初中数学“最值问题”集锦(一)

1 “最值问题” 集锦（一）

●平面几何中的最值问题„„„„„„„ 01

●几何的定值与最值„„„„„„„„„ 07

●最短路线问题„„„„„„„„„„„ 14

●对称问题„„„„„„„„„„„„„ 18

●巧作“对称点”妙解最值题„„„„„ 22

●平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：

（1） 应用几何性质：

① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

② 两点间线段最短；

③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④ 定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：

① 运用配方法求二次三项式的最值；

② 运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，

在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。

取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP，

2 在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。

1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？

分析 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．

解 作DE⊥AB于E，则 x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，

所以

所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．

-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，

上式只有当x=R时取等号，这时有

所以 2y=R=x．

所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，

这时，梯形的底角恰为60°和120°．

2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？

分析与解 设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有 2x+2y+πx=8，

若窗户的最大面积为S，则

3

把①代入②有

即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．

3. 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？

分析与解 因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限

状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．

设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．

为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，

使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，

所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，

所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．

4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．

证 连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．

因为在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，

所以 ∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．

4 因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以

∠1=∠2=45°，∠3=∠4，

所以 △ADN∽△BDM，

又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以 △MDN∽△BDA，

所以 ∠BAD=∠MND．

由于∠BAD=∠LCD，所以 ∠MND=∠LCD，

所以D，C，L，N四点共圆，所以 ∠ALK=∠NDC=45°．

同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为 △AKM≌△ADM，

所以 AK=AD=AL．而

而

从而

所以 S△ABC≥S△AKL．

5. 如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．

证 设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ≤P1Q1．

因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，

所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．

若∠AQ1P1≥90°，则 PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；

若∠P1Q1C≥90°，则 PQ≤P1Q1≤P1C．

同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，

则 P1C≤BC=AB．

对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．

6. 设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)．

5

解 如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，则过顶点A的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．

(1)若l与BC相交于D，则

所以

只有当l⊥BC时，取等号．

(2)若l′与B′C相交于D′，则

所以

上式只有l′⊥B′C时，等号成立．

7. 如图3－97．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD面积的最小值．

解 设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而

即 AB≥2．

6

当AO=BO时，AB有最小值2．从而

所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为

●几何的定值与最值

几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．

7 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法；

2．几何定理(公理)法；

3．数形结合法等．

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、

逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．

【例题就解】

【例1】 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为 ．

思路点拨 如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，

DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ=21AB一常数，当CQ越小，CD越小，

本例也可设AP=x，则PB=x10，从代数角度探求CD的最小值．

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：

(1)中点处、垂直位置关系等；

(2)端点处、临界位置等．

【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数（ ）

A．从30°到60°变动 B．从60°到90°变动

C．保持30°不变 D．保持60°不变

思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，

其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．

注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，

动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变

化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，

研究的量取得定值与最值．

【例3】 如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b(a>b)，P为AB边上的一动点，

直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．

思路点拨 设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式abba222 (当且仅当ba时取等号)来求最小值．

【例4】 如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．

思路点拨 即要证AK·BN是一个定值，在图形中△ABC

的边长是一个定值，说明AK·BN与AB有关，从图知AB为

△ABM与△ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK·BN=AB2， ⌒

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