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附件22019年河北省高校精品在线开放课程申报书所属学校_____________ 中国地质大学长城学院________________课程名称_____________________ 高等数学_____________________课程类型通识教育课□公共基础课□学科/专业基础课□专业核心课□创新创业类课课程类另廿全日制□成人教育________________________________课程层次本科□专科____________________________________所属学科____________________ 数学 __________________________课程负责人_______________ 李海军___________________________申报日期_________________ 2018年12月6日__________________推荐单位 ________河北省教育厅2018年12月填写要求1.以word 文档格式如实填写各项。
2.表格文本中外文名词第一次出现时，要写清全称和缩写，再次出现时可以使用缩写。
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1•课程负责人情况2•教学团队其他教师情况（包括其他主讲教师、助教、技术支持等）注：若其他教师非本校教师，请在备注栏填写受聘教师类别及实际工作单位。
3•课程情况3-1课程描述3-1-3相关教学资源储备情况具备完整的教学大纲，教案（完整电子版），教学课件，丰富的测验与考试的试题资源。
4•评价反馈4-2学生评价（如果本课程已经面向学生开设，填写学生的评价意见）高等数学课程为我校工科、经管类专业的主要基础课程。
学校及各学院对其教学效果及其质量监控都极为重视，有配套的监控机制和激励机制，为这门课程的建设奠定了良好的基础。
在学校几年来的学生网上测评中，本课程在学生心目中具有较高的地位。
二维形式的柯西不等式（第一课时）说课稿安徽省六安中学钟志虎各位专家、评委：上午好！今天我说课的课题是新课标人教A版选修4一5第3讲“柯西不等式与排序不等式”第1节二维形式的柯西不等式（第一课时），下面我将从以下六个方面进行分析。
一、教材分析柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用。
二维柯西不等式的向量形式和代数形式是等价的，从而可以从形和数两个角度加深对柯西不等式的认识和运用，也为后面引出三维和一般形式的柯西不等式埋下伏笔。
二、学情分析学生已经初步掌握不等式和向量的基本知识，具有对数运算、基本不等式等公式学习的经验，有一定的观察、思考、推理能力，这些都为柯西不等式的学习奠定了基础.三、教学目标根据以上两点，教学目标确定为：1）借助平面向量数量积的性质，探究发现二维形式的柯西不等式，并能进行代数证明；2）掌握二维形式的柯西不等式的结构特征以及等号成立的条件，能初步利用柯西不等式进行基本的推理证明和简单的函数最值的求解；3）经历对二维形式的柯西不等式的探究、证明和应用过程，提升直观想象、逻辑推理、数学运算数学学科核心素养。
教学重点确立为：二维形式的柯西不等式及其初步应用。
教学难点确立为：二维形式的柯西不等式的结构特征。
四、教学策略：教法：采用启发、探究式学习。
通过设疑启发、引导探究、深化理解、归纳总结达到课堂的充分交流互动。
学法：引导学生揭示知识的内涵，帮助其养成独立思考、合作探究的良好习惯.五、教学过程分析环节一：引入新课为激发学生探究欲望，创设情境：播放川剧变脸短视频我国的川剧艺术，有一个典型代表——变脸。
脸虽然变来变去，但人始终还是那个人。
这节课，我们学习数学中的一个经典不等式，它也经常变脸，需要我们敏锐地分辨出真人，这就是柯西不等式。
设计意图：引入课题。
环节二：新知探究“柯西不等式从哪里来？它长什么样？”这是这一环节的主要任务，为此设计如下三个问题：问题1：设α、是两个向量，根据向量数量积的定义，有αcosβθ=⋅，这个等式中共有四个量：⋅，θ⋅cos，其中某些量之间含有不等关系，你能找到吗？问题引导：（1）哪个量自己天生就蕴含不等关系（有范围限制）？（2）由1cos ≤θ，可以得到βα⋅之间具有怎样的不等关系？≤①；（3）等号何时成立？——α、β共线。
《线性代数》课程教学创新成果报告【摘要】线性代数是大学理工类本科生的一门必修课程。
为了让学生更好的学好这门课，实现教书育人的最高目标，在教学中努力尝试“以学生为中心”的教学理念，在教学目标中增加课程思政目标，既关注学生的知识生成，更关注学生数学能力，综合能力及道德品质的培养和提高。
针对课程教学过程的痛点，对这门课程的教学活动和教学内容进行了改革和创新，教学活动的创新主要表现在：教学资源的优化配置，探索更有效的教学方式方法；注重教学难点的突破，学习和答疑途径的多元化，教学内容的创新主要体现在：注重科学素养的培育，充分发掘课程思政元素，实现全方位育人等。
【关键词】线性代数；课程教学创新；诱导启发式。
线性代数是高等学校理工科各专业本科生的一门重要的基础理论课，是理工类学生考研的必考科目，它是以矩阵、行列式等为工具，研究线性问题的求解理论和方法的一门学科.由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定的条件下也可转化为线性问题,因此本课程所介绍的基本理论和方法广泛地应用于自然科学、社会科学等各领域，尤其是计算机得到普及的今天，本课程的作用与地位更显重要。
该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力，空间直观和想象能力具有重要的作用。
在培养学生的科学素养，人文精神和创新能力等方面也起着十分重要的作用。
因此线性代数的教学过程的改革创新，学生的学习过程的优化及学习效果的提高都显得非常重要。
一课程教学的“痛点”1.学生的痛点经调查显示，学生普遍认为，线性代数不同于高等数学，定义定理都是比较抽象，无法与实践和以前的认知联系起来，很多学生普遍反映线性代数学习感到吃力。
复习基本靠死记硬背，大部分学生对考试成绩不满意，更别说数学素养的提升。
1.老师的痛点从老师的角度看，线性代数课程课时少，内容多，想把线性代数的内容在有限的课时内讲懂讲透，是一件富有挑战的事情。
传统的教学方式基本以讲授为主，很难调动学生学习的积极性，强硬的灌输抽象的概念及定理等，使学生感觉课堂是枯燥无味的，这样的状态下很难使学生在线性代数的学习过程中，进一步提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力等数学素养。
课时达标 第59讲[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．1．函数f (x )＝ax ＋b ，当|x |≤1时，都有|f (x )|≤1，求证：|b |≤1，|a |≤1.证明 ∵|f (x )|≤1，令x ＝0，得|f (0)|≤1，∴|b |≤1.∵|f (1)|＝|a ＋b |≤1，|f (－1)|＝|－a ＋b |≤1，∴2|a |＝|a ＋b ＋a －b |≤|a ＋b |＋|a －b |≤2.∴|a |≤1.2．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－|x －a |＋a (a ∈R )．(1)解不等式f (x )≤5；(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f (x )≤5的解集为[－2,3]．(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，即|x －2|＋|x －a |≥a 恒成立．而|x －2|＋|x －a |的最小值为|2－a |＝|a －2|，∴|a －2|≥a ，∴(2－a )2≥a 2，解得a ≤1，故a 的取值范围为(－∞，1]．3．设f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)若对任意的x ∈R ，f (x )≥4，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，其图象如图所示．根据图象易得f (x )≥3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)由于f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，对任意的x ∈R ，f (x )≥4等价于|a －1|≥4，解得a ≥5或a ≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．4．设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式|x －3|－2x ≤2m －12.解析 (1)设f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|，则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －6－2x ，x <－7，8，－7≤x ≤1，2x ＋6，x >1.当x <－7时，f (x )>8；当－7≤x ≤1时，f (x )＝8；当x >1时，f (x )>8.综上，f (x )有最小值8，所以m ≤8，故m 的取值范围为(－∞，8]．(2)当m 取最大值时，m ＝8.原不等式等价于|x －3|－2x ≤4.等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x －3－2x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x <3，3－x －2x ≤4， 等价于x ≥3或－13≤x <3. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－13. 5．设函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4. 解析 (1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4.因为方程|x －2|＋|x －1|＝4的解为x 1＝－12，x 2＝72， 所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞. (2)证明：f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，所以1m ＋12n ＝1(m >0，n >0)． 所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝⎛⎭⎫1m ＋12n ＝2＋2n m ＋m 2n≥4，当且仅当m ＝2n 时，等号成立． 6．设f (x )＝2|x |－|x ＋3|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并求不等式f (x )≤7的解集S ；(2)若关于x 的不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．解析 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－3，－3x －3，－3≤x ≤0，x －3，x >0.如图，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝7相交于横坐标为x 1＝－4，x 2＝10的两点， 由此得S ＝[－4,10]．(2)由(1)知f (x )的最小值为－3，则不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解必须且只需－3＋|2t －3|≤0，解得0≤t ≤3，所以t 的取值范围是[0,3]．。
2019年中考数学基础知识大串讲（共10讲）导读：中考大串讲按照代数综合、几何综合、概率统计三大块共分成10个串讲专题.“考点串讲”部分是对所讲专题的重要考点的概括，“新题演练”部分是针对所讲专题重要考点的精例及解析，使您做题后，跳出题海，轻松应对中考，决胜中考！串讲一数与式考点串讲1.实数.考查重点：（1）有理数、无理数、实数、非负数概念；（2）相反数、倒数、数的绝对值概念；（3）在已知中，以非负数a2、|a|、a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.（4）考查实数的运算（有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字、计算器功能鍵及应用.）2.整式与分式.整式知识点：代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、因式分解.整式考查重点：（1）考查列代数式的能力；（2）考查整数指数幂的运算、零指数.（3）掌握并灵活运用提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）进行因式分解.分式：分式考查重点：（1）考查整数指数幂的运算，零运算；（2）考查分式的化简求值.3.二次根式.式子a（a≥0）叫做二次根式．考查重点：（1）了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式.掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；（2）掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化.新题演练：新题1：在实数－23，0，3，－3.14，2，4，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如4=2是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，•但它是无限不循环小数，是无理数．2π是无理数，而不是分数．在上面所给的实数中，只有3，2π，－0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数，故选C. 答案：C新题2：已知x 、y 是实数，且34x ++（y 2－6y+9）=0，若axy －3x=y ，则实数a 的值是（ ）A ．14 B ．－14 C ．74 D ．－74解析：若几个非负数之和等于零，则每个非负数均等于零．这是非负数具有的一个重要性质．本题中∵34x +和（y －3）2均为非负数，它们的和为零，只有3x+4=0，且y －3=0，由此可求得x ，y 的值，将其代入axy －3x=y 中，即求得a 的值．答案：34x ++（y －3）2=0 ∴3x+4=0，y －3=0 ∴x=－43，y=3． ∵axy－3x=y ，∴－43×3a－3×（－43）=3 ∴a=14∴选A 新题3：若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式a 2+b 2－c 2－2ab 的值（ ）A ．大于零B ．小于零C ．大于或等于零D ．小于或等于零 解析：本题是确定代数式的取值范围与因式分解的综合题，•把所给多项式的部分因式进行因式分解，再结合“a ，b ，c 是三角形的三边”，应满足三角形三边关系是解决这类问题的常用方法．答案：（1）∵a 2+b 2－c 2－2ab=（a 2－2ab+b 2）－c 2=（a －b ）2－c2=（a －b+c ）（a －b －c ），又∵a ，b ，•c 是三角形三边的长．∴a+c>b ，a<b+c ，即a －b+c>0，a －b －c<0 ∴（a －b+c ）（a －b －c ）<0即a 2+b 2－c 2－2ab<0，故选B ．新题4：先化简22424422x x xx x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，然后请你任取一个合适的数作为x 的值代入求值． 