Q P 在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w，则 中元素个数为（）A.2个B.4个C.8个D.无穷个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，直三棱柱111ABC A B C 的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C 的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18.已知函数221()cos sin 2f x x x，(0,)x .（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A所对边a ，角B 所对边5b ，若()0f A ，求△ABC 的面积.19.根据预测，某地第n *()n N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n，5n b n ，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n （单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y ，A 为 的上顶点，P 为 上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P在第一象限，且||OP ，求P的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP ，直线AQ 与 交于另一点C ，且2AQ AC ，4PQ PM ，求直线AQ 的方程.21.设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x R ，当12x x 时，都有12()()f x f x .（1）若3()1f x ax ，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值.函数()()()h x f x g x .证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题目，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题目.一、填空题目（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合1,2,3,4,3,4,5A B ,则A B ∩.【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题【答案】3,42.若排列数6P 654m ,则m .【解析】本题考查排列的计算，属于基础题【答案】33.不等式11x x 的解集为.【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题【答案】,0 4.已知球的体积为36 ，则该球主视图的面积等于.【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，343633R R ,所以29S R ，属于基础题【答案】95.已知复数z 满足30z z，则z .【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模，2303z z z设z a bi ，则22230,a b abi a b,z【答案】6.设双曲线 222109x y b b 的焦点为12F F 、,P为该双曲线上的一点.若15PF ,则2PF.【解析】本题考查双曲线的定义和性质，1226PF PF a （舍），2122611PF PF a PF 【答案】117.如图，以长方体1111ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为(4,3,2),则1AC的坐标是.【解析】本题考查空间向量，可得11(400)(03,2)(432)A C AC，，，，，，,属于基础题【答案】(432) ，，8.定义在(0,) 上的函数()y f x 的反函数-1()y f x .若31,0,()(),0x x g x f x x 为奇函数，则-1()=2f x 的解为.【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题10,0,()31()()13x x x x g x g x g x,所以1()13x f x,当2x 时，8()9f x,所以18(29f【答案】9x9.已知四个函数：①y x ；②1y x；③3y x ；④12y x .从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题总的情况有：42C 6种，符合题意的就两种：①和③，①和④【答案】1310.已知数列na 和 nb ,其中2,N na n n ， nb 的项是互不相等的正整数.若对于任意N n n b ，中的第n a 项等于 n a 中的第n b 项，则149161234lg lg b b b b b b b b.【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得：222222114293164(),,,n n a b n n b a b b b b b b b b b b ，所以214916123412341234lg lg =2lg lg b b b b b b b b b b b b b b b b 【答案】211.设12R ，,且121122sin 2sin(2) ，则1210 的最小值等于.【解析】考查三角函数的性质和值域，121111,1,12sin 32sin(2)3，，要使121122sin 2sin(2) ，则111122221=122sin 2,,1=12sin(2)4k k k Z k1212min min31010(2)44k k,当122=11k k 时成立【答案】412.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1234,,,P P P P 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合1234=,,,P P P P ，点P .过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“▲”的点分布在P l 的两侧.用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“▲”的点到P l 的距离之和.若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()=()P P D l D l ，则 中所有这样的P 为.【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。

2017年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B=．2．复数所对应的点在复平面内位于第象限．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=．4．若方程组无解，则实数a=．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有个．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；）都在函数y=f（x）的（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．2017年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B={2，3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】解关于B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}={x|1＜x＜5}，则A∩B={2，3，4}；故答案为：{2，3，4}．2．复数所对应的点在复平面内位于第四象限．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i所对应的点在复平面内位于第四象限．故答案为：四．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=4．【考点】6F：极限及其运算；85：等差数列的前n项和．【分析】由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，即可求极限．【解答】解：由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，∴==4，故答案为：4．4．若方程组无解，则实数a=±2．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意，若方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，则有a×a=2×2，且a×2≠2×3，即a2=4，a≠3，解可得a=±2，故答案为：±2．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=1．【考点】DB：二项式系数的性质．=x r a7﹣r，令r=6，则=7，【分析】（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1解得a．=x r a7﹣r，【解答】解：（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1令r=6，则=7，解得a=1．故答案为：1．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=±ax，结合题意中渐近线方程可得a=2，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±ax，又有其渐近线方程是y=±2x，则有a=2；故答案为：2．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，即可利用二倍角的正弦函数公式化简求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=3，c=4，∴cosA==，可得：sinA==，cosB==，sinB==，∴===．故答案为：．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是[0，5] ．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，可得结论．【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，∴d的取值范围[0，5]，故答案为[0，5]．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=4．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的图象，由题意可得y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，方程f（x）=b有四个不同的实数解，等价为y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2=0，x3+x4=4，则x1+x2+x3+x4=4．故答案为：4．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等．根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．利用体积法，求其高，即可得主视图的高．可得主视图的面积【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB，SBC，SAC）且边长相等为，其体积为V==根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．其面积为：．设主视图的高OS=h，则=．∴h=．主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．∴得面积S=．故答案为11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0），M（，），（0＜θ＜），由已知可得，则λ+2μ=，即可求解．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0）M（，）（0＜θ＜），∵，∴（．∴，则λ+2μ=，∴当θ=时，λ+2μ最大值为，故答案为：12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有91个．【考点】8E：数列的求和．【分析】根据数列递推公式可得a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，分类讨论即可求出答案．【解答】解：a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，若S10≠S9，则有A102=10×9=90种，若S10=S9，则有a10=0，根据分类计数原理可得，共有90+1=91种，故答案为：91二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】先判断奇偶性和单调性，先由单调性定义由自变量的关系得到函数关系，然后三式相加得解．【解答】解：函数，f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（x）是增函数，∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3x3＞﹣x1，∴f（x1）＞f（﹣x2，f（x2）＞f（﹣x3），f（x3）＞f（﹣x1）∴f（x1）+f（x2）＞0，f（x2）+f（x3）＞0，f（x3）+f（x1）＞0，三式相加得：f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，故选：B．16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据点M（a，b）与点N（1，0）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，可以画出点M（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论．【解答】解：∵点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a﹣4b+5＜0，故①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x﹣4y+5=0的距离为d，则d=，则a2+b2＞4，故③错误；当a＞0且a≠1时，表示点M（a，b）与P（1，﹣1）连线的斜率．∵当a=0，b=时，=，又直线3x﹣4y+5=0的斜率为，故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点建立空间坐标系，求出，的坐标，利用向量的夹角公式得出AD，EF的夹角；，代入体积公式计算．（2）证明AE⊥平面DEF，求出AE和S△DEF【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．依题意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F（0，4，2），所以．设异面直线AD、EF所成角为α，则==，所以，即异面直线AD、EF所成角的大小为．（2）∵AB=AC=4，AB⊥AC，∴，，DE=AA1=4，==4，∴S△DEF由E为线段BC的中点，且AB=AC，∴AE⊥BC，又BB1⊥面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥面BB1C1C，∴，∴三棱锥D﹣AEF的体积为．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】（1）利用奇函数的定义，结合x∈（0，）时，f（x）=，求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）分类讨论，利用函数的解析式，可得结论．【解答】解：（1）设，则，∵f（x）是奇函数，则有…∴f（x）=…（2）设，令t=tanx，则t＞0，而．∵1+t＞1，得，从而，∴y=f（x）在的取值范围是0＜y＜1．…又设，则，由此函数是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），0＜f（﹣x）＜1，从而﹣1＜f（x）＜0．…综上所述，y=f（x）的值域为（﹣1，1），所以m的取值范围是（﹣1，1）．…19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据求和公式列方程求出q，代入通项公式即可；（2）对a进行讨论，判断{b n}的单调性和首项的符号，从而得出T n的最值．【解答】解：（1）∵，∵q≠1，∴．整理得q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍去）．∴．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2．1）当a＞1时，有log a2＞0，数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴{b n}是递增数列，∴T n没有最大值．由b n≤0，得n≤5．所以（T n）min=T4=T5=﹣10log a2．2）当0＜a＜1时，有log a2＜0，数列{b n}是以log a2为公差的等差数列，∴{b n}是首项为正的递减等差数列．∴T n没有最小值．令b n≥0，得n≤5，（T n）max=T4=T5=﹣10log a2．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由，代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N 的轨迹方程；（2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得的取值范围；（3）求得椭圆方程，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得3+4k2=2m2，弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得△OAB的面积，直线l的斜率不存在时，设方程为x=m，代入椭圆方程，即可求得△OAB的面积．【解答】解：（1）设N（x，y）由题意，则，又，∴，从而得x2+y2=1…（2）由，得a=2．又，得．…∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，•=（x，y0）（，）=+=x02+，由于，的取值范围是[，2]（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；有①…由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；整理得：②将①式代入②式得：3+4k2=2m2，…3+4k2＞0，则m2＞0，△=48m2＞0，又点O到直线y=kx+m的距离，丨AB丨==×=×，∴…2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得，解得m2=2，从而，=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，S△OAB综上：△OAB的面积是定值．…21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n）都在函数y=f（x）的+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．【考点】H2：正弦函数的图象；3O：函数的图象．【分析】（1）根据复合函数的性质，由内往外计算可得答案．）都在函数y=f（x）的图象上，带入，化简，不难发现函（2）根据点（x n，x n+1数y是周期函数，即可求解x1+x2+…+x4n的值．（3）根据表中的数据，带入计算即可求解函数的解析式．【解答】解：（1）根据表中的数据：f{f[f（0）]}=f（f（3））=f（﹣1）=2．）都在函数y=f（x）的图象上，（2）由题意，x1=2，点（x n，x n+1=f（x n）即x n+1∴x2=f（x1）=f（2）=0，x3=f（x2）=3，x4=f（x3）=﹣1，x5=f（x4）=2∴x5=x1，∴函数y是周期为4的函数，故得：x1+x2+…+x4n=4n．（3）由题意得由（1）﹣（2）∴sin（ω+φ）=sin（﹣ω+φ）∴sinωcosφ=0．又∵0＜ω＜π∴sinω≠0．∴cosφ=0而0＜φ＜π∴从而有．∴2A2﹣4A+2﹣2A2+3A=0．∴A=2．b=1，∵0＜ω＜π，∴．∴．此函数的最小正周期T==6，f（6）=f（0）=3∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=6，∴①当n=2k（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]=6k=3n．②当n=2k﹣1（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）﹣f（6k﹣2）﹣f（6k﹣1）﹣f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]﹣5=6k﹣5=3n ﹣2．2017年5月22日。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知()23tantan 1,sin 3sin 222ααβαβ+==+，则()tan αβ+=2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y 相距最近的两个交点间距离为6π，则x y ωsin 2=的最小正周期为 ． 3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_____▲____．5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ．7. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若将函数)4sin(πω+=x y 的图象向左平移6π个单位长度后，与函数)4cos(πω+=x y 的图象重合，则正数ω的最小值为_____________.8. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ．9. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为 ． 12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】如图，在平面四边形ABCD 中，若090,2,2,1=∠===ACD DC AD BC AB ，则对角线BD 的最大值为 ．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】将函数3cos sin y x x x的图像向左平移0m m个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知sin 2cos αα+=，那么tan2α的值为_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ．16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）在ABC △中，角CB A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若 60=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若2cos 3C=，求sin()A B -的值． 2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）如图，290,,3OC km AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4πθ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若()f C =a =1c =，求b的值.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且(cos ,sin ),(cos ,sin ),cos2,sin sin 3sin sin A A B B C A B A B =-=⋅=+=m n m n ，（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若3c =，求ABC ∆的面积．5. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，等边三角形OAB 的边O C DEAB长为4km.现在线段OB 上取一点D （不含线段OB 端点）建发电站向,A B 两点供电．如果线段DB 上每公里建设费用为a 万元（a 为正常数），线段AD 上每公里建设费用为3a 万元，设ADO θ∠=，建设总费用为S 万元.(Ⅰ) 写出S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （Ⅱ）AD 等于多少时，可使建设总费用S 最少？6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）已知角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点 且2tan()5αβ+=. （1）求sin(2)6πα+的值，（2）求tan(2)3πβ-的值.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积是30，内角C B A ,,所对边长分别是c b a ,,，且144-=⋅AC AB ． （1）求A cos 的值；（2）若4=-b c ，求a 的值．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分） 已知函数2()sin(2)cos 6f x x x π=+-．(1)求()f x 的最小正周期及2[,]123x ππ∈时()f x 的值域；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为c b a ,,，其中角C 满足423)4(-=+πC f ，若ABC S ∆，2=c ，，求)(,b a b a >的值．10. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】（本小题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.11. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值.12. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分14分）在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 13. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】(本小题满分14分)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+． ⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状．14. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）若A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos ,cos 1)22A A m =-，向量(1,cos 1)2An =+，且21m n ⋅=-．（1）求A 的值；（2）若a =S =b c +的值．15. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分14分)已知函数2()2sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足()26A f π-=sin sin B C +=，求bc 的值． 16. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知A C B cos 1)cos(-=-，且c a b ,,成等比数列.（1）求C B sin sin ⋅之值； （2）求角A 的大小； （3）求C B tan tan +的值。

