高中数学北师大版必修3 3.3 教学课件 《模拟方法--概率的应用》(数学北师大必修3)

1 高中数学 第三章 概率 3 模拟方法——概率的应用备课资料 北师大版必修3

几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.

1.与长度有关的几何概型

例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？

分析：由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.

解：记两段木棍都不小于3米为事件A,

则P(A)=52103310.

2.与面积有关的几何概型

这里有一道十分有趣的题目：

例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的43,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？

分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.

图10

解：不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个41×41的小正方形内(如图10),这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的83.

整个方几的面积为1×1=1,而中央小正方形的面积为41×41=161,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为1611161.

例3 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？ 2

图11

解：设甲到的时间为(9+x)小时,乙到的时间为(9+y)小时,则0≤x≤1,0≤y≤1.

【北师大版】高中数学必修三

模拟方法-概率的应用 教学设计

一、教学目标

1．了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；

2．使学生能够运用模拟方法估计概率．

二、设计思路与教学建议

1． 教科书首先回顾：可以通过大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现．由此说明用模拟方法来估计某些随机事件发生的概率的必要性．教师可让学生回忆在第一节中所用的一些模拟方法．

2． 教科书通过举例说明了模拟方法估计概率在实际中的一个应用：可以求出某些不规则图形的近似面积．

图1

求图1中区域A的近似面积通常有两种方法．

一种方法是几何的方法，比如可以通过几何作图将图中的正方形分成10×10个全等的小正方形，数出区域A中的小正方形的个数（边界处的小正方形如果有不少于一半的部分在区域A中，则认为这个小正方形在区域A中，否则不在区域A中），得出区域A的面积与正方形的面积之比，进而求出区域A的近似面积．要得到更好的估计值，可以把正方形分得更小，比如可以把正方形分成100×100个全等的小正方形，1 000×1 000个全等的小正方形等等．这种方法比较粗略，并且操作起来很麻烦.

另一种方法就是概率的方法，向图1的正方形中随机地撒一粒芝麻，这个试验具有以下特点：

（1） 正方形有有限的度量即面积，一次试验是向正方形内随机投一点，试验的所有可能结果就是正方形内的所有点，因此有无限个．

（2） 正方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所投的点落在正方形中某个区域A内的可能性与A的面积成正比，而与A在正方形中的位置、形状无关．

这类随机试验的数学模型我们称为几何概型(几何概型的相关内容见备用课程资源)．

在上述几何概型中，

P(芝麻落在A内)=区域A的面积/正方形的面积.

我们可以大量重复进行向正方形中随机撒一粒芝麻的试验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在正方形内的芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)，从而求出区域A的面积的近似值．

[核心必知]

1．模拟方法

在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此，我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．

2．几何概型

(1)定义：向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即

P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．

(2)说明：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．

[问题思考]

1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？

提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．

2．在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A)＝0，则A一定为不可能事件；若P(A)＝1，则A一定为必然事件，这种说法正确吗？

提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．

讲一讲

1.取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m的概率有多大？

[尝试解答] 如图所示，记事件A＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．

全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m，事件A包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为3×13＝1(m)，故事件A发生的概率P(A)＝13.

在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．

北师大版高中教材目录

必修1

第一章 集合

§1 集合的含义与表示

§2 集合的基本关系

§3 集合的基本运算

3.1 交集与并集

3.2 全集与补集

第二章 函数

§1 生活中的变量关系

§2 对函数的进一步认识

2.1 函数概念

2.2 函数的表示法

2.3 映射

§3 函数的单调性

§4 二次函数性质的再研究

4.1 二次函数的图像

4.2 二次函数的性质

§5 简单的幂函数

第三章 指数函数和对数函数

§1 正整数指数函数

§2 指数扩充及其运算性质

2.1 指数概念的扩充

2.2 指数运算的性质

§3

指数函数

3.1 指数函数的概念

3.2 指数函数xy2 和xy21 的图像和

性质

3.3 指数函数的图像和性质

§4 对数

4.1 对数及其运算

4.2 换底公式

§5 对数函数

5.1 对数函数的概念

5.2 对数函数xy2log的图像和性质

5.3 对数函数的图像和性质

§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的

比较

第四章 函数应用

§1 函数与方程

1.1 利用函数性质判断方程解的存在

1.2 利用二分法求方程的近似解

§2 实际问题的函数建模

2.1 实际问题的函数刻画

2.2 用函数模型解决实际问题

2.3 函数建模案例

必修2

第一章 立体几何初步

§1 简单几何体

1.1 简单旋转体

1.2 简单多面体

§2 直观图

§3 三视图

3.1 简单组合体的三视图

3.2 由三视图还原成实物图