人教版 八年级数学上册 第14-到15章练习题(含答案)

八年级数学上册《第十四章因式分解》同步训练题及答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x(x−2)=x2−2x B．(x−1)2=x2−2x−1C．x2−4=(x+2)(x−2)D．x2+3x+2=x(x+3)+22．用提公因式法分解因式4x3y3+6x3y−2xy2时，应提取的公因式是（）A．2x3y3B．−2x3y2C．12x3y3D．2xy3．下列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是（）①16x2﹣8x；②x2+6x+9；③4x2﹣1；④3a﹣9ab．A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③4．将多项式x−x2因式分解正确的是( )A．x(1−x)B．x(x−1)C．x(1−x2)D．x(x2−1) 5．下列多项式中，能因式分解得到（x+y）(x﹣y)的是（）A．x2+y2B．x2﹣y2C．﹣x2﹣y2D．-x2+y2 6．已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式(a−b)2−c2的值是（）A．小于零B．等于零C．大于零D．大小不确定7．已知：a+b=5，a−b=1则a2−b2=（）A．5 B．4 C．3 D．28．下列各式中，代数式（）是x3y+4x2y2+4xy3的一个因式.A．x2y2B．x+y C．x+2y D．x﹣y二、填空题9．分解因式：36x2−4=．10．将多项式−5a2+3ab提出公因式−a后，另一个因式为．11．分解因式：(x−3)2−2x+6=．12．在实数范围内分解因式：4x2+4xy−y2=．13．已知a−b=1，ab=2则a2b−ab2的值为.三、解答题14．分解因式（1）4a3b−2a2b2（2）x2−4x+4（3）2m2−18（4）a2+7a−1815．若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c2+2ac，判断△ABC的形状.16．如果n是正整数，求证：3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.17．已知，长方形的周长为30cm，两相邻的边长为x cm，y cm，且x3+x2y-4xy2-4y3=0，求长方形的对角线长和面积．18．阅读下列材料：材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n，则可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x＋8分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3参考答案1．C2．D3．C4．A5．B6．A7．A8．C9．4(3x+1)(3x−1)10．5a−3b11．(x−3)(x−5)12．(2x+y+√2y)(2x+y−√2y)13．214．（1）解：4a3b−2a2b2=2a2b(2a−b)（2）解：x2−4x+4=(x−2)2（3）解：2m2−18=2(m2−9)=2(m+3)(m−3)（4）解：a2+7a−18=(a+9)(a−2)15．解：∵b2+2ab=c2+2ac∴b2−c2+2ab−2ac=(b+c)(b−c)+2a(b−c)=(b−c)(b+c+2a)=0∵△ABC的三边长分别为a、b、c∴b−c=0∴b=c∴△ABC是等腰三角形.16．证明：∵3n+2-2n+2+3n-2n=3n⋅ 32-2n⋅ 22+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1)=10 ⋅ 3n-10 ⋅ 2n-1=10(3n-2n-1).∴3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.17．∵长方形周长为30cm∴2(x+y)=30，化简得：x+y=15x3+x2y−4xy2−4y3= x2(x+y)−4y2(x+y)= (x+y)(x2−4y2)= (x+y)(x+2y)(x−2y)∵x3+x2y−4xy2−4y3=0(x+y)(x+2y)(x−2y)=0∵x>0∴(x+y)(x+2y)≠0则x−2y=0，即x=2y∵x+y=15∴3y=15，解得：y=5∴x=2y=10∴长方形的对角线长：√x2+y2=√102+52=√125=5√5(cm)长方形的面积：xy=10×5=50(cm2) .18．（1）解：∵8=(−4)×(−2)，−6=(−4)+(−2)∴ x2﹣6x＋8 =(x−4)(x−2)（2）解：令x−y=A∵3=1×3，4=1+3则（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3 =(A+3)(A+1)∴（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3 = (x−y+3)(x−y+1)。

八年级数学上册《第十四章乘法公式》同步练习题及答案（人教版）一、选择题（共8题）1.下列计算正确的是( )A．a2⋅a3=a6B．3a2+2a3=5a5C．a3÷a2=a D．(a−b)2=a2−b22.若x2−6x+y2+4y+13=0，则y x的值为( )A．8B．−8C．9D．193.下列算式能用平方差公式计算的是( )A．(x−2)(x+1)B．(2x+y)(2y−x)C．(−2x+y)(2x−y)D．(−x−1)(x−1)4.若x2−mx+4是完全平方式，则m的值为( )A．2B．4C．±2D．±45.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是( )A．a2−b2=(a+b)(a−b)B．a(a−b)=a2−abC．(a−b)2=a2−2ab+b2D．a(a+b)=a2+ab6.对于代数式：x2−2x+2，下列说法正确的是( )A．有最大值1B．有最小值1C．有最小值2D．无法确定最大最小值7.在下列多项式中，与−x−y相乘的结果为x2−y2的多项式是( )A．−x+y B．x+y C．x−y D．−x−y8.已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为( )A．a2+2a+1B．a2−2a+1C．a2+1D．a+1二、填空题（共5题）9.计算：(a+2)(a−2)=．10.已知m=√2+1，n=√2−1则代数式m2+n2−3mn的值为．11.定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2=−1 )，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．如(1+ 3i)2=12+2×1×3i+(3i)2=1+6i+9i2=1+6i−9=−8+6i，因此(1+3i)2的实部是−8，虚部是6．已知复数(3−mi)2的虚部是12，则实部是．12.根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是．13.有两个正方形A，B现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的边长之和为．三、解答题（共6题）14.计算：(1) (ab)3⋅(−23a4b5)÷32a2b5．(2) (2x−y+5)(2x+y−5)．15.数学课堂上，张老师写出了下面四个等式，仔细观察下列等式，你会发现什么规律：1×5+4=32，2×6+4=42，3×7+4=52，4×8+4=62⋯⋯(1) 请你按照这个规律再写出第5个，第6个等式：、．(2) 请将你写出第n个等式．(3) 说出这个等式成立的理由：16.已知代数式(ax−3)(2x+4)−x2−b化简后，不含有x2项和常数项．(1) 求a，b的值．(2) 求(b−a)(−a−b)+(−a−b)2−a(2a+b)的值．17.先化简后求值：(x−2y)2−(x+2y)(x−2y)，其中x=−1，y=2．18.如图所示，某市有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．19.学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．(1) 选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是（请用含a，b的代数式表示）；(2) 选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为；(3) 选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S=S1−S2，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．