2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为 。

2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。

（结果用数值表示）4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。

5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。

7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示） 10.设等比数列{}的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。

若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________ 12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2 （B ）2此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号（C）2（D）414.已知a R∈，则“1a﹥”是“1a1﹤”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A）4（B）8（C）12（D）16定16.设D是含数1的有限实数集，f x（）是义在D上的函数，若f x（）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f（）的可能取值只能是（）（A（B（C（D）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R∈，函数f x（）22?asin x cos x=+（1）若f x（）为偶函数，求a的值；（2）若4fπ〔〕1=，求方程1f x=（）ππ-［，］上的解。

上海市2017年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】{3,4}解析：利用交集定义直接求解。

【考点】交集的求法。

2.【答案】3m =解析：36654P =⨯⨯，故3m =.【考点】实数值的求法。

3.【答案】(,0)-∞【解析】由11x x -＞得：11110x x x ->⇒⇒＜0＜。

【考点】解分式不等式4.【答案】9π【解析】代解：球的体积为36π，设球的半径为R ，可得34π36π3R =，可得3R =，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为2π9πR =．故答案为：9π．【考点】球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法。

5.【解析】设i(,)z a b a b =+∈R ，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．【考点】复数代数形式的乘除运算。

6.【答案】11【解析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得12||||||6PF PF -=，解可得2||PF 的值，即可得答案．【考点】双曲线的几何性质。

7.【答案】(4,3,2)-【解析】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵1DB 的坐标为(4,3,2)，∴(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，∴1(4,3,2)AC =-.故答案为：(4,3,2)-．【考点】空间向量的坐标的求法。

8.【答案】89【解析】由奇函数的定义，当0x ＞时，0x -＜，代入已知解析式，即可得到所求0x ＞的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值.【考点】函数的奇偶性和运用。

9.【答案】13【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数246n C ==，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率.【考点】概率的求法。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ． 90πB ．63πC ．42πD ．36π5.设，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．D ．6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A 3B 15C 10D 311.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e -- C.35e - D.1 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年上海市秋考高考数学试卷(精校Word版含答案)题目一题目描述请计算下列方程的解：$$2x - 5 = 10$$解答将方程两边加上5，得到$$2x = 15$$。

再将方程两边除以2，得到$$x = 7.5$$。

题目二题目描述已知函数$$f(x) = 3x^2 + 4x - 1$$，求函数的极值点和极值。

解答首先，求导函数$$f'(x)$$，得到$$f'(x) = 6x + 4$$。

令$$f'(x) = 0$$，解得$$x = -\frac{2}{3}$$。

将$$x = -\frac{2}{3}$$代入原函数$$f(x)$$，得到$$f\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{23}{3}$$。

因此，函数$$f(x)$$的极值点为$$x = -\frac{2}{3}$$，极值为$$-\frac{23}{3}$$。

题目三题目描述已知等差数列的前5项和为20，公差为3，求这个等差数列的前10项和。

解答设等差数列的首项为$$a$$，公差为$$d$$，则等差数列的前5项和为$$S_5 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d]$$。

代入已知条件得到$$20 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)3]$$。

解得$$a = -\frac{13}{5}$$。

等差数列的前10项和为$$S_{10} = \frac{10}{2}[2a + (10-1)d] = \frac{10}{2}[2\left(-\frac{13}{5}\right) + (10-1)3]$$。

