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初中数学最值问题
一、解决几何最值问题的通常思路
两点之间线段最短；
直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
几何最值问题中的基本模型举例
轴对称最值 图形
lPBA NMlBA APBl
原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系
特征 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化 作其中一个定点关于定直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点
折叠最值 图形 B'NMCAB
原理 两点之间线段最短
特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化 转化成求AB'+B'N+NC的最小值
二、典型题型
1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，
若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN的周长的最小值为 ．
【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD． 2
则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，
最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．
【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
初中数学100道经典最值题
1.如图1所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，D为边AB的中点，P为边AC上的动点，则PB+PD的最小值为( )
A.3 B.22 C.23 D.45
2.如图2所示，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足13PABABCDSS矩形 ，则点P到AB两点距离之和PA+PB的最小值为 。
3.如图3所示，在矩形ABCD中，AD＝3，点E为边AB上一点，AE＝1，平面内动点P满足13PABABCDSS矩形，则|DP－EP|的最大值为 。
4.已知222222yxxxx ，则y的最小值为 。
5.已知223914yxx ，则y的最大值为 。
6.如图4所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝42 ，D是边AB上一动点，连接CD，以AD为直径的圆交CD于点E，则线段BE长度的最小值为 。
7.如图5所示，正方形ABCD的边长是4，点E是边AB上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P时边AB上另一动点，则PD+PG的最小值为 。
8.如图6所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AD、DC上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为边BC上一动点，则PA+PG的最小值为 。
9.在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且m2+n2＝4，若点E为CD的中点，则AB+BE的最小值为 。
A.3 B.4 C.5 D.25
10.如图7所示，AB＝3，AC＝2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，则AD的取值范围为 。
第
18卷第
6期
宁波教育学院学报
Voi.18 No.6
2016 年
12 月
JOURNAL OF NINGBO INSTITUTE OF EDUCATION Dec.2016
初中数学最值问题的解法探究
梅宁宁
(宁海县越溪乡初级中学，浙江宁海315605)
摘要:就初中数学最值问题中常用方法：线段法、换元法、判别式法、垂线段最短法、函数法作了探究，有利于提高
学生的解题能力，减轻学生的学习负担，提高数学教学质量。
关键词:初中数学；最值问题;换元法;判别式法；函数法
中图分类号：G633.6 文献标识码:A 文章编号= 1009-2560(2016)06-0121-02
初中数学中，最值问题一直是难点与重点题型之一。由于求最值问题的题型范围比较广，命题角
度比较宽，因而学生感到无从下手，找不到适当的切入点，导致思维阻滞，为了让学生开拓思维，提高
分析能力，使学生从困境中解脱出来，先将常用解法举例如下。
1线段法
例1:如图1
，已知正方形
ABCD边长为4
，P为
DC上的一点，且
DP=1
，Q为
AC上一动点，求
QD+
QP的最小值。
解:连接
BQ
、BP
，设
AC与
BP交于点
E
，由点
B
、D关于
AC对称知
QB=QD
，有
QD+
QP=
QB+
QP。
显然
QB+QP &
BP
，易知当
Q运动到点
E时，等号成立，即两点
B
、P之间距离线段
BP最短。由勾股定
理得
BP=
VBC2
+PC2，而
PC=4-1=3,有
BP=
W+32 =5,从而
QD+QP 的最小值为
BP=5。
析：上例运用了两点之间线段最短或用对称性与三角形三边关系求最值，为我们提供了一种思
路。触类旁通，由此派出一系列针对线段和差的最值问题的解题思路。
A D
B
’ C
图1
2换元法
例2:若
x、
y、
z均为非负数，且满足
x-1=
f=_，则
xW2可取得的最小值为（）(宁波市
2015年初中毕业生学业考试甬真卷
B数学试题第12题)。
A.3
B尽
C.0
D尽
2 2
解：设
x-1=^+^=^2
２０１２－ｆ－第４４期考试周刊
初中数学最值问题的解法
赵秀琴
（嘉峪关市实验中学，甘肃嘉峪关７３５１００）
摘要：最值型数学问题不论是在近几年的竞赛还是中
考当中都经常出现，这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体 现数学的人文价值和社会价值．有利于考查学生的分析、猜
想、建模和综合应用等方面的能力。
关键词：初中数学最值问题解法
最值型数学问题不论是在近几年的竞赛还是中考当中都经
常出现，这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体现数学的人文价
值和社会价值，有利于考查学生的分析、猜想、建模和综合应用等 方面的能力．下面就数学中常见的最值问题和解法介绍如下．
一、平面几何的最值问题
平面几何的最值问题是一类常见的题型，它涉及的知识 面广，综合性强．解答有一定的难度。下面介绍一种利用“轴对
称”巧解最值问题的方法，举例说明．
例１：Ａ、Ｂ两点在直线Ｌ的同侧，在直线Ｌ上取一点Ｐ．使ＰＡ＋
ＰＢ最，Ｊ、．
分析：在直线Ｌ上任取一点Ｐ ，连接ＡＰ ，ＢＰ ，在ＡＡＢＰ中， ＡＰ ＋ＢＰ ＞ＡＢ，如果ＡＰ ＋ＢＰ ＡＢ，则Ｐ 必在线段ＡＢ上，而线段
ＡＢ与直线Ｌ无交点．所以这种思路错误．取点Ａ关于直线Ｌ的对
称点Ａ ，￣ｔＪＡｐ ＝ＡＰ，在△Ａ ＢＰ中，Ａ Ｐ ＋Ｂ Ｐ ＞Ａ Ｂ，当Ｐ 移到Ａ Ｂ 与直线Ｌ的交点处Ｐ点时ＰＡ ＋Ｂ Ｐ ＝Ａ Ｂ．所以这时ＰＡ＋ＰＢ最小．
二、利用函数的性质求最值问题
１．一次函数、反比例函数性质的应用
一次函数和反比例函数在它们的定义域内都没有最值，
但在实际应用问题当中，自变量在一定范围内取值时，由函数
的增减性知函数有最值．
例２：学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张 需８元（包括空白光盘费）；若学校自刻，除租用一台刻录机需
１２０元外，每张还需成本４元（包括空白光盘费）．刻录这批电脑 光盘。到电脑公司刻录费用省还是自刻费用省？请说明理由．
分析：这里刻录光盘的张数不知道，所需费用随光盘张数
