数学_2014年湖南省某校高考数学三模试卷(文科)(含答案)

2014年湖南省某校高考数学三模试卷（文科）

一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1. 已知集合𝐴={3, 𝑎2}，𝐵={0, 1, 𝑎+1}，若𝐴∩𝐵={1}，则𝐴∪𝐵=( )

A {0, 1, 3} B {0, 1, 2, 3} C {0, 2, 3} D {0, 1, 3, 4}

2. 下列说法中，不正确的是（ ）

A “|𝑥|=|𝑦|”是“𝑥=𝑦”的必要不充分条件 B 命题𝑝:∀𝑥∈𝑅，sin𝑥≤1，则¬𝑝:∃𝑥∈𝑅，sin𝑥>1 C 命题“若𝑥，𝑦都是偶数，则𝑥+𝑦是偶数”的否命题是“若𝑥，𝑦不是偶数，则𝑥+𝑦不是偶数” D 命题𝑝：所有有理数都是实数，𝑞：正数的对数都是负数，则(¬𝑝)∨(¬𝑞)为真命题

3. 冬日，某饮料店的日销售收入𝑦（百元）与当天的平均气温𝑥(∘𝐶)之间有下列5组样本数据：

𝑥 −2 −1 0 1 2

𝑦 5 4 2 2

1

根据散点图可以看出，这组样本数据具有线性相关关系，则其回归方程可能是（ ）

A 𝑦̂=𝑥+2.6 B 𝑦̂=−𝑥+2.6 C 𝑦̂=𝑥+2.8 D 𝑦̂=−𝑥+2.8

4. 执行如图所示的程序框图，若输入𝑥=3，计算机输出的𝑦值为13，则图中①处的关系式可以是（ ）

A 𝑦=𝑥3 B 𝑦=𝑥−3 C 𝑦=3𝑥 D 𝑦=3−𝑥

5. 设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎1=1，𝑎2+𝑎4=10，则使𝑆𝑛>527成立𝑛的最小值是（ ）

A 16 B 17 C 22 D 23

6. 若抛物线𝑦2=𝑎𝑥经过不等式组{𝑥−𝑦−2≥0,𝑥+2𝑦−8≤0,𝑦≥1表示的平面区域，则抛物线焦点的横坐标的取值范围是( )

A [124, 14] B [112, 12] C [16, 1] D [14, 32]

7. 如图，将边长为2的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐵𝐷折起得到一个三棱锥𝐶−𝐴𝐵𝐷，已知该三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）

A 1 B 2 C √3 D 2√3

8. 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=3，过点𝐴向∠𝐵𝐴𝐷所在区域等可能任作一条射线𝐴𝑃，已知事件“射线𝐴𝑃与线段𝐵𝐶有公共点”发生的概率为13，则𝐵𝐶边的长为（ ） A 1 B √3 C 3 D 3√3

9. 设𝐹1、𝐹2分别为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎, 𝑏>0)的左、右焦点，动点𝑃满足𝑃𝐹1→⋅𝑃𝐹2→=0，若直线𝑙:3𝑥−4𝑦−10=0与点𝑃的轨迹有且只有一个公共点，则下列结论正确的是（ ）

A 𝑎2+𝑏2=2 B 𝑎2−𝑏2=2 C 𝑎2+𝑏2=4 D 𝑎2−𝑏2=4

10. 已知定义在(0, +∞)上的函数𝑓(𝑥)满足：对任意正实数𝑎，𝑏，都有𝑓(𝑎𝑏)=𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)−2，且当𝑥>1时恒有𝑓(𝑥)<2，则下列结论正确的是（ ）

A 𝑓(𝑥)在(0, +∞)上是减函数 B 𝑓(𝑥)在(0, +∞)上是增函数 C 𝑓(𝑥)在(0, 1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数 D 𝑓(𝑥)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是减函数

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11. 已知𝑧为纯虚数，且满足(2−𝑖)𝑧=4−𝑏𝑖，则实数𝑏=________．

12. 已知圆𝐶的极坐标方程为𝜌=2cos𝜃，直线𝑙的参数方程为{𝑥=5−√3𝑡𝑦=𝑡（𝑡为参数），设𝐴，𝐵分别为圆𝐶和直线𝑙上的动点，则|𝐴𝐵|的最小值为________．

13. 如图，已知|𝑂𝐴→|−1，|𝑂𝐵→|=2，∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝑂𝐶=60∘，若𝑂𝐶→=𝜆𝑂𝐴→+𝑂𝐵→，则𝜆=________．

14. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶边上一点，已知𝐴𝐵=6，𝐴𝐷=5，𝐶𝐷=2，𝐵=30∘，∠𝐴𝐷𝐵为锐角，则：

（1）sin∠𝐴𝐷𝐵=________；

（2）𝐴𝐶边的长为________．

15. 设𝑥1=2𝑡+𝑖𝑡−1×2𝑡−1+𝑖𝑡−2×2𝑡−2+𝑖𝑡−3×2𝑡−3+...𝑖2×22+𝑖1×21+𝑖0×20．

𝑥2=2𝑡+𝑖0×2𝑡−1+𝑖𝑡−1×2𝑡−2+𝑖𝑡−2×2𝑡−3+...+𝑖3×22+𝑖2×21+𝑖1×20．

𝑥3=2𝑡+𝑖1×2𝑡−1+𝑖0×2𝑡−2+𝑖𝑡−1×2𝑡−3+...+𝑖4×22+𝑖3×21+𝑖2×20．

𝑥4=2𝑡+𝑖2×2𝑡−1+𝑖1×2𝑡−2+𝑖0×2𝑡−3+𝑖𝑡−1×2𝑡−4+...+𝑖5×22+𝑖4×21+𝑖3×20，…

以此类推构造无穷数列{𝑥𝑛}，其中𝑖𝑡=0或𝑙(𝑘=0, 1, 2,…,𝑡−1, 𝑡∈𝑁∗)，若𝑥1=110，则

（1）𝑥2=________．

（2）满足𝑥𝑛=𝑥1(𝑛∈𝑁∗, 𝑛≥2)的𝑛的最小值为________．

三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 已知函数𝑓(𝑥)=√3sin2𝜔𝑥+6cos2𝜔𝑥−3(𝜔>0)在一个周期内的图象如图所示，其中𝐴为图象的最高点，𝐵、𝐶为图象与轴的交点，且△𝐴𝐵𝐶为正三角形．