答案1. C2. B3. D4. D5. A6. B7. A8. A9. a2−410. 311. 512. (a+b)(a−b)=a2−b213. 514.(1)(ab)3⋅(−23a4b5)÷32a2b5=−23a7b8÷32a2b5=−49a5b3.(2)(2x−y+5)(2x+y−5)=[2x−(y−5)][2x+(y−5)] =4x2−(y−5)2=4x2−(y2−10y+25)=4x2−y2+10y−25.15.(1) 5×9+4=72；6×10+4=82(2) 第n个：n×(n+4)+4=(n+2)2．(3) 左边=n×(n+4)+4=n2+4n+4=(n+2)2=右边；即n×(n+4)+4=(n+2)2成立．16.(1) 原式=ax (2x +4)−3(2x +4)−x 2−b=2ax 2+4ax −6x −12−x 2−b =(2a −1)x 2+(4a −6)x −12−b,∵ 不含 x 2 项和常数项∴2a −1=0，−12−b =0∴a =12，b =−12． (2) 原式=−(b −a )(a +b )+[−(a +b )]2−2a 2−ab=−(b 2−a 2)+a 2+2ab +b 2−2a 2−ab =a 2−b 2+a 2+2ab +b 2−2a 2−ab =ab,当 a =12，b =−12 时 原式=12×(−12)=−6．17. 原式=x 2−4xy +4y 2−(x 2−4y 2)=x 2−4xy +4y 2−x 2+4y 2=−4xy +8y 2.当 x =−1，y =2 时原式=−4×(−1)×2+8×22=40．18. 绿化面积S=(3a +b )(2a +b )−(a +b )2=6a 2+5ab +b 2−a 2−b 2−2ab =5a 2+3ab(平方米).当 a =3，b =2 时S =5×32+3×3×2=63（平方米）．19.(1) 9；a +3b(2) (a −b )2=(a +b )2−4ab(3) 设 MN 长为 xS 1=(a −b )[x −(a −b )]=ax −bx −a 2+2ab −b 2S 2=3b (x −a )=3bx −3abS =S 1−S 2=(a −4b )x −a 2+5ab −b 2由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化可知当a−4b=0时，即a=4b时，S=−a2+5ab−b2为定值．故答案为：a=4b时，S为定值．。

八年级数学上册《第十四章公式法》练习题附答案-人教版一、选择题1.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是( )A.x2+4y2B.x2﹣2y2+1C.﹣x2+4y2D.﹣x2﹣4y22.计算：852﹣152=( )A.70B.700C.4900D.70003.因式分解的结果是(2x－y)(2x＋y)的是 ( )A.－4x2＋y2B.4x2＋y2C.－4x2－y2D.4x2－y24.已知x2-y2=6，x-y=1，则x+y等于( )A.2B.3C.4D.65.下列因式分解正确的是( )A.6x＋9y＋3＝3(2x＋3y)B.x2＋2x＋1＝(x＋1)2C.x2﹣2xy﹣y2＝(x﹣y)2D.x2＋4＝(x＋2)26.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( )A.-x2+2xy-y2B.x4-2x3y+x2y2C.(x2-3)2-2(3-x2)+1D.x2-xy+12y27.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是( )A.4B.﹣4C.±2D.±48.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为( )A.-21B.21C.-10D.109.小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2(“□”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有( )A.2种B.3种C.4种D.5种10.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如(8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”)，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为( )A.255054B.255064C.250554D.255024二、填空题11.因式分解：m2﹣4= .12.因式分解：(2a+b)2﹣(a+2b)2= .13.计算：2 019×2 021-2 0202=__________.14填空根据题意填空：x2﹣6x+(______)=(x﹣______)215.已知x＋y＝0.2，x＋3y＝1，则代数式x2＋4xy＋4y2的值为________.16.观察下列各式：(1)42－12=3×5；(2)52－22=3×7；(3)62－32=3×9；………则第n(n是正整数)个等式为_____________________________.三、解答题17.因式分解：5x2+10x+518.因式分解：x2(x﹣y)+(y﹣x)19.因式分解：2a3-12a2＋18a20.因式分解：9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x)21.在一块边长为a cm的正方形纸板中，四个角分别剪去一个边长为b cm的小正方形，利用因式分解计算：当a＝98 cm，b＝27 cm时，剩余部分的面积是多少？22.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x2－z2的值.23.已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值.24.两位数相乘：19×11=209,18×12=216,25×25=625,34×36=1 224，47×43=2 021，…(1)认真观察，分析上述各式中两因数的个位数字、十位数字分别有什么联系，找出因数与积之间的规律，并用字母表示出来；(2)验证你得到的规律.25.中国古贤常说万物皆自然，而古希腊学者说万物皆数.同学们还记得我们最初接触的数就是“自然数”吧!在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特珠的自然数—“n喜数”.定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍(n为正整数)，我们就说这个自然数是一个“n喜数”.例如：24就是一个“4喜数”，因为24=4×(2+4)；25就不是一个“n喜数”因为25≠n(2+5).(1)判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；(2)试讨论是否存在“7喜数”若存在请写出来，若不存在请说明理由.参考答案1.C2.D3.D4.D5.B.6.D7.D8.A9.D10.D11.答案为：(m+2)(m﹣2).12.答案为：3(a+b)(a﹣b).13.答案为：-114.答案为：9，3；15.答案为：0.36.16.答案为：(n+3)2-n2=3(2n+3)17.解：原式=5(x2+2x+1)=5(x+1)2；18.解：原式=x2(x﹣y)+(y﹣x)=(x﹣y)(x2﹣1)=(x﹣y)(x+1)(x﹣1)；19.解：原式=2a(a-3)220.解：原式=(x﹣y)(3a+2b)•(3a﹣2b).21.解：根据题意，得剩余部分的面积是：a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝152×44＝6 688(cm2). 22.解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4.又∵x＋z=4∴原式=(x＋z)(x－z)=16.23.解：∵x2+y2﹣4x+6y+13=(x﹣2)2+(y+3)2=0∴x﹣2=0，y+3=0，即x=2，y=﹣3则原式=(x﹣3y)2=112=121.24.解：(1)上述等式的规律是：两因数的十位数字相等，个位数字相加等于10而积后两位是两因数个位数字相乘、前两位是十位数字相乘，乘积再加上这个十位数字之和；如果用m表示十位数字，n表示个位数字的话则第一个因数为10m＋n，第二个因数为10m＋(10－n)，积为100m(m＋1)＋n(10－n)；表示出来为：(10m＋n)[10m＋(10－n)]=100m(m＋1)＋n(10－n)；(2)∵左边=(10m＋n)(10m－n＋10)=(10m＋n)[10(m＋1)－n]=100m(m＋1)－10mn＋10n(m＋1)－n2=100m(m＋1)－10mn＋10mn＋10n－n2=100m(m＋1)＋n(10－n)=右边∴(10m＋n)[10m＋(10－n)]=100m(m＋1)＋n(10－n)，成立.25.解：(1)44不是一个“n喜数”，因为44≠n(4+4)72是一个“8喜数”，因为72=8(2+7)；(2)设存在“7喜数”，设其个位数字为a十位数字为b，(a，b为1到9的自然数)由定义可知：10b+a=7(a+b)化简得：b=2a因为a，b为1到9的自然数∴a=1，b=2；a=2，b=4；a=3，b=6；a=4，b=8；∴“7喜数”有4个：21、42、63、84.。

