隐函数的求导法则

1 （十） 隐函数求导法则

由方程0,yxF所确定的y是x的函数称为隐函数。从方程0,yxF中有时可解出y是x的显函数 ,如从方程0153yx可解出显函数5153xy；有时，从方程0,yxF中可以解出不止一个显函数，如从方程00222RRyx中可以解出22xRy。它包含两个显函数，其中22xRy代表上半圆周，22xRy代表下半圆周。但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程100sinyxy就不能解出来)(xfy的形式。

现在讨论当y是由方程0,yxF所确定的x的函数，并且y对x可导（即xy存在），那么在不解出y的情况下，如何求导数y呢？其办法是在方程0,yxF中，把y看成x的函数xyy，于是方程可看成关于x的恒等式:0,xyxF.在等式两端同时对x求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后解出 y 即可。

例2.14 求方程0222RRyx所确定的隐函数的导数y.

解 当我们对方程222Ryx的两端同时对x求导时，则应有(xyy是中间变量) 022yyx. 解出 0yyxy.

思考题 证明：圆0222RRyx在其上一点000,yxM处的切线方程为200Ryyxx.问：法线方程是什么？

例2.15 求曲线1lnyxy在点1,1处的切线方程。

解 将曲线方程两边对x求导，得 0)'(ln)'(xxyxy，即

01yyyxy.

于是 12yxyy. 过点1,1处的切线斜率

2 ky1,1=12yxy1,1=21.

故所求切线方程为 1211xy， 即 032yx.

例2.16 已知,0sin2yyx 求1,0y.

隐函数求导法则

隐函数求导法则和复合函数求导相同。由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y（e^xy-y0/x(2y-e^xy)。

求导法则

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

显函数与隐函数

显函数

解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。显函数可以用y=f(x)来表示。 隐函数

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

隐函数与显函数的区别

1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。

2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。比如：y=2x+1。隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。

3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。

隐函数求导法则

1.求导法则

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

2.显函数与隐函数

显函数

解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。显函数可以用y=f(x)来表示。

隐函数 如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

隐函数与显函数的区别

1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式。

2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。比如：y=2x+1。隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。

3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。

文　化　教　育　隐函数的求导法则　科　——黑燕江——　技信息　张俊丽　（西安欧亚学院，陕西西安７１００６５）　摘　要：隐函数的导数是高数中比较麻烦的一部分，探讨了隐函数的概念，并就教学过程中隐函数的导数问题做了简单的研究，举例说明了隐　函数一阶导数及高阶导数的计算方法　关键词：隐函数；导数；复合函数；求导法则　通常我们遇到的函数郜是闪变精Ｊ｛】ｆ１变　量的一个解析式（或分段函数拜ｌ不同的解析式）　表示的，如Ｙ＝Ｘ　＋３ｘ，：　一３ｘ３，ｙ：，　ｖ　｛　＋Ｉ，当　．≥。时　，这种形式的函数我们称　·　ｆ２　１ｘ＜ｏ时’　’　…　。　之为显甬数。但在许多实际问题ｌｆ】，变量之间的　函数关系往往不是井】显式彤式表示的，而是通　过一个（或多个）Ｊｙ程，　Ｊ＝　喊Ｆ（ｘ，）’，：）＝０来　确定的，这时我们称由Ｆ（ｘ，ｙ）＝０或Ｆ（ｘ，Ｙ，￡）＝０　确定的函数为隐函数。对于隐函数的导数相对　比较麻烦，就一无隐函数以及二兀隐函数的导　数问题做个简　的研究．　１　．元隐甬数的导数　设方程ｆ’（　，））一０在某　繁什下确定的　隐函数为　’一．，（　），则订　Ｆ（ｘ’、’（　））三０　两边对ｘ求导，ｆ＝ｌ１ｊ多元复合函数求导法　则，可得　Ｆ　（　、）＿＿　（ｒ．、，）　０　所以　（　（　ｏ）　例ｌ计　１　、　Ｉ一０所确定的隐函数　Ｙ—ｙ（　）的导数　解：设Ｆ（ｘ．ｙ）＝ｒ一十　一１，则Ｆ＝２ｘ，　＝２　所以、．１　、　、　例２没疗程式ａｒｃｔａｎ　￣　ｉｎ（ｘ　一　）确定　变量ｖ为ｘ的　数．求导数　’　解：先计算·阶导数　没　¨）　ａｒｃｔａｎ　ｌｎ｛Ｙ¨　｝，则　ｌ　ｖ　２　一ｆ　＋ｖｌ，，　卜　～　。。＿　’　ｌ　２　一　（～）＝■ｉ　一　一２　Ｉ十（　，　２（　Ｙ　，　’　、所以　Ｆ　—Ｙ　Ｆ—　ｘ　Ｙ　＝　阶导数即为一阶导数再求导　（注：计算二阶导数时也要应用复合函数　求导法则，并最后要把一阶导数Ｙ’的结果代　）２ｘｖ～　ｒ　，　２ｌ　ｖ　：ｔ　。｛　｝　故　一　—二　一　２－Ｕｆｉ隐函数的偏导数　没　程Ｆ（ｘ，Ｙ，２）＝Ｏ　某些条件下确定　的隐函数为：＝ｆ（ｘ，Ｙ），则有　Ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ（ｘ，ｖ））三０　运用多元复合函数求导法则，两边分别埘　求偏导数，得　Ｆ。＋Ｆ：　一０讯Ｆ　ＦＡ　０　笋，＝，＝一　ｃ　Ｆ　洲２汁算由方程＝　３ｗ：ａ３：０确定的　隐甬数：＝ｆ（ｘ，）’）的偏导数　解：设Ｆ（ｘ，　＝：　３ｘｙｚ　ａ３，Ｆ＝３．ｖｚ，Ｆ＝　３ｘｚ，　＝３：一３．Ｄ．所以　Ｆ　３ｙｚ　ｙｚ　３ｚ：一３ｗ　：　Ｄ＇　Ｆ　３ｘｚ　：　—　—　—一＝—＿一　３：　３ｗ　ｚ　例４设ｘ　＋ｙ　＋ｚ　－４ｚ＝Ｏ，求出ｏｚ　解：　设Ｆ（ｘ，ｖ　ｘ　ｙ　＋ｚ　＿４ｚ．　二２ｘ，　＝２ｙ，　２ｚ４，所以　２ｘ　Ｘ　２ｚ　４　２一ｚ　（２　ｚ）＋墨．　２。斗　—二　（２　ｚ）‘十　一—（２＿　一一—　二　一　参考文献　【ｌ】章学诚．高等数学（一）【Ｍ】．武汉：武汉大学出　版社．２００７．　ｆ２】周誓达．微积分【Ｍ】．北京：中国人民出版社，　２Ｏ０３