解析：本题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序.先乘除后加减，有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号.22424422x x xx x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭()()()22222222x x x x x x x x x +----=⨯-⨯+-()()2222x x x x x -+=-+ ()()()2222822x x x x x +--==++.取值时要考虑分式的意义，即x ≠±2. 答案：原式=22424422x x xx x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭()()()22222222x x x x x x x x x +----=⨯-⨯+-()()2222x x x x x -+=-+()()()2222822x x x x x +--==++(x 只要不取±2均可) 取x=6，得原式=1串讲二 方程（组）与不等式（组）考点串讲1.一元一次方程.知识点：等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程. 考查重点：掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程. 2.二元一次方程（组）.了解二元一次方程组及其解法，并灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组.重点：掌握消元思想，熟练地解二元一次方程组.会用二元一次方程组解决一些简单的实际问题. 难点：图象法解二元一次方程组，数形结合思想. 3.一元二次方程.知识点：一元二次方程、解一元二次方程及其应用、一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系. 考查重点：（1）了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式； （2）会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程； （3）能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题. 4.分式方程. 考查重点：（1）会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程； （2）分式方程及其实际应用. 5.一元一次不等式（组）.知识点：不等式概念，不等式基本性质，不等式的解集，解不等式，不等式组，不等式组的解集，解不等式组，一元一次不等式，一元一次不等式组，一元一次不等式组应用. 考查重点：考查解一元一次不等式（组）的能力. 新题演练：新题1：已知关于x 的方程432x m -=的解是x m =，则m 的值是____________． 解析：本题考查了一元一次方程解的意义．因x m =是该方程的解，所以代入后方程仍然成立，即：432m m -=，解这个关于m 的方程得m=2． 答案：m=2新题2：若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为A ．43-B.43C.34D.34-解析：由方程组得2x ＝14k ，y ＝－2k ．代入632=+y x ，得14k －6k ＝6，解得k ＝43． 答案：B新题3：解方程：2420x x ++=解析：根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解.答案：242x x +=- 24424x x ++=-+ 2(2)2x +=22x +=± 22x =±- 122222x x ∴=-=--，新题4：解方程：431222-=-+-x x x ． 解析：由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根．去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．答案：解：去分母得：(x －2)2－(x 2－4)=3．－4x ＝－5． x ＝45． 经检验，x ＝45是原方程的解． 新题5：解不等式组：331213(1)8x x x x-⎧+>+⎪⎨⎪---⎩，≤并在数轴上把解集表示出来．解析：一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形．注意：①分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号．同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；③在数轴上表示不等式的解集，当解集是x<a 或x>时，不包括数轴上a 这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是x ≤a 或x ≥a 时，包括数轴上a 这一点，则这一点用黑圆点表示；④解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握． 答案：解：解不等式（1）得1x <,解不等式（2）得2x -≥.所以不等式组的解集为21x -<≤新题6：在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？解析：本题主要考查分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x•的值是否是方程的解，再检验是否符合题意．答案：解：（1）设乙队单独完成需x 天根据题意，得11120()2416060x ⨯++⨯= 解这个方程，得x =90经检验，x =90是原方程的解∴乙队单独完成需90天（2）设甲、乙合作完成需y 天，则有11()16090y += 解得36y =（天）甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元） 乙单独完成超过计划天数不符题意．甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元） 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．串讲三 函数考点串讲1.函数基本概念.-20 1x知识点：常量与变量、函数与自变量、函数表示方法. 考查重点：（1）考查自变量的取值范围，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围；（2）函数自变量的取值范围. 2.一次函数.知识点：正比例函数及其图象、一次函数及其图象. 考查重点：（1）考查正比例函数、一次函数的定义、性质；（2）综合考查正比例、一次函数的图象；（3）考查用待定系数法求正比例、一次函数的解析式. 3.二次函数.知识点：二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向. 考查重点：（1）考查二次函数的定义、性质；（2）综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象；（3）考查用待定系数法求二次函数的解析式；（4）考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值；（5）考查代数与几何的综合能力，常作为专项压轴题. 4.反比例函数.知识点：反比例函数意义；反比例函数 反比例函数图象；反比例函数性质；待定系数法确定函数解析式. 考查重点：（1）确定反比例函数表达式；（2）画反比例函数的图象；（3）用反比例函数解决某些实际问题. 新题演练：新题1：如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．解析：本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k 与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即12S k =，由2k =，且图象在第一象限内，所以2k =，由12y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得点A 坐标为(1,2)，而1y x =+与x 轴的交点坐标为(-1,0)，所以AB=2，BC=2.由勾股定理得222222AC =+== 答案：22新题2：某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场yO x AC B可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润恰好是500元，试确定销售单价x 是多少元？ 解析：（1）根据一次函数解析式的特征，直接根据题意列出二元一次方程组，就可以求出一次函数的解析式.（2）在确定函数关系式时，特别注意自变量的取值范围，由本题中“试销期间销售单价不低于成本单价”得x ≥60，由“获利不得高于45%”得x ≤（1+45%）×60，即x ≤87，因此6087x ≤≤.对于求出二次函数的最值问题，同时要考虑在自变量的取值范围；（3）这个问题是把二次函数问题转化为一元二次方程来考虑，要注意的是求出的结果必须要在二次函数的自变量的取值范围内.注意：在二次函数中通过求函数的最大（小）值以解决求实际问题的最大利润、最优方案等，首先考虑利用二次函数y=ax 2+bx+c 当x=-2b a时，y 取最大（小）值244ac b a-来求，但当x=-2b a不在自变量的取值范围时，可利用二次函数的增减性由一个变量的极端值求另一变量的极值.答案：（1）根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得1120k b =-=，． 所求一次函数的表达式为120y x =-+．（2）(60)(120)W x x =--+21807200x x =-+-2(90)900x =--+，抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大，而6087x ≤≤，∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． （3）由500W =，得25001807200x x =-+-，整理得，218077000x x -+=， 解得，1270110x x ==，． 因为6087x ≤≤，所以，销售单价70x =．新题3：如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(10)A -，，(03)B ，，(00)O ，，将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°，得到A B O ''△．（1）如图，一抛物线经过点A 、B 、B ′，求该抛物线解析式； （2）设点P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB '的面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值．解析：函数是用运动的观点观察事物发展的全过程，利用函数的性质可求最大（小）值.在问题2中，用分割方法把四边形PBAB '分成四个三角形，用点P的坐标表示其面积，从而建立函数关系式. 答案：（1）∵抛物线过(10)(30)A B -，，′，．设抛物线的解析式为(1)(3)(0)y a x x a =+-≠． 又∵抛物线过(03)B ，，将坐标代入上解析式得： 31(3)1a a =⨯-=-·，．(1)(3)y x x ∴=-+-． 即满足条件的抛物线解析式为2(31)3y x x =-+-+． （2）如图1，∵P 为第一象限内抛物线上一动点，设()P x y ，，则00x y >>，． P 点坐标满足2(31)3y x x =-+-+．连接PB PO PB ，，′．BAO PBO POB PBAB S S S S ∴=++△△△′四边形′ 3333(1)2222x y x y =++=++ 3 2 1 121- 1-A 'B 'A OBxy 3 21 1-A 'B 'Ay BP=22333743(31)312224x x x x ⎡⎤⎛⎫+⎡⎤⎢⎥-+-++=--+ ⎪⎣⎦ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当32x =时，PBAB S 四边形′最大．此时，3234y +=．即当动点P 的坐标为332324⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，时， PBAB S 四边形′最大，最大面积为12738+串讲四 三角形考点串讲1.三角形的有关概念.知识点：三角形，三角形的角平分线，中线，高线，三角形三边间的不等关系，三角形的内角和，三角形的分类，全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定. 考查重点：三角形三边关系，三角形内外角性质. 2.等腰三角线与直角三角形. 考查重点：（1）等腰（等边）三角形的判定与性质；（2）运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题；（3）运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题；（4）折叠问题；（5）将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用. 3.全等三角形.知识点：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定. 考查重点：论证三角形全等，线段的倍分. 新题演练：新题1：如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（ ） A ．4 B ．4.5 C ．5 D ．5.5解析：本题考查三角形三边关系、中位线定理，三角形的两边分别为3和5，所以第三边一定大于2小于8，连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长等于原三角形周长的一半，所以一定大于5小于8，故选D ． 答案：D新题2：如图，将三角尺的直角顶点放在矩形直尺的一边上，则∠3的度数等于（ ）A ．50°B ．30 °C ．20 °D ．15 °解析：从条件中可得DF//EC ，故∠2=∠4．又∵∠4=∠1+∠3，∴∠2∠1+∠3，∴∠3=∠2-∠1=50°- 30°=20°．故答案选C 答案：C新题3：如图，AD ⊥CD ，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB 等于（ ） A ．513B ．1213 C ．35 D ．45解析：由AD ⊥DC ，知△ADC 为直角三角形．由勾股定理得：AC 2=AD 2+DC 2=32+42=5，AC=5，在△ACB 中，∵AB 2=169，BC 2+AC 2=52+122=169，∴AB 2=BC 2+AC 2．由勾股定理的逆定理知：△ABC 是直角三角形．∴sinB ＝AC AB ＝513． 答案：A新题3：如图所示，∠BAC ＝∠ABD,AC ＝BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点.试判断OE 和AB 的位置关系,并给出证明. 解析：首先进行判断：OE ⊥AB ，由已知条件不难证明△BAC ≌△ABD ，得∠321F E D C B A4321OBA ＝∠OAB 再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论.解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识.答案：OE ⊥AB ． 