高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积自主训练北师大版必修4

备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:两个向量a.与b的向量积是一个新的向量c:(1)c的模等于以a.及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;(2)c垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b，如图8.图8向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ,则|a.×b|=|a||b|sinθ.在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则a×b=0.向量的向量积服从以下运算律:(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(m a)×b=m(a×b).二、备用习题1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|=|a||b⇔|a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|A..1B.2C.3D.42.有下列四个命题:①在△ABC中,若AB·BC＞0,则△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,若AB·＞0,则△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形的充要条件是·=0;④△ABC为斜三角形的充要条件是·BC≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( )3 A..43 B.4 C.42 D.8+24.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a·b)c-(c·a.)b=0;②|a|-|b|＜|a.-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△A.BC 中,设AB =b ,=c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( )A..0B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________.7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求:(1)(a -3b )·(2a +b );(2)|3a -4b |. 9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+.9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos 3π=1.∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12.∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |c osθ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23c osθ,∴c osθ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147. (设计者：陆萍)。

休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
三、解答题(共 25 分，解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤)
12．(12 分)已知|a|＝4，|b|＝5，|a＋b|＝ 21，求： (1)a·b；(2)(2a＋b)·(a－2b)；(3)|2a－3b|.
1．下面给出的关系式中正确的个数是( Ca·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1
B．2
C．3
D．4
解 析 ： ① ② ③ 正 确 ， ④ ⑤ 错 误 ， (a·b)2 ＝ (|a|·|b|cosθ)2 ＝ a2·b2cos2θ≠a2·b2.
则A→C·A→D＝( D )
A．2 3 3
C. 3
3 B. 2 D. 3
解析：本题考查了向量的运算．
∵A→C＝A→B＋B→C＝A→B＋ 3 B→D，
∴A→C·A→D＝(A→B＋ 3 B→D)·A→D＝A→B·A→D＋ 3B→D·A→D，
又∵AB⊥AD，∴A→B·A→D＝0，
∴ A→C ·A→D ＝
2.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝1，则A→B·B→C的
值为( B )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：A→B·B→C＝A→B·(A→C－A→B)＝A→B·A→C－A→B2＝－|A→B|2＝－1.
3．向量 a 的模为 10，它与 x 轴正方向的夹角为 150°，则它 在 x 轴正方向上的射影为( A )
∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝(－12)－(－12)＝0， ∴(a－b)⊥c. (2)由|ka＋b＋c|>1，得|ka＋b＋c|2>1， 即(ka＋b＋c)2>1. ∴k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2b·c＋2kc·a>1， 即 k2－2k>0，∴k<0 或 k>2.

