高二数学立体几何知识点

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展25立体几何中的截面问题（精讲+精练）

一、截面问题的理论依据

(1)确定平面的条件

①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线

(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内

(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行

二、截面问题的基本思路

1.定义相关要素

①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.

②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.

③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.

④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.

⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.

2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面

3.作截面的具体步骤

（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点

方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点

（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线

（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面

三、作截面的几种方法

（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过

程。

（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。

（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行

线找到几何体的截面的交线。

模型演练：如下图E、F

是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点一、知识点梳理方法：两点成线相交法或者平行法

特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；

.

立体几何初步

1、 柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

. 表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

第1页，共4页 职业高中数学试卷

课程 专业 年级

一：选择题：（每题5分，共30分）

（1）如图1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1B1C1的度数为（ ）。

A、30° B、45° C、60° D、90°

（图1）

（2）空间中的两条直线a⊥b,则它们的位置关系是（ ）。

A 、相交 B、 异面 C、相交或异面 D、共面

（3）如果一条直线上的两点到同一平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）。

A、直线在平面内 B、直线和平行

C、直线和平面相交 D、直线在平面内或和平面平行或和平面相交

（4）α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是（ ）

A、存在平面γ，使得α⊥β，β⊥γ

B、α内不共线的三个点到β的距离相等

C、l、m在α内，且l∥β，m∥β

D、l、m是两条异面直线，且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β

(5)把直径是10的一个铁球熔化后，做成直径是它的1/5的小球，可以做成小球的个数是（ ）

A、125 B、100 C、25 D、5

（6）已知直线a、b与平面α、β、γ，能使a⊥β成立的 学生姓名：___________________ 学号 ：_________________ 专业年级 ：_________________

-密 ----------------封------ ----------线-------- ----------内----- ------------不---- --------------要----- --------------答--- ------------题A1 C1 D1

B1

D

A B C 第2页，共4页 条件是（ ）

立体几何

一、平面的基本性质

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.

根据上面的公理，可得以下推论.

推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

二、空间线面的位置关系

共面 平行—没有公共点

(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点

异面(既不平行，又不相交)

直线在平面内—有无数个公共点

(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点

(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点

(3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点)

平行—没有公共点

三、异面直线的判定

证明两条直线是异面直线通常采用反证法.

有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.

四、线面平行与垂直的判定

(1)两直线平行的判定

①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.

②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.

③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.

④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b

⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b

⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.

(2)两直线垂直的判定

1.定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.