东京大学入学考试-数学
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日本东京大学入学考试数学试题
翻译整理：亡灵之诗；原文来自：百度日语吧。未附答案。
由于知识浅薄，如有疏漏，敬请见谅，欢迎批评指教。
本卷共2页，有3道大题。标准解答时间为2小时。
第1问
直角坐标系xOy上有曲线C：xy2=4，在曲线上取一点P0（x0，y0）（y0＞0）。在过P0的切线与C的交点上另取一点P1（x1，y1）（不取P0）。再从过P1的切线与C的交点中另取一点P2（x2，y2）（不取P1）。
回答下列问题。
（1）用含有y0的值写出P1，P2的坐标。
（2）设△P0 P1 P2的面积为T，由线段P0 P1 、P1 P2以及曲线C围成的面积为S，求TS的值。
（3）求使∠P0 P1 P2为直角的y0的值。
（4）使用第（3）小问求出的y0的值，求△P0 P1 P2外接圆的面积。
第2问
回答下列问题。
（1）对应由实数组成的矩阵A=(abbc)（a2+b2≠0），
有B=(ab−ba)(abbc)(ab−ba)−1
如果矩阵B以
B=(rsst)
的形式表示，请用a，b，c表示出r+t，rt-s2。
（2）根据之前第（1）小问，证明r2+s2≥a2+b2。
（3）实数数列an，bn，cn（n=0，1，2，…）符合如下规则：
当n=0时
(a0b0b0c0) = (1112)，
当n≥1时 (anbnbncn) = (an−1bn−1−bn−1an−1)(an−1bn−1bn−1cn−1)(an−1bn−1−bn−1an−1)−1
（i）试证明：
limn→∞bn=0
（ii）求limn→∞an，limn→∞cn的值。
第3问
设自然数N≥2。满足x1≤…≤xN（即由小到大）的实数x1，…，xN，与实数数列kn，pn，qn（n=0，1，2…）按如下规定对应。
（A） k0=1，p0= x1，q0= xN
（B） 当n为奇数时
kn为“满足xi≤pn−1+qn−12 的xi”的个数。（xi的角标是i，不是1）
（C） 当n为偶数（n≥2）时
kn=kn-1
pn=1kn∑xikni=1
qn=1N−kn∑xiNi=kn+1
不过，当kn=0或者kn=N时，对应关系终止。
有x1＜xN。回答下列问题。
（1） 证明：对于所有自然数n，都有1≤kn≤N-1 且 x1≤pn＜qn≤xN
（2） 规定实数数列Jn满足
Jn=∑(x i−pn)2kni=1+∑(x i−qn)2Ni=kn+1
证明：对于所有自然数n，都有Jn≤Jn-1
（3）证明：当n足够大时，有Jn=Jn-1，pn= pn-1，qn= qn-1，kn= kn-1