2.5 从力做的功到向量的数量积典题精讲例1若|a |=1，|b |=2，(a -b )⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A.30°B.45°C.90°D.135°思路解析：设a 与b 的夹角为θ，∵（a -b ）·a =0.∴|a |2-b ·a =0.∴b ·a =1.∴cos θ=||||b a b a ∙=22. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.答案：B绿色通道：求向量a 与b 的夹角的步骤：（1）计算b ·a ，|a |，|b |；（2）计算cos 〈a ，b 〉；（3）根据范围确定夹角的大小.变式训练1已知a 与b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.思路分析：求a 与b 的夹角余弦值，只要求出a ·b 与|a |、|b |即可.解：∵（a +3b ）⊥（7a －5b ）,∴（a +3b ）·（7a －5b ）=0.∴7a 2+16a ·b －15b 2=0.①又∵（a －4b ）⊥（7a －2b ）,∴（a －4b ）·（7a －2b ）=0.∴7a 2－30a ·b +8b 2=0.②①－②得46a ·b =23b 2，即有a ·b =21b 2=21|b |2. 代入①式，得7|a |2+8|b |2－15|b |2=0，故有|a |2=|b |2，即|a |=|b |.∴cos〈a ，b 〉=21||||||21||||2==∙b b b b a b a . 又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉=60°，即a 与b 的夹角为60°.变式训练2已知△ABC 中，a =5，b =8，·=-20，试求C.有个同学求解如下：解：如图2-5-4，∵||=a =5，||=b =8，图2-5-4 218520||||-=⨯-=CA BC . 又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析：这位同学的解答不正确，其原因就在于没能正确理解向量夹角的定义.由于BC 与CA 两向量的起点并不同，故∠C≠〈BC ，CA 〉,而是∠C＋〈BC ,CA 〉=180°，则cos 〈, 〉218520-=⨯-=. 又∵0°≤〈BC ,CA 〉≤180°，∴〈BC ,CA 〉=120°.∴∠C=60°.所以这位同学的解答不正确，∠C=60°；批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么这道题就能做对了，请你再试试吧.例2已知向量a 、b 不共线，且|2a +b |=|a +2b |，求证：（a +b ）⊥（a －b ）.思路分析：可以证明（a +b ）与（a －b ）垂直，转化为证明（a +b ）与（a －b ）的数量积为零.也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.证法一：∵|2a +b |=|a +2b |，∴（2a +b )2=（a +2b )2.∴4a 2+4a ·b +b 2=a 2+4a ·b +4b 2.∴a 2=b 2.∴（a +b ）·（a －b ）=a 2－b 2=0.又a 与b 不共线，a +b ≠0，a －b ≠0，∴（a +b ）⊥（a －b ）.证法二：如图2-5-5所示，在平行四边形OCED 中，设=a ，=b ,A 、B 、N 、M 分别是OC 、OD 、DE 、EC 的中点.图2-5-5则有2a +b =OC +OB =OC +CM =OM ，a +2b =+=+=ON ,a +b =21,a -b =BA =NM . ∵|2a +b |=|a +2b |，∴|OM |=|ON |.∴△OMN 是等腰三角形.可证F 是MN 的中点. ∴OE ⊥BA . ∴⊥. ∴21⊥BA . ∴（a +b ）⊥（a －b ）.绿色通道：证明向量垂直的两种方法：①应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.②应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练向量a 、b 均为非零向量，且|a |=|b |，求证：(a -b )⊥(a ＋b ）.思路分析：转化为证明向量(a -b )和(a ＋b )的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.证法一：如图2-5-6所示，在平行四边形OACB 中,图2-5-6 设OA =a ,OB =b ,则a -b =，a+b =OC ， ∴|OA |=|OB |.∴四边形OA ＣB 是菱形.∴OC ⊥BA .∴⊥OC ，即(a -b )⊥(a ＋b ）.证法二：∵|a |=|b |，∴(a -b )·(a ＋b ）=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0.∵a 、b 均为非零向量,∴a -b ≠0，a ＋b ≠0.∴(a -b )⊥(a ＋b ）.问题探究问题（1）在Rt△ABC 中，∠BA C=90°，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉； （2）在等边△ABC 中，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉；（3）由（1）和（2）你发现了什么结论，并加以证明.导思:归纳、猜想、证明是人类认识世界和发现世界的主要手段，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论.探究：（1）∵∠BA C=90°，∴cos〈AB ,AC 〉=0. ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+||2=||2. (2)∵||2=||2=||2,〈,〉=60°， ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+|AC |2-||2=||2=|BC |2.(3)可发现如下结论：在△ABC 中，有 ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2； ||2+|BC |2-2|||BC |cos 〈,BC 〉=|AC |2； |CA |2+|CB |2-2|CA ||CB |cos 〈CA ,CB 〉=|AB |2. 可以用语言叙述：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.此结论称为余弦定理.证明：如图2-5-7，在△ABC 中，有-=,图2-5-7 ∴(-AB )2=2BC . ∴2AB +2AC -2·=2BC ,即|AB |2+|AC |2-2|AB ||AC |cos 〈AB ,AC 〉=|BC |2. 同理可证：||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2; ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2.。

∴a·b＝0，|a|2＝4，|b|2＝9， ∴12λ－18＝0，即 λ＝32.
规律方法 根据向量垂直的条件即数量积等于 0 可建立参数 的方程，从而可求得参数的值或找到参数之间的函数关系．
已知|a|＝2，|b|＝1，向量 a，b 的夹角为 60°，c＝a＋5b，d ＝ma－2b.当 m 为何值时，c 与 d 垂直？
已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)a·b＝|a||b|cos120° ＝2×3×－12＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－ 3|b|2＝8－15－27＝－34.
【解】 (1)a 在 b 方向上的射影为
|a|cosθ＝5cos150°＝－5
2
3 .
a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos150°＝－10 3.
(2)b 在 a 方向上的射影为|b|cosθ＝a|a·b| ＝96＝32.
∵cosθ＝|aa|·|bb|＝6×9 3＝12，∴θ＝60°.
规律方法 向量 b 在 a 方向上的射影只与向量 b 的模及向量 a 和 b 的夹角有关，而与向量 a 的模没有关系．
类型三 向量的夹角
【例 3】 已知 a，b 是非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|， 求 a 与 a＋b 的夹角．
【思路探究】 依据条件，可以利用向量的数量积定义求解， 也可以利用向量加法运算的几何意义求解．
【解】 解法一：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2.
又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，