（1）求𝜔的值；

（2）若𝑓(𝑥0)=6√35，且𝑥0∈(23, 83)，求𝑓(𝑥0+1)的值．

17. 今年5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按[60, 70]，[70, 80]，[80, 90]，[90, 100]分成4组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个等级，等级评定标准如下表所示：

评估得分 [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90, 100]

评定等级 𝐷 𝐶 𝐵 𝐴

(1)估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；

(2)从评估分数不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家𝐴等级的概率．

18. 如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面是边长为2的正方形，𝑃𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐷=𝐶𝐷，𝐸为𝑃𝐵的中点．

（1）求异面直线𝑃𝐴与𝐷𝐸所成的角；

（2）在底边𝐴𝐷上是否存在一点𝐹，使𝐸𝐹⊥平面𝑃𝐵𝐶？证明你的结论．

19. 某地区电力成本为0.3元/𝑘𝑤⋅ℎ，上年度居民用电单价为0.8元/𝑘𝑤⋅ℎ，用电总量为𝑎𝑘𝑤⋅ℎ（𝑎为正常数），本年度计划将居民用电单价适当下调，且下调后单价不低于0.5元/𝑘𝑤⋅ℎ，不高于0.7元/𝑘𝑤⋅ℎ．经测算，若将居民用电单价下调为𝑥元/𝑘𝑤⋅ℎ，则本年度居民用电总量比上年度增加0.2𝑎𝑥−0.4𝑘𝑤⋅ℎ．

（1）当用电单价下调为多少时，电力部门本年度的收益最低？（精确到0.01元/𝑘𝑤⋅ℎ，参考数据：√2≈1.414）

（2）若保证电力部门本年度的收益比上年度增长20%以上，求下调用电单价的定价范围．

20. 如图，设椭圆中心在原点，焦点在𝑥轴上，𝐴、𝐵分别为椭圆的左、右顶点，𝐹为椭圆的右焦点，已知椭圆的离心率𝑒=√32，且𝐴𝐹→⋅𝐵𝐹→=−1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若存在斜率不为零的直线𝑙与椭圆相交于𝐶、𝐷两点，且使得△𝐴𝐶𝐷的重心在𝑦轴右侧，求直线𝑙在𝑥轴上的截距𝑚的取值范围．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=1𝑥+1． （1）设𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)⋅1𝑛𝑥，判断函数𝑔(𝑥)在(0, +∞)上是否存在极大值，并说明理由．

（2）如图，曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑄(0, 1)处的切线与𝑥轴交于点𝑃1，过点𝑃1作𝑥轴的垂线交曲线于点𝑄1；曲线在点𝑄1处的切线与𝑥轴交于点𝑃2，过点𝑃2作𝑥轴的垂线交曲线于点𝑄2；依次重复上述过程得到点列：𝑃1，𝑃2，𝑃3，…，𝑃𝑛(𝑛∈𝑁∗)，设点𝑃𝑛的坐标为(𝑎𝑛, 0)，求数列{𝑎𝑛}的通项公式，并证明：1𝑎1+1𝑎2+...+1𝑎𝑛≥32−12𝑛．

2014年湖南省某校高考数学三模试卷（文科）答案

1. B

2. C

3. D

4. C

5. D

6. A

7. A

8. B

9. C

10. A

11. −8

12. 1

13. −2

14. 分别为：35，3√5．

15. 87、7．

16. 解：（1）函数𝑓(𝑥)=√3sin2𝜔𝑥+6cos2𝜔𝑥−3=√3sin2𝜔𝑥+3cos2𝜔𝑥=2√3sin(2𝜔𝑥+𝜋3)．

由于△𝐴𝐵𝐶为正三角形，故高线的长为2√3，故边长为𝐵𝐶=4，故周期为8，即2𝜋2𝜔=8，求得𝜔=𝜋8．

（2）由以上可得，𝑓(𝑥)=2√3sin(𝜋4𝑥+𝜋3)，由𝑓(𝑥0)=2√3sin(𝜋4𝑥0+𝜋3)=6√35，可得sin(𝜋4𝑥0+𝜋3)=35．

结合𝑥0∈(23, 83)，可得𝜋4𝑥0+𝜋3∈(𝜋2, 𝜋)，

∴ cos(𝜋4𝑥0+𝜋3)=−45．

求𝑓(𝑥0+1)=2√3sin[𝜋4(𝑥0+1)+𝜋3]=2√3sin[(𝜋4𝑥0+𝜋3)+𝜋4]=2√3[sin(𝜋4𝑥0+𝜋3)cos𝜋4+cos(𝜋4𝑥0+𝜋3)sin𝜋4]

=2√3(35×√22−45×√22]=−√65．

17. 解：(1)∵ 最高小矩形下底边的中点值为75，

∴ 估计评估得分的众数为75；

∵ 从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28，0.16，0.08，

∴ 第二个小矩形的面积为1−0.28−0.16−0.08=0.48；

∴ 𝑥¯=65×0.28+75×0.48+85×0.16+95×0.08=75.4，