直线与平面平行

大连市开发区点津教育 高三复习—立体几何

教师：韩金龙 高级教师 联系QQ：19887178 1 直线与平面平行

【知识回顾】

一、直线与平面平行：

1、定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。

2、作用：证明直线与平面平行。

二、直线和平面的位置关系：

一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：

位置关系 直线a在平面内 直线a与平面相交 直线a与平面平行

公共点

符号表示

图形表示

说明：直线与平面相交和直线与平面平行统称为直线在平面外。

三、直线与平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

已知：baba//,,

求证：//a

证明：

说明：（1）直线与平面平行判定定理常表述为：“线线平行，则线面平行。”

（2）应用判定定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：

①a；②b；③ba//。

（3）定理的作用：证明线面平行。在应用时，只需在平面内找到与已知直线平行的直线即可。

四、直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

已知：//a，a，b。

求证; ba//.

证明：

a  

 a a 大连市开发区点津教育 高三复习—立体几何

教师：韩金龙 高级教师 联系QQ：19887178 2 说明：（1）性质定理在应用时，必须满足三个条件：//a，a，b。

（2）性质定理的作用：证明线线平行。应用时需要经过直线找平面或作平面，即以平面为媒介证明线线平行。

（3）判定定理和性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行。我们称此为“平行链”，如下图示意：

线线平行线在平面内作或找一条直 线面平行平面相交得交线经过直线作或找平面与线线平行。

【例题解析】

一、证明直线与平面相交：

例1、如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，那么此直线和平面相交。

已知：

求证：

证明：

例2、求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交。

已知：

求证：

证明：

说明：证明直线和平面相交的方法，总体思路就是“反证法”。

（1）否定直线在平面内，否定直线与平面平行；

（2）证明直线与平面只有一个公共点；

（3）证明直线在平面外，且只有一个公共点。

二、证明直线与平面平行：

证明直线与平面平行的关键是要在平面内找到一条直线与平面外的已知直线平行，于是寻找面内直线的方法就成为了问题的焦点，具体的证明方法有以下几种：

1、相似三角形法：

构造具有一个公共顶点，且过该顶点的两边分别共线的两个相似三角形，这两个相似三角形的一对平行线中，有一条是平面内的直线，另一条是平面外的直线。

而在实际应用中，往往是以三角形的中位线的形式出现的，有时也把这种方法叫做“中位线”法。

例3、已知空间四边形ABCD中，QP,分别是ABC和BCD的重心。求证：ACDPQ平面//。

大连市开发区点津教育 高三复习—立体几何

教师：韩金龙 高级教师 联系QQ：19887178 3 例4、如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点。

求证：PD∥平面MAC。

例5、已知直三棱柱111CBAABC中，D为AB的中点，1,BBBCACBCAC。

求证：CDABC11//平面。

2、平行四边形法

构造一个平行四边形，该平行四边形的一组对边中，有一条在平面内，另一条在平面外的直线。

在作平行四边形时，一般是过线段的两个端点分别在它们所在平面内做两个平面交线的平行线，交已知平面于两点，这两个点的连线就是我们要找的平面内的直线。

例6．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，点M，N分别是对角线AC，BD上的点，且DNAM，求证：//MN平面BCE。

例7、如图，正方体1111ABCDABCD中，棱长为a，NM,分别为1AB和11CA上的点，且NAAM1。

（1）求证：CCBBMN11//平面；

（2）求MN的长的最小值。

C D P

B A

M 大连市开发区点津教育 高三复习—立体几何

教师：韩金龙 高级教师 联系QQ：19887178 4 例8、如图，在长方体1111ABCDABCD中， E分别是BC的中点，,MN分别是1,AECD的中点，求证：//MN面11ADDA。

3、向量法：

已知：向量a是直线a的方向向量，向量1e和2e是平面内两个不共线的向量。

21//eyexaa（其中yx,是实数）

例9、如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点。

求证：//MN平面PAD

例10、如图，在直四棱柱1111DCBAABCD中，底面ABCD为等腰梯形，CDAB//，4AB，2CDBC，21AA，1,EE分别是棱1,AAAD的中点。

（1）设F是棱AB的中点，证明：直线//1EE平面1FCC。

（2）证明：平面ACD1平面CCBB11。

例11、如图，在四棱锥ABCDP中，PD平面ABCD，CDAD，DB平分ADC，E是PC的中点，22,1DBCDAD。

（1）证明：//PA平面BDE；

（2）证明：AC平面PBD。

练习：用向量法解答例3~例8各题。 大连市开发区点津教育 高三复习—立体几何

教师：韩金龙 高级教师 联系QQ：19887178 5 4、平行平面法：（平面与平面平行时复习）

三、性质定理的应用：

例12、ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH。求证：AP∥GH

例13、求证：如果一条直线与两个相交平面平行，那么这条直线与它们的交线平行。

练习：平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平面于这个平面。

【同步练习】

1、能保证直线a与平面平行的条件是（ ）

.Ababa//,,； .Bbab//,；

.Ccabadcb//,//,//,； .DBDACbDbCaBaAb,,,,,。

2、下列命题：（1）直线l平行于平面内的无数条直线，则l∥；（2）若直线a不在平面内，则a∥；（3）若直线a∥b,直线b，则a；（4）若直线a∥b，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线；（5）若直线a∥b，b∥，则a∥；（6）过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；（7）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；（8）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行。

其中正确命题的个数为（ ）

.A 1 .B 2 .C 3 .D 4

a D

.A .B .C .D

柱1111DCBACDBA