人教版八年级数学上册第十四章《整式乘法与因式分解》测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．计算3325a a 的结果是（ ） A ．610aB ．910aC ．37aD ．67a2．下列运算正确的是（ ） A ．22a a a ⋅=B ．824a a a ÷=C ．()2242a b a b =D ．()325a a =3．下列计算正确的是（ ） A ．623a a a ÷=B ．()326a a =C ．248a a a ⋅=D ．532a a a -=4．下列计算结果正确的是（ ） A ．()336a a =B ．632a a a ÷=C ．()248ab ab =D ．()2222a b a ab b +=++5．下列计算正确的是（ ） A ．25611a a a += B ．()235326b b b -⋅= C ．623623b a a ÷=D ．()()22339b a a b a b +-=-6．已知实数m ，n 满足222+=+m n mn ，则2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最大值为（ ） A ．24B ．443C ．163D ．4-7．已知()()2221x x x +--=，则2243x x -+的值为（ ） A ．13B ．8C ．－3D ．58．若2022202020222022202320222021-=⨯⨯n ，则n 的值是（ ） A ．2023B ．2022C ．2021D ．20209．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x 值为81，我们看到第一次输出的结果为27．第二次输出的结果为9，…，第2022次输出的结果为（ ）A ．1B ．3C ．9D ．2710．下列等式从左到右的变形，其中属于因式分解的是（ ） A ．2221(1)--=-x x x B ．22221(1)x y xy xy ++=+ C ．2(3)(3)9x x x +-=-D ．32822(41)a a a a -=-11．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12x x -的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是121-=；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a ，b ，全部输入完毕后显示的最后结果设为k ，若k 的最大值为10，那么k 的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记1nk k =∑＝1+2+3+…+（n ﹣1）+n ，()3n k x k =+∑＝（x +3）+（x +4）+…+（x +n ）；已知()3nk x x k =⎡+⎤⎣⎦∑＝9x 2+mx ，则m 的值是（ ） A ．45B ．63C ．54D ．不确定二、填空题13．分解因式：216x y xy -=______．14．因式分解：322242m m n mn -+=________． 15．因式分解：32312x xy -=_________．16．已知2223,15a b b c a b c -=-=++=，则ab bc ca ++的值等于________．三、解答题 17．分解因式： (1)22a ab a ++； (2)()()222m n m n +-+18．化简：()()()482x y x y xy xy xy +---÷．19．先化简，再求值：(1)(1)(2)x x x x +-++，其中12x =． 20．先化简，再求值：22()()(2)34x y x y x y y y ⎡⎤+----÷⎣⎦，其中20201x y ==-，．21．已知有理数a ，b ，c 满足()222434|41|02aa cbc b +-+--+--=∣∣，试求313242n n n a b c +++-的值．22．先化简，再求值()()()22x y x y xy xy x +-+-÷，其中11,2x y ==． 23．已知x +1x ＝3，求下列各式的值：(1)（x ﹣1x）2；(2)x 4+41x ． 24．阅读材料：若2222440m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵2222440m mn n n -+-+=，∴()()2222440m mn n n n -++-+=，∴22()(2)0m n n -+-=，∴2()0m n -=，2(2)0n -=，∴2n =，2m =． 根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知22228160x y xy y +-++=，则x =________，y =________；（2）已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22248180a b a b +--+=，求ABC 的周长．25．如图，长为40，宽为x 的大长方形被分割为9小块，除阴影A ，B 两块外，其余7块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y ．(1)分别用含x，y的代数式表示阴影A，B两块的周长，并计算阴影A，B两块的周长和．(2)分别用含x，y的代数式表示阴影A，B两块的面积，并计算阴影A，B的面积差．(3)当y取何值时，阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，并求出这个值．参考答案：1．A【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：6332510a a a =⋅， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．C【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方和幂的乘方法则进行计算，即可作出判断． 【详解】A ：23a a a ⨯=,故A 错误，不符题意； B ：826a a a ÷=，故B 错误，不符题意； C ：()2242a b a b =，故C 正确，符合题意； D ：()326a a =，故B 错误，不符题意； 故选：C.【点睛】此题考查了同底数幂乘除法、积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．B【分析】根据同底数幂的除法法则对A 进行判断；根据幂的乘方法则对B 进行判断；根据同底数幂的乘法法则对C 进行判断；根据合并同类项对D 进行判断． 【详解】A. 624a a a ÷=，所以此项不正确； B. ()326a a =，所以此项正确；C. 246a a a ⋅=，所以此项不正确；D. 53a a -，不能合并，，所以此项不正确； 故选B ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法：am ÷an =am -n （m 、n 为正整数，m ＞n ）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项． 4．D【分析】分别利用幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式分别求出即可．【详解】A ．()339a a =，故此选项计算错误，不符合题意；B ．633a a a ÷=，故此选项计算错误，不符合题意；C ．()2428ab a b =，故此选项计算错误，不符合题意；D ．