计算得到$$S_{10} = 155$$。

题目四题目描述已知函数$$f(x) = \frac{1}{x}$$，求函数的反函数。

解答反函数即为将$$f(x)$$中的$$x$$和$$f(x)$$互换得到的函数。

因此，函数$$f(x)$$的反函数为$$f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$$。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B ∩中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B ∩中元素的即可.【详解】由题意，A B ∩中的元素满足8y xx y ，且*,x y N ，由82x y x ，得4x ，所以满足8x y 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B ∩中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i的虚部是（）A.310B.110C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i ，所以复数113z i 的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p pB.14230.4,0.1p p p pC.14230.2,0.3p p p pD.14230.3,0.2p p p p 【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为 140.1230.4 2.5A x ，方差为 222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s ；对于B 选项，该组数据的平均数为 140.4230.1 2.5B x ，方差为 222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s ；对于C 选项，该组数据的平均数为 140.2230.3 2.5C x ，方差为 222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s ；对于D 选项，该组数据的平均数为 140.3230.2 2.5D x ，方差为 222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s .因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合 0.95I tK求得t即可得解.【详解】0.23531t KI t e∵，所以0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B 【解析】【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4COx COx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,C D 两点，且OD OE ，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （）A.3135B.1935C.1735 D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出a ab 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b的值.【详解】5a ∵，6b ，6a b，225619a a b a a b .7a b，因此，1919cos ,5735a a b a a b a a b.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A.19B.13C.12 D.23【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC，即可求得答案.【详解】∵在ABC 中，2cos 3C，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C2224322433AB可得29AB ，即3AB 由∵22299161cos 22339AB BC AC B AB BC故1cos 9B .故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B. C.6+2 D.【答案】C 【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin 60222ADB S AB AD△该几何体的表面积是：632 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A.–2 B.–1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74∵，tan 12tan 71tan，令tan ,1t t ，则1271tt t，整理得2440t t ，解得2t ，即tan 2 .故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l 与曲线y =和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y上的切点为 0x ，则00x ，函数y的导数为y，则直线l的斜率k，设直线l的方程为 0y x x，即00x x ，由于直线l 与圆2215x y，两边平方并整理得2005410x x ，解得01x ，015x（舍），则直线l 的方程为210x y ，即1122y x .故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（）A.1B.2C.4D.8【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】ca∵，c ，根据双曲线的定义可得122PF PF a ，12121||42PF F PF F S P△，即12||8PF PF ，12F P F P ∵， 22212||2PF PF c ，22121224PF PF PF PF c ，即22540a a ，解得1a ，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【解析】【分析】由题意可得a 、b 、 0,1c ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b ，得85b ，结合5458 可得出45b，由13log 8c ，得138c ，结合45138 ，可得出45c，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a、b、0,1c ，222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b，a b ；由8log 5b ，得85b ，由5458 ，得5488b ，54b ，可得45b；由13log 8c ，得138c ，由45138 ，得451313c ，54c ，可得45c .综上所述，a b c .故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy ，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y ，当322x zy 经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x，得12x y ，(1,2)A ，所以max 31227z 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】写出622x x二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】∵622x x其二项式展开通项：62612rrrr C xx T1226(2)r r r r x C x 1236(2)r r rC x 当1230r ，解得4r 622x x的展开式中常数项是：664422161516240C C .故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握na b 的展开通项公式1C r n r r r n T ab ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM，故122S△A BC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r解得：2r =，其体积：3433V r .故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x 可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66f f，所以，函数 f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f x 的定义域为,x x k k Z ，定义域关于原点对称， 111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x∵，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x，则22f x f x，所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x 时，sin 0x ，则 1sin 02sin f x x x，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a ，37a ，21n a n ，证明见解析；（2）1(21)22n n S n .【解析】【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出 n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a ，32381587a a ，由数列 n a 的前三项可猜想数列 n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n ，证明如下：当1n 时，13a 成立；假设n k 时，21k a k 成立.那么1n k 时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k 也成立.则对任意的*n N ，都有21n a n 成立；（2）由（1）可知，2(21)2nnn a n 231325272(21)2(21)2n n n S n n ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n ，②由① ②得：23162222(21)2nn n S n 21121262(21)212n n n1(12)22n n ，即1(21)22n n S n .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43 100，等级为2的概率为510120.27100，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100（3）22 列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228221003383722 5.820 3.84155457030K ，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz ，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A 的余弦值，进而可求得二面角1A EF A 的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D 中，//AD BC 且AD BC ，11//BB CC 且11BB CC ，112C G CG ∵，12BF FB ，112233CG CC BB BF 且CG BF ，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG ，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG 且1C E DG ，1//C E AF 且1C E AF ，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz ，则 2,1,3A 、 12,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ，0,1,1AE ， 2,0,2AF ， 10,1,2A E ， 12,0,1A F，设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z，由0m AE m AF，得11110220y z x z 取11z ，得111x y ，则 1,1,1m ，设平面1A EF 的法向量为 222,,n x y z，由110n A E n A F，得22222020y z x z ，取22z ，得21x ，24y ，则 1,4,2n，cos ,7m n m n m n，设二面角1A EF A 的平面角为，则cos 7，sin 7.因此，二面角1A EF A的正弦值为7.【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m 的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）∵222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率154c e a ，解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y ，即221612525x y ；（2）∵点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又∵90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ △△，∵221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时，故532MB ，∵PMB BNQ △△，||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d，根据两点间距离公式可得：AQ，APQ面积为：15252；②当P 点(3,1) 时，故5+38MB ，∵PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522 ，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b ；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1(02f ，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()(422f x x x x ，易知()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,)2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c ，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b ，由题意，'1()02f ，即21302b 则34b；（2）由（1）可得33()4f x x x c ，'2311()33()422f x x x x ，令'()0f x ，得12x 或21x ；令'()0f x ，得1122x ，所以()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(,(),(1)424244f c f c f c f c ，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f 或(1)0f ，即14c 或14c .当14c 时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1) 上存在唯一一个零点，在(1,) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c 时，111111(1)0,(0,(0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x (1,) 上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)BAB；（2）由（1）可知12030(4)AB k ，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bc bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ∵，22212ab bc ca a b c .,,a b c ∵均不为0，则2220a b c ， 222120ab bc ca a b c；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ∵， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c 时，取等号，a ，即max{,,}abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年江苏，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =,则实数a 的值为_______．【答案】1【解析】∵集合}2{1A =，,23{},B a a =+．{}1A B =，∴1a =或231a +=,解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．（2）【2017年江苏，2,5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴()221310z =-+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年江苏，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400，300，100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=，则应从丙 种型号的产品中抽取630018100⨯=件．【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．(4）【2017年江苏，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为116，则输出y 的值是_______．【答案】2-【解析】初始值116x =,不满足1x ≥，所以41216222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累，属于基础题．（5)【2017年江苏，5，5分】若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则tan α=_______．【答案】75【解析】tan tantan 114tan 4tan 161tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年江苏，6,5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ，则12VV 的值是________．【答案】32【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：343R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ⋅=．则313223423V R R V ππ==．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．(7）【2017年江苏，7,5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．【答案】59【解析】由260x x +-≥得260x x --≤，得23x -≤≤，则2[]3D =-，，则在区间[45]-，上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率()()325549P --==--． 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D ，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．（8）【2017年江苏,8，5分】在平面直角坐标系xoy 中 ，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______． 【答案】23【解析】双曲线2213x y -=的右准线:32x =，双曲线渐近线方程为：33y x =，所以33,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,33,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ()12,0F -．()22,0F ．则四边形12F PF Q 的面积是：143232⨯⨯=．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．（9)【2017年江苏，9，5分】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =,则8a =________． 【答案】32【解析】设等比数列{}n a 的公比为1q ≠,∵374S =，6634S =，∴()311714a q q -=-，()6116314a q q -=-， 解得114a =,2q =．则7812324a =⨯=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （10）【2017年江苏，10,5分】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是________． 【答案】30【解析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=6009006442240x x x x⨯+≥⨯⨯⋅=（万元）． 当且仅当30x =时取等号．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．（11）【2017年江苏，11，5分】已知函数()312x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2120f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()312x xf x x x e e =-+-的导数为：()21132220x xxx f x x e e e e '=-++≥-+⋅=，可得()f x 在R 上 递增;又()()()331220x x x x f x f x x x e e x x e e--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则()()2120f a f a -+≤，即有()()()2211f a f a f a ≤--=-，即有221a a ≤-，解得112a -≤≤．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．（12）【2017年江苏，12，5分】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC ，的模分别为1，1,2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则AB = ．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．（4．（5．（6．（7．（8．（9．（210．于点Q ，11．21F P …，则12．1][4t +，9]t +A ，则t 的二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设t的单调性，20．（16义：(d（1）当P（2（3）P121．（18}*N．（1）若a1（2）若a1（3一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合{1B=，5，6}，则A B={3，5}．A=，2，3，4，5}，{3【解答】解：集合{1A=，2，3，4，5}，B=，5，6}，{3∴=，5}．{3A B故答案为：{3，5}．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【解答】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ． 【解答】4．（4【解答】故答案为5．（4 【解答】||||z z ∴==6．（4【解答】∴可对①故答案为：2-． 7．（5分）在6(x 的展开式中，常数项等于 15 ．【解答】解：6(x 展开式的通项为36216r r r T C x-+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15．8．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB【解答】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cos 4C =， ∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：9．（52【解答】10．（5于点Q ，当|AQ 【解答】|||AQ +当且仅当11．（521F P …，则为 1[arccos3π-，]π ．【解答】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(，0)，0)，121F P F P …，2221x y ∴-+…，结合22142x y +=可得：2[1y ∈，2]故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++，1]3-故1[arccos 3θπ∈-，]π12．（51][4t +，9]t +A ，则t 的，1]t +时，则当[a ∈即当a 当a t =(t t ∴+当1t +当[a ∈即当a 即当a (t t ∴+当90t +<时，同理可得无解． 综上，t 的值为1或3-． 故答案为：1或3-．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【解答】解：A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B，y =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错． 故选：B ．14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A C 【解答】∴ “2a >”是“||a >故选：C 15．（5、b 、c 不A 【解答】如图2如图3故选：B 16．（5，且满足1lny +A 【解答】同理可得22212y a =-， 又因为120lny lny +=， 所以121y y =， 则12(12)(12)1a a --=，即12122a a a a =+， 则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A ．17．（（1（2则∠MN 所成角，在∆2PA PC ==可得AC AC ∴3arccos4； （2连接PO ∴=∴P V -18．（（1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．【解答】解：（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=， 2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+；（2）3(1)1n n q S q-=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为(1-，0)(0⋃，3)4．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的单调性，【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2） 6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>， 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增，令6.44200.1136357876.60531200001te->+，解得50.68t >， ∴当51t …时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系． 【解答】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8(1,P --，k |212m m +-=则存在常数a ，使得=2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->，则132()()2()d P d P d P +>．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．【解答】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，集合{S =0． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}π=，②1a ，OC ，此时23d π=综上，d （3②当4T =等差数列当1k =③当5T =(0，]π，故1k =，当1k =10}10④当6T =时，6n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3．当1k =时，S =，满足题意． ⑤当7T =时，7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7m n -=，7m >，不符合条件．当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件．当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，T。