证明：在△BAC 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC=BD ，∠BAC=∠ABD ，AB=BA ．∴△BAC ≌△ABD ． ∴∠OBA ＝∠OAB, ∴OA ＝OB ． 又∵AE ＝BE, ∴OE ⊥AB ．串讲五 四边形考点串讲1.平行四边形. 考查重点：（1）平行四边形的概念和面积的求法；（2）平行四边形的性质和判定；（3）理解平行四边形是中心对称图形，•过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分；（4）平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题．2. 矩形、菱形、正方形.考查重点：矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算.新题演练：新题1：如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________．解析：本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力.解答本题最好能将所有的拼法画出来后再进行求解.本题的不同拼法有：答案：14或16或26新题2： 如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC=( )A.35°B.45°C.50°D.55°解析：解答本题应首先延长PF 交AB 的延长线于点G ，根据题意，利用角角边可证明BGF ∆≌CPF ∆，于是得到G FPC ∠=∠，PF=FG ，所以在EGP Rt ∆中，EF 是斜边上的中线，于是得到FE=FG ，所以FEG G ∠=∠，又因为E 、F 分别为中点，所以EB=FB ，所以，FE=FG=BF ，所以BFE BEF G FPC ∠=∠=∠=∠，又因为∠A=110°，所以070=∠EBF ,因此，0180702=+∠FPC ,解得055=∠FPC . 答案：D新题3：如图1，在正方形ABCD 中，E F G H ，，，分别为边AB BC CD DA ，，，上的点，HA EB FC GD ===，连接EG FH ，，交点为O ．（1）如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD 沿线段,EG HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正图1 DC B A OHGF EE B A D C GF H 图2 图3方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．解析：（1）结合条件观察图形2容易发现：AEH BFE CGF DHG △≌△≌△≌△，得出：四边形EFGH 是菱形；再由DHG AEH △≌△可知：90DHG AHE ∠+∠=°，从而证得四边形EFGH 是正方形.（2）连接EH 、HG 、GF 、FE ，由第（1）小题可知：四边形EFGH 是正方形，可得阴影部分面积是1. 答案：（1）四边形EFGH 是正方形． 证明： 四边形ABCD 是正方形，∴90A B C D AB BC CD DA ∠=∠=∠=∠====°，.HA EB FC GD ===，AE BF CG DH ∴===．AEH BFE CGF DHG ∴△≌△≌△≌△．EF FG GH HE ∴===． ∴四边形EFGH 是菱形．由DHG AEH △≌△知DHG AEH ∠=∠．90AEH AHE ∠+∠=°，90DHG AHE ∴∠+∠=°． 90GHE ∴∠=°．∴四边形EFGH 是正方形． （2）1．串讲六 圆考点串讲1.圆的有关概念与性质. 考查重点：（1）圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念；（2）掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论；（3）理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、四边形等结合的题型也是中考热点.2.与圆有关的位置关系.知识点：直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、相交弦、切割线定理. 考查重点：（1）考查两圆位置关系中的相交及相切的性质；（2）证明直线是圆的切线；（3）论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等，此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识； 3.与圆有关的计算. 考查重点：（1）灵活求解圆周长、弧长以及圆、扇形、弓形和简单的组合图形的面积；（2）能进行圆柱、圆锥的侧面积、全面积的计算，了解它们的侧面展开图，这也是重点和中考热点． 新题演练：新题1：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）A.53 B ．5 C ．52D ．6解析：本题考查圆中的有关性质，连接CD ，∵∠C ＝90°，D 是AB 中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5，∴BC ＝5，根据勾股定理得AC ＝53，故选A ． 答案：A新题2：如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E，若AEC ODB ∠=∠．（1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明； （2）当108AB BC ==，时，求BD 的长．解析：圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．在证明时一定要根据题目已知条件合理选择． 答案：（1）直线BD 和O ⊙相切．证明：∵AEC ODB ∠=∠，AEC ABC ∠=∠，∴ABC ODB ∠=∠．∵OD ⊥BC ，∴90DBC ODB ∠+∠=°．∴90DBC ABC ∠+∠=°．即90DBO ∠=°．∴直线BD 和O ⊙相切．BC DA（2）连接AC ．∵AB 是直径，∴90ACB ∠=°． 在Rt ABC △中，108AB BC ==，，∴226AC AB BC =-=．∵直径10AB =，∴5OB =． 由（1），BD 和O ⊙相切，∴90OBD ∠=°．∴90ACB OBD ∠=∠=°． 由（1）得ABC ODB ∠=∠，∴ABC ODB △∽△．∴AC BCOB BD=． ∴685BD =，解得203BD =． 新题3：如图，在Rt ABC △中，9042C AC BC ===∠°，，，分别以AC .BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）解析：本题考查直角三角形，扇形面积，由图可知阴影部分的面积﹦半圆AC的面积+半圆BC 的面积-Rt ABC △的面积，所以S 阴影﹦221115π2124π42222π+-⨯⨯=-，故填5π42-. 答案：5π42-串讲七 图形的相似考点串讲1.相似三角形. 考查重点：（1）了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质；（2）探索并掌握三角形相似的性质及条件，•并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题；（3）掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小.2.锐角三角函数. 考查重点：（1）求三角函数值，特别是记忆30°、45°、60°的三角函数值；（2）考查互余或同角三角函数间关系；（3）求特殊角三角函数值的混合运算；（4）已知三角函数值会求出相应锐角；（5）掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是考试中的热点.3.解直角三角形及其应用. 考查重点：（1）掌握并灵活应用各种关系解直角三角形；（2）了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点． 新题演练：新题1 ：如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 边的中点，DE 交AC 于点F ，AC ，DE 把平行四边形ABCD 分成的四部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S 1：S 2：S 3：S 4=1：2：4：5．其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．③C ．①D ．①②解析：∵AB ∥DC ，∴△AEF•∽△CDF ，•但本题还有一对相似三角形是△ABC•≌△CDA （全等是相似的特例）． ∴①是错的． ∵12AE EF CD DF ==，∴②EF ：ED=1：2是错的． ∴S △AEF ：S △CDF =1：4，S △AEF ：S △ADF =1：2． ∴S 1：S 2：S 3：S 4=1：2：4：5，③正确． 点拨 ：①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形． 答案：B新题2:已知在RtABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ）CABA ．43B ．45C ．54D ．34解析:本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RT ΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c =，tan bB a=和222a b c +=；由3sin 5A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44tan 33b x B a x ===，所以选A ． 答案:A新题3：如图，为了测量我国最长的跨海大桥南航道A 型独塔斜拉桥桥墩的高度，小华站在桥面B 处用测角仪测得桥墩顶点E 的仰角为45°，在桥面C 处用测角仪测得顶点E 的仰角为55°，已知测角仪高AB=1米，BC=50米 ，桥面到海平面的距离为6米，求该桥墩海平面以上高度是多少？（精确到1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57 ，tan55°≈1.4） 解析：用锐角三角函数解决实际问题.分别在直角△AEF 和直角△ECF 中正切函数求解线段的长度.解决问题的关键在于寻找合适的直角三角形和合适的三角函数，这样会给解题带来方便. 答案：在△AEF 中，︒=45tan AGEF. ∴AG=EF. 在△ECF 中︒=55tan CGEF，∴CG=︒55tan EF ,∴4.1EFEF -≈50∴EF ≈175, EG=176,176+5=181答：该桥墩海平面以上高度约是181米.串讲八 视图与投影考点串讲知识点：几何体的三视图、侧面展开图、视点、视角、盲区、投影. 考查重点：（1）考查几何体的三视图；（2）考查根据光线的方向辨认实物的阴影；（3）掌握中心投影与平行投影的区别与联系.新题1：一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽.由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层.所以图中的小正方体最少4块，最多5块. 答案：D新题2:（1）如图1是同一时刻的两棵树及其影子，请你在图中画出形成树影的光线，并判断它是太阳光线还是灯光的光线？若是灯光的光线，请确定光源的位置.（2）请判断如图2所示的两棵树的影子是在太阳光下形成的，还是灯光下形成的？并画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示）．分析：本题是由树及其影子寻找光线，具体方法是过树的顶端及其影子的顶端作两条直线作为光线，若两条直线平行，则是太阳光线；若两条直线相交，则是灯光光线，其交点就是光源的位置．55︒45︒E F GD CBA ·A 图1图2。
目录第1讲集合.......................................................................................................................................... - 2 -第2讲命题(微课) ............................................................................................................................. - 2 -第3讲命题的四种形式及其关系(微课) ........................................................................................... - 2 -第4讲充要条件(微课) ....................................................................................................................... - 2 -第5讲函数及其性质(一) ................................................................................................................... - 2 -第6讲函数及其性质(二) ................................................................................................................... - 3 -第7讲函数的图象变换...................................................................................................................... - 3 -第8讲函数综合问题.......................................................................................................................... - 4 -第9讲平面向量的线性运算与基本定理（一） .............................................................................. - 4 -第10讲平面向量的线性运算与基本定理（二） .............................................................................. - 4 -第11讲平面向量的数量积及综合...................................................................................................... - 6 -第12讲同角三角函数的基本关系及诱导公式 .................................................................................. - 6 -第13讲正弦型函数的图象与性质（一）（微课） .......................................................................... - 7 -第14讲正弦型函数的图象与性质（二）（微课） .......................................................................... - 7 -第15讲余弦、正切函数的图象与性质.............................................................................................. - 7 -第16讲三角函数的恒等变换.............................................................................................................. - 8 -第17讲三角函数的综合应用.............................................................................................................. - 9 -第18讲正弦定理和余弦定理.............................................................................................................. - 9 -第19讲解三角形（一）(微课)........................................................................................................ - 10 -第20讲解三角形（二）.....................................................................................................................