()2222a b a ab b +=++，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；222()2a b a ab b +=++与222()2a b a ab b -=-+都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． 5．D【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、平方差公式计算即可求解． 【详解】A. 5611a a a +=，计算错误，本选项不符合题意；B. ()235326b b b -⋅=-，计算错误，本选项不符合题意；C. 6622362b b a a÷=，计算错误，本选项不符合题意；B. ()()22339b a a b a b +-=-，计算正确，本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的乘除法、平方差公式计算法则． 6．B【分析】先将所求式子化简为107mn -，然后根据()22220m n m n mn +++=≥及222+=+m n mn 求出23mn ≥-，进而可得答案．【详解】解：2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 222241294m mn n m n =-++- 225125m mn n =-+()5212mn mn =+- 107mn =-；∵()22220m n m n mn +++=≥，222+=+m n mn ， ∴220mn mn ++≥， ∴32mn ≥-， ∴23mn ≥-，∴441073mn -≤， ∴2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最大值为443， 故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出mn 的取值范围是解题的关键． 7．A【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可． 【详解】∵()()2221x x x +--= ∴225x x -=∴222432(2)313x x x x -+=-+= 故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键． 8．D【分析】原式先提取公因式，再运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：2022202020222022- =202022022(20221)- =20202022(20221)(20221)+- =2020202220232021⨯⨯∵2022202020222022202320222021-=⨯⨯n ∴2020202220232021202320222021n ⨯⨯=⨯⨯ ∴202020222022n = ∴2020n =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 9．A【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：第1次，181273⨯=，第2次，12793⨯=，第3次，1933⨯=，第4次，1313⨯=，第5次，123+=，第6次，1313⨯=，⋯，依此类推，从第3次开始以3，1循环，(20222)21010-÷=，∴第2022次输出的结果为1．故选：A ．【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 10．B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：2221(1)x x x -+=-，故A 不符合题意； 22221(1)x y xy xy ++=+，故B 符合题意；2(3)(3)9x x x +-=-是整式乘法，故C 不符合题意；32822(41)2(21)(21)a a a a a a a -=-=+-，故D 不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 11．D【分析】根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断①②③；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④．【详解】解：根据题意，依次输入1，2，3，4时，1211-=-=， 1322-=-=，2422-=-=，故①正确；按照1，3，4，2的顺序输入时，1322-=-=， 2422-=-=，220-=，为最小值，故③正确； 按照1，3，2，4的顺序输入时，1322-=-=，220-=，0444-=-=，为最大值，故②正确；若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a ，b ，全部输入完毕后显示的最后结果设为k ， k 的最大值为10， 设b 为较大数字，当1a =时，2110a b b --=-=， 解得11b =，故此时任意输入后得到的最小数是：11128--=，设b 为较大数字，当2b a >>时，2210a b a b --=--=， 则210a b --=-，即8b a -= 故此时任意输入后得到的最小数是：2826b a --=-=，综上可知，k 的最小值是6，故④正确； 故选D ．【点睛】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 12．B【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．【详解】解：根据题意得：x （x +3）+x （x +4）+…+x （x +n ）＝x （9x +m ）， ∴x （x +3+x +4+…+x +n ）＝x （9x +m ）， ∴x [（n ﹣3+1）x +(31)(3)2n n -++]＝x （9x +m ），∴n ﹣2＝9，m ＝(31)(3)2n n -++，∴n ＝11，m ＝63． 故选：B ．【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键． 13．(16)xy x -【分析】利用提公因式法进行分解即可． 【详解】解：216(16)x y xy xy x -=-， 故答案为：(16)xy x -．【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练掌握因式分解-提公因式法． 14．()22m m n -【分析】首先提取公因式2m ，再利用完全平方公式即可分解因式． 【详解】解：322242m m n mn -+()2222m m mn n =-+ ()22m m n =-故答案为：()22m m n -【点睛】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．15．()()322x x y x y +-【分析】先提取公因式3x ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：原式＝()()()2234322x x y x x y x y -=+-．故答案为：()()322x x y x y +-．【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．16．225- 【分析】利用完全平方公式求出（a −b ），（b −c ），（a −c ）的平方和，然后代入数据计算即可求解．【详解】解：∵35a b b c -=-=， ∴65a c -=()()()2225425a b b c a c -+-+-= ∴()()222542225a b c ab bc ac ++-++=， ∵2221a b c ++=，∴()27125ab bc ac -++=， ∴225ab bc ca ++=-， 故答案为：225- 【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是分别把35a b -=，35b c -=，相加凑出，65a c -=三个式子两边平方后相加，化简求解． 17．(1)()2.a a b ++(2)()32.m m n +【分析】（1）提取公因式a 即可；（2）按照平方差公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：22a ab a ++()2.a a b =++（2）()()222m n m n +-+()()22m n m n m n m n =++++--()32.m m n =+【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，掌握“提公因式法与公式法分解因式”是解本题的关键．