角平分线性质定理和判定定理

一、数学内容的本质、地位、作用分析

1.数学内容的本质

角的平分线的点到角的两边的距离相等。

2。数学内容的地位和作用

角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续,它为后面证明线段相等、角相等的几何证明提供了一种新的、更为简单的证明方法。本节分为两课时：第一课时让学生动手探究角的平分线的画法、角的平分线的性质；第二课时主要探究角的平分线的判定，并在此基础上进行简单应用.本节课是第一课时的内容，它不仅为学生动手操作、观察、交流等活动提供了良好的素材，同时也让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型、解决实际问题.

二、教学目标分析

1、教学目标

根据课程标准要求、教材及学生的实际情况，我从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面确定教学目标。

1.知识与技能

（1）会作已知角的平分线；

（2）了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质；

（3）会利用角的平分线的性质进行证明与计算.

2。过程与方法

在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.

3.情感、态度与价值观

在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验.

2、目标分析：

1.知识与技能

(1）所谓“会作已知角的平分线”，就是让学生通过探究角平分仪的原理,从而抽象概括出用尺规做角的平分线的作法；

(2）所谓“了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质”，就是让学生通过折纸归纳出角的平分线的性质，并能用三角形全等证明这个性质,体会用数学推理的方法证明猜想成立的必要性。

（3）所谓“会利用角的平分线的性质进行证明与计算”，就是通过变式训练,让学生会利用角的平分线的性质进行证明与计算.

2。过程与方法

所谓“在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力”， 就是在活动中，让学生通过自主探索、合作交流等方式,帮助学生积累数学活动的经验,发展有条理的思维及初步的演绎推理能力。

第三节 角平分线的性质及应用

一、课标导航

课标内容 课标要求 目标层次

角平分线的性质 掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质

掌握角平分线的判定及角平分线的画法 ★

熟练运用角的平分线的性质解决问题 ★★

二、核心纲要

1．角平分线的性质定理

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．

注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．

2．角平分线的判定定理

到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AOB．

注：用来证明一条线是一个角的平分线．

3．角平分线的画法

如下右图所示，已知：∠AOB．

作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．

（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．

（3）作射线OC．∴射线OC即为所求．

4.三角形的角平分线

三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．

5.与角平分线有关的辅助线模型

（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）

如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．

（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全） 如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．

（3）角平分线+垂线，全等必出现．

如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．

本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．

三、全能突破

基 础 演 练

1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（ ）．

1 流河路公北M区CBA 角平分线(线段垂直平分线，等腰三角形)

角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等

用数学符号可表示：

∵点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）

∴

角平分线的判定定理：

角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

用数学符号可表示：

∵

∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）

基础闯关

1.在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝5㎝，BD＝3㎝，则点D到AB的距离为

2.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则M到OB的距离为

㎝。

3.如图，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，AC＝8㎝，DC＝3DA，则点D到BC的距离为 。

4.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）

A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD

5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）

A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点

C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点

6.到一个角的两边距离相等的点在 ．

7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A点处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是

．

8．三角形中，到三边距离相等的点是

（A）三条高线交点．（B）三条中线交点．（C）三条角平分线交点．（D）三边垂直平分线交点．

9．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 O D

P

E B

A

第3题图DABC21DAPOEB第4题图

1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 。

2、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

3、线段垂直平分线的性质定理：

垂直平分线上的点到线段两端点的距离都相等。

4、线段垂直平分线的逆定理：

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

5、等腰三角形 性质：

①等腰三角形

相等（定义）

②等腰三角形 相等（等边对等角）

③等腰三角形底边上的 和 、顶角的 互相重合（三线合一）

6、等腰三角形判定：

①有 相等的三角形是等腰三角形

②有

相等的三角形是等腰三角形