初三数学圆试题答案及解析

初三数学圆试题答案及解析

1. 已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．

（1）求证：∠PCA=∠PBC；

（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）连接OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，应用三角形内角和定理和圆周角定理可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论．

（2）根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即求得出结论．

试题解析：解：（1）证明：如答图，连接OC，OA，

∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO． ∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC．

∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，

在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，

∵∠AOC=2∠PBC，

∴2∠ACO+2∠PBC=180°．∴∠ACO+∠PBC=90°．

∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC．

（2）∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB．∴．

∵PA=3，PB=5，∴，解得．

【考点】1．等腰三角形的性质；2．切线的性质；3．三角形内角和定理；4．圆周角定理；5．相似三角形的判定与性质．

2. 图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图②的程序移动

（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；

（2）在图①中，所画图形是 轴对称 图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是 （结果保留π）．

【答案】（1）图形见解析

（2）

【解析】（1）根据旋转度数和方向分别作出弧即可；

（2）根据图形的轴对称性解答；求出四次旋转的度数之和，然后根据弧长公式列式计算即可得解

试题解析：（1）如图所示；

（2）所画图形是轴对称图形；

旋转的度数之和为270°+90°×2+270°=720°，

所画图形的周长=．

【考点】旋转变换

3. 已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，如果以A为圆心r为半径的⊙A和以BC为直径的⊙D相交，那么r的取值范围（ ）

A．3＜r＜13 B．5＜r＜17 C．7＜r＜13 D．7＜r＜17

【答案】D．

【解析】由题意得：BD=DC=5，AB=AC=13，

由勾股定理得：AD=12，

设⊙A的半径为r，

根据两圆相交得：

r-5＜12＜r+5，

解答：7＜r＜17，

故选D．

【考点】圆与圆的位置关系．

4. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是

【答案】r=或5＜r≤12．

【解析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．

若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

试题解析：根据勾股定理求得直角三角形的斜边是=13．

当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于；

当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则5＜r≤12．

故半径r的取值范围是r=或5＜r≤12．

【考点】直线与圆的位置关系．

5. 半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为 cm2． 【答案】.

【解析】直接利用扇形面积公式求出即可：半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为：（cm2）．

【考点】扇形面积的计算．

6. 如图，已知⊙O上依次有A，B，C，D四个点，，连接AB，AD，BD，弦AB不经过圆心O．延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．

（1）若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求劣弧的长；

（2）求证：BF＝BD；

（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG＝PF?并说明PB与AE的位置关系

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）在⊙O上存在点P（不同于点B），使得PG=PF，此时PB⊥AE.

【解析】（1）要求劣弧BD的长，根据弧长公式，只需求圆心角∠BOD的度数，所以，需要连接OB、OD.由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得所对的圆心角为2400，所以∠BOD=1200.利用弧长公式直接计算可解.

（2）连接AC，则BF是△ACE的中位线，再根据弧弦关系定理，证得AC=BD即可.

（3）作∠DBF的平分线交⊙O于点P，连接PG，PB，则由SAS可证△PBG≌△PGB，从而得到PG-PF，此时，由∠FBE=∠CAE和∠DBA=∠FBE可得∠PBA=∠PBE=900，即 PB⊥AE.

试题解析：解：（1）如答图1， 连接OB、OD，

∵∠DAB=1200，∴所对的圆心角为2400．∴∠BOD=1200．

∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为.

（2）证明：如答图2，连接AC，

∵AB=BE，∴B是AE的中点.

∵F是EC的中点, ∴BF是△EAC的中位线．∴BF=.

∵，

∴，即.

∴BD=AC．∴BF＝.

（3）在⊙O上存在点P（不同于点B），使得PG=PF，此时PB⊥AE．理由如下： 如答图3，作∠DBF的平分线交⊙O于点P，连接PG，PB，则

∵G是BD的中点，由（2）BF＝，∴BG=BF.

又∵PB=PB，∠PBG=∠PBF，

∴△PBG≌△PGB（SAS）．∴PG-PF.

由（2）BF是△EAC的中位线， ∴BF∥AC.

∴∠FBE=∠CAE. ∴，∴∠CAB=∠DBA．

∴∠DBA=∠FBE．∴∠PBA=∠PBE=900，即 PB⊥AE.

【考点】1.圆周角定理；2．弧长计算；3．三角形的中位线的性质；4．弧弦关系定理；5.全等三角形的判定和性质；6.垂直的判定.

7. 如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是 ． 【答案】28°． 【解析】根据圆周角定理即可推出∠AOB=2∠ACB，再代入∠AOB+∠ACB=84°通过计算即可得出结果．

试题解析：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°

∴3∠ACB=84° ∴∠ACB=28°．

【考点】圆周角定理．

8. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，,则 °．

【答案】20.

【解析】∵AB是⊙O的直径，∴.

∵OA=OC，，∴. ∴.

【考点】1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质.

9. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．

（1）求证：OE∥AB；

（2）求证：； （3）若,求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）根据等腰梯形的等腰三角形的性质，可得∠B=∠C=∠OEC.，从而判定OE∥AB.

（2）要证明，只需证明四边形OEHF是平行四边形，要证明OEHF是平行四边形，已知它有一组对边平行，只需再说明另一组对边平行，由已知EH⊥AB和圆切线的性质即可得到.

（3）要求，只要证明△EHB∽△DEC，再根据相似三角形的性质来求即可.

（1）在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C.

∵OE=OC，∴∠OEC=∠C. ∴∠B=∠OEC.

∴OE∥AB．

（2）如图，连接OF．

∵⊙O与AB切于点F，∴OF⊥AB.

∵EH⊥AB，∴OF∥EH.

又∵OE∥AB，∴四边形OEHF为平行四边形.

∴EH=OF，∴.

（3）如图，连接DE．

∵CD是直径，∴∠DEC=90°.∴∠DEC=∠EHB.

又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC. ∴.

∵，设，则，

∴. ∴.

【考点】1.等腰梯形和等腰三角形的性质；2.平行的判定；3.圆切线的性质；4.圆周角定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理.

10. 已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm，则圆锥的侧面积为 . 【答案】50πcm2 【解析】∵底面圆的半径为5cm，则底面周长为10πcm，

∴圆锥的侧面积为×10π×10＝50πcm2.

11. 如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC=40°，则∠AOC的度数为（ ）

A．80° B．100° C．140° D．无法确定

【答案】B.

【解析】根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，先求得∠BOC=2∠BDC=80°，再进一步求得∠AOC的度数．

∵∠BOC=2∠BDC=80°， ∴∠AOC=180°-∠BOC

=180°-80°

=100°．

故选：B．

考点:圆周角定理.

12. 如图，经过原点的⊙P与两坐标轴分别交于点A（2，0）和点B（0，2）， C是优弧上的任意一点（不与点O,B重合），则tan∠BCO的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A．

【解析】连结AB，根据正切的定义得到tan∠A=，再根据圆周角定理得∠C=∠A，所以tan∠BCO=．

故选A．

【考点】圆周角定理．

13. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是

A． B． C． D．3

【答案】C.

【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题．

∵图扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=，

∴n=120°即扇形的圆心角是120°，

∴弧所对的弦长AA′=2×3sin60°=3，

故选C．

考点:1.圆锥的计算；2.平面展开-最短路径问题．

14. 如图,圆心B在y轴的负半轴上,半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0,1）.过点P（0,－7）的直线l与⊙B相交于C、D两点,则弦CD长的所有可能的整数值有_______个；它们