- 11 -第21讲不等关系与不等式(微课).....................................................................................................- 11 -第22讲不等式的解法(一)(微课).................................................................................................... - 12 -第23讲不等式的解法(二)................................................................................................................ - 12 -第24讲基本不等式............................................................................................................................ - 12 -第25讲线性规划（一）.................................................................................................................... - 13 -第26讲线性规划（二）.................................................................................................................... - 13 -第27讲数列的求和............................................................................................................................ - 14 -第28讲数列的通项公式.................................................................................................................... - 15 -第29讲数列综合(一)........................................................................................................................ - 16 -第30讲数列综合(二)........................................................................................................................ - 17 -第31讲导数的运算知识串讲（微课）............................................................................................ - 18 -第32讲导数的概念及其应用(一).................................................................................................... - 19 -第33讲导数的概念及其应用(二).................................................................................................... - 19 -第34讲导数的概念及其应用(三).................................................................................................... - 20 -第35讲空间几何体的三视图与直观图............................................................................................ - 21 -第36讲空间几何体的表面积和体积................................................................................................ - 23 -第37讲空间点、直线、平面之间的位置关系（一）（微课） .................................................... - 23 -第38讲空间点、直线、平面之间的位置关系（二） .................................................................... - 24 -第39讲直线与圆综合（一）............................................................................................................ - 25 -第40讲直线与圆综合（二）............................................................................................................ - 26 -第41讲椭圆及其性质........................................................................................................................ - 26 -第42讲双曲线及其性质.................................................................................................................... - 27 -第43讲抛物线及其性质.................................................................................................................... - 27 -第44讲椭圆与直线的位置关系（微课）........................................................................................ - 28 -第45讲抛物线与直线的位置关系.................................................................................................... - 28 -第46讲圆锥曲线综合问题之椭圆.................................................................................................... - 29 -第47讲圆锥曲线综合问题之抛物线................................................................................................ - 30 -第48讲统计综合................................................................................................................................ - 31 -第49讲概率综合................................................................................................................................ - 31 -第50讲复数经典精讲........................................................................................................................ - 32 -第51讲算法经典精讲(微课) ............................................................................................................. - 33 -讲义参考答案.......................................................................................................................................... - 35 -第1讲 集合金题精讲题一：已知集合{1,2,3,6}=-A ，{23}B x x =-<<，则=A B _______.题二：已知集合{1,2,3}A =，{(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =_______.题三：设集合{}|(2)(3)0S x x x =--≥，{}|0T x x =＞，则S T =_____.题四:已知集合{}{}23,4P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R |1R |， 则()Q P =ðR ________第2讲 命题 (微课)题一：给定下列命题：① 若k > 0，则方程x 2 + 2x − k = 0有实根；② 若a > b ，则a + c > b + c ；③ 对角线相等的四边形是矩形；④ 若xy = 0，则x 、y 中至少有一个为0.其中真命题的序号是________________.第3讲 命题的四种形式及其关系(微课)题一：给出下列命题:① 命题“若b 2 − 4ac < 0，则方程ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0) 无实根”的否命题；② 命题“△ABC 中，AB = BC = CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题；③ 命题“若a > b > 0，则3a > 3b > 0 ”的逆否命题.其中真命题的序号为____________.第4讲 充要条件(微课)题一：对于实数x 、y ，“8≠+y x ”是“2≠x或6≠y ”的___________条件.第5讲 函数及其性质(一) 题一：已知4213532,4,625a b c ===，则,,a b c 的大小关系为________.题二：若01c <<，则下列正确的是______.①32c c < ②32c c < ③log 3log 2c c <题三：设函数()e x f x x =+，则使得(1)(2)f x f x ->成立的x 的取值范围是_____第6讲 函数及其性质(二)题一：下列函数中，具有奇偶性的是_____.①21y x =+ ②ln y x = ③233x y x x -=- ④11221x y =+- 题二：若定义在R 上的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()f x f x -=-，且当0x ≥时，(1)(1)f x f x +=-，求(6)f =_________. 第7讲 函数的图象变换题一：为了得到函数()lg 31y x =+-的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点____.题二：由函数lg y x =的图象变换得到()lg 23y x =+的图象，以下有三种方法，请根据你的喜好排个序.（1）()()lg lg 2lg 23y x y x y x =→=→=+（2）()3lg lg lg 232y x y x y x ⎛⎫=→=+→=+ ⎪⎝⎭（3）()()lg lg 3lg 23y x y x y x =→=+→=+题三：函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得函数e x y -=的图象，则()f x =____.题四：函数()21y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图象的对称轴一定可以为_____.①1-=x ②1=x ③21=x ④21-=x第8讲 函数综合问题题一：已知0,0a b >>，1a b +=，则11a b +的最小值为________. 题二：已知2110,0,2x ax x ⎡⎤++≥∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则a 的最小值为________. 题三：已知()()R f x x ∈满足()()f x f x -=-，若函数1y x =与()y f x =图象的交点为1122(,),(,),x y x y 则1122()+()=x y x y ++___________.第9讲 平面向量的线性运算与基本定理（一）题一：向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示， 若()c a b λμλμ=+∈R ，， 则λμ= ．题二：(1)若向量a =(2，1)，b =(x ，2)， u =2a b +，v =a b -，且u //v ，则x = .(2)已知向量(3,1)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若2a b -与c 共线，则k = .