2017年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分) 1.(4分)已知集合A ＝{1,2,3,4},集合B ＝{3,4,5},则A ∩B ＝ . 2.(4分)若排列数＝6×5×4,则m ＝ .3.(4分)不等式＞1的解集为 .4.(4分)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于 .5.(4分)已知复数z 满足z ＋＝0,则|z|＝ .6.(4分)设双曲线－＝1(b ＞0)的焦点为F 1、F 2,P 为该双曲线上的一点,若|PF 1|＝5,则|PF 2|＝ .7.(5分)如图,以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标是 .8.(5分)定义在(0,＋∞)上的函数y ＝f(x)的反函数为y ＝f －1(x),若g(x)＝为奇函数,则f －1(x)＝2的解为 .9.(5分)已知四个函数：①y ＝－x,②y ＝－,③y ＝x 3,④y ＝x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .10.(5分)已知数列{a n }和{b n },其中a n ＝n 2,n ∈N *,{b n }的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N *,{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项,则＝ .11.(5分)设a 1、a 2∈R,且,则|10π－a 1－a 2|的最小值等于 .12.(5分)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω＝{P 1,P 2,P 3,P 4},点P ∈Ω,过P 作直线l P ,使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧.用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和.若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )＝D 2(l P ),则Ω中所有这样的P 为 .二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为( )A. B. C. D.14.(5分)在数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an( )A.等于B.等于0C.等于D.不存在15.(5分)已知a、b、c为实常数,数列{xn }的通项xn＝an2＋bn＋c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列”的一个必要条件是( )A.a≥0B.b≤0C.c＝0D.a－2b＋c＝016.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值.记Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w},则Ω中元素个数为( )A.2个B.4个C.8个D.无穷个三、解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.18.(14分)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.19.(14分)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn(单位：辆),其中an ＝,bn＝n＋5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝－4(n－46)2＋8800(单位：辆).设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点.(1)若P在第一象限,且|OP|＝,求P的坐标；(2)设P(),若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标；(3)若|MA|＝|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C,且,,求直线AQ的方程.21.(18分)设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2∈R,当x1＜x2时,都有f(x1)≤f(x2).(1)若f(x)＝ax3＋1,求a的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)＝f(x)g(x).证明：“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分)1.(4分)已知集合A＝{1,2,3,4},集合B＝{3,4,5},则A∩B＝{3,4} .【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：∵集合A＝{1,2,3,4},集合B＝{3,4,5},∴A∩B＝{3,4}.故答案为：{3,4}.【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.2.(4分)若排列数＝6×5×4,则m＝ 3 .【分析】利用排列数公式直接求解.【解答】解：∵排列数＝6×5×4,∴由排列数公式得,∴m＝3.故答案为：m＝3.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列数公式的合理运用.3.(4分)不等式＞1的解集为(－∞,0) .【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可.【解答】解：由＞1得：,故不等式的解集为：(－∞,0),故答案为：(－∞,0).【点评】本题考查了解分式不等式,考查转化思想,是一道基础题.4.(4分)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于9π.【分析】由球的体积公式,可得半径R＝3,再由主视图为圆,可得面积.【解答】解：球的体积为36π,设球的半径为R,可得πR3＝36π,可得R＝3,该球主视图为半径为3的圆,可得面积为πR2＝9π.故答案为：9π.【点评】本题考查球的体积公式,以及主视图的形状和面积求法,考查运算能力,属于基础题.5.(4分)已知复数z满足z＋＝0,则|z|＝.【分析】设z＝a＋bi(a,b∈R),代入z2＝－3,由复数相等的条件列式求得a,b的值得答案.【解答】解：由z＋＝0,得z2＝－3,设z＝a＋bi(a,b∈R),由z2＝－3,得(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝－3,即,解得：.∴.则|z|＝.故答案为：.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件以及复数模的求法,是基础题.6.(4分)设双曲线－＝1(b＞0)的焦点为F1、F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|＝5,则|PF2|＝11 .【分析】根据题意,由双曲线的方程可得a的值,结合双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝6,解可得|PF2|的值,即可得答案.【解答】解：根据题意,双曲线的方程为：－＝1, 其中a＝＝3,则有||PF1|－|PF2||＝6,又由|PF1|＝5,解可得|PF2|＝11或－1(舍)故|PF2|＝11,故答案为：11.【点评】本题考查双曲线的几何性质,关键是掌握双曲线的定义.7.(5分)如图,以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标是(－4,3,2) .【分析】由的坐标为(4,3,2),分别求出A和C1的坐标,由此能求出结果.【解答】解：如图,以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,∵的坐标为(4,3,2),∴A(4,0,0),C1(0,3,2),∴.故答案为：(－4,3,2).【点评】本题考查空间向量的坐标的求法,考查空间直角坐标系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.8.(5分)定义在(0,＋∞)上的函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x),若g(x)＝为奇函数,则f－1(x)＝2的解为.【分析】由奇函数的定义,当x＞0时,－x＜0,代入已知解析式,即可得到所求x＞0的解析式,再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反,即可得到所求值.【解答】解：若g(x)＝为奇函数,可得当x＞0时,－x＜0,即有g(－x)＝3－x－1,由g(x)为奇函数,可得g(－x)＝－g(x),则g(x)＝f(x)＝1－3－x,x＞0,由定义在(0,＋∞)上的函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x),且f－1(x)＝2,可由f(2)＝1－3－2＝,可得f－1(x)＝2的解为x＝.故答案为：.【点评】本题考查函数的奇偶性和运用,考查互为反函数的自变量和函数值的关系,考查运算能力,属于基础题.9.(5分)已知四个函数：①y＝－x,②y＝－,③y＝x3,④y＝x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.【分析】从四个函数中任选2个,基本事件总数n＝,再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数,由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率.【解答】解：给出四个函数：①y＝－x,②y＝－,③y＝x3,④y＝x,从四个函数中任选2个,基本事件总数n＝,③④有两个公共点(0,0),(1,1).事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③,①④共2个,∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P(A)＝＝.故答案为：.【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.10.(5分)已知数列{an }和{bn},其中an＝n2,n∈N*,{bn}的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N*,{bn }的第an项等于{an}的第bn项,则＝ 2 .【分析】an ＝n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项,可得＝＝.于是b1＝a1＝1,＝b4,＝b9,＝b16.即可得出.【解答】解：∵an ＝n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项,∴＝＝.∴b1＝a1＝1,＝b4,＝b9,＝b16.∴b1b4b9b16＝.∴＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.(5分)设a 1、a 2∈R,且,则|10π－a 1－a 2|的最小值等于.【分析】由题意,要使＋＝2,可得sinα1＝－1,sin2α2＝－1.求出α1和α2,即可求出|10π－α1－α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质,可知sinα1,sin2α2的范围在[－1,1],要使＋＝2,∴sinα1＝－1,sin2α2＝－1.则：,k 1∈Z.,即,k 2∈Z. 那么：α1＋α2＝(2k 1＋k 2)π,k 1、k 2∈Z.∴|10π－α1－α2|＝|10π－(2k 1＋k 2)π|的最小值为.故答案为：.【点评】本题主要考察三角函数性质,有界限的范围的灵活应用,属于基本知识的考查.12.(5分)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω＝{P 1,P 2,P 3,P 4},点P ∈Ω,过P 作直线l P ,使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧.用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和.若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )＝D 2(l P ),则Ω中所有这样的P 为 P 1、P 3、P 4 .【分析】根据任意四边形ABCD 两组对边中点的连线交于一点, 过此点作直线,使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧,则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论.【解答】解：设记为“▲”的四个点是A,B,C,D, 线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,易知EFGH为平行四边形,如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2,则符合条件的直线lP 一定经过点P2,且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条,过点P3和P2的直线有且仅有1条,过点P4和P2的直线有且仅有1条,所以符合条件的点是P1、P3、P4.故答案为：P1、P3、P4.【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题,也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力.二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为( )A. B. C. D.【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解.【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D＝.故选：C.【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用.14.(5分)在数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an( )A.等于B.等于0C.等于D.不存在【分析】根据极限的定义,求出an＝的值.【解答】解：数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an＝＝0.故选：B.【点评】本题考查了极限的定义与应用问题,是基础题.15.(5分)已知a、b、c为实常数,数列{xn }的通项xn＝an2＋bn＋c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列”的一个必要条件是( )A.a≥0B.b≤0C.c＝0D.a－2b＋c＝0【分析】由x100＋k ,x200＋k,x300＋k成等差数列,可得：2x200＋k＝x100＋kx300＋k,代入化简即可得出.【解答】解：存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列,可得：2[a(200＋k)2＋b(200＋k)＋c]＝a(100＋k)2＋b(100＋k)＋c＋a(300＋k)2＋b(300＋k)＋c,化为：a＝0.∴使得x100＋k ,x200＋k,x300＋k成等差数列的必要条件是a≥0.故选：A.【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值.记Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w},则Ω中元素个数为( )A.2个B.4个C.8个D.无穷个【分析】设出P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),0≤α\β＜2π,由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域,可得最大值及取得的条件,即可判断所求元素的个数.【解答】解：椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,可设P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),0≤α\β＜2π,则＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝6cos(α－β),当α－β＝2kπ,k∈Z时,w取得最大值6,则Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w}中的元素有无穷多对.另解：令P(m,n),Q(u,v),则m2＋9n2＝36,9u2＋v2＝9,由柯西不等式(m2＋9n2)(9u2＋v2)＝324≥(3mu＋3nv)2,当且仅当mv＝nu,即O、P、Q共线时,取得最大值6,显然,满足条件的P、Q有无穷多对,D项正确.故选：D.【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用,以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域,考查集合的几何意义,属于中档题.三、解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.【分析】(1)三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×AA1＝,由此能求出结果.(2)连结AM,∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,由此能求出直线A1M与平面ABC所成角的大小.【解答】解：(1)∵直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.∴三棱柱ABC－A1B1C1的体积：V＝S△ABC ×AA1＝＝＝20.(2)连结AM,∵直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5,M是BC中点,∴AA1⊥底面ABC,AM＝＝,∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,tan∠A1MA＝＝＝,∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan.【点评】本题考查三棱柱的体积的求法,考查线面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.18.(14分)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.【分析】(1)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间,解不等式可得所求增区间；(2)由f(A)＝0,解得A,再由余弦定理解方程可得c,再由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.【解答】解：(1)函数f(x)＝cos2x－sin2x＋＝cos2x＋,x∈(0,π),由2kπ－π≤2x≤2kπ,解得kπ－π≤x≤kπ,k∈Z,k＝1时,π≤x≤π,可得f(x)的增区间为[,π)；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,即有cos2A＋＝0,解得2A＝π,即A＝π,由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA,化为c2－5c＋6＝0,解得c＝2或3,若c＝2,则cosB＝＜0,即有B为钝角,c＝2不成立,则c＝3,△ABC的面积为S＝bcsinA＝×5×3×＝.