全等三角形几种类型总结

.. 全等三角形难题题型归类及解析

一、角平分线型

角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

1. 如图，在ΔABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长。

2. 已知：如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，•PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

3. 已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。

(1) 求证：∠ABE=∠C；

(2) 若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。

．

ABCDEPDACBMN..

5、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）

21PFMDBACE

6、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．

（1） 若BD平分∠ABC，求证CE=12BD；

（2） 若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

8、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB， 求证：AC=AE+CD．

二、中点型

由中点应产生以下联想： EDCBA.. 1、想到中线，倍长中线

2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形

3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线

4、三角形的中位线

2、已知：如图，ABC△中，45ABC°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．

三角形全等、相似及综合应用模型 题型解读｜模型构建｜通关试练

三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点。在考察题型上，

三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。

特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特

征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小

题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

模型01 与三角形有关的线段应用 高（AD） 中线（AD） 角平分线（AD） 中位线（DE）

∠ADB=∠ADC=90° BD=CD

S△ABD=S△ADC

C∆ACD−C∆ABD=AC−AB ∠BAD=∠DAC=12 ∠BAC AD=DB AE=EC

DE=12 BC DE∥BC 模型02 与三角形有关的角的应用

（1）三角形的内角：

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于180°．

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平

行线．

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

（2）三角形的外角：

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°．

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

.

..

. s .. A

B D C 全等三角形（一）SSS

【知识要点】

1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．

2．全等图形的性质：

（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等

（2）全等图形的面积相等

3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEFABC与全等，记作ABC≌DEF

（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．

（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．

（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．

【典型例题】

例1．如图，ABC≌ADC，点B与点D是对应点，26BAC，且20B，1ABCS，求ACDDCAD,,的度数及ACD的面积．

例2．如图，ABC≌DEF，cmCEcmBCA5,9,50，求EDF的度数及CF的长．

例3．如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：CADBAE

例4．如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：

（1）ABC≌DEF

全等三角形经典例题

（全等三角形的概念和性质）

类型一、全等形和全等三角形的概念

1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同）三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时,若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1），若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2）,两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°,下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）

（答案）B；提示：抓住关键语句,两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.

类型二、全等三角形的对应边，对应角

类型三、全等三角形性质

3、如图,将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果60BAF，那么DAE等于（ )．A。60° B。45° C。30° D.15°

（答案）D；（解析）因为△AFE是由△ADE折叠形成的，所以△AFE≌△ADE,所以∠FAE＝∠DAE，又因为60BAF，所以∠FAE＝∠DAE＝90602＝15°.

（点评）折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系,抓住全等三角形对应角相等来解题.

举一反三：（变式)如图，在长方形ABCD中，将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，若∠1＝35°，则∠2＝________。

（答案）35°；提示：将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED,所以∠2＝∠CBD，又因为AD∥BC，所以∠1＝∠CBD，所以∠2＝35°.

4、 如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的,若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.