第10讲 平面向量的线性运算与基本定理（二）题一：已知：平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 为线段OB 中点， 完成下列各题.(用于填空的向量为图中已有线段所表示的向量)题二：在平行四边形ABCD中，===，M为BC的中点，,,3AB a AD b AN NC则MN=_______（用a b、表示）题三：若D 在△ABC的BC边上，且==+，则3r+s=______. CD DB r AB sAC4题四：已知向量OA=（k，12），OB = (4，5)，OC= (-k，10)，则向量AC=，若A、B、C三点共线，则k= .题五：已知点A(1，-2)，若向量AB与a =（2，3）同向，AB =2，则点B 的坐标为 .第11讲 平面向量的数量积及综合题一：已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= .题二：已知向量a 与b 的夹角为120o ， 3,13,a a b =+=则b 等于 .题三：已知平面上三点A 、B 、C 满足||3,||4,||5AB BC CA ===，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= .题四：在△ABC 中，O 为中线AM 上一个动点，若AM =2，则()OA OB OC ⋅+的最小值为 .第12讲同角三角函数的基本关系及诱导公式 题一：(1)已知sin α =45，并且tan α<0， 求α的其它三角函数值．(2)已知sin α =45，求α的其它三角函数值．题二：化简求值sin 31π6⎛⎫- ⎪⎝⎭-cos 10π3⎛⎫- ⎪⎝⎭-sin 19π4题三：已知π2ππcos()(0)633m m αα<<+=≠，，2πtan()3α-求的值．第13讲正弦型函数的图象与性质（一）（微课） 题一：已知函数g (x )=sin(3π-2x ). (1)函数g (x )的周期为__________；(如没有特殊说明，写出该函数的最小正周期即可)(2)写出函数g (x )的单调减区间___________；(3)只需将函数y =cos2x 的图象向________平移________单位，就可以得到函数g (x )的图象.第14讲 正弦型函数的图象与性质（二）（微课） 题一：已知函数π()2sin(2)3f x x =-. (1)该函数的周期为__________;(2)在坐标系中作出(五点法)该函数一个周期上的简图;(3)写出该函数在区间[0,2π]内的单调减区间_________;(4)将函数y =2sin2x 的图象向______移动_______个单位可以得到函数()f x 的图象；(5)若3π[,2π]2x ∈，函数()f x 的最大值为M ， 最小值为N ，则M -N = .第15讲余弦、正切函数的图象与性质1、余弦函数cos x 的性质题一：当ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则函数 πcos(2)6y x =-的值域为_________. 2、正切函数tan x 的性质 定义域：ππ()2x k k ≠+∈Z 值域：(,)-∞+∞周期：πT =奇偶性：奇函数tan()tan x x -=- . 单调性：ππ[π,π]()22k k k -++∈Z 单调递增. 第16讲 三角函数的恒等变换题一：求值(1)sin75︒ (2)sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒题二：函数sin cos (0)y a x b x a b =+⋅≠的最大值、最小值和周期.题三：求函数22cos sin 2y x x =+的最小值.题四：求函数2()sin cos f x x x x = 在区间π,42π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.题五：求值（1）tan 42tan181tan 42tan18+-（2）1tan 751tan 75+-（3）tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒第17讲三角函数的综合应用 题一：已知344αππ<<，04βπ<<， 3cos()45απ+=-，35sin()413βπ+=， 求cos(α + β)的值.题二：已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x f x x-=. (1)求()f x 的定义域及最小正周期；(2)求()f x 的单调递增区间.题三：已知向量(cos ,sin ),[0,]a θθθ=∈π， 向量(3,1)b =-(1)当a b ∥，求θ；(2)当a b ⊥时，求θ；(3)求|2|a b -的最大和最小值.第18讲 正弦定理和余弦定理题一：已知4,cos ,35B A b π===求ABC S △.题二：ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若o 120c b B ==，求a .题三：在ABC ∆中，若()()3a b c a b c ab +++-=且sin 2sin cos C A B =，判断ABC ∆的形状.第19讲解三角形（一）(微课)题一：ABC ∆中，222a c b -=， sin cos 3cos sin A C A C =，求b .题二：设ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =， 求B .第20讲解三角形（二）题一：在△ABC中，BC AC=3，sin C=2sin A.(1) 求AB的值；(2) 求πsin24A⎛⎫-⎪⎝⎭的值.题二：在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求BC的长.题三：如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航航行，有无触礁的危险？第21讲不等关系与不等式(微课)题一：判断下列命题的正误：(1)当ab ≠0时，若a <b ，则ba ab 2211>； (2)设a ，b ∈R ，若ab ≠0， b a ＜1，则a b ＞1.第22讲不等式的解法(一)(微课)题一：解下列关于x 的不等式： (1) 9x 2－6x +1>0 (2) x 2－4x +5>0(3) －2x 2+x +1>0 (4) －x 2+4x －4>0题二：不等式21134x x->-的解集为__________. 第23讲 不等式的解法(二)题一：解关于x 的不等式：ax 2+(1－a )x －1<0.题二：已知集合A ={x |x 2+3x －18>0}，B ={x |x 2－(k +1)x －2k 2+2k ≤0}，若AB ≠∅，则实数k 的取值范围是_______. 第24讲 基本不等式 题一：设π02x <<，则2sin sin y x x=+的值 域为_________.题二：已知正数x ，y 满足x +2y =1，求11x y+ 的最小值.题三：(1)y =e x +e -x 有最_____值，为_____，此时x =_______.(2)当0<x <9时，y =x (9-x )的最大值为______，x =_____. (3) 13y x x =+-(x >3)的最小值是_______， 此时x =____.第25讲 线性规划（一）题二：若x ，y 满足约束条件20204,x y x y x x y +-≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩N ， 则2z x y =+的最小值为______________，最大值为________________．题三：已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--,0104,0117,02357y x y x y x求：（1）y x 34-的最大值和最小值；（2）22y x +的最大值和最小值；（3）58-+x y 的最大值和最小值．第26讲线性规划（二）题一：已知实数x ，y 满足下列条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，设y t x =，则t 的最小值为________. 题二：要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：今需A 、B 、C 三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少.第27讲数列的求和 数列求和的基本方法：1. 公式法：2. 分组求和法：3. 错位相减法：4. 裂项求和法：易错小题考考你题一： 求1111132435(2)S n n =++++⨯⨯⨯+的值．金题精讲题一：数列{}n a 中，,2,841==a a 且满足 0212=+-++n n n a a a ，求n n a a a S +++= 21．第28讲数列的通项公式 易错小题考考你题一：数列{}n a 的前n 项和n S ， n n S a a 2,111==+（n +∈N ）．求数列{}n a 的通项公式．金题精讲题一：{}n a 是首项为1的正项数列， 且1()1n n a n n a n ++=∈+N ，求它的通项公式．题二：已知数列{}n a 满足：1a a =,1n n a ka b +=+ （,,0,1,0k b R k b ∈≠≠），n +∈N ，求数列{}n a 的 通项公式．题三：在数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,由下面给出的n S ,求n a ．(1) n S =223n n -;(2) n S =23log n +题四：已知各项均为正数的数列{}n a 的 前n 项和为n S ，满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ，求数列{}n a 的通项公式．题五：已知数列{}n a 满足122(1)(2)n a a na n n n ++=++…+， 求{}n a 的通项公式．第29讲数列综合(一) 题一：设正项数列{a n }的前n 项和为S n ， 且12+=n n a S .(1)求{a n }的通项公式；(2)设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项和为 B n .第30讲数列综合(二)易错小题考考你 题一：设{}n a 为首项为正数的等比数列，它的 前n 项之和为80，前2n 项之和为6560，且前 n 项中数值最大的项为54，则{}n a 的通项公式 为 .金题精讲题一：设正项等比数列{}n a 的首项211=a ， 前n 项和为n S ，且 10103020102(21)0S S S -++=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求{}n nS 的前n 项和n T ．题二：设函数f (x ) = log 2x - log x 2(0<x <1), 数列{a n }满足(2)2()n a f n n +=∈N .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }是递增数列还是递减数列.题三：数列{a n }中,a 1=8, a 4=2,且满足a n +2-2a n +1+a n =0 (n ∈Z)，设1()(12)n n b n n a +=∈-N ， 12()n n T b b b n +=++⋅⋅⋅+∈N ，是否存在最大的整数m ，使得任意的n +∈N 总有32n m T >成 立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．第31讲导数的运算知识串讲（微课）重难点易错点梳理 '________;c =(c 为常数)()'________;(0,0Q)n x x n n =>≠∈且________;1()'________;(e )'________;x x=== ()'________;x a =(01)a a >≠且(ln )'________;x =(log )'________.a x =(0 ,0x a >>且1a ≠)[()()]'_____________;[()()]'_____________;()[]'_____________(()0).()f xg x f x g x f x g x g x ±=⋅==≠ 题一：求导：()()211ln 2f x x ax a x =-+- ()()ln 1f x x x ax =-- x xx f ln )(=题二：求下列函数的导数（1）x y tan =（2）4cos 4sin 44x x y += （3）)4cos 21(2sin 2x x y --=第32讲导数的概念及其应用(一) 题一：函数3211()232f x x ax bx =++，极大值点在(0，1)内，极小值点在(1，2)内，则21b a --的 取值范围是___________.题二：当x > 0时，求证：212e x x +<.题三：已知函数()ln f x x x =，2()e ex x g x =-. 求证：对任意,(0,)m n ∈+∞， 都有()()f m g n ≥.第33讲导数的概念及其应用(二) 题一：设函数323()(1)132a f x x x a x =-+++， a ∈R .（1）函数()f x 在1x =处能取得极小值吗？为什么？（2）已知不等式2()1f x x x a '>--+对(0,)a ∀∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.题二：已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-≤⎪⎩ 其中0a ≥．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1, f (1))处的切线方程；（2）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.题三：已知函数12e ()44x f x ax x +=++， 其中a ∈R .（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间.第34讲导数的概念及其应用(三)题一：已知曲线:e ax C y =. (1)若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值；(2)对任意实数a ，曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围.题二：已知()21()ln ,2f x xg x x a ==+ （a 为常数），直线l 与()(),f x g x 的图象都相切，且l 与()f x 的切点横坐标为1.（1）求l 的方程及a 的值；（2）当0k >时，讨论()()21f x g x k +-=的解的个数.题三：已知函数()()e x f x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a <时，试确定函数 2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.第35讲 空间几何体的三视图与直观图题一：一个几何体的三视图如图，请说出它对应的几何体的名称.侧视图俯视图正视图 (1)(2)(3)(4)第36讲 空间几何体的表面积和体积题一： 已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积.(单位：cm)题二：已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，O 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，E 为棱A 1B 1上一点，则AE +EO 的长度的最小值是___________.