【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质,考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用,考查运算能力,属于中档题.19.(14分)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn(单位：辆),其中an ＝,bn＝n＋5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝－4(n－46)2＋8800(单位：辆).设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】(1)计算出{an }和{bn}的前4项和的差即可得出答案；(2)令an ≥bn得出n≤42,再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论.【解答】解：(1)∵an ＝,bn＝n＋5∴a1＝5×14＋15＝20a2＝5×24＋15＝95a3＝5×34＋15＝420a4＝－10×4＋470＝430b1＝1＋5＝6b2＝2＋5＝7b3＝3＋5＝8b4＝4＋5＝9∴前4个月共投放单车为a1＋a2＋a3＋a4＝20＋95＋420＋430＝965,前4个月共损失单车为b1＋b2＋b3＋b4＝6＋7＋8＋9＝30,∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965－30＝935.(2)令an ≥bn,显然n≤3时恒成立,当n≥4时,有－10n＋470≥n＋5,解得n≤, ∴第42个月底,保有量达到最大.当n≥4,{an }为公差为－10等差数列,而{bn}为等差为1的等差数列,∴到第42个月底,单车保有量为×39＋535－×42＝×39＋535－×42＝8782.S42＝－4×16＋8800＝8736.∵8782＞8736,∴第42个月底单车保有量超过了容纳量.【点评】本题考查了数列模型的应用,等差数列的求和公式,属于中档题.20.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点.(1)若P在第一象限,且|OP|＝,求P的坐标；(2)设P(),若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标；(3)若|MA|＝|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C,且,,求直线AQ的方程.【分析】(1)设P(x,y)(x＞0,y＞0),联立,能求出P点坐标.(2)设M(x0,0),A(0,1),P(),由∠P＝90°,求出x＝；由∠M＝90°,求出x＝1或x＝；由∠A＝90°,则M点在x轴负半轴,不合题意.由此能求出点M的横坐标.(3)设C(2cosα,sinα),推导出Q(4cosα,2sinα－1),设P(2cosβ,sinβ),M(x,0)推导出x＝cosβ,从而4cosα－2cosβ＝－5cosβ,且2sinα－sinβ－1＝－4sinβ,cosβ＝－cosα,且sinα＝(1－2sinα),由此能求出直线AQ.【解答】解：(1)设P(x,y)(x＞0,y＞0),∵椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,P在第一象限,且|OP|＝,∴联立,解得P(,).(2)设M(x,0),A(0,1),P(),若∠P＝90°,则•,即(x－,－)•(－,)＝0,∴(－)x0＋－＝0,解得x＝.如图,若∠M＝90°,则•＝0,即(－x0,1)•(－x,)＝0,∴＝0,解得x0＝1或x＝,若∠A＝90°,则M点在x轴负半轴,不合题意.∴点M的横坐标为,或1,或.(3)设C(2cosα,sinα),∵,A(0,1),∴Q(4cosα,2sinα－1),又设P(2cosβ,sinβ),M(x,0),∵|MA|＝|MP|,∴x02＋1＝(2cosβ－x)2＋(sinβ)2,整理得：x＝cosβ,∵＝(4cosα－2cosβ,2sinα－sinβ－1),＝(－cosβ,－sinβ),,∴4cosα－2cosβ＝－5cosβ,且2sinα－sinβ－1＝－4sinβ,∴cosβ＝－cosα,且sinα＝(1－2sinα),以上两式平方相加,整理得3(sinα)2＋sinα－2＝0,∴sinα＝,或sinα＝－1(舍去),此时,直线AC的斜率kAC＝－＝ (负值已舍去),如图.∴直线AQ为y＝x＋1.【点评】本题考查点的坐标的求法,考查直线方程的求法,考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方思想,是中档题.21.(18分)设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2∈R,当x1＜x2时,都有f(x1)≤f(x2).(1)若f(x)＝ax3＋1,求a的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)＝f(x)g(x).证明：“h (x)是周期函数”的充要条件是“f (x)是常值函数”. 【分析】(1)直接由f(x 1)－f(x 2)≤0求得a 的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,记其周期为T k ,任取x 0∈R,则有f(x 0)＝f(x 0＋T k ),证明对任意x ∈[x 0,x 0＋T k ],f(x 0)≤f(x)≤f(x 0＋T k ),可得f(x 0)＝f(x 0＋nT k ),n ∈Z,再由…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,可得对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数；(3)分充分性及必要性证明.类似(2)证明充分性；再证必要性,然后分类证明. 【解答】(1)解：由f(x 1)≤f(x 2),得f(x 1)－f(x 2)＝a(x 13－x 23)≤0, ∵x 1＜x 2,∴x 13－x 23＜0,得a ≥0. 故a 的范围是[0,＋∞)；(2)证明：若f(x)是周期函数,记其周期为T k ,任取x 0∈R,则有 f(x 0)＝f(x 0＋T k ),由题意,对任意x ∈[x 0,x 0＋T k ],f(x 0)≤f(x)≤f(x 0＋T k ), ∴f(x 0)＝f(x)＝f(x 0＋T k ).又∵f(x 0)＝f(x 0＋nT k ),n ∈Z,并且…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,∴对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数；(3)证明：充分性：若f(x)是常值函数,记f(x)＝c 1,设g(x)的一个周期为T g ,则 h(x)＝c 1•g(x),则对任意x 0∈R,h(x 0＋T g )＝c 1•g(x 0＋T g )＝c 1•g(x 0)＝h(x 0),故h(x)是周期函数；必要性：若h(x)是周期函数,记其一个周期为T h .若存在x 1,x 2,使得f(x 1)＞0,且f(x 2)＜0,则由题意可知, x 1＞x 2,那么必然存在正整数N 1,使得x 2＋N 1T k ＞x 1, ∴f(x 2＋N 1T k )＞f(x 1)＞0,且h(x 2＋N 1T k )＝h(x 2). 又h(x 2)＝g(x 2)f(x 2)＜0,而h(x 2＋N 1T k )＝g(x 2＋N 1T k )f(x 2＋N 1T k )＞0≠h(x 2),矛盾. 综上,f(x)＞0恒成立. 由f(x)＞0恒成立,任取x 0∈A,则必存在N 2∈N,使得x 0－N 2T h ≤x 0－T g , 即[x 0－T g ,x 0]⊆[x 0－N 2T h ,x 0],∵…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,∴…∪[x 0－2N 2T h ,x 0－N 2T h ]∪[x 0－N 2T h ,x 0]∪[x 0,x 0＋N 2T h ]∪[x 0＋N 2T h ,x 0＋2N 2T h ]∪…＝R. h(x 0)＝g(x 0)•f(x 0)＝h(x 0－N 2T h )＝g(x 0－N 2T h )•f(x 0－N 2T h ),∵g(x 0)＝M ≥g(x 0－N 2T h )＞0,f(x 0)≥f(x 0－N 2T h )＞0.因此若h(x 0)＝h(x 0－N 2T h ),必有g(x 0)＝M ＝g(x 0－N 2T h ),且f(x 0)＝f(x 0－N 2T h )＝c. 而由(2)证明可知,对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数. 综上,必要性得证. 【点评】本题考查抽象函数及其应用,考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法,题目设置难度过大.。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年全国Ⅱ，理1，5分】31i i+=+（ ） （A ）12i + （B ）12i - （C ）2i + （D ）2i -【答案】D 【解析】()()()()3i 1i 3i 42i 2i 1i 1i 1i 2+-+-===-++-，故选D ． （2）【2017年全国Ⅱ，理2，5分】设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{1}A B = ，则B =（ ）（A ）{}1,3- （B ）{}1,0 （C ）{}1,3 （D ）{}1,5【答案】C【解析】集合{}1,2,4A =，24{|}0B x x x m -=+=．若{}1A B = ，则1A ∈且1B ∈，可得140m -+=-，解得3m =， 即有243013{|}{,}B x x x =+==-，故选C ．（3）【2017年全国Ⅱ，理3，5分】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）（A ）1盏 （B ）3盏 （C ）5盏 （D ）9盏【答案】B【解析】设这个塔顶层有a 盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a 为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴()71238112712a a -==-，解得3a =， 则这个塔顶层有3盏灯，故选B ．（4）【2017年全国Ⅱ，理4，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何 体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）（A ）90π （B ）63π （C ）42π （D ）36π【答案】B【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，22131036632V πππ=⋅⨯-⋅⋅⨯=，故选B ． （5）【2017年全国Ⅱ，理5，5分】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）（A ）15- （B ）9- （C ）1 （D ）9【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩的可行域如图：2z x y =+经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由32330y x y =-⎧⎨-+=⎩解得()6,3A --，则2z x y =+的最 小值是：15-，故选A ．（6）【2017年全国Ⅱ，理6，5分】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种【答案】D【解析】4项工作分成3组，可得：24C 6=，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：336A 36⨯=种，故选D ．（7）【2017年全国Ⅱ，理7，5分】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）（A ）乙可以知道四人的成绩 （B ）丁可以知道四人的成绩（C ）乙、丁可以知道对方的成绩 （D ）乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选D ．（8）【2017年全国Ⅱ，理8，5分】执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S = ( )（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【答案】B【解析】执行程序框图，有0S =，1k =，1a =-，代入循环，第一次满足循环，1S =-，1a =，2k =；满足条件，第二次满足循环，1S =，1a =-，3k =；满足条件，第三次满足循环，2S =-，1a =，4k =；满足条件，第四次满足循环，2S =，1a =-，5k =；满足条件，第五次满足循环，3S =-，1a =，6k =；满足条件，第六次满足循环，3S =，1a =-，7k =；76≤不成立，退出循环输出，3S =，故选B ．（9）【2017年全国Ⅱ，理9，5分】若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）（A ）2 （B （C （D 【答案】A 【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线不妨为：0bx ay +=，圆()2242x y +=-的圆心()2,0， 半径为：2，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2242x y +=-所截得的弦长为2，可==得：222443c a c -=，可得2e 4=，即e 2=，故选A ． （10）【2017年全国Ⅱ，理10，5分】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠= ，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）（A （B ） （C ） （D 【答案】C【解析】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点，则1AB 、1BC 夹角为MN和NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，可知112MN AB =，112NP BC ==作BC 中点Q ，则PQM ∆为直角三角形；∵1PQ =，12MQ AC =， ABC ∆中，由余弦定理得2222AC AB BC AB BC cos ABC =+-⋅⋅∠141221172⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴AC =MQ =MQP ∆中，MP =；在PMN ∆中，由余弦定理得222222cos 2MN NP PM MNP MH NP +-+-∠===⋅⋅；又异面 直线所成角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，∴1AB 与1BC，故选C ． （11）【2017年全国Ⅱ，理11，5分】若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）（A ）1- （B ）32e -- （C ）35e - （D ）1【答案】A【解析】函数()()121x f x x ax e -=+-，得()()()11221x x e f x x a x ax e --'=+++-，2x =-是21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，得：()4320a a -++-=．得1a =-．可得()()()()211212211x x x e e x x e f x x x x ---'=-+--=+-，函数的极值点为：2x =-，1x =，当2x <-或1x >时，()0f x '>函数是增函数，()2,1x ∈-时，函数是减函数，1x =时，函数取得极小值：()()21111111f e -=--=-，故选A ． （12）【2017年全国Ⅱ，理12，5分】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+ 的最小值是（ ）（A ）2- （B ）32- （C ）43- （D ）1- 【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则(A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),P x y ，则()PA x y =- ，()1,PB x y =--- ，()1,PC x y =-- ，则()P A P B P C ⋅+222232224x y x y ⎡⎤⎛⎢⎥=-+=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴当0x =，y =时，取得最小值33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故选B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（13）【2017年全国Ⅱ，理13，5分】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =______．【答案】1.96【解析】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，0.02p =，100n =， 则()11000.020.98 1.96DX npq np p ==-=⨯⨯=．（14）【2017年全国Ⅱ，理14，5分】函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是______． 【答案】1【解析】()2233sin 1cos 44f x x x x x =-=--，令cos x t =且[]0,1t ∈， 则()22114f t t t ⎛=-+=-+ ⎝⎭，当t =时，()max 1f t =，即()f x 的最大值为1． （15）【2017年全国Ⅱ，理15，5分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k k S ==∑______． 【答案】21n n + 【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，()423210S a a =+=，可得22a =，数列的首项为1，公差为1，()12n n n S -=，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则11111111121223341n k kS n n =⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥+⎣⎦∑122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． （16）【2017年全国Ⅱ，理16，5分】已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______．【答案】6【解析】抛物线C ：28y x =的焦点()2,0F ，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M的纵坐标为：±26FN FM ==．三、解答题：共70分。

