全等三角形几种类型
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板块 考试要求
A级要求 B级要求 C级要求
全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题
全等三角形的认识与性质
全等图形：
能够完全重合的两个图形就是全等图形．
全等多边形：
能够完全重合的多边形就是全等多边形．
相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
全等多边形的对应边对应边、全等多边形的对应角相等．
如以下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形'''''ABCDE．
这里符号“≌〞表示全等，读作“全等于〞．
全等三角形：
能够完全重合的三角形就是全等三角形．
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；
反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，则这两个三角形全等．
全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．
全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌〞．
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
判定三角形全等的根本思路：
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：
⑴ 平移全等型
⑵ 对称全等型
⑶ 旋转全等型
由全等可得到的相关定理：
⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
⑵ 到一个角的两边的距离一样的点，在这个角的平分线上．
⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)．
⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合． .
⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等(等角对等边)．
⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
它们具有互逆性．
角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有以下三种作辅助线的方式：
1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，
3． OAOB，这种对称的图形应用得也较为普遍，
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点)，我们可以联想的容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．
重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的根底，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点
难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化
板块一、全等三角形的认识与性质
【例1】 在AB、AC上各取一点E、D，使AEAD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC，假设12，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．
【稳固】如下图，ABAD，BCDC，EF、在AC上，AC与BD相交于P．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．
板块二、三角形全等的判定与应用
【例2】 (2008年市高中阶段教育学校招生考试)如图，ACDE∥，BCEF∥，ACDE．求证：AFBD．
【例3】 (2008年市)：如图，ADBC，ACBD，求证：CD．
【稳固】如图，AC、BD相交于O点，且ACBD，ABCD，求证：OAOD．
【例4】 (市2008 年初中升学考试)：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC．求证：OAOD．
【例5】 ，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：BFCE．
【例6】 E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BECF．求证：AEBF．
【稳固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF．求证：BGCFBC．
【例7】 在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为CD中点．求证：AMCD．
板块三、截长补短类
【例1】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系“
【稳固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？ .
【例2】 如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为
( )
A.aB. kC. 2khD. h
【例3】 ：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.
【例4】 如下图，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．
【例5】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE
板块四、与角平分线有关的全等问题
【例1】 如图，ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且3OD，求ABC的面积．
【例2】 在ABC中，D为BC边上的点，BADCAD，BDCD，求证：ABAC．
【例3】 ABC中，ABAC，BE、CD分别是ABC及ACB平分线．求证：CDBE．
【例4】 ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．
【例5】 如图，E是AC上的一点，又12，34．求证：EDEB．
【例6】 (“希望杯〞竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．
【例7】 如下图，ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．求证：EF∥AB
【稳固】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交AB 于点G，假设BGCF，求证：AD为BAC的角平分线．
【稳固】在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：ABACPBPC．
【例8】 如图，在ABC中，2BC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：ABBDAC．
【例9】 如下图，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，假设CFAD且交AD的延长线于F，求证12MFACAB．
【稳固】如下图，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是BC的中点，求证DEAB∥
且1()2DEABAC．
【稳固】如下图，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证2ABACAM．
【例10】 如图，ABC中，ABAC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，ADBD于D，AECE于E．求证：ADAE．
【稳固】：AD和BE分别是ABC△的CAB∠和CBA∠的外角平分线，CDAD，CEBE，求证：⑴DEAB∥；⑵12DEABBCCA．
【例11】 在ABC中，MB、NC分别是三角形的外角ABE、ACF的角平分线，AMBM，ANCN垂足分别是M、N．求证：MNBC∥，12MNABACBC
【稳固】在ABC中，MB、NC分别是三角形的角ABC、ACB的角平分线，AMBM，ANCNA
D O
C B