第37讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（一）（微课）题一：正方体ABCD A B C D ''''-中，(1)哪些棱所在直线与直线B A '是异面直线？(2)直线B A '和CC '的夹角是多少？第38讲空间点、直线、平面之间的位置关系（二）-中，底面题一：如图，在四棱锥P ABCDABCD是菱形，PA PB=，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．CD平面PAB；（Ⅰ）求证：//⊥；（Ⅱ）求证：PE AD=，（Ⅲ）若CA CB求证：平面PEC⊥平面PAB.题二：如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：平面BDGH //平面AEF ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积.第39讲直线与圆综合（一）题一：过点(－4,0)作直线l 与圆 x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，求直线l 的方程.FBCG EAHD题二：求圆心在直线10x y --=上，与直线4340x y ++=相切，且在直线3450x y +-=上截得弦长为.第40讲直线与圆综合（二） 题一：已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3, 5)，求过点A 的圆的切线方程.第41讲 椭圆及其性质题一：焦距为10的椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26，求椭圆方程.题二：求过点A (，0)，且与椭圆9x 2＋5y 2 = 45有共同焦点的椭圆方程. 题三：椭圆22192x y +=的焦点为F 1、F 2， 点P 在椭圆上. 若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝______， ∠F 1PF 2的大小为________.题四：P 是椭圆22143x y +=上的点，F 1和F 2是 该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______.题五：点F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心的圆经过椭圆中心，且与椭圆的一个交点为M ，若直线MF 1恰与⊙F 2相切，则椭圆的离心率为______. 题六：已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_________.第42讲双曲线及其性质 题一：双曲线22221x y a b-=(a > 0，b > 0)， F 1，F 2为焦点，弦AB 过F 1且在双曲线的一支 上，若222AF BF AB +=，则AB =_______. 题二：F 1、F 2是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32， 则∠F 1PF 2＝____________.题三：焦点在x 轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为3π，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率.题四：已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，求双曲线C 2的方程.第43讲抛物线及其性质题一：抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________. 题二：设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、 C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=， 则||||||FA FB FC ++= .题三：过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点 (点A 在y 轴的左侧)，则||||AF FB ＝________.题四：已知抛物线22y x =的焦点是F ， 点P 是抛物线上的动点，点(3,2)A ，则||||PA PF +的最小值为____________， 此时P 点的坐标为______________.第44讲 椭圆与直线的位置关系（微课）题一：若直线1y k x=+和椭圆22125x y m+=恒有公共点, 则实数m 的取值范围为 .第45讲 抛物线与直线的位置关系题一：过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线 l 与抛物线交于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)， 若3AF FB =，则直线l 的斜率为____________.题二：判断抛物线x y 22=与直线y kx k =-公 共点的个数.题三：过点Q (4，1)作y 2 = 8x 的弦AB 恰被点 Q 平分，则AB 的方程为____________.第46讲 圆锥曲线综合问题之椭圆题一：在平面直角坐标系xOy 中，经过点斜率为k 的直线l 与椭圆22x +y 2=1有两个不同的交点P 和Q . (1) 求k 的取值范围；(2) 设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分 别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB 共线? 如果存在，求k 值；如果不存在， 请说明理由.题二：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴 上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且12||2F F =， 点(1，32) 在椭圆C 上. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B l的方程.第47讲圆锥曲线综合问题之抛物线题一：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．题二：已知抛物线的一条弦过焦点，求证：以此弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．题三：已知直线y=k(x+2)(k≠0)与抛物线C：y2=8x相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，求证：x1x2为定值．第48讲统计综合题一：已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：甲：88 100 95 86 95 91 84 74 92 83 乙：93 89 81 77 96 78 77 85 89 86 则下列结论正确的是( ) A ．x －甲>x －乙，s 甲>s 乙B ．x －甲>x －乙，s 甲<s 乙C ．x －甲<x －乙，s 甲>s 乙D ．x －甲<x －乙，s 甲<s 乙题二：某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250； ②5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265； ③11, 38, 65, 92, 119, 146, 173, 200, 227, 254； ④30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270． 关于上述样本的下列结论中，正确的是( ) A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样题三：设有两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，它们的平均数分别是x －和y －，则新的一组数据2x 1－3y 1＋1,2x 2－3y 2＋1，…， 2x n －3y n ＋1的平均数是( )A ．2x －－3y －B ．2x －－3y －＋1C ．4x －－9y －D ．4x －－9y －＋1题四：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( ) A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3第49讲 概率综合题一：在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为920，那么参加这次联欢会的教师共有( )A．360人B．240人C．144人D．120人题二：某学习小组有3名男生和2名女生，从中任取2人去参加演讲比赛，事件A＝“至少一名男生”，B＝“恰有一名女生”，C＝“全是女生”，D＝“不全是男生”，那么下列运算结果不正确的是()A．A∩B＝B B．B∪C＝DC．A∩D＝B D．A∪D＝C题三：现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．题四：某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．第50讲复数经典精讲题一：已知复数222761(56)i()z a a a a a a =-+-+--∈R .实数a 取什么值时，z 是（1） 实数？（2）虚数？（3）纯虚数？题二：计算：（1）(3＋4i)(3－4i)； （2）2(1i)+.题三：已知函数223()1x x f x x -+=+，求(1i)f +和(1i)f -的值.第51讲 算法经典精讲(微课)题一：如图所示程序输出的结果是________.题二：执行如图所示的程序框图后，输出的值 为4，则P 的取值范围是__________.讲义参考答案第1讲 集合金题精讲题一：{-1,2}.题二：{}0,1,2,3题三：(0,2][3,)+∞.题四：()1,+-∞ 题五：(2,3]-第2讲 命题 (微课)题一：①②④第3讲 命题的四种形式及其关系 (微课)题一：①②③第4讲 充要条件（微课)题一：充分不必要第5讲 函数及其性质(一)题一：c >a >b . 题二：①③. 题三：1(,)3-∞ 第6讲 函数及其性质(二)题一：①④. 题二：0.第7讲 函数的图象变换题一：纵坐标不变，向左平移3个单位， 再横坐标不变，向下平移1个单位. 题二：（1）lg y x =的图象纵坐标不变， 横坐标压缩为来的12倍，得到()lg 2y x =的图象； ()lg 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左平移32个单位，得到()3lg 2()lg 232y x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图 象.（2）lg y x =的图象先纵坐标不变，横坐标向左平移32个单位，得到3lg 2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； 3lg 2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标先压缩为原来的12倍，得到3lg 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； 再纵坐标不变，向左平移34个单位， 得到()33lg 2()lg 2342y x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭的图象. （3）lg y x =的图象纵坐标不变，横坐标左平移3个单位，得到()lg 3y x =+的图象；()lg 3y x =+的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的12倍，得到()lg 23y x =+的图象. 题三：1ex --.题四：①.第8讲 函数综合问题题一：4. 题二：52-. 题三：0. 第9讲 平面向量的线性运算与基本定理（一）题一：4. 题二：(1)4 (2)1第10讲 平面向量的线性运算与基本定理（二）题一：(1),,,,,0DE DO DC DC CD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r (2)14-(3)D..题二：1144a b -+. 题三：85. 题四：(-2k ，-2)，23k =-. 题五：(5，4).第11讲 平面向量的数量积及综合.. 题二：4. 题三：-25. 题四：-2.第12讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式题一：(1)cos α =35-，tan α =43- (2)当α是第Ⅰ象限角时，cos α =35，tan α =43； 当α是第Ⅱ象限角时，cos α =35-，tan α =43-.题二：1- 题三：第13讲 正弦型函数的图象与性质（一）（微课）题一：(1)π(2)π5π[π,π],1212k k k -+∈Z (3)左；π12. 第14讲 正弦型函数的图象与性质（二） （微课）题一：(1)π(2)略(3)5π11π[,]1212，17π23π[,]1212(4)右，π6. 第15讲 余弦、正切函数的图象与性质题一：. 第16讲 三角函数的恒等变换题一：(2)12.周期为2π.题三：1 题四：32.题五：（12）3）1第17讲 三角函数的综合应用题一：1665-. 题二：(1){|π,}x x k k ≠∈z ，πT =.(2)π[π,π)8k k -和3π(π,π]8k k + 题三：(1)5π6 (2)π3(3)最大值：4.第18讲 正弦定理和余弦定理题三：等边三角形第19讲 解三角形（一）(微课)题一：b =4 题二：B =π3. 第20讲 解三角形（二）题一：(1) (2)题二： 题三：点A 到直线BC 的距离约为40.98海里， 没有触礁危险第21讲 不等关系与不等式(微课)题一：(1)错误 (2)错误第22讲 不等式的解法(一)(微课)题一：(1)13x ≠(2)x ∈R(3)1(,1)2x ∈- (4) ∅ 题二：23(,)34第23讲 不等式的解法(二)题一：当a =0时，x ∈(－∞，1)；当a >0时，1(,1)x a ∈-；当a =－1时，x ∈(－∞，1)∪(1,+ ∞)；当－1<a <0时，x ∈(－∞，1) ∪(1a -，+∞)； 当a <－1时，x ∈(－∞，1a -) ∪(1，+∞) 题二：k >32或k <－2. 第24讲 基本不等式题一：(3,)+∞题二：3+题三：(1)小，2，0 (2)814，92(3)5，4 第25讲 线性规划（一）题一：-9． 题二：3；16．题三：（1）最大值为14；最小值为-18；（2）最大值为37；最小值为0；（3）最大值为－13；最小值为-9． 第26讲 线性规划（二） 题一：25题二：设截甲种钢管x 根，乙种钢管y 根，则,2213316418x y x y x y x y ∈⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪+≥⎪⎩N ，目标函数为z ＝x ＋y ，做出可行域 如下图阴影部分内的整点：由316418x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩可求得点3846(,)1111A ， 但其不是最优解，在其附近可寻找到与其最近的整点为(4,4)B ，它是最优解.所以各截这两种钢管4、4根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少.第27讲 数列的求和易错小题考考你题一：32342(1)(2)n n n +-++． 