2018年高考理科数学(全国I卷)试题(含答案)WORD版2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号。

2.选择题用铅笔在答题卡上涂黑对应的答案标号，非选择题在答题卡上作答。

3.考试结束后将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

每小题有四个选项，只有一项是正确的。

1.设 $z=\frac{1-i+2i}{1+i}$，则 $|z|$ 等于A。

$\frac{1}{2}$B。

$\sqrt{2}$C。

$1$D。

$2$2.已知集合 $A=\{x|x^2-x-2>0\}$，则 $A$ 等于A。

$\{-1<x<2\}$B。

$\{-1\leq x\leq 2\}$C。

$\{x2\}$D。

$\{x\leq -1\}\cup \{x\geq 2\}$3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。

为了更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A。

新农村建设后，种植收入减少B。

新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C。

新农村建设后，养殖收入增加了一倍D。

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。

若$3S_3=S_2+S_4$，$a_1=-12$，则切线方程为A。

$y=-2x$B。

$y=-x$XXXD。

$y=x$5.设函数 $f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax$。

若 $f(x)$ 是奇函数，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为A。

$y=-2x$B。

$y=-x$XXXD。

$y=x$6.在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$E$ 是 $AD$ 的中点，则 $EB$ 等于A。

2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

请考生注意以下事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号，并用2B铅笔填涂试卷类型（A）。

2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合$A=x-2<x<4$，$B=\{2,3,4,5\}$，则$A$为（）A。

$\{2\}$。

B。

$\{2,3\}$。

C。

$\varnothing$。

D。

$\{3,4\}$2.已知$z=2-i$，则$z(z+i)$为（）A。

$6-2i$。

B。

$4-2i$。

C。

$6+2i$。

D。

$4+2i$3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2.B。

2$\sqrt{2}$。

C。

4.D。

4$\sqrt{2}$4.下列区间中，函数$f(x)=7\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是（）A。

