高中数学立体几何知识点

1 高中数学立体几何知识点总结

一 、空间几何体

（一） 空间几何体的类型

1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。

（二） 几种空间几何体的结构特征

1 、棱柱的结构特征

1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的分类

棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体

性质：

Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；

Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；

Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 2

1.3 棱柱的面积和体积公式

chS直棱柱侧（c是底周长，h是高）

S直棱柱表面 = c·h+ 2S底

V棱柱 = S底 ·h

2 、棱锥的结构特征

2.1 棱锥的定义

（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2.2 正棱锥的结构特征

Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；

Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

正棱锥侧面积：

1'2Sch正棱椎（c为底周长，'h为斜高）

体积：13VSh棱椎（S为底面积，h为高）

1 / 4 立体几何知识点

一.基本概念和原理：

1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

2.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

3.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法

两异面直线间距离:

公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法

2、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)

（规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]）

3.最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

4.三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

5.直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 2 / 4 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

高中数学立体几何知识点总结

立体几何是数学中的一个分支，研究与三维空间中的几何图形相关的性质和关系。高中数学中的立体几何部分主要涉及到体积、表面积、平面截面和立体图形的性质等内容。下面将对高中数学立体几何的知识点进行总结。

一、体积和表面积的计算方法

在立体几何中，体积和表面积是重要的衡量参数。体积用于表示一个立体图形所占据的空间大小，而表面积则表示该立体图形的外表面积。

1.1 直体的体积和表面积计算方法

直体包括长方体、正方体和圆柱体等。长方体的体积等于底面积乘以高，表面积等于长方体的六个面的面积之和。正方体的体积等于边长的立方，表面积等于六个面的面积之和。圆柱体的体积等于底面积乘以高，表面积等于上下底面积之和再加上侧面积。

1.2 斜体的体积和表面积计算方法

斜体包括棱柱、棱锥、棱台和四面体等。棱柱的体积等于底面积乘以高，表面积等于底面积加上侧面积。棱锥的体积等于底面积乘以高除以3，表面积等于底面积加上底面与顶点相连的面积。棱台的体积等于上底面积加下底面积再乘以高除以2，表面积等于上底面积加下底面积再加上四个侧面的面积。四面体的体积等于底面积乘以高除以3，表面积等于四个面的面积之和。 1.3 球体的体积和表面积计算方法

球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，表面积等于4乘以π乘以半径的平方。

二、平面截面的性质和计算方法

在立体几何中，平面截面是指一个平面与一个立体图形相交后所形成的截面。平面截面的性质和计算方法与不同的立体图形有关。

2.1 长方体的平面截面性质和计算方法

长方体的平面截面可以是矩形、正方形或平行四边形。截面的面积等于截面的宽度乘以长度。

2.2 圆柱体的平面截面性质和计算方法

圆柱体的平面截面可以是圆形、椭圆形或矩形。截面的面积等于截面的形状对应的公式计算得出。

2.3 球体的平面截面性质和计算方法

球体的平面截面可以是圆形或椭圆形。截面的面积等于截面的形状对应的公式计算得出。

立体几何知识点

1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与

高的比的平方。

（3）棱台：

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线）

chS直棱柱侧面积 rhS2圆柱侧 '21chS正棱锥侧面积 rlS圆锥侧面积

')(2121hccS正棱台侧面积 lRrS)(圆台侧面积

lrrS2圆柱表 lrrS圆锥表 22RRlrlrS圆台表

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

VSh柱 2VShrh圆柱 13VSh锥 hrV231圆锥

''1()3VSSSSh台 ''2211()()33VSSSShrrRRh圆台