金题精讲题一：229-,(5)-940,(5)n n n n S n n n ⎧≤=⎨+>⎩． 第28讲 数列的通项公式易错小题考考你题一：211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，． 金题精讲 题一：1n a n=． 题二：1()11n n b b a a k k k -=+---． 题三：（1）45n a n =-；（2）231log 21n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩，，． 题四：31n a n =-．题五：33n a n =+．第29讲 数列综合(一)题一：(1) a n =2n －1 (2) B n =21n n + 第30讲 数列综合(二)题一：123n n a -=⨯．金题精讲题一：（1）12n n a =； （2）1(1)12222n n n n n n T -+=++-． 题二：（1）a n =2）递增数列．题三：存在，m =7．第31讲 导数的运算知识串讲重难点易错点梳理0；1n nx -21x -；e x ；ln x a a ；1x ；1ln x a ； ()'()'f x g x ±；()'()()()'f x g x f x g x +； 2()'()()()'()f x g x f x g x g x - 题一：(1)(1)()(0)x x a f x x x -+-'=>()'ln 1f x x a =+-()2ln 1'ln x f x x -=题二：（1）21cos x（2）1sin 4x - （3）1cos 2x 第32讲 导数的概念及其应用(一) 题一：1(,1)4题二：令2()12e x F x x =+-，则22'()22e 2(1e )x x F x =-=-，∵ x > 0，∴2e x > 1，∴'()0F x <，∴F (x )在(0,)+∞上是减函数，又∵F (x )在x = 0处连续，∴F (x )在[0,)+∞上是减函数.∴对于任意x > 0，总有F (x ) < F (0)=0， 即212e0x x +-<，∴212e x x +<.题三：①因为()ln f x x x =， 所以()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，解得1x =，所以min 11()()e e f x f ==-，所以当(0,)m ∈+∞时，有1()e f m ≥-.②因为2()ee x x g x =-，所以2e (1)1()e ex x x x x g x --'==，令()0g x '=，所以max ()(1)e g x g ==-，所以当(0,)n ∈+∞时，有1()eg n ≤-.由①②可得，对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立. 第33讲 导数的概念及其应用(二)题一：（1）不能，理由如下：2()3(1)f x ax x a '=-++，若()f x 在1x =处能取得极小值，则(1)01f a '=⇒=，当1a =，()(1)(2)f x x x '=--，可知函数()f x 在1x =处取得极大值，矛盾.（2）20x -≤≤.题二：（1）1y x =-；（2）1,e [1].题三：（1）函数()f x 有极小值e (0)4f =； （2）当12a <<时，函数()f x 的单调减区间为4(2,0)a -，单调增区间为4(,2)a-∞-，(0,)+∞； 当2a =时，210x x ==，函数()f x 在R 单调递增；当2a >时，函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a -，单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a-+∞． 第34讲 导数的概念及其应用(三)题一 (1)2a =，1m =；(2)(,1)b ∈-∞.题二：（1）10x y --=；12a =- （2）当ln 2k >时，方程有0个解；当ln 2k =或102k <<时，方程有2个解；当12k =时，方程有3个解； 当1ln 22k <<时，方程有4个解. 题三：（1）()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．（2）()g x 有且仅有一个零点.理由见详解.详解：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x a x x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点.当0x ≠时，方程可化简为e x a x -=.设函数()e x a F x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-.因为1a <，所以min ()()10F x F a a ==->，所以对于任意x ∈R ，()0F x >，因此方程e x ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点.第35讲 空间几何体的三视图与直观图题一：(1)圆台(2)底面为等腰直角三角形的直三棱柱.(3) 四棱锥(4)倒放的直四棱柱第36讲 空间几何体的表面积和体积题一：48+ 题二： 第37讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（一）（微课）题一：(1),,,,,CD C D DD CC A D BC '''''' (2)45°第38讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（二）第39讲 直线与圆综合（一）题一：5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0题二：22(2)(1)9x y -+-=第40讲 直线与圆综合（二）题一：x ＝3或y ＝34x ＋114. 第41讲 椭圆及其性质 题一：221169144x y +=或221144169x y +=. 题二：2211216x y += 题三：2，120°. 题四：4，3.1 题六：(0, 第42讲 双曲线及其性质题一：4a . 题二：90°. 题三：此双曲线的方程为221279x y -=，； 或者此双曲线的方程为221927x y -=，离心率为2. 题四：2213x y -=. 第43讲 抛物线及其性质题一：3y =. 题二：6. 题三：13. 题四: 72， (2，2). 第44讲 椭圆与直线的位置关系题一：1m ≥且25m ≠.第45讲 抛物线与直线的位置关系题二：k = 0时，有一个公共点；k ≠ 0时，有两个公共点.题三：4x - y - 15 = 0.第46讲 圆锥曲线综合问题之椭圆题一：(1) (−∞，− )∪+∞)； (2)不存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线，理由如下：设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2) ，则OP +OQ =(x 1+x 2，y 1+y 2)，由已知条件知，直线l 的方程为y =kx代入椭圆方程得22x +(kx 2=1，整理得2212k x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+1=0 ①由方程①得x 1 + x 2 ②又y 1 + y 2 = k (x 1 + x 2 ③而A 0) ，B (0，1) ，AB 1) .所以OP +OQ 与AB 共线等价于x 1 + x 2 y 1 + y 2)，将②③代入上式，解得k .由(1) 知k 或k ， 故没有符合题意的常数k .题二：(1) 22143x y +=；(2)(1)y x =±+. 第47讲 圆锥曲线综合问题之抛物线题一：8．题二：已知：抛物线y 2=2px (p >0)，弦AB 过焦点F ．求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线2p x =-相切． 证明：取线段AB 的中点M ，分别过点A 、B 、M 作准线的垂线AS 、BT 、MN 交点为S 、T 、N ． 因为弦AB 过焦点F ，所以|AS |=|AF |，|BT |=|BF |，故|AB |=|AF |+|BF |=|AS |+|BT |，因为在梯形ASTB 中，AS 、MN 、BT 均与2p x =-垂直，所以AS //MN //BT ， 因为M 是线段AB 的中点，所以MN 为梯形中位线，故|MN |=12(|AS |+|BT |)=12|AB |， 即圆心M 到直线2p x =-的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线2p x =-相切，此题得证． 题三：证明：联立直线与抛物线的方程()228y k x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去y 得()222=8k x x +， 化简为()222248+40k x k x k +-=，。
南京市教育局关于公布2019年度南京市中学校本精品
课程展示评比结果的通知
文章属性
•【制定机关】南京市教育局
•【公布日期】2020.02.20
•【字号】宁教中〔2020〕4号
•【施行日期】2020.02.20
•【效力等级】地方规范性文件
•【时效性】现行有效
•【主题分类】中等教育,基础教育
正文
关于公布2019年度南京市中学校本精品课程展示评比结果的
通知
宁教中〔2020〕4号各区教育局、江北新区社会事业局，有关直属学校：
为进一步深化课程改革，鼓励学校加强校本课程建设，激励广大教师积极开发校本课程，我局组织开展了2019年度南京市中学校本精品课程展示评比活动。
经学校申报、区教育局推荐、市教育局组织专家评选和现场答辩，评选出2019年度南京市中学校本精品课程一等奖44个，二等奖63个、三等奖131个，现予公布（详见附件）。
希望各获奖学校和教师再接再厉，进一步加强中学校本课程开发，提高课程开设质量。
各区教育局要充分认识到校本课程在提升学生综合素质、促进个性成长方面的重要作用，加大对校本课程建设的扶持力度。
各学校要充分挖掘校内外资源，加强研究实践，完善激励措施，不断提高校本课程的实施水平。
附件：2019年度南京市中学校本精品课程展示评比结果
南京市教育局
2020年2月20日附件
2019年度南京市中学校本精品课程展示评比结果
（排名不分先后）
一等奖（44个）
二等奖（63个）
三等奖（131个）。
解读2019年中考课标卷数学：解题思路要掌握古语说授之以鱼，不如授之以渔，这句话强调了掌握方法的重要性，2019年数学课标卷的最大特征就是要求学生不仅能够记忆并利用公式解题，更要求他们能够通过自己的思考推导出解题的多种途径。
据了解，在2019年中考数学科目中，海淀区使用了课标A卷，顺义、大兴、昌平区使用了课标B卷。
考查范围有别大纲卷海淀教师进修学校教研员翟刚 2019年数学课标A卷的考查范围与大纲卷并不一致。
例如，大纲卷中要求的一元二次方程根与系数关系这一知识点，在课标A卷中就不再涉及，而与之相比，课标A卷新增了几何变换等内容，考生在复习和选择辅导教材时要留意版本。
与大纲卷相比，课标A卷更重视考查学生多角度解决问题的能力，考题与学生的学习实际和生活实际联系更紧密，例如日常生活中遇到的问题，统计中出现的问题，学生学习过程中可能遇到的问题等在试卷中都有可能提及。
试卷要求学生具备现场学习、现场解决问题的能力，即在考场试题中，给学生设置一个学习情境，让学生通过现场自主学习，找到解决问题的方法。
此外，与2019年课标卷相比， 2019年数学课标A卷对选择题、填空题这两种题型的题量进行了调整，选择题调整为8道、填空题调整为4道，总体计算量和解答部分减少了。
命题时，试卷中很多题目都有意识地拉开梯度，这样学生就不会出现一个步骤也答不上来的局面，有利于提高他们的学习兴趣。
变出难题为多角度昌平教研中心教研员刘金凤昌平区使用的数学课标B卷考查内容与A卷相同，整个试卷考查的知识点与大纲卷相比也有所变化，增加了统计、概率等以往在初中从未涉及的内容。
总体来说，对知识点的要求降低，但对学生能力的要求提高了。
学生在平时基础训练外，还要加强思维能力、逻辑推理能力的练习。
据了解，以往大纲卷的最后几道难题常常是考查相同的几个知识点，因此命题时往往在一个知识点上越挖越深，而课标卷的特点则是依据固定知识点，将题面铺开，出题模式不固定，命题方式更灵活。
教学目标：1、学会17个生字，其中田字格上面的7个只识不写，生字组成的词语要理解。
2、理解和掌握本课有关词语及句子的含义。
3、体会作者对兄弟苏辙的思念之情，并领略皓月当空的美景。
感受祖国古典诗词所创设的意境，进行美的熏陶。
4、正确、流利、有感情地朗读课文，背诵课文四五六自然段。
教学重难点：1、理解和掌握本课有关词语及句子的含义感受祖国古典诗词所创设的意境，进行美的熏陶。
2、正确、流利、有感情地朗读课文，背诵课文四五六自然段。
教法：启发式读悟结合学法：自主合作探究欣赏教具准备：1、王菲的歌曲《但愿人长久》2、课件3、相关资料图片4、要求学生查找苏轼的资料，了解我国中秋节的习俗教学时间：2课时第一课时教学内容：初读课文理清层次教学过程：一、引入新课1、谈话导入：①我们刚刚度过一个传统节日是什么节？②在中秋节的夜晚你看到什么？那天还有那些传统习俗？这些习俗有什么意义吗？2、小结：中秋节是象征着团圆的节日，人们合家团圆，在一起吃着月饼赏月。
对那些不能团聚的人，我们也常常会听到“但愿人长久，千里共蝉娟”的祝愿。
那么这句话的出处是哪里呢？表达了人们的什么美好心愿？我们一起来学习课文。
（出示课题）3、齐读课题。
二、初读课文1、自由读课文，要求：借助拼音把课文读正确，不读错字，不添字，不漏字，速度可以稍慢一些。
2、出示生字词，指名试读生词，纠正读音：奔、蝉、辙、延。
3、指名领读齐读生字词。
4、提问：这些生字词中哪些容易写错？怎样记住它们？5、尝试听写。
6、组织反馈。
7、提问：在预习中，你用什么方法解决了哪些生词的意思？8、齐读生字词。
三、再读课文，理清层次1、小声再读课文，要求正确、流利，速度适中。
2、指名分节朗读课文，把句子读通顺。
思考：这篇课文主要讲了一件什么事？3、默读课文，要求有一定的速度，思考：围绕这件事情，课文先讲了什么？接着讲了什么？最后讲了什么？尝试给课文分段。
4、组织交流。
四、小结1、小结：学习了这篇课文，你有什么收获？2、布置作业：①听写生字词。
“国家精品在线开放课程”申报表
推荐单位
所属学校
课程名称营销管理
课程类型□理论课（不含实践）√理论课（含实践）□实验(践)课所属一级学科名称工商管理
所属二级学科名称市场营销
课程负责人
申报日期
填写要求
一、以word文档格式如实填写各项。
二、表格文本中外文名词第一次出现时，要写清全称和缩写，
再次出现时可以使用缩写。
三、涉密内容不填写，有可能涉密和不宜大范围公开的内容，
请在说明栏中注明。
四、除课程负责人外，根据课程实际情况，填写1～4名主讲
教师的详细信息。
五、本表栏目未涵盖的内容，需要说明的，请在说明栏中注明。
3. 教学队伍情况
学缘结构：即学缘构成，这里指本教学队伍中，从不同学校或科研单位取得相同（或相近）学历（或学位）人的比例。
1参见吴健安，《市场营销学在中国的传播》，中国市场学会2002年年会论文。
5．自我评价
6．课程建设规划
7. 学校的政策措施
8. 说明栏。