18．222x y -+【分析】根据整式的混合运算法则计算即可．【详解】解：原式()()2222224222x y xy xy x y x y =---÷=---=-+【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握该知识点是解题关键．19．12x +　；2 【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入12x =即可求解． 【详解】(1)(1)(2)x x x x +-++2212x x x =-++ 12x =+ 当12x =时， 原式12x =+11222=+⨯=． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．20．2,2022x y -【分析】根据平方差公式，完全平方公式，先计算括号内的，然后根据多项式除以单项式进行计算，最后将20201x y ==-，代入即可求解．【详解】解：原式＝()222224434x y x xy y y y --+--÷()2484xy y y =-÷2x y =-．当20201x y ==-，时，原式＝2020-2×（-1）=2022．【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式是解题的关键．21．34-【分析】根据非负数的性质求出a ，b ，c 的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题得：22043404102a cbc a b ⎧⎪+-=⎪--=⎨⎪⎪--=⎩， 解得：4141a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩， 所以313242n n n a b c +++-()3242311414n n n +++⎛⎫=⨯-- ⎪⎝⎭31114144n +⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭34=-． 【点睛】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程，积的乘方法则的逆用等知识，利用代入法或加减法把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题的关键．22．x 2-2y ，0【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x 、y 值代入计算即可．【详解】解：()()()22x y x y xy xy x +-+-÷=x 2-y 2+y 2-2y=x 2-2y当x =1，y =12时，原式=12-2×12=0．【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．23．(1)5(2)47【分析】（1）由21()x x +＝22112x x x x +⋅⋅+、21()x x -＝22112x x x x -⋅⋅+，进而得到21()x x+﹣4x •1x即可解答； （2）由21()x x -＝2212x x -+可得221x x +=7，又2221()x x +＝4412x x ++，进而得到441x x+＝2221()x x +﹣2即可解答． （1）解：∵21()x x +＝22112x x x x +⋅⋅+∴21()x x -＝22112x x x x -⋅⋅+＝2211124x x x x x x+⋅+-⋅＝21()x x +﹣4x •1x＝32﹣4＝5． （2）解：∵21()x x -＝2212x x -+，∴221x x +＝21()x x -+2＝5+2＝7，∵2221()x x +＝4412x x++，∴441x x +＝2221()x x +﹣2＝49﹣2＝47． 【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．24．（1）-4，-4；（2）ABC 的周长为9．【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x 和y 的值；（2）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出a 和b 的值，从而得出c 的取值范围，根据c 为整数即可得出c 的值，从而求得三角形的周长．【详解】解：（1）由22228160x y xy y +-++=得222)((2816)0x xy y y y -+++=+，22()(4)0x y y -++=，∴0x y -=，40y +=，∴4x y ==-，故答案为：-4，-4；（2）由22248180a b a b +--+=得：222428160a a b b -++-+=，222(1)(4)0a b -+-=，∴a -1=0，b -4=0，∴a =1，b =4，∴3＜c ＜5，∵△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，∴c =4，∴ABC 的周长为9．【点睛】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考查了三角形的三边关系，本题难度中等．25．(1)阴影A 的周长为：21480x y -+，∴阴影B 的周长为：21680x y +-，则其周长和为：42x y +；(2)阴影A 的面积为：240120412x y xy y --+，阴影B 的面积为：2416016xy y y -+，阴影A ，B 的面积差为：2404084x y xy y +-- ； (3)当y =5时，阴影A 与阴影B 的面积差不会随着x 的变化而变化，这个值是100．【分析】（1）由图可知阴影A 的长为（404y -），宽为（3x y -），阴影B 的长为4y ，宽为()404x y --⎡⎤⎣⎦，从而可求解；（2）结合（1），利用长方形的面积公式进行求解即可；（3）根据题意，使含x 的项提公因式x ，再令另一个因式的系数为0，从而可求解．（1）解：（1）由题意得：阴影A 的长为（404y -），宽为（3x y -），∴阴影A 的周长为：()()()240432404321480y x y y x y x y -+-=-+-=-+⎡⎤⎣⎦∵阴影B 的长为4y ，宽为()404404x y x y --=-+⎡⎤⎣⎦，∴阴影B 的周长为：()()240424042168044y y x y x y x y +-+=+-+=+-⎡⎤⎣⎦，∴其周长和为：()()214802168042x y x y x y -+++-=+；（2）∵阴影A 的长为（404y -），宽为（3x y -），∴阴影A 的面积为：()()2404340120412y x y x y xy y --=--+． ∵阴影B 的长为4y ，宽为404x y -+，∴阴影B 的面积为：()24404416016y x y xy y y -+=-+， ∴阴影A ，B 的面积差为：()()22240120412416016404084x y xy y xy y y x y xy y --+--+=+--．（3）∵阴影A 与阴影B 的面积差不会随着x 的变化而变化，阴影A ，B 的面积差()22404084408404x y xy y y x y y =+--=-+-．∴当4080y -=，即5y =时，阴影A 与阴影B 的面积差不会随着x 的变化而变化．此时：阴影A ，B 的面积差()2408540545100x =-⨯+⨯-⨯=．【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，与某个字母无关型问题，解答的关键是根据图表示出两个长方形的长与宽．。

