抛物线标准方程四种形式

3．3．1 抛物线的标准方程定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．知识点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上，若F 在l 上，抛物线变为过F 且垂直与l 的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．【即学即练1】（2023·高二课时练习）若动点P 到点()3,0的距离和它到直线3x =-的距离相等，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．抛物线C ．直线D ．双曲线知识点02 抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F 且垂直于l 的直线为x 轴，垂足为K ．以F ，K的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xOy ．设KF p =（0p >），那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-． 设点(,)M x y 是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d ．由抛物线的定义，抛物线就是集合||MF =2p d x =+ 将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p 它的准线方程是2p x =-． 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >．知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-．一般情况归纳：首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p ，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为()2,0F -；(2)准线方程为：4y =-；(3)焦点到准线的距离为6.题型一：抛物线的定义例1．（2023·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线24y x =的焦点到准线的距离是（ ）.A ．116B ．18C ．2D ．4例2．（2023·江苏·高二假期作业）若点P 到直线=1x -的距离比它到点(2)0，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线例3．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为2，焦点为F ，则PF =（ ）A．2 B ．3 C D ．变式1．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若动点(,)M x y 满足3412x y =-+，则点M 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线题型二：抛物线的标准方程例4．（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为4y =；(2)顶点在原点，且过点()3,2-；(3)顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线34120x y --=上；(4)焦点在x 轴上，且抛物线上一点()3,A m 到焦点的距离为5.例5．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点()1,2P .求该抛物线的标准方程.例6．（2023·全国·高二课堂例题）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为()0,4F -；(2)准线方程为12x =. 变式2．（2023·高二课前预习）已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求抛物线的标准方程.变式3．（2023·高二课前预习）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.题型三：轨迹方程—抛物线例7．（2023·全国·高二专题练习）设圆22:4O x y +=与y 轴交于A ，B 两点（A 在B 的上方），过B 作圆O 的切线l ，若动点P 到A 的距离等于P 到l 的距离，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．28x y =B ．216x y =C ．28y x =D ．216y x =例8．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =的距离比它到定点()2,0-的距离小1，则P 的轨迹方程为（ ）A ．22y x =B ．24y x =C ．24y x =-D ．28y x =-例9．（2023·高二课时练习）已知在平面直角坐标系中有一定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到y 轴的距离为d ，且||1PF d -=，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．2y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．22y x =变式4．（2023·江苏·高二专题练习）与圆C ：2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．2y x =（0x >）和0y =（0x <）C ．28y x =（0x >）D ．28y x =（0x >）和0y =（0x <）变式5．（2023·全国·高二专题练习）若点P 到点(0,2)的距离比它到直线1y =-的距离大1，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．24y x =B ．24x y =C ．28y x =D ．28x y =变式6．（2023·福建宁德·高二统考期末）已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y变式7．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆C 与过点()1,0-且垂直于x 轴的直线l 仅有1个公共点，且与圆22:650C x y x '+-+=外切，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．212y x =B ．26y x =C ．22143x y += D ．22110x y += 变式8．（2023·高二课时练习）已知动圆过点(1,0)，且与直线=1x -相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A ．221x y +=B ．221x y -=C ．24y x= D ．0x = 题型四：抛物线距离和与差的最值问题例10．（2023·高二课时练习）已知点,A B 分别是抛物线2:4C y x =-和圆22:2440E x y x y +-++=上的动点，点A 到直线:2l x =的距离为d ，则AB d +的最小值为 ．例11．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知点M 为抛物线24x y =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，点()1,2P -，则MP MN +的最小值为 . 例12．（2023·全国·高二专题练习）已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆22(2)1x y +-=上运动，则2||PM PQ 的最小值 . 变式9．（2023·全国·高二专题练习）已知P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是()8,7，则PA PQ +的最小值为 ．变式10．（2023·全国·高二假期作业）已知P 为抛物线24y x =上的动点，F 为抛物线的焦点，点Q ，则PQF △周长的最小值为 .变式11．（2023·西藏日喀则·高二统考期末）若点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线22y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，为使||||MA MF +最小，点M 的坐标应为 ．变式12．（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点()3,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为变式13．（2023·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，直线l ：=1x -，点T 为圆M ：()()22341x y ++-=上的动点，设点P 到直线l 的距离为d ，则PT d +的最小值为 ．题型五：抛物线的实际应用例13．（2023·高二课时练习）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度30m AB =，拱高5m OP =，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱11A B 的长度为 m .（精确到m ）例14．（2023·河南周口·高二校联考期中）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm.例15．（2023·广东·高二统考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，水面宽4m ，水面下降2m 后，水面宽8m ，则桥拱顶点O 离水面l 的距离为 .变式14．（2023·全国·高二专题练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.变式15．（2023·福建福州·高二校联考期末）如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm 时，水面宽度为6cm ，当水面再上升2cm 时，水面宽度为 cm.变式16．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为 米.变式17．（2023·海南海口·高二校考期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为1.5m ，暴雨后的水面宽为2m ，暴雨来临之前的水面宽为4m ，则暴雨后的水面离拱顶的距离为 m .一、单选题1．（2023·湖南·高三雅礼中学校联考阶段练习）圆22420x x y y -+-=的圆心在抛物线22y px =上，则该抛物线的焦点坐标为（ ）A ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,02．（2023·贵州贵阳·高二校考期中）抛物线216=x y 的焦点到圆22:(3)1C x y -+=上点的距离的最大值为（ ） A ．6 B ．2 C ．5 D ．83．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知ABC 的顶点在抛物线22y x =上，若抛物线的焦点F 恰好是ABC 的重心，则||||||FA FB FC ++的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．直线C ．抛物线或直线D ．以上结论均不正确5．（2023·高二课时练习）O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（ ）A．B ．C ．D ．86．（2023·广东·高三校联考阶段练习）抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，点M 在抛物线上，且||3MF =，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为线段FN 的中点，则p =（ ）A ．2B ．C ．4D ．67．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知抛物线E ：28x y =的焦点为F ，点P 为E 上一点，Q 为PF 靠近点P 的三等分点，若10PF =，则Q 点的纵坐标为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．88．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（ ）.A ．27π8B ．64π27C ．9π4D ．25π16二、多选题9．（2023·贵州黔西·高二校考阶段练习）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，O 为坐标原点，点00(,)M x y 在抛物线C 上，若5MF =，则（ ）A ．F 的坐标为()1,0B ．04y =C ．||OM =D ．2OFM S =10．（2023·高二课时练习）（多选）设斜率为2的直线l 过抛物线()20y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF △（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =-B ．28y x =-C ．24y x =D ．28y x =11．（2023·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）对于抛物线上218x y =，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，焦点为()0,2B ．开口向上，焦点为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．焦点到准线的距离为4D ．准线方程为2y =-12．（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，点00(,)M x y 在抛物线C 上，若4MF =，则（ ）A ．03x =B ．0y =±C ．OM =D ．F 的坐标为()0,1三、填空题13．（2023·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A且该点在抛物线()220x py p =>上，则p 的值为 .14．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线22x py =上一点()0,2A x 到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍，则p = ．15．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与抛物线交于点M ，且4MF =，则p = ．16．（2023·广东深圳·高三校联考期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，线段AB 的中点为M ，其中点A 的横坐标为3，4AF =，则点M 到y 轴的距离为 .四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）倾斜角为60︒的直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点(1)求抛物线的准线方程；(2)求OAB 的面积（O 为坐标原点）.18．（2023·江西上饶·高二校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点P 横坐标为3，且点P 到焦点F 的距离为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(2,0)作直线交抛物线于点,A B ，求ABO 面积的最小值（其中O 为坐标原点）.19．（2023·云南大理·高二云南省下关第一中学校考期中）从抛物线22(0)y px p =>上各点向x 轴作垂线段.(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；(2)直线2y x =-与抛物线22y x =交于A 、B 两点，求证：原点O 在以AB 为直径的圆上.20．（2023·河北邯郸·高二校考阶段练习）设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 且斜率为k （0k >）的直线l 与C 交于A ，B 两点，8AB =．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．21．（2023·江苏连云港·高二统考期中）在①焦点到准线的距离是2，②准线方程是=1x -，③通径的长等于4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：()220y px p =>，___________.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线28y x =-与抛物线C 相交于点A ，B ，求证：OA OB ⊥. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 22．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =过点()2,4A ．(1)求抛物线C 的方程；(2)P ，Q 是抛物线C 上的两个动点，直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为4，证明：直线PQ 恒过定点．。

抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|＝＝＝，∴当x＝，即P（）时，|PQ|取最小值．故答案为：．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．'例2.'平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．'例3.'点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？'抛物线的标准方程知识讲解1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y 2＝2px ，焦点在x 轴上，焦点坐标为F（，0），（p 可为正负）（2）x 2＝2py ，焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，），（p 可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y 2＝2px （p ＞0），焦点在x 轴上x 2＝2py （p ＞0），焦点在y 轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e ＝1e ＝1准线x ＝﹣y ＝﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q（1，1）是抛物线x2=2py（p>0）上一点，过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A，B．在点A处作抛物线的切线l1，在点B处作抛物线的切线l2，直线l1、l2交于P 点．（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；（Ⅱ）求证PA⊥PB．'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）；（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。

抛物线的四种参数方程抛物线是一种常见的曲线，它在物理学、数学和工程学等领域中都有广泛的应用。

在数学中，抛物线可以用四种参数方程来表示，分别是标准参数方程、顶点参数方程、焦点参数方程和直线参数方程。

1. 标准参数方程标准参数方程是最常见的抛物线参数方程，它的形式为：x = ty = t^2其中，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。

这个方程描述了一个开口朝上的抛物线，其顶点位于原点。

2. 顶点参数方程顶点参数方程是另一种常见的抛物线参数方程，它的形式为：x = h + a*ty = k + a*t^2其中，h、k和a是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。

这个方程描述了一个开口朝上或朝下的抛物线，其顶点位于(h, k)处。

3. 焦点参数方程焦点参数方程是一种比较特殊的抛物线参数方程，它的形式为：x = a/(2*p)*(t^2)y = a/(2*p)*(t)其中，a和p是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。

这个方程描述了一个开口朝右的抛物线，其焦点位于(p, 0)处。

4. 直线参数方程直线参数方程是一种比较少用的抛物线参数方程，它的形式为：x = h + t*cos(theta)y = k + t*sin(theta) + a*t^2其中，h、k、a和theta是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。

这个方程描述了一个开口朝上或朝下的抛物线，其顶点位于(h,k)处，开口方向由theta决定。

总之，抛物线的四种参数方程各有特点，可以根据具体情况选择使用。

在实际应用中，我们可以根据需要来选择合适的参数方程，以便更好地描述和分析抛物线的性质和特点。