$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。

B。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。

C。

$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$。

D。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$MF_1\cdot MF_2$的最大值为（）A。

绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = {x | x2- 3x - 4 < 0}, B = {-4,1, 3, 5}，则A B =（）A. {-4,1}B. {1, 5}C. {3, 5}D. {1, 3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由x2- 3x - 4 < 0 解得-1 <x < 4 ，所以A ={x | -1 <x < 4}，又因为B ={-4,1, 3, 5}，所以A B ={1, 3}，故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若z =1 + 2i + i3，则|z | = （）A. 0B. 1212 +12 2 b 2- a2 4b 2 b CD. 2【答案】C【解析】【分析】先根据i 2 = -1将 z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．【详解】因为 z = 1+2i + i 3 = 1+2i - i = 1+ i ，所以 z = = ．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．1. 胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.5 -1 4B.5 -1 2C.5 +1 4D.5 +1 2【答案】D【解析】【分析】设CD = a , PE = b ，利用 PO 2 = 1CD ⋅ PE 得到关于a , b 的方程，解方程即可得到答案.2CD = a , PE = b【详解】如图，设，则 PO=由题意 PO 2= 1 ab ，即b 2- a 2 =1 4( ) -2 ⋅ -1 = 0 ，化简得，ab 24 2aaPE 2 - OE 2解得b=1 + 5 （负值舍去）.a 4故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.2.为正方形ABCD 的中心，在O，A，B，C，D 中任取3 点，则取到的3 点共线的概率为（）1 2A. B.5 514C. D.25【答案】A【解析】【分析】列出从5 个点选3 个点的所有情况，再列出3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O,A,B,C,D 5 个点中任取3 个有{O, A, B},{O, A, C},{O, A, D},{O, B, C}{O, B, D},{O,C, D},{A, B,C},{A, B, D}{A,C, D},{B,C, D} 共10 种不同取法，3 点共线只有{A,O, C} 与{B,O, D} 共2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为2= 1 .故选：A10 5【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.3. 一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x （单位：°C ）的关系，在 20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i , y i )(i = 1, 2,, 20) 得到下面的散点图：由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x的回归方程类型的是（）A. y = a + bxB. y = a + bx 2C. y = a + b e xD. y = a + b ln x【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是y =a +b ln x .故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.4.圆x2+y2- 6x = 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据直线和圆心与点(1, 2) 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆x2+y2- 6x = 0 化为(x - 3)2+y2= 9 ，所以圆心C 坐标为C(3, 0) ，半径为3 ，设P(1, 2) ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为= 2 = 2 .故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.5.数f (x) = cos(ωx +π) 在[-π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）610π7πA. B.96 4π3πC. D.32【答案】C9- | CP |29 -8+= -【解析】【分析】由图可得：函数图象过点⎛ - 4π ,0⎫ ，即可得到cos ⎛ - 4π ⋅ω + π ⎫ = 0 ，结合⎛ - 4π ,0⎫是 9 ⎪ 9 6 ⎪ 9 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭函数 f (x ) 图象与 x 轴负半轴的第一个交点即可得到- 4π⋅ω + π = - π ，即可求得ω = 3， 9 6 2 2再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点⎛ - 4π ,0⎫，9 ⎪ ⎝ ⎭将它代入函数 f (x ) 可得： cos ⎛ - 4π⋅ω + π ⎫ = 0 9 6 ⎪ ⎝ ⎭又⎛ - 4π ,0⎫是函数 f (x ) 图象与 x 轴负半轴的第一个交点， 9 ⎪ ⎝ ⎭所以-4π ⋅ω ππ，解得：ω = 39622T =2π = 2π = 4π所以函数 f (x ) 的最小正周期为故选：Cω 3 32【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.6. l og 3 4 = 2 ，则4- a= （）1 1 1 1 A.B.C.D.16986【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到log 3 4a= 2 ，即 4a = 9 ，进而求得4-a = 1，得到结果.9【详解】由a log 3 4 = 2 可得log 3 4a= 2 ，所以4a = 9 ，所以有4-a = 1，9故选：B.【点睛】该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 7. 下面的程序框图，则输出的n =（ ）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足1+ 3 + 5 + + n > 100 的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足1+ 3 + 5 ++ n > 100 的最小正奇数，因为1+ 3 + 5 += 1 (n +1)2 4> 100 ，解得n > 19 ，所以输出的n =21．故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题．8.n } 是等比数列，且a 1 + a 2 + a 3 = 1 ，a 2 + a 3 +a 4 = 2 ，则a 6 + a 7 + a 8 = （ ）A. 12B. 24C. 30D. 32(1+ n )⨯⎛ n -1 +1⎫⎪ + n =⎝ 2 2 ⎭1 2 1 2 1 2 n 1 2 3 1 2 3 4 1 1 1 1 6 7 8 1 1 1 1 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由a + a + a = q 5(a + a + a ) 可求得结果.678123【详解】设等比数列{a } 的公比为q ，则a + a + a = a (1+ q + q 2)= 1 ， a + a + a = a q + a q 2 + a q 3 = a q (1+ q + q 2) = q = 2 ， 因此， a + a + a = a q 5 + a q 6 + a q 7 = a q 5 (1+ q + q 2 )= q 5 = 32 .故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．F , F2y 2 | OP |= 29. 2 是双曲线C : x-= 1 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在C 上且 ，3则△PF 1F 2 的面积为（）A.725 B. 3C.2D. 2【答案】B【解析】【分析】由是以 P 为直角直角三角形得到| PF |2 + | PF|2= 16 ，再利用双曲线的定义得到| PF | - | PF | = 2 ，联立即可得到| PF || PF| ，代入 S △= 1 | PF || PF |中计算即可.1212F 1F 2 P 21 2【详解】由已知，不妨设 F 1(-2, 0), F 2 (2, 0) ， 则 a = 1, c = 2 ，因为| OP |= 1 = 1| F F | ，21 2所以点 P 在以 F 1F 2 为直径的圆上，即 F 1F 2 P 是以 P 为直角顶点的直角三角形，故| PF |2 + | PF |2 =| F F |2 ，121 2即| PF |2+ | PF |2 = 16 ，又 | PF | - | PF | = 2a = 2 ，F 1F 2 P3 3 1 2 1 2 所以4 = | PF 1 | - | PF 2 | 2= | PF |2 + | PF |2-2 | PF|| PF |= 16 - 2 | PF 1 || PF 2 | ，解得| PF || PF |= 6 ，所以 S △= 1 | PF || PF|= 3 12故选：BF 1F 2 P 21 2【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.10. , B , C 为球O 的球面上的三个点，⊙ O 1 为 ABC 的外接圆，若⊙ O 1 的面积为4π ，AB = BC = AC = OO 1 ，则球O 的表面积为（） A. 64π B. 48πC. 36πD. 32π【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边 ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO 1 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆O 1 半径为 r ，球的半径为 R ，依题意，得π r 2 = 4π ,∴r = 2 ，由正弦定理可得 AB = 2r sin 60︒ = 2 ，∴OO 1 = AB = 2 ，根据圆截面性质OO 1 ⊥ 平面 ABC ，∴OO ⊥ O A , R = OA === 4 ，1 1∴球O 的表面积 S = 4π R 2 = 64π .故选：AOO 2 + O A 2 1 1 OO 2 + r 2 1⎨⎩⎩ 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.⎧2x + y - 2 ≤ 0,11. y 满足约束条件⎪x - y -1 ≥ 0, 则z =x +7y 的最大值为 .⎪ y +1 ≥ 0,【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数 z = x + 7 y 即： y = - 1 x + 1z ，77其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程：⎧2x + y - 2 = 0 ，可得点 A 的坐标为： A (1, 0)，⎨x - y -1 = 0据此可知目标函数的最大值为： z max = 1+ 7 ⨯ 0 = 1 . 故答案 ：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.x 12. a = (1, -1), b = (m +1, 2m - 4) ，若a ⊥ b ，则m =.【答案】5【解析】【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由a ⊥ b 可得a ⋅ b = 0 ，又因为a = (1, -1), b = (m +1, 2m - 4)，所以a ⋅ b = 1⋅(m +1) + (-1) ⋅ (2m - 4) = 0 ，即 m = 5 ， 故答案为：5.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.13. = ln x + x +1的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 .【答案】 y = 2x【解析】【分析】设切线的切点坐标为(x 0 , y 0 ) ，对函数求导，利用 y ' |x = 2 ，求出 x 0 ，代入曲线方程求出 y 0 ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为( x , y ), y = ln x + x + 1, y ' = 1+ 1 ，y ' |=1 + 1 = 2, x = 1, y 0 0x= 2，所以切点坐标为(1, 2) ，x = x 00 0所求的切线方程为 y - 2 = 2(x -1) ，即 y = 2x . 故答案为： y = 2x .【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14. a } 满足a+ (-1)n a = 3n -1，前 16 项和为 540，则a =.nn +2n1【答案】7n +2 n 【解析】【分析】对 n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a 1 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a 1 方程，求解即可得出结论.【详解】a + (-1)n a = 3n -1，当 n 为奇数时， a n +2 = a n + 3n - 1 ；当n 为偶数时， a n +2 + a n = 3n - 1 . 设数列{a n } 的前n 项和为 S n ，S 16 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 += a 1 + a 3 + a 5= a 1 + (a 1 + 2) + (a 1 + 10) + (a 1 + 24) + (a 1 + 44) + (a 1 + 70)+(a 1 + 102) + (a 1 + 140) + (5 + 17 + 29 + 41)= 8a 1 + 392 + 92 = 8a 1 + 484 = 540 ，∴a 1 = 7 .故答案为： 7 .【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.15. 受了一项加工业务，加工出来 产品(单位：件)按标准分为 A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25 元/件，乙分厂加工成本费为20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务， 在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 + a 16+ a 15 + (a 2 + a 4 ) +(a 14 + a 16 )等级ABCD乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4 ，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28 ；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．40【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为= 0.4 ，乙厂加工出10028= 0.28 ；来的一件产品为A 级品的概率为100（2）甲分厂加工100 件产品的总利润为40⨯(90 - 25)+ 20⨯(50 - 25)+ 20⨯(20 - 25)- 20⨯(50 + 25)= 1500 元，所以甲分厂加工100 件产品的平均利润为15 元每件；乙分厂加工100 件产品的总利润为28⨯(90 - 20)+17 ⨯(50 - 20)+ 34⨯(20 - 20)- 21⨯(50 + 20)= 1000 元，所以乙分厂加工100 件产品的平均利润为10 元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出3 A + C = 决策，属于基础题．16. 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知 B =150°.（1）若 a = c ，b =2 ，求 ABC 的面积；（2）若 sin A +【答案】（1） sin C =2 ，求 C .2；（2）15︒ .【解析】【分析】（1） 已知角 B 和b 边，结合 a , c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出 a , c ，利用面积公式，即可得出结论；（2） 将 A = 30︒ - C 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得b 2 = 28 = a 2 + c 2 - 2ac ⋅ cos150︒ = 7c 2 ，∴c = 2, a = 2 3,∴△ABC 的面积S = 1ac sin B = ； 2（2） 30︒ ，∴sin A + 3 sin C = sin(30︒ - C ) + 3 sin C= 1 cos C + 3 sin C = sin(C + 30︒) =2， 2 2 20︒ < C < 30︒,∴30︒ < C + 30︒ < 60︒ ， ∴C + 30︒ = 45︒,∴C = 15︒ .【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.17. D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心， ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO上一点，∠APC =90°．3 7 3 33 3= 3（1） 证明：平面 PAB ⊥平面 PAC ；（2） 设 DO =，圆锥的侧面积为 3π ，求三棱锥 P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）6 .8【解析】【分析】（1） 根据已知可得 PA = PB = PC ，进而有△PAC ≅ △PBC ，可得∠APC = ∠BPC = 90，即PB ⊥ PC ，从而证得 PC ⊥ 平面 PAB ，即可证得结论； （2） 将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形 ABC 边长，在等腰直角三角形 APC 中求出 AP ，在 Rt APO 中，求出 PO ，即可求出结论.【详解】（1） Q D 为圆锥顶点， O 为底面圆心，∴OD ⊥ 平面 ABC ，P 在 DO 上， OA = OB = OC ,∴ PA = PB = PC ，ABC 是圆内接正三角形，∴ AC = BC ， △PAC ≅ △PBC ，∴∠APC = ∠BPC = 90︒ ，即PB ⊥ PC , PA ⊥ PC ， PA PB = P ,∴ PC ⊥ 平面 PAB , PC ⊂ 平面 PAC ，∴平面 PAB ⊥ 平面 PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为π rl =3π , rl = ，OD 2 = l 2 - r 2 = 2 ，解得r = 1, l = ， AC = 2r sin 60 ，在等腰直角三角形 APC 中， AP =2 AC =6 ，22在 Rt PAO 中， PO ==2 ，22 AP 2 - OA 26 - 1 4∴三棱锥 P - ABC 的体积为V= 1PO ⋅ S= 1 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ 3 = 6 . P - ABC 3 △ABC3 24 8【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.18. 数 f (x ) = e x - a (x + 2) .（1） 当a = 1 时，讨论 f (x ) 的单调性； （2） 若 f (x ) 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）减区间为(-∞, 0) ，增区间为(0, +∞) ；（2）(1, +∞) . e 【解析】【分析】（1） 将a = 1 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2） 若 f (x ) 有两个零点，即e x- a (x + 2) = 0 有两个解，将其转化为a = ex x + 2有两个解，令h (x ) = e xx + 2(x ≠ -2) ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当a = 1 时， f (x ) = e x - (x + 2) ， f ' (x ) = ex -1，令f ' (x ) < 0 ，解得 x < 0 ，令 f ' (x ) > 0 ，解得 x > 0 ，所以 f (x ) 的减区间为(-∞, 0) ，增区间为(0, +∞) ；（2）若 f (x ) 有两个零点，即e x - a (x + 2) = 0 有两个解，1+2从方程可知， x = 2 不成立，即a = e x x + 2有两个解，ex'e x (x + 2) - e x e x (x +1) 令 h (x ) =(x ≠ -2) ，则有h (x ) =x + 2(x + 2)2=(x + 2)2，令 h ' (x ) > 0，解得 x > -1 ，令h ' (x ) < 0 ，解得 x < -2 或-2 < x < -1 ，所以函数h (x ) 在(-∞, -2) 和(-2, -1) 上单调递减，在(-1, +∞) 上单调递增，且当 x < -2 时， h (x ) < 0 ，而 x → -2+ 时， h (x ) → +∞ ，当 x → +∞时， h (x ) → +∞ ，所以当a =e x x + 2有两个解时，有a > h (-1) = 1 ，e所以满足条件的a 的取值范围是： ( , +∞) .e【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 y = e x 和直线 y = a ( x + 2) 有两个交点，利用过点(-2, 0) 的曲线 y = e x 的切线 斜率，结合图形求得结果.19. 、B 分别为椭圆 E ：x 2a 2y= 1（a >1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG ⋅ GB = 8 ，P 为直线 x =6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C ，PB 与 E 的另一交点为 D ．（1） 求 E 的方程；（2） 证明：直线 CD 过定点.x 2 2【答案】（1）+ y 9= 1；（2）证明详见解析.【解析】 【分析】（1）由已知可得： A (-a ,0) ， B (a ,0) ， G (0,1) ，即可求得 AG ⋅ G B = a 2 -1 ，结合已知 即可求得： a 2 = 9 ，问题得解.AG ⋅ G B = a 2 x 0 ⎝ ⎭y （2）设 P (6, y 0 ) ，可得直线 AP 的方程为： y = y(x + 3) ，联立直线 AP 的方程与椭圆方 9⎛ -3y 2 + 27 6 y ⎫ 程即可求得点C 的坐标为 0 , 0 ⎪ ，同理可得点D 的坐标为 y 2 + 9 y 2 + 9 ⎝ 0 0 ⎭⎛ 3y 2 - 3 -2 y ⎫ 0 , 0 ⎪ ，即可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得： y 2 +1 y 2 +1⎝ 0 0 y =4 y 0⎭⎛ x - 3 ⎫，命题得证. 3(3 - y 2 )2 ⎪【详解】（1）依据题意作出如下图象：2由椭圆方程 E : + a2 y 2 = 1(a > 1) 可得： A (-a ,0) ， B (a ,0) ， G (0,1)∴ AG = (a ,1) ， GB = (a , -1)∴ -1 = 8 ，∴ a 2 = 9∴ x 2 2椭圆方程为： + y = 19（2）证明：设 P (6, y 0 ) ，则直线 AP 的方程为： y =y 0 - 0 6 - (-3) ( x + 3) ，即： y = y 0 ( x + 3) 9 ⎧ x 2+ 2 = ⎪ 9联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得： ⎨ y ，整理得： ⎪ y = 0 ( x + 3)⎪⎩9 1-3y 2 + 27 0 0 0 0⎝ 0 0 0 0 6 (3 - y )0 ⎩ 0 ⎭ ⎝ 2 0 ⎭ ( y 2 + 9) x 2 + 6 y 2 x + 9 y 2 - 81 = 0 ，解得： x = -3 或 x = 0-3y 2 + 27 y6 y 0y 2 + 9将x =代入直线y = 0 ( x + 3) 可得： y = 2y 2+ 99⎛ -3y 2 + 27 6 y ⎫ y 0 + 9所以点C 的坐标为 0 , 0 ⎪ .y 2 + 9 y 2 + 9 ⎝ 0 0 ⎭⎛ 3y 2- 3 -2 y ⎫ 同理可得：点 D 的坐标为 0 , 0 ⎪ y 2 +1 y 2 +1 ⎝ 0 0 ⎭6 y 0 - ⎛ -2 y 0 ⎫ ⎛ -2 y ⎫y 2 + 9 y 2 +1 ⎪ ⎛ 3y 2 - 3 ⎫ ∴直线CD 的方程为： y - 0 ⎪ = 0 ⎝ 0 ⎭ x - 0 ⎪ ， ⎝ y 2 +1 ⎭ -3y 2 + 27 3y 2- 3 - y 2 +1 ⎭ y 2 + 9 y 2 +12 y 8 y (y 2+ 3)⎛ 03y 2 - 3 ⎫ 8 y⎛ 3y 2 - 3 ⎫ 整理可得： y + 0= y 2 +1 0 0 6 (9 - y 4)x - ⎝ y 2 +1 ⎪ = 0 x - 0 y 2 +1 ⎪ 整理得： y =4 y 0 x + 2 y 0= 4 y 0 ⎛ x - 3 ⎫ 3(3 - y 2) y 2 - 3 3(3 - y 2 )2 ⎪ 00 故直线CD 过定点⎛ 3 ,0 ⎫ 0 ⎝ ⎭ 2 ⎪ ⎝ ⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共 10 分。