第八讲：容斥定理【学习目标】1．通过集合容斥定理公式，解决实际生活中的问题.【基础知识】一、容斥定理公式（1）()()()()Crad A Crad B Crad A B Crad A B +-=（2）()()()()()()()()Crad A Crad B Crad C Crad A B Crad A C Crad B C Crad A B C Crad A B C ++---+=【考点剖析】考点一：容斥定理的应用（一）例1．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为（ ）A ．60B ．70C ．80D ．90【答案】C【详解】由题意可知两者之间的关系如图，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数15204580++=.故选：C.变式训练1：某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【详解】因为某校高一（9）班共有49名同学，参加学校举办的书法竞赛中有24名同学，参加数学竞赛中有25名，且两项都参赛的有12名同学，所以在两项比赛中，该班参加过比赛的同学的人数共有24251237+-=名学生，所以该班没有参加过比赛的同学的人数为493712-=名.故选：C.变式训练2：集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor ）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用()card A 表示有限集合中元素的个数，例如：{},,A a b c =，则()card 3A =.若对于任意两个有限集合,A B ，有card()card()card()card()A B A B A B =+-.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）A ．28B ．23C ．18D ．16【答案】C【详解】设参加田赛的学生组成集合A ，则card()14A =，参加径赛的学生组成集合B ，则card()9B =，由题意得card()5A B ⋂=，所以card()card()card()card()149518A B A B A B ⋃=+-⋂=+-=，所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有18.故选：C.变式训练3：调查了100携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（ ）A ．最多人数是55B ．最少人数是55C ．最少人数是25D ．最多人数是80【答案】B【详解】设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B. 又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则[]0,20x ∈，以上两种药都带的人数为y.根据题意列出Venn 图，如下图所示：由图可知，()()card card 100x A B y ++-=.∴7580100x y ++-=，∴55y x =+.∵020x ≤≤，∴5575y ≤≤，故最少人数是55.故选：B.考点二：容斥定理应用（二）例2．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为_______．【答案】184.【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图所示，++++++=.所以听讲座的人数为62751145450184故答案为：184.变式训练1：高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C【详解】把学生50人看出一个集合U，选择物理科的人数组成为集合A，选择化学科的人数组成集合B，选择生物颗的人数组成集合C，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818+=人.故选：C.变式训练2：甲、乙、丙、丁四名游客到重庆旅游，他们都只去了磁器口古镇、洪崖洞民俗风貌区、李子坝轻轨穿楼及乌江画廊四个网红景点中的某2个，已知甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点.则四人中去过磁器口古镇的人数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】设甲、乙、丙、丁四名游客去过的景点组成的集分别为,,,A B C D ，所以有景点构成的全集为U ，记集合,,,A B C D 的元素的个数依次为(),(),(),()n A n B n C n D ，则()()()()2n A n B n C n D ====，()4n U =，,,()1A B CD n A C =∅=∅=， 则A B C D U ==,()()()1n B C n A D n B D ===，所以每个景点都有2人去，故选：B变式训练3：学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有______人．【答案】4【详解】由题意，画出韦恩图如下图所示：根据题意可知122439313x y z x y x z +++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解方程组得426x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以同时参加田赛与径赛的有4人【过关检测】1、某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x ，最少人数为y ，则x y -=（ ）A ．22B ．21C ．20D ．19【答案】D【详解】设集合,A B 分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集U ，A B 就是两者都爱好的，要使AB中人数最多，则A B ⊆，22x =，要使A B 中人数最少，则A B U =，即222746y +-=，3y =，∴22319x y -=-=．故选：D ．2、某校运动会上,高一(1)班共有28名同学参加比赛,其中有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛,则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】只参加游泳比赛的人数：15﹣3﹣2＝10（人）；同时参加田径和球类比赛的人数：8+14﹣（28﹣10）＝4（人）．故选：D3、学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为A ．20B ．17C ．14D ．23【答案】B【详解】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人， 所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为812317+-=.故选B4、50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，两项测验成绩均不及格的有4人，两项测验成绩都及格的人数是（ ）A．35 B．25 C．28 D．15【答案】B【详解】试题分析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x人；由跳远及格40人，可得仅跳远及格的人数为40-x人；由铅球及格31人，可得仅铅球及格的人数为31-x人；2项测验成绩均不及格的有4人∴40-x+31-x+x+4=50，∴x=255、某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组，假设每位学员最少参加一个小组，其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组，有16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组，有8位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组，又参加了“小小演说家”兴趣小组，则该幼儿园满天星班学员人数为（）A．19 B．20 C．21 D．37【答案】C【详解】+-=.由条件可知该幼儿园满天星班学员人数为1316821故选：C6、自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟根据上述调查结果，下列结论错误的是（）A．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟D．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟【答案】D【解析】设报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A ，B ，C ，D ，则 由题意，A∩B=∅，B ⊆C ，D∩C=∅，C ∪D=B ，∴A ⊆D ，B=C ，C ∪D=B ，选项A ，B∩D=∅，正确；选项B ，B=C ，正确；选项C ，A ⊆D ，正确，故选D ．7、某小学五年级一班共有50名学生，在期中考试中语文25人优秀，数学30人优秀，两门都不是优秀者7人，则两门都是优秀同学共有______人.【答案】12【详解】解：设两门都是优秀同学共有x 人，利用Venn 图表示如图，所以有：2530750x +-+=，解得12x =.故两门都是优秀同学共有12人.故答案为：128、建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数7人，则此班的人数为________【答案】40人【详解】 设{U x x =为建平中学高一某班全体学生} 集合{A x =参加大舞台的学生}集合{B x =参加风情秀的学生}两个节目都参加的人数为n ,只参加风情秀的人数为m .两个节目都不参加的人数为7n +,只参加大舞台的人数为3m +则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三可知()3378m n m n m n +=+++++ 解得15m n += 所以总的人数为315408÷=人 故答案为: 409、某学校举办运动会时，高一（1）班共有26名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和田径比赛的学生有__人．【答案】5【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次所以15+8+14﹣3﹣3﹣26＝5，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，所以同时参加田径比赛和球类比赛的有5人．故答案为5．10、某班共40人，其中17人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为___________.【答案】15.【详解】用集合A 表示喜爱篮球运动的学生组成的集合，用集合B 表示喜爱乒乓球的学生组成的集合，U 表示全班学生组成的集合，作出Venn 图如下图所示：设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的学生人数为x ，则()()172084540x x x x -+-++=-=，解得5x =.因此，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为2015x -=，故答案为15.11、在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校}，{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校}，{|C x x 是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____．【答案】A B A C【详解】解：①设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校}, {|B x x =是参与27方阵群众游行的学校},{|C x x 是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A B ． 故答案为：A B ．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A C ． 故答案为：A C ．12、某校举办运动会时，高一某班共有27名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.则仅参加一项比赛的共有___________人.【答案】17【详解】设参加游泳比赛为集合A ，参加田径比赛为集合B ，参加球类比赛为集合C ，同时参加球类和田径比赛的有x 人由韦恩图可知，()()()1534348314427x x x --+++--++--=，解得3x =则仅参加一项比赛的共有()()()1534833144317--+--+--=人故答案为：1713、有三支股票A,B,C ．总共28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1，在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票.则只持有B 股票的股民人数是_____人.【答案】7【详解】由题意，作出韦恩图，如图所示，根据题意，在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1，在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票，可得7m n p ++=，即值持有B 股的股民人数为7人.14、向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？【答案】对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生分别有21人、8人.【详解】赞成A 的人数为350305⨯=，赞成B 的人数为30333+=， 记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合M ，赞成事件B 的学生全体为集合N ，设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ，则对A 、B 都不赞成的人数为13x +，赞成A 而不赞成B 的人数为30x -，赞成B 而不赞成A 的人数为33x -，作出Venn 图如下所示，依题意可得(30)(33)1503x x x x ⎛⎫-+-+++= ⎪⎝⎭，解得21x =， 所以对A 、B 都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人.15、某班对两条新制定的班规A ，B 进行表决，结果A 以90%的得票率顺利通过，而B 却因得票率为40%，未过半数被否决;并且知道，对A ，B 都投赞成票的学生人数是对A ，B 都投否决票的学生人数的6倍，已知全班共50人，并且不能弃权，问单投A 赞成票和同时投A ，B 赞成票的学生各多少人?【答案】27；18.【详解】设集合A 为对A 投赞成票的学生，集合B 为对B 投赞成票的学生，依题意A 有45人，B 有20人，对A 、B 都投赞成票的学生则表示为A B ，设为x 人，对A 、B 都投否决票的学生则表示为A B ⋂，依意为6x ， 根据集合运算公式：(5045)(5020)3566x x A B A B A B ⋃=+-⋂=-+--=-， 50A B x ⋃=-，则35506x x -=-，解得：18x =， 所以同时投A ，B 赞成票的学生18人.单投A 赞成票的人可表示为451827A A B -⋂=-=人.16、已知全集U ，集合A 、B 、C 的关系如图，请在图中用阴影线表示下列集合的运算结果：（1）()U U A C BB C C （2）()()U U A B C C C C B【答案】(1)(2)【详解】(1) 先分析U A C B 与U B C C ,再求并集可得如图阴影部分.(2) 先判断()U A B C C 与U C C B ,再求并集可得如图阴影部分.。
