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解三角形应用教案

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解三角形应用举例

第一课时

（1）教学目标

(a)知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

(b)过程与方法 ：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

(c)情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

（2）教学重点、难点

教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图

（3）学法与教学用具

让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。

直角板、投影仪（多媒体教室）

（4）教学设想

1、复习旧知

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、设置情境

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

3、 新课讲授

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)

启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得

ACBABsin = ABCACsin

AB =

ABCACBACsinsin

= ABCACBsinsin55

=

)7551180sin(75sin55

= 54sin75sin55

≈ 65.7(m)

答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。

解略：2a km

例2、（动画演示辅助点和辅助线）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，

 ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得

AC =

)](180sin[)sin(a =

)sin()sin(a

BC =

)](180sin[sina =

)sin(sina

计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB = cos222BCACBCAC

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

4、 学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

5、 课堂练习

课本第14页练习第1、2题

6、 归纳总结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

（5）评价设计

1、 课本第22页第1、2、3题

2、 思考题：某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公 路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得

cosC=BCACABBCAC2222=3123,

则sin2C =1- cos2C =231432,

sinC =31312,

所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =62335

在MAC中，由正弦定理得

MC =AMCMACACsinsin=233162335=35

从而有MB= MC-BC=15

答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。

课题: §1.2.2解三角形应用举例

第二课时

授课类型：新授课

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题

过程与方法：情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 ●教学重点

结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题

●教学难点

能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件

●教学过程

Ⅰ.课题导入

提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题

Ⅱ.讲授新课

[范例讲解]

例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。

分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。

解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得

AC = )sin(sina

AB = AE + h

= ACsin+ h

= )sin(sinsina + h

例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=5404，在塔底C处测得A处的俯角=501。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？

生：需求出BD边。

师：那如何求BD边呢？

生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。

解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理,

)sin(BC = )90sin(AB

所以 AB =)sin()90sin(BC=)sin(cosBC

解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=)sin(sincosBC

将测量数据代入上式,得

BD = )1500454sin(0454sin150cos3.27

=934sin0454sin150cos3.27

≈177 (m)

CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)

答:山的高度约为150米.

师：有没有别的解法呢？

生：若在ACD中求CD，可先求出AC。

师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？

生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）

例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,

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解直角三角形应用的复习教案(定稿)

解直角三角形应用的复习教案(定稿)

课题 解直角三角形应用的复习

授课教师 董礼 授课班级 九年九班

教学目标 知识与技能 1. 熟练解直角三角形的基础知识,构建本章知识结构；

2. 会用解直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题；

3. 会将简单的实际问题数学化，能建立恰当的数学模型解决实际问题。

过程与方法 1.通过将实际问题数学化的过程，进一步把数和形结合起来，提高分析问题、解决问题的能力；

2.通过将实际问题数学化，建立数学模型解决实际问题的过程，提高运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学的应用意识.

情感态度价值观 继续渗透转化和数形结合思想，进一步体会模型化的思想方法，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯，增强学习信心.

重点、难点 重点：会用解直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题.

难点：会将简单的实际问题数学化，能建立恰当的数学模型解决实际问题.

教 学 过 程

教学环节 教 学 内 容 设计意图

一、知识

回顾

二、例题

分析

直角三角形相关知识：

1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

2、30度角所对的直角边等于斜边的一半

3、三边之间的关系（勾股定理）；

4、锐角之间的关系

5、边角之间的关系（锐角三角函数）

【出示5个利用三角函数进行计算的小题】

6、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念

（1）仰角和俯角；（2）坡度；（3）方位角

【出示关于概念的三个小题】

下面，我们就利用这些相关知识解决关于直角三角形的一些实际应用题

【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .

变式1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO 。

变式2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼

《解直角三角形及其应用》教案

《解直角三角形及其应用》教案

【教案三】23.2解直角三角形及其应用

一．教学三维目标

(一)、知识目标

使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．

(二)、能力目标

逐步培养分析问题、解决问题的能力．

二、教学重点、难点和疑点

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．

三、教学过程

（一）回忆知识

1．解直角三角形指什么？

2．解直角三角形主要依据什么？

(1)勾股定理：a2+b2=c2

(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

(3)边角之间的关系：

tanA=的邻边的对边AA，sinA=斜边的对边A， cosA=斜边的邻边A

（二）新授概念

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)

解：在Rt△ABC中sinB=ABAC

AB=BACsin=2843.01200=4221(米)

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）

分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。斜边的邻边AAcos斜边的对边AAsin将问题放到直角三角形FOQ中解决。

《解直角三角形》教案

《解直角三角形》教案

《解直角三角形》教案

一、教学目标

1、 知识与技能目标

（1）理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

（2）能够将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，从而解决实际问题。

2、 过程与方法目标

（1）通过对解直角三角形的学习，培养学生分析问题和解决问题的能力。

（2）在探究解直角三角形的过程中，让学生经历观察、思考、交流等活动，提高学生的数学思维能力和创新能力。

3、 情感态度与价值观目标

（1）通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生的合作意识和团队精神，增强学生的自信心和成就感。

二、教学重难点 1、 教学重点

（1）解直角三角形的概念和方法。

（2）运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2、 教学难点

（1）将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系。

（2）选择合适的锐角三角函数来解决问题。

三、教学方法

讲授法、讨论法、练习法

四、教学过程

1、 导入新课

通过展示一些与直角三角形相关的实际问题，如测量建筑物的高度、计算斜坡的长度等，引起学生的兴趣，从而引出本节课的主题——解直角三角形。

2、 知识讲解

（1）直角三角形的元素

直角三角形有六个元素：三条边和三个角。其中，斜边用 c 表示，两条直角边分别用 a 和 b 表示，两个锐角分别用∠A 和∠B 表示。 （2）直角三角形的边角关系

① 勾股定理：a² ＋ b² ＝ c²

② 锐角三角函数：sin A ＝ a/c，cos A ＝ b/c，tan A ＝ a/b

（3）解直角三角形的概念

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

3、 例题讲解

例 1：在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a ＝ 3，c ＝ 5，求∠A、∠B

和 b。

解：因为 sin A ＝ a/c ＝ 3/5，所以∠A ≈ 3687°

解三角形-解三角形的应用

解三角形-解三角形的应用

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解三角形的实际应用

知识点

仰角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线____方；

俯角：目标视线在水平线____方时叫俯角．(如图所示)

正余弦定理应用类型

已知条件 定理选用 一般解法

三边（,,abc）

两边和夹角

（如,,abC）

两边和其中一边的对角

（如,,abA） 正弦定理

两边和其中一边的对角

（如,,abA） 余弦定理

一边和二角

（如,,aBC）

总结：单角用余弦，两角用正弦

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题型一 测量距离的问题

【例1】.

某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩如图，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2．57cm，CE=3．57cm，BD=4．38cm，B=45°，C=120°．为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0．01cm)．

【例2】. 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为23a的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离.

【巩固练习】

1.一蜘蛛向北爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x .

2.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15的方向上，且此时货轮与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔S在货轮的东北方向，则货轮的速度为

( ).

A．2062海里/小时 Ｂ．2062海里/小时

Ｃ．2063海里/小时 Ｄ．2063海里/小时

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3.某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船（ ）触礁的危险（填“有”或 “无”）。