人教版八年级上数学第14-15章综合测试题（含答案）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计10小题，总分40分）1.（4分）1.下列式子：－3x ，2a ，x 2－y 2xy ，－a 2π，x －1y 2，其中是分式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个2.（4分）2.若x ＋1x －3有意义，则x 的取值范围是()A.x ＝－1B.x ＝3C.x≠－1D.x≠33.（4分）3．2019年末，引发疫情的冠状病毒，被命名为COVID ﹣19新型冠状病毒，冠状病毒的平均直径约是0.00000009米．数据0.00000009科学记数法表示为（）A ．0.9×10﹣8B ．9×10﹣8C ．9×10﹣7D ．0.9×10﹣74.（4分）4. 化简(x 2−3y)2的结果为( )A.x 29y 2B.−x 29y 2C.x 49y 2D.−x 49y 25.（4分）5.下列分式从左到右变形,正确的是( )A.a b=a+1b+1B.22y y x x = C.(0)n na a m ma =≠ D.n n a m m a-=- 6.（4分）6．如果把分式2xyx+y中的x ，y 同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．扩大为原来的8倍7.（4分）7．与的最简公分母是（ ）A ．a （a +b ）B ．a （a ﹣b ）C ．a （a +b ）（a ﹣b ）D ．a 2（a +b ）（a ﹣b ）8.（4分）8.解分式方程x 2x －1＋21－2x ＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是()A.x ＋2＝3B.x －2＝3C.x ＋2＝3(2x －1)D.x －2＝3(2x －1)9.（4分）9．某工程公司开挖一条500米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么所列方程正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10.（4分）10．已知分式3x+1的值为整数,则能符合条件的整数x 有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．4二、 填空题 （本题共计6小题，总分24分） 11.（4分）11.若24x x --的值为0，则x = 12.（4分）12．计算：＝ ．13.（4分）13．当a=____________时，关于x 的方程=3的解是x=1． 14.（4分）14．已知：x 2=y 3，则代数式x 2+6xy+y 2x 2−xy+y 2的值为 ．15.（4分）15.已知x 2+3x −5=0,则 43x 2+9x+1= ．16.（4分）16．已知a ，b 为实数且满足a ≠﹣1，b ≠﹣1，设P ＝+，Q ＝+．①若ab ＝1时，P ＝Q ②若ab ＞1时，P ＞Q ③若ab ＜1时，P ＜Q ④若a +b ＝0，则P •Q ≤0则上述四个结论中正确的有 (填写序号)．三、 解答题 （本题共计8小题，总分86分） 17.（24分）17.(24分)计算: (1)(−1)2021+(π−3.14)0+(13)−2−|−5|.(2)x 2-2x+1x 2-1÷x−1x 2+x (3)2a+2−a−6a 2−423ax a x+-(4)2xx−3−2x+8x2−9÷x+4x2+6x+918.（12分）18.(12分)解分式方程:(1)3x-1-2x=0.(2)4x2-1+1=x-1x+1.19.（8分）19.化简分式(x+2+3x−2)÷x−1x−2，并在1,2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值.20.（8分）20．已知:关于x的分式方程＝5,(1)若方程有增根,求m的值:(2)若方程的解为正数,求m的取值范围.21.（8分）21．已知x+＝3，试求下列代数式的值.(1) x2+1x2(2)22.（8分）22.甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？【列表分析】路程速度时间甲18＋1×2x＋0.518＋1×2x＋0.5乙18 x 18 x………………3分23.（8分）23.某服装店用1 200元购进一批服装，全部售完.由于服装畅销，服装店又用2 800元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元，仍以同样的价格出售.卖了部分后，为了加快资金周转，服装店将剩余的20件以售价的八折全部出售.问：(1)该服装店第一批购买了此种服装多少件？(2)如果两批服装全部售完利润率不低于16%(不考虑其他因素)，那么每件服装的标价至少是多少元？24.（10分）24．观察下列等式：①＝1﹣，②＝﹣，③＝﹣，…(1)请根据你所观察出的规律,写出第n个式子:(2)试计算:+++…+(3)试计算:1a(a+2)+1(a+2)(a+4)+1(a+4)(a+6)+⋯+1(a+2020)(a+2022)答案一、 单选题 （本题共计10小题，总分40分） 1.（4分）B 2.（4分）D 3.（4分）B 4.（4分）C 5.（4分）C 6.（4分）B 7.（4分）C 8.（4分）D 9.（4分）A 10.（4分）D二、 填空题 （本题共计6小题，总分24分） 11.（4分）2 12.（4分）23b13.（4分）6 14.（4分）7 15.（4分）1416.（4分）①④三、 解答题 （本题共计8小题，总分86分）17.（24分）（1）解:原式=-1+1+9-5 ……………………..4分 =4 ………………………………..6分（2）解:原式=(x -1)2(x -1)(x+1)×x (x+1)x -1……………………..4分=x ………………………..6分（3）解:原式=2(a−2)(a+2)(a−2)−a−6(a+2)(a−2)……………………..2分=a+2(a+2)(a−2)………………………………..4分=1a−2…………………………..….…6分 （4）解:原式=2x x−3−2(x+4)(x+3)(x−3)∙(x+3)2(x+4)…………………….…..4分= 2x x−3−2(x+3)(x−3)………………………..5分=−6x−3……………………………….…6分 18.（12分）（1）解:两边同乘x(x-1),得3x-2(x-1)=0……………………………………………..3分 解得x=-2.……………………………………………..5分 检验:当x=-2时,x(x-1)≠0所以x=-2是原分式方程的解.…………………………6分 （2）解:两边同乘(x+1)(x-1),得4+x 2-1=x 2-2x+1…………………………………………..3分 解得:x=-1……………………………………………..5分 检验:当x=-1时, (x+1) (x-1)=0所以原分式方程无解.………………………………6分19.（8分）解:原式=(x+2)(x−2)+3x−2÷x−1x−2=x 2−4+3x−2∙x−2x−1=(x+1)(x−1)x−2∙x−2x−1=x+1 ……………………………….…6分∵x ≠1和 2.∴x ＝3或a ＝4.(任选一个数) 当x ＝3时，原式=4；当x ＝4时，原式=5. ………………8分20.（8分）解:方程两边同乘以x-1,得2m-1-7x=5(x-1) 解得:x=m+26(1)当方程有增根时,则有x=1,即m+26=1解得:m=4 ………………4分(2)当方程的解为正数时,则有x >0,且x-1≠0 即m+26>0,且m+26-1≠0解得:m >-2且m ≠4 ………………8分21.（8分）解:(1)因为x+＝3,则有(x +1x )2=x 2+2∙x ∙1x +1x2=9所以x2+1x 2=9-2=7 ……………4分(2)=1x 2−2+1x2=15………………8分22.（8分）解：设乙的速度为x 千米/小时，则甲的速度为(x ＋0.5)千米/小时．根据题意，列方程得18＋1×2x ＋0.5＝18x .………………5分 解得x ＝4.5………………6分经检验x ＝4.5是原方程的解，且符合题意 所以x ＋0.5＝5.………………7分答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时．………………8分23.（8分）解：(1)设该服装店第一批购买了此种服装x 件，则第二批购买了此种服装2x件，根据题意，得 1 200x ＝x 22800－5， 解得x ＝40.经检验，x＝40是原方程的解,且符合题意答：该服装店第一批购买了此种服装40件..………………4分(2)设每件服装的标价为y元，根据题意，得(40＋40×2－20)y＋0.8×20y≥(1 200＋2 800)×(1＋16%).解得y≥40.答：每件服装的标价至少是40元. .………………8分24.（10分）解:(1)＝﹣………………2分(2) +++…+＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．………………6分(3)1a(a+2)+1(a+2)(a+4)+1(a+4)(a+6)+⋯+1(a+2020)(a+2022)=1 2(1a−1a+2)+12(1a+2−1a+4)+12(1a+4−1a+6)+⋯+12(1a+2020−1a+2022)=1 2(1a−1a+2+1a+2−1a+4+1a+4−1a+6+⋯+1a+2020−1a+2022)=1 2(1a−1a+2022)=1 2∙a+2022−a a(a+2022)=1011a(a+2022)………………10分。

