隐函数的求导法则三

1 （十） 隐函数求导法则

由方程0,yxF所确定的y是x的函数称为隐函数。从方程0,yxF中有时可解出y是x的显函数 ,如从方程0153yx可解出显函数5153xy；有时，从方程0,yxF中可以解出不止一个显函数，如从方程00222RRyx中可以解出22xRy。它包含两个显函数，其中22xRy代表上半圆周，22xRy代表下半圆周。但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程100sinyxy就不能解出来)(xfy的形式。

现在讨论当y是由方程0,yxF所确定的x的函数，并且y对x可导（即xy存在），那么在不解出y的情况下，如何求导数y呢？其办法是在方程0,yxF中，把y看成x的函数xyy，于是方程可看成关于x的恒等式:0,xyxF.在等式两端同时对x求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后解出 y 即可。

例2.14 求方程0222RRyx所确定的隐函数的导数y.

解 当我们对方程222Ryx的两端同时对x求导时，则应有(xyy是中间变量) 022yyx. 解出 0yyxy.

思考题 证明：圆0222RRyx在其上一点000,yxM处的切线方程为200Ryyxx.问：法线方程是什么？

例2.15 求曲线1lnyxy在点1,1处的切线方程。

解 将曲线方程两边对x求导，得 0)'(ln)'(xxyxy，即

01yyyxy.

于是 12yxyy. 过点1,1处的切线斜率

2 ky1,1=12yxy1,1=21.

故所求切线方程为 1211xy， 即 032yx.

例2.16 已知,0sin2yyx 求1,0y.

1 一、复合函数求导

1、xxyln)(sin，求y

解：vuy，xusin，xvln

)sinln1ln(cot)(sinlnxxxxxvvyuuydxdyx

可以不必取对数求导

2、)()(yxyyxxu，， 有二阶连续导数。

证明：0222222yuyxuxu

证明：yxux

yxuxx，yxuxy

yxuy，yxuyy

0222222yuyxuxu

3、)(12yxxfz，求xz

解：)12)((12yxuffzx

4、xfxz2(2，)2xy，求xyz

解：2212221222)2(2fyfxxfxyffxxfzx

2231222221221211221242)20(2)20(2)20(2fxyxyfyfxyffyyfxyffxxyffxzxy

二、隐函数求导

1、axyzzsin，求xz、yz

解：axyzzFsin，yzFx，xzFy，xyzFzcos 2 xyzyzFFzzxxcos，xyzxzFFzzyycos

2、0)(xzyyzx，，求xz、yz

解：[一])(xzyyzxf，

xyfyzfxzfzyx1121221221

2122122122111xyxzyyxxyxzzx，2212212122111yxyxyxzxyyzzy

[二] 0)(xzyyzx，，两边对 x 求导

0)()1(221xzxzyzxx，解得2122122122111xyxzyyxxyxzzx

隐函数求导法则

隐函数求导法则和复合函数求导相同。由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y（e^xy-y0/x(2y-e^xy)。

求导法则

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

显函数与隐函数

显函数

解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。显函数可以用y=f(x)来表示。 隐函数

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

隐函数与显函数的区别

1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。

2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。比如：y=2x+1。隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。

3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。

隐函数求导法则

隐函数求导法则和复合函数求导相同。由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y（e^xy-y0/x(2y-e^xy)。

求导法则

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

显函数与隐函数

显函数

解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。显函数可以用y=f(x)来表示。 隐函数

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

隐函数与显函数的区别

1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。

2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。比如：y=2x+1。隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。

3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。