2.3.1 平面向量基本定理
类型一平面向量基本定理的理解
例1设e
1，e
2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e
1与e
1＋e
2；②e
1－2e
2与e
2－2e
1；
③e
1－2e
2与4e
2－2e
1；④e
1＋e
2与e
1－e
2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
跟踪训练1 下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )
A.①② B．②③ C．①③ D．①②③
类型二用基底表示平面向量
例2如图所示，在?ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若AB→
＝a，AD→
＝b，试用a，
b
表示向量DE→
，BF→
.
跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a
，b
表示AG→
；
(2)若本例中的基向量“AB→
，AD→
”换为“CE→
，CF→
”即若CE→
＝a
，CF→
＝b
，试用a
，b
表示向量DE→
，BF→
.
类型三向量的夹角
例3已知|a
|＝|b
|，且a
与b
的夹角为120°，求a
＋b
与a
的夹角及a
－b
与a
的夹角．
跟踪训练3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角．
【巩固提升】
一、选择题
1．已知向量a
＝e
1－2e
2，b
＝2e
1＋e
2，其中e
1，e
2不共线，则a
＋b
与c
＝6e
1－2e
2的关系是( )
A．不共线 B．共线 C．相等 D．不确定
2．当向量a
与b
共线时，则这两个向量的夹角θ
为( )
A．0° B．90° C．180° D．0°或180°
3．已知AD
是△ABC
的中线，AB→
＝a
，AD→
＝b
，以a
，b
为基底表示AC→
，则AC→
＝( )
A.1
2(a
－b
) B．2b
－a
C.1
2(b
－a
) D．2b
＋a
4．在正方形ABCD
中，AC→
与CD→
的夹角等于( )
A．45° B．90° C．120° D．135°
《平面向量基本定理》这节课内容比较抽象，学生接受起来比较难，是《平面向量》部分难点之一。我设计这节课主要有三个特点：一是通过设置学生的认知冲突引入课题，二是自始至终抓住运算这条主线，三是从教材整体上把握本节课内容，让学生经历从直线到平面推广的过程，进而给学生留有推广到空间，一直到n维空间的想象余地。以下是我的教学设计：
一、设置认知冲突，激发学生探究欲--引入课题
1.复习旧知.通过给出具体例子：已知轴l和单位向量e,让学生用单位向量表示一些与l平行的向量,如向量AB,DE等，达到复习共线向量基本定理的目的，同时为后面引入基底做好铺垫。
2.设置冲突.接着给出一个与l不平行的向量GH，让学生也用此单位向量表示。学生在不断探索、讨论的过程中，发现根本无法用一个与l平行的向量表示这个向量，进而怀疑老师的问题是错误，此时老师鼓励学生给老师改错，在改错的过程中，学生发现还得需要一个向量。从而引出本节课课题。
二、设置运算题目，引导学生动手实践--形成定理
通过具体题目，引导学生动手实践，让学生在实践中找到另一个向量到底需要满足什么条件，学生通过几组具体题目的运算，发现这两个向量只要不共线就可以，从而形成定理。
注意：在这个过程中不少学生指出两个互相垂直的单位向量最容易表示，应该给予肯定，这也为后面的向量的坐标表示做下伏笔。
这样设计，不仅可以让学生体会知识形成的过程，也化解了本定理的证明这个难点，讲完这个定理后，定理的证明只需点到，或让学生自己阅读课本即可。
三、应用举例，设置变式---巩固定理
1.平面向量基本定理最终还是为了计算应用，通过例题，让学生体会平面向量基底的不唯一性，同时让学生明白，一旦确定一组基底，那么任何一个非零向量的的分解式是唯一的。
2.设置变式，化解引入直线向量式方程的难点。
这个过程中让点P动起来，分别移动到点M,N,H等处，接着过渡到例题2.
2．3.1 平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．
2．向量的夹角
条件 两个非零向量a和b
产生过程
作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角
范围 0°≤θ≤180°
特殊情况 θ＝0° a与b同向
θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b
θ＝180° a与b反向
[点睛] 当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.
用基底表示向量
[典例] 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.
[活学活用]
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.
向量夹角的简单求解
[典例] 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
[活学活用]
如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量AB与向量BC的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．
平面向量基本定理的应用
[典例] 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，
2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景理解向量，掌握向量与数量的区别(重点、难点).2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量(重点).3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念(易错点)．
知识点1向量的定义及表示
1．定义：既有大小，又有方向的量．
2．表示：
(1)有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；
(2)向量的表示：
【预习评价】 (准确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量就是有向线段．( )
(2)如果|AB→| >|CD→|，那么AB→>CD→.( )
(3)力、速度 和质量都是向量．( )
知识点2 向量的相关概念
向量名称 定义
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位 的向量
平行向量
(共线向量) 方向相同或相反 的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量平行
相等向量 长度相等 且方向相同 的向量；向量a，b相等，记作a＝b
【预习评价】 (准确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b都是单位向量，则a＝b.( )
(2)若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．( )
(3)零向量的大小为0，没有方向．( )
题型一 向量的相关概念、零向量、单位向量
【例1】 判断下列命题是否准确，若不准确，请简述理由．
（1）向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点必在一直线上；
（2）单位向量都相等；
（3）任一向量与它的相反向量不相等；
（4）四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB→＝DC→；
（5）一个向量方向不确定当且仅当模为0；
（6）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
【训练1】 判断下列命题是否准确，并说明理由．
(1)若a≠b，则a一定不与b共线；