八年级上册第14章同步训练一．解答题1．因式分解：（1）2mx2﹣4mxy+2my2；（2）x2﹣4x+4﹣y2．2．计算（1）3﹣9+3﹣4；（2）﹣++；（3）（﹣）（+）+（﹣1）2．3．解答下列问题（1）一正方形的面积是a2+6ab+9b2（a＞0，b＞0），则表示该正方形的边长的代数式是．（2）求证：当n为正整数时，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2能被8整除．4．（1）如图①所示的大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是．（2）若将图①中的阴影部分剪下来，拼成如图②的长方形，则其面积是．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：．（4）应用公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）．5．已知，关于x，y的方程组的解为x、y．（1）x＝，y＝（用含k的代数式表示）；（2）若x、y互为相反数，求k的值；（3）若2y•3m•8x＝12m，求m的值．6．如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC ＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．请根据以上材料，填空：方法一：S＝．方法二，S＝S△ABC+S△BDE+S AEF+S△ABE＝ab+b2﹣a2+c2．（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．7．阅读材料∵（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，∴（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3，这说明多项式x2+x﹣6能被x﹣2整除，同时也说明多项式x2+x﹣6有一个因式为x﹣2；另外，当x＝2时，多项式x2+x﹣6的值为零．根据上述信息，解答下列问题（1）根据上面的材料猜想：已知一个多项式有因式x﹣2，则说明该多项式能被整除，当x＝2时，该多项式的值为；（2）探索规律：一般地，如果一个关于x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，试确定M与代数式x﹣k之间的关系；（3）应用：已知x﹣2能整除x2+kx﹣14，利用上面的信息求出k的值．8．已知有理数x，y满足x+y＝，xy＝﹣3．（1）求（x+1）（y+1）的值；（2）求x2+y2的值．9．阅读下列材料：定义：任意两个实数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“如意数”．（1）若a＝3，b＝﹣2，则a，b的“如意数”c＝．（2）若a＝﹣m﹣4，b＝m，试说明a，b的“如意数”c≤0．（3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+x2﹣1，请用含x的式子表示b．10．因式分解：（1）3a2b2﹣6ab3；（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3；（3）x3+5x2﹣x﹣5；（4）（x2﹣4）2﹣9x2．参考答案一．解答题1．解：（1）原式＝2m（x2﹣2xy+y2）＝2m（x﹣y）2；（2）原式＝（x﹣2）2﹣y2＝（x﹣2+y）（x﹣2﹣y）．2．解：（1）原式＝12﹣3+9﹣＝9+8；（2）原式＝2+5+2＝9；（3）原式＝5﹣2+3﹣2+1＝7﹣2．3．（1）解：∵a2+6ab+9b2＝（a+3b）2，∴表示该正方形的边长的代数式是a+3b．故答案为：a+3b；（2）证明：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝4n×2＝8n，∴原式能被8整除．4．解：（1）如图①所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b，则其面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）由阴影部分面积相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，故答案为：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（4）（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝＝＝＝．5．解：（1），②﹣①得3y＝6﹣9k．∴y＝2﹣3k，把y＝2﹣3k代入①得x＝k﹣4．故答案为：k﹣4，2﹣3k；（2）∵x、y互为相反数，∴k﹣4+2﹣3k＝0．∴k＝﹣1；（3）∵2y•23x＝12m÷3m，∴23x+y＝（12÷3）m，∴23x+y＝22m，∴2m＝3x+y＝3（k﹣4）+2﹣3k＝3k﹣12+2﹣3k＝﹣10，∴m＝﹣5．6．解：（1）S＝b（a+b）＝ab+b2．故答案为S＝ab+b2；（2）由题意得：，∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，∴a2+b2＝c2；（3）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，∴62+b2＝102，∴b＝8，∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．答：S的值为112．7．解：（1）已知一个多项式有因式x﹣2，说明此多项式能被（x﹣2）整除，当x＝2时，该多项式的值为0；故答案为：（x﹣2），0；（2）根据（1）得出的关系，得出M能被（x﹣k）整除；（3）∵x﹣2能整除x2+kx﹣14，∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0，当x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，解得：k＝5．8．解：（1）（x+1）（y+1）＝xy+（x+y）+1＝﹣3++1＝﹣1；（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝+6＝6．9．解：（1）∵c＝ab+a+b＝3×（﹣2）+3+（﹣2）＝﹣5．∴a，b的“如意数”c是﹣5．故答案为：﹣5．（2）c＝m（﹣m﹣4）﹣m﹣4+m＝﹣m2﹣4m﹣4＝﹣（m2+4m+4）＝﹣（m+2）2∵（m+2）2≥0，∴﹣（m﹣2）2≤0，∴a，b的“如意数“c≤0．（3）∵c＝x2×b+x2+b＝x4+x2﹣1，∴b（x2+1）＝x4﹣1，∵x2+1≠0，∴b＝＝＝x2﹣1．10．解：（1）3a2b2﹣6ab3＝3ab2（a﹣2b）；（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3＝﹣3ab（9a2﹣6ab+b2）＝﹣3ab（3a﹣b）2；（3）x3+5x2﹣x﹣5＝x2（x+5）﹣（x+5）＝（x+5）（x+1）（x﹣1）；（4）（x2﹣4）2﹣9x2＝（x2﹣4+3x）（x2﹣4﹣3x）＝（x+4）（x﹣1）（x﹣4）（x+1）．人教版八年级数学上册课时练第十四章整式的乘法与因式分解单元测试题一、选择题（30分）1．已知a与b互为相反数且都不为零，n为正整数，则下列两数互为相反数的是( )A．a2n－1与－b2n－1B．a2n－1与b2n－1C．a2n与b2n D．a n与b n2．已知a=255，b=344，c=533，d=622 ，那么a,b,c,d大小顺序为（）A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<c<d D．a<d<b<c 3．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是( )A．2 B．4 C．6 D．84．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（）A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定5．下列计算正确的是 A ．224a a a += B ．624a a a ÷= C ．352()a a =D ．222)=a b a b --（6．如果多项式29x kx -+能用公式法分解因式，那么k 的值是( ) A ．