第二章 2.3.1 平面向量基本定理
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§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
知识点一 平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识点二 两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．
2．垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.
思考 如何正确理解两向量夹角概念
答案 (1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与向量AB→的夹角，∠BAD才是向量CA→与向量AB→的夹角．
1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( × )
提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底．
2．零向量可以作为基向量．( × )
提示 由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．
3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( × )
提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底．
4．若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( √
)
题型一 对基底概念的理解
例1 设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
考点 平面向量基本定理
题点 基底的判定
答案 B
解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选B.
反思感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
跟踪训练1 若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1
B．2e1－e2，e1－12e2
C．2e2－3e1，6e1－4e2
D．e1＋e2，e1＋3e2
考点 平面向量基本定理
题点 基底的判定
答案 D
解析 选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2e1－12e2，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合．
题型二 用基底表示向量
例2 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试以a，b为基底表示DE→，BF→.
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴AD→＝BC→＝2BE→，BA→＝CD→＝2CF→，
∴BE→＝12AD→＝12b，CF→＝12BA→＝－12AB→＝－12a.
∴DE→＝DA→＋AB→＋BE→＝－AD→＋AB→＋BE→
＝－b＋a＋12b＝a－12b，
BF→＝BC→＋CF→＝AD→＋CF→＝b－12a.
引申探究
若本例中其他条件不变，设DE→＝a，BF→＝b，试以a，b为基底表示AB→，AD→.
解 取CF的中点G，连接EG.
∵E，G分别为BC，CF的中点，
∴EG→＝12BF→＝12b，
∴DG→＝DE→＋EG→＝a＋12b.
又∵DG→＝34DC→＝34AB→，
∴AB→＝43DG→＝43a＋12b＝43a＋23b. 又∵AD→＝BC→＝BF→＋FC→＝BF→＋12DC→＝BF→＋12AB→，
∴AD→＝BC→＝b＋1243a＋23b
＝23a＋43b.
反思感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
考点 平面向量基本定理的应用
题点 利用平面向量基本定理求参数
答案 43
解析 设AB→＝a，AD→＝b，
则AE→＝12a＋b，AF→＝a＋12b，
又∵AC→＝a＋b，
∴AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.
题型三 向量的夹角
例3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.
考点 向量夹角的定义及夹角的范围
题点 求向量的夹角
解 如图，作OA→＝a，OB→＝b，且∠AOB＝60°，以OA，OB为邻边作▱OACB，
则OC→＝a＋b，BA→＝OA→－OB→＝a－b，BC→＝OA→＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，
所以∠OAB＝60°＝∠ABC， 即a－b与a的夹角β＝60°.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，
所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，
即a＋b与a的夹角α＝30°，
所以α＋β＝90°.
反思感悟 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
跟踪训练3 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12AB，则AB→与BC→的夹角是( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
考点 向量夹角的定义及夹角的范围
题点 求向量的夹角
答案 C
解析 如图，
作向量AD→＝BC→，则∠BAD是AB→与BC→的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.
平面向量基本定理的应用
典例 如图，点A，B，C是圆O上三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P.若OC→＝mOA→＋2mOB→，AP→＝λAB→，则λ＝________.
答案 23
解析 ∵OP→与OC→共线，
∴存在实数μ，使OP→＝μOC→＝mμOA→＋2mμOB→. ∵AP→＝OP→－OA→，
∴AP→＝mμOA→＋2mμOB→－OA→＝(mμ－1)OA→＋2mμOB→＝λAB→＝λ(OB→－OA→)＝－λOA→＋λOB→.
∵OA→与OB→不共线，
∴ mμ－1＝－λ，2mμ＝λ，解得λ＝23.
[素养评析] 1.利用平面向量基本定理解决问题时，要抓住用基底表示向量时系数λ1，λ2的唯一性．
2．本题主要考查利用平面向量基本定理，建立方程运算求出未知向量，体现了数学运算的核心素养．
1．给出下列三种说法：
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
其中，说法正确的为( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
考点 平面向量基本定理
题点 基底的含义与性质
答案 B
2.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：
①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→.
其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
考点 平面向量基本定理
题点 基底的判定
答案 B
解析 ②中DA→与BC→共线，④中OD→与OB→共线，①③中两向量不共线，故选B.
3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数
答案 －15 －12
解析 ∵向量e1，e2不共线，
∴ 2x－3y＝6，3x－4y＝3，解得 x＝－15，y＝－12.
4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC，若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
考点 平面向量基本定理的应用
题点 利用平面向量基本定理求参数
答案 12
解析 DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→
＝12AB→＋23(AC→－AB→)
＝－16AB→＋23AC→，
又∵AB→与AC→不共线，
∴λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝－16＋23＝12.
5．在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以CB→＝e1，CA→＝e2为基底表示CF→.
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
解 AB→＝CB→－CA→＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以AF→＝34AB→＝34(e1－e2)，
所以CF→＝CA→＋AF→＝e2＋34(e1－e2)＝34e1＋14e2.
