福建省上杭县第一中学等六校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题附答案
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福建省上杭县第一中学等六校2018-2019学年高二下学期期中考试
数学（理）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若复数3i(,i12iRaa为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．－2 B．4 C．－6 D．6
2．函数1)(xexf在点))0(,0(f处的切线方程为（ ）
A．1xy B．2xy C．12xy D．22xy
3.函数2()2lnfxxx的递增区间是（ ）
A.1(0,)2 B. ),21()0,21(和 C.1(,)2 D. )21,0()21,(和
4．函数)(xfy的图象如右图所示，则导函数)('xfy的
图象的大致形状是 ( )
x o y
x o y
x o y
x o y
)('xfy )('xfy )('xfy )('xfy
5．计算dxexx20)(cos为( )
A．2e B．2-2e C．12e D．1-2e
6．用数学归纳法证明不等式),1(211.2111*Nnnnnnn的过程中，从kn到1kn时左边需增加的代数式是 ( )
A．221k B．221121kk C．221121kk D．121k
7.已知函数223)(abxaxxxf在1x处取得极值10，则a=（ ）
A．4或3- B．4-或3 C．3- D．4
8．右下图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第1代“勾股树”，重复图一的作法，得到图二为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）
A．n B．12n C．1n D．2n
9.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝11－3t＋t124(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（ ）
A．4＋25ln5 B．6ln24225 C．6ln24235 D．6ln48235
10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程xx11，求得251x，类似上述过程，则333（ ）
A．2113 B．3 C．6 D．22
11. 函数)0()0(132)(123xexxxxfax在]2,2[的最大值为2，则a的取值范围是（ ）
A．)),12(ln21[ B．)]12(ln210[，
C. )0,( D．)]12(ln21,(
12.已知()fx是定义在),0(上的增函数，其导函数)(xf满足1)()(22xxfxxf，则下列结论正确的是（ ）
A.对于任意),0(x，()0fx B. 对于任意),0(x，()0fx
C.当且仅当0)(),1(xfx， D. 当且仅当(1,),()0xfx
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在复平面内，复数21ii对应的点的坐标为
14．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，
则它落在阴影部分的概率为_______.
15.定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应如图所示的4个图形：
那么以下4个图形中，可以表示A*D的是 （填与图形对应的序号）
16.任意],1[ex，使得ln(0)xaxaaax成立，则a的取值范围是_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17. （本小题满分10分） 设复数aiz21（其中Ra），iz4-32．
（Ⅰ）若21zz是实数，求21zz的值；
（Ⅱ）若21zz是纯虚数，求1z．
18. （本小题满分12分） 已知函数bxxaxaxf23213)(，其中Rba,.
（Ⅰ）若曲线)(xfy在点))2(,2(fP处的切线方程为45xy，求函数)(xf的解析式.
（Ⅱ）当0a时，讨论函数)(xf的单调性.
19. （本小题满分12分） 如图：在三棱锥ABCP中，ABCABCPB,面是直角三角形，,45,2,90PABBCABB，点FED、、分别为BCABAC、、的中点．
（Ⅰ）求证：PBDEF面；
（Ⅱ）求二面角BPCE的余弦值．
20 .（本小题满分12分）某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①1223；②2324；③3425
（Ⅰ）请从以上三个式子中任选一个，根据
，)42.1,41.1(2，)74.1,73.1(3，)24.2,23.2(5验证其正确性（注意不能近似计算）；
（Ⅱ）请将此规律推广至一般情形，并证明之．
21. （本小题满分12分）已知函数()()xfxaxeaR，ln()xgxx
（Ⅰ）讨论函数()yfx的零点个数；
（Ⅱ）[1,)x，不等式()()xfxgxe恒成立，求a的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知函数]0,2[,sincos)(xxxxxf
（Ⅰ）求证：0)(xf；
（Ⅱ）若bxxasin对)0,2(x恒成立，求a的最大值与b的最小值.
“长汀、连城、武平、永定、漳平、上杭六地一中”联考
2018-2019学年第二学期半期考
高二数学（理科）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
答案 D B C D A B D C C A D
B
二、填空题
13. )1,1( 14.31 15.（2）
16. 210,1ee
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵z1＋z2＝5＋（a－4）i是实数，
∴a＝4，z1＝2＋4i，
∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；.................5分
（Ⅱ）∵25)83()46(43221iaaiaizz是纯虚数，
∴iza232,231，
故254941z．.................10分
18. （本小题满分12分）
解（Ⅰ）
1)1()(2'xaaxxf.
由导数的几何意义得5)2('f，于是3a.
由切点))2(,2(fp在直线45xy上可知4b.
所以函数)(xf的解析式为42)(23xxxxf.............5分
（Ⅱ）)1)(1(1)1()(2'axxaxaaxxf.............6分
当10a时，11a,函数)(xf在区间)1,(及),1a（上为增函数，在区间)1,1(a上为减函数;............8分
当1a时,函数)(xf在区间),(上为增函数；............10分
当1a时，11a，函数)(xf在区间)1,(a及),1（上为增函数，在区间)1,1a（上为减函数.............12分
19. （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连接BD、在△ABC中，∠B=90°．
∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．
∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，
BDEF ,又∵PB⊥面ABC，EF平面ABC,∴PBEF,BBDPB
EF平面PBD............6分
（Ⅱ）∵45PAB∴PB=BC=2
如图建立空间直角坐标系，则E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则
EC=(-1,2,0),
EP=(-1,0,2)
设平面PEC的一个法向量为n=（x，y，z），
则nEC=0，EPn =0
即20,20xyxz
令x=2,得y=1,z=1
∴n=(2,1,1),由已知可得，向量BA=(2,0,0)为平面PBC 的法向量
∴cos=||||BAnBAn= 63
∴二面角E-PC-B的余弦值为63 ．............12分
20 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）验证①式成立：
82.112282.22241.12
122374.13又
..............................................................5分
（Ⅱ）一般结论为：若*Nn，则nnn122，证明如下：