上海市2019届秋季高考数学考试卷、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分)1. 已知集合A ,3、B 2, ，则AB _______________________ .12. 已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z3. 已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________ .54. 已知二项式 2x 1 ，则展开式中含X 2项的系数为 ______________ .x 05. 已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 ____________________ .x y 236. 已知函数f x 周期为1，且当0 x 1， f x log 2x ，则f(?) ______________________ .7. 若x 、y R ，且-2y 3，则y 的最大值为 ______________________ .xx8. 已知数列a n 前n 项和为S n,且满足S na n 2，则S 5_______ .229. 过y 4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y 4x 交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点， OM OA 2 OB ，贝y ________ .10. 某三位数密码锁，每位数字在0 9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是2 211. 已知数列a n满足a na n 1 ( n N ), R n,a n 在双曲线 x y1上，则6 2limP n P n 1n12. 已知f x2 ax 1,a 0，若 a a 0 , f x 与 x 轴交点为 A , f x 为曲x 1线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q ( P 异于A )使得AP AQ 且AP AQ ，则a 。

________________4题，每题5分，共20分)y c 0的一个方向向量d 可以是((2,1) C. ( 1,2) D.1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得x ，存在常数a R ，使得f x a 为偶函D. —5①对，②错； D. ①错，②对;14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 到的两个圆锥的体积之比为()A. 1B. 2 C .4 D. 815. 已知 R ，函数 f x2x 6sin数, 则 可能的值为()A.2B.3C.4 16. 已知 tan tantan().①存在 在第一象限， 角在第三象限；②存在 在第二象限， 角 在第四象限;二.选择题(本大题共 13.已知直线方程2x A. (2, 1) B.)(1,2)A.①②均正确；B.①②均错误；C.三•解答题（本大题共 5题，共76分）17.（本题满分 14分）如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为BB ,上一点，已知BM 2，AD 4，CD 3，AAA 5.（1） 求直线AQ 与平面ABCD 的夹角； （2） 求点A 到平面AMC 的距离.19.（本题满分14分）如图，A B C 为海岸线，AB 为线段，B C 为四分之一圆弧, BD 39.2km ，BDC 22°， CBD 68°， BDA 58o .（1） 求Be 长度； （2） 若AB 40km ，求D 到海岸线 ABC 的最短距离.（精确到0.001km ）椭圆于A 、B 两点. （1 ）若AB 垂直于x 轴时，（2 ）当 F 1AB 90° 时，（3）若直线AF 1交y 轴于M 直线BF 1交y 轴于N 是否存在直线I 若存在，求出直线I 的方程；若不存在，请说明理由 . 21.（本题满分18分）数列4有100项，a 1 a ，对任意n 2,100 ,存在a n q d,i 1,n 1，若a k 与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质P . （1 ）若a 1 1，求a 4可能的值；（2）若a n 不为等差数列，求证： a n 中存在满足性质 P ；18.（本题满分14分）已知f x（1 ）当a 1时，求不等式f x 1 f x 1的解集； （2）若x 1,2时，f x 有零点，求a 的范围.ax—(aR).16分） 2已知椭圆—（本题满分 2—1 , F 1, F 2 为左、4右焦点，直线I 过F 2交AB ；A 在x 轴上方时，求A,B 的坐标;，使S A F 1AB S A F 1MN ,20.(3)右a n 中恰有二项具有性质 P ，这二项和为C ，使用a, d, c 表示a ia ? La ioo.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54 分) 1.已知集合A ,3、B 2, ，则A B _______________________.【思路分析】然后根据交集定义得结果. 【解析】：根据交集概念，得出：(2,3). 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.12.已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z【思路分析】解复数方程即可求解结果.5 i 5 1 .i (5 i)(5 i) 26 26【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础.. ° r r3.已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________1【解析】：—【思路分析】根据夹角运算公式cosab 求解【解析】：cos 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础.5 4.已知二项式 2x 1 ，则展开式中含x 2项的系数为 【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含【解析】：T r 1 C 5r (2x)5 r 1r C 5r 25 r x 5 r 令 5 r 2，则 r 3, x 2 系数为 C ； 22 40.2 x 项的的项，再求系数. 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用， x 0 5.已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 x y 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截 式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值， 当x 0 , yZ min 6.【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.3 log 2x ，则 £) _ 6.已知函数f x 周期为1,且当0 x 1 , f x 比较基础. J •2时， n3 【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转2到已知范围0 x 1内，代入函数解析式即可. 2.，3 2 2 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题. 7.若x 、y R ，且丄2y 3，则-的最大值为 x x 【解析】：f (-) f (-) log 2- 1 2 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 y的式子求解x【解析】：法一:1 1 y 3 ；2y 2 x2y 」；3 22 1 法二：由一3x 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题.8.已知数列a n 前n 项和为S n ,且满足S n a n 2，则S【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列S n a n 21【解析】：由 n n得：a n一 a n 1 ( n 2)S n 1 a n 12( n 2) n2 n1 V丿2y , - (3 2y) y 2y 2 x 3y ( 0 9 ； 8-)，求二次最值2y xmaxa 。

绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为_____________．2．设32iz i +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_____________．3．已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则l 1与l 2的距离是_____________． 4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_________（米）．5．已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数． 6．如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成的角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于____________．7．方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]0,2π上的解为___________ .8．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．9．已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．10．设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩，无解，则b a +的取值范围是____________． 11．无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意N n *∈，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.12．在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是_____________.13.设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 .14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点ji A A ,，点P 满足=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是_____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）.（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.（A ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+ （C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=- 17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()2N n S S n *<∈恒成立的是（ ）.7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18．设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.（A ）①和②均为真命题 （B ）①和②均为假命题（C ）①为真命题，②为假命题 （D ）①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O的同侧.（1）求三棱锥111C O A B 的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线C 的方程;（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知a R ∈，函数21()log ()f x a x =+.（1）当5a =时，解不等式()0f x >； （2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足：只要*(,N )p q a a p q =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . （1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin (N )n n n a b a n +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P”的充要条件为“{}nb是常数列”.考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为_____________．【答案】（2,4） 【解析】试题分析：由题意得：1x 31-<-<，解得2x 4<<. 考点：绝对值不等式的基本解法.2．设32iz i +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_____________．【答案】-3 【解析】 试题分析：32i23,Im z= 3.i z i +==--考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3．已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则l 1与l 2的距离是_____________．【解析】试题分析：利用两平行线间的距离公式得d ===.考点：两平行线间距离公式.4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_________（米）． 【答案】1.76考点：中位数的概念.5．已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数． 【答案】2log (1)x -【解析】试题分析： 将点（3，9）代入函数()xf x 1a =+中得a 2=，所以()xf x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.6．如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成的角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于____________．【答案】【解析】试题分析：连结BD，则由题意得11122tan 33DD DBD DD BD ∠==⇒=⇒=.考点：线面角7．方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]0,2π上的解为___________ .【答案】566ππ， 【解析】试题分析：化简3sinx 1cos 2x =+得：23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），又[]0,2πx ∈，所以566x ππ=或. 考点：二倍角公式及三角函数求值.8．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________． 【答案】112 【解析】试题分析：由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为n2，即n2256=，所以n 8=，又二项展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x --+=-=-，令84r 033-=，所以r 2=，所以3T 112=，即常数项为112.考点：二项式定理.9．已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为22235712352+-=-⨯⨯，所以此角的正弦值2R=,所以R=.考点：正弦、余弦定理.10．设.0,0>>ba若关于,x y的方程组11ax yx by+=⎧⎨+=⎩，无解，则ba+的取值范围是____________．【答案】2+∞（，）【解析】试题分析：将方程组中上面的式子化简得y1ax=-，代入下面的式子整理得(1ab)x1b-=-，方程组无解应该满足1ab0-=且1b0-≠，所以ab1=且b1≠，所以由基本不等式得a b2+>=，即ba+的取值范围是2+∞（，）.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.11．无穷数列{}na由k个不同的数组成，nS为{}na的前n项和.若对任意Nn*∈，{}3,2∈nS，则k的最大值为________.【答案】4考点：数列的项与和.12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线21xy-=上一个动点，则BABP⋅的取值范围是_____________.【答案】【解析】试题分析：由题意设(cos ,sin )P αα, ，则(cos ,1sin )BP αα=+，又，所以π=cos sin )+1[0,14BP BA ααα⋅+++∈+.考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13.设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 . 【答案】4【解析】试题分析：当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,)3πb c =，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πb c =-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，, 4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的()c b a ,,也有2组，故共有4组.考点：三角函数14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点ji A A ,，点P 满足=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是_____________.【答案】528【解析】试题分析：[0,π]α∈(1,1)BA =共有2828C =种基本事件，其中使点P 落在第一象限的情况有2325C +=种，故所求概率为528.考点：古典概型三、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）.（B ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以“1>a ”是“12>a ”的充分非必要条件，选A.考点：充要条件17.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.（B ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+ （C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=- 【答案】D【解析】试题分析：依次取30,,,22ππθπ=，结合图形可知只有65sin ρθ=-满足，选D.考点：极坐标方程18.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()2N n S S n *<∈恒成立的是（ ）.7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a 【答案】B考点：1.数列的极限；2.等比数列求和.18．设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.（A ）①和②均为真命题 （B ）①和②均为假命题（C ）①为真命题，②为假命题 （D ）①为假命题，②为真命题【答案】D 【解析】 试题分析：因为[()g(x)][()(x)][g()(x)]()2f x f x h x h f x +++-+=，所以[(+)g(+)][(+)(+)][g(+)(+)](+)2f x T x T f x T h x T x T h x T f x T +++-+=,又()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，所以[()g()][()()][g()()](+)=()2f x x f x h x x h x f x T f x +++-+=，所以()f x 是周期为T 的函数，同理可得()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，②正确；()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以①不正确.选D.考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分. 将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B长为3π，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧. （1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.【答案】（1；（2）π4.【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =，1113π∠A O B =，再由三角形面积公式计算111S ∆O A B 后即得.（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，根据11//BB AA ，知1C ∠B B或其补角为直线1CB 与1AA 所成的角，再结合题设条件确定πC 3∠OB =，C 1B =．得出1πC 4∠B B =即可．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．由11A B 的长为π3，可知111π3∠A O B =．11111111111sin 2S ∆O A B =O A ⋅O B ⋅∠A O B =111111C 1V 3S h -O A B ∆O A B =⋅=．从而直线1C B 与1AA 所成的角的大小为π4．考点：1.几何体的体积；2.空间角.20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.（3）求菜地内的分界线C 的方程;（4）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值.【答案】（1）24y x =（02y <<）；（2）矩形面积为52，五边形面积为114，五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”．【解析】试题分析：（1）由C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，知C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分．（2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．试题解析：（1）因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分，其方程为24y x =（02y <<）．（2）依题意，点M 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭．所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-=，而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为11814312-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）.【解析】 试题分析：（1）设(),x y A A A ，根据题设条件得到()24413b b +=，从而解得2b 的值．（2）设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k ∆=+>．再设AB 的中点为(),x y M M M ，由()11F F 0A +B ⋅AB =即1F 0M ⋅AB =，从而得到1F 1kk M⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可． 试题解析：（1）设(),x y A A A ．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430kx k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．由()11F F 0A +B ⋅AB =即1F 0M ⋅AB =，知1F M ⊥AB ，故1F 1k k M⋅=-．而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，1F 2323k k k M =-，所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l 的斜率为155±． 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知a R ∈，函数21()log ()f x a x =+.（1）当5a =时，解不等式()0f x >； （2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）(]{}1,23,4；（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】试题分析：（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>，从而得解．（2）将其转化为()()24510a x a x -+--=，讨论当4a =、3a =时，以及3a ≠且4a ≠时的情况即可．（3）讨论()f x 在()0,+∞上的单调性，再确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差，从而得到()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． 试题解析：（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>， 解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭．（2）()1425a a x a x +=-+-，()()24510a x a x -+--=，当4a =时，1x =-，经检验，满足题意． 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠．1x 是原方程的解当且仅当11a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当21a x +>，即1a >．于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足：只要*(,N )p q a a p q =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . （1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin (N )n n n a b a n +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）16；（2）{}n a 不具有性质P ，理由见解析；（3）见解析．【解析】 试题分析：（1）根据已知条件，得到678332a a a a ++=++，结合67821a a a ++=求解即可．（2）根据{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13，写出通项公式，从而可得520193nn n n a b c n -=+=-+．通过计算1582a a ==，248a =，63043a =，26a a ≠，即知{}n a 不具有性质P ．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 试题解析：（1）因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==． 于是678332a a a a ++=++，又因为67821a a a ++=，解得316a =．（2）{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13，所以()12012019n b n n =+-=-，1518133n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．520193nn n n a b c n -=+=-+． 1582a a ==，但248a =，63043a =，26a a ≠， 所以{}n a 不具有性质P ．[证]（3）充分性：当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ， 使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠．设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得πm b >，则()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =．考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.祝福语祝你考试成功!。