3B ．6C ．3±D ．6±7．计算(-2)1999+(-2)2000等于( )A ．-23999B ．-2C ．-21999D ．21999 8．下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3=a 6B ．a 6÷a 3=a 2C ．4x 2﹣3x 2=1D ．（﹣2a 2）3=﹣8a 69．下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3=a 6B ．a 6÷a 3=a 2C ．4x 2﹣3x 2=1D ．（﹣2a 2）3=﹣8a 6 10．下列运算正确的是（ ） A ．633a a a ÷= B ．238()a a =C ．222()a b a b -=-D ．224a a a +=二、填空题（15分） 11．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，na 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nnna a a ，则2018a =___________.12．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128…则算式(2＋1) ×(22＋1) ×(24＋1) ×...×(232＋1)＋1计算结果的个位数字是_____________. 13．计算4444444444(34)(74)(114)(154) (394)(54)(94)(134)(174) (414)++++++++++ =_____．14．若a m =2,a n =8,则a m+n =_________.15．若代数式210x x b -+可化为2()1x a --，其中a 、b 为实数，则的值是_____．三、解答题（75分）16．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ）．如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并且规定F （n ）＝p q ．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F （18）＝3162=．请解答下列问题：(1)计算：F （24）；(2)当n 为正整数时，求证：F （n 3+2n 2+n ）＝1n． 17．我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：()2227277207729=+⨯+= ()22323223021024=+⨯+= ()22565665063136=+⨯+=⋯()1请根据上述规律填空：238=______=______；()2我们知道，任何一个两位数(个数上数字n 十位上的数字为)m 都可以表示为10m n +，根据上述规律写出：2(10)m n +=______，并用所学知识说明你的结论的正确性． 18．（阅读理解）“若x 满足(80)(60)30x x --=，求22(80)(60)x x -+-的值”解：设(80),(60)x a x b -=-=，则(80)(60)30,(80)(60)20x x ab a b x x --==+=-+-=，所以222222(80)(60)()220230340x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯= （解决问题）（1）若x 满足(30)(20)10x x --=-，求22(30)(20)x x -+-的值.（2）若x 满足22(2017)(2015)4038x x -+-=，求(2017)(2015)x x --的值.（3）如图，正方形ABCD 的边长为x ，10,20AE CG ==，长方形EFGD 的面积是500，四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）.19．观察下列等式：12×231=132×21， 14×451=154×41， 32×253=352×23， 34×473=374×43，45×594=495×54，…… 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： ①35× = ×53； ② ×682=286× ．（2）设数字对称式左边的两位数的十位数字为m ，个位数字为n ，且2≤m +n ≤9．用含m ，n的代数式表示数字对称式左边的两位数与三位数的乘积P ，并求出P 能被110整除时mn 的值．(其中乘法公式()()()()a b p q a p q b p q ap aq bp bq ++=+++=+++）） 20．阅读题：因式分解：1+x+x （x+1）+x （x+1）2 解：原式=（1+x ）+x （x+1）+x （x+1）2 =（1+x ）[1+x+x （x+1）] =（1+x ）[（1+x ）+x （1+x ）] =（1+x ）2（1+x ） =（1+x ）3．（1）本题提取公因式几次？（2）若将题目改为1+x+x （x+1）+…+x （x+1）n ，需提公因式多少次？结果是什么？ 21．阅读下列材料：正整数的正整数次幂的个位数字是有规律的，以“3”为例．∵133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=，836561=，9319683=，∴指数以1到4为一个周期，幂的个位数字就重复出现，一般来说，若k a 的个位数字是b ，则4m k a + 的末位数字也是b （k 为正整数，m 为非负整数）． 请你根据上面提供的信息，求出下式的计算结果：2432(31)(31)(31)(31)(31)1-+++++，并说出该结果的个位数字是几．22．任意一个正整数都可以进行这样的分解：n p q =⨯（p q 、是正整数，且p q ≤），正整数的所有这种分解中，如果p q 、两因数之差的绝对值最小，我们就称p q ⨯是正整数的最佳分解．并规定：()pF n q=．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为2411228364->->->-，所以4×6是24的最佳分解，所以()2243F =．（1）求()18F 的值；（2）如果一个两位正整数，10t x y =+（19,x y x y ≤≤≤、为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n ，若mn 为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求()F t 的最大值． 23．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （1）已知多项式2x 3﹣x 2+m 有一个因式是2x +1，求m 的值．解法一：设2x 3﹣x 2+m =（2x +1）（x 2+ax +b ），则：2x 3﹣x 2+m =2x 3+（2a +1）x 2+（a +2b ）x +b 比较系数得： 211{20?a a b b m +=-+== ，解得： 11{?212a b m =-==，∴12m =. 解法二：设2x 3﹣x 2+m =A •（2x +1）（A 为整式）由于上式为恒等式，为方便计算了取12x =-， 32112022m ⎛⎫⎛⎫⨯---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12m =．（2）已知x 4+mx 3+nx ﹣16有因式（x ﹣1）和（x ﹣2），求m 、n 的值．【参考答案】1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．D 7．D 8．D 9．D 10．A 11．4035 12．613．135314．16 15．19， 16．(1)23；(2) 1n. 17．(1)()2388308+⨯+，1444；(2)()21010m n n m n ++⨯+． 18．（1）120；（2）2017；（3）210019．（1）①583，385；②26，62；（2）P=1100mn+110m 2+110n 2+11mn ；mn=10或mn=20． 20．（1）共提取了两次公因式；（2）将题目改为1+x+x （x+1）+…+x （x+1）n ，需提公因式n 次，结果是（x+1）n+1． 21．643的个位数字为1．22．（1）12；（2）“最美数”为48和17；（3）34. 23．m =﹣5，n =20．第十四章：整式的乘法与因式分解试题学校： 姓名： 班级： 考号：一、选择题（每小题3分，共30分）（1-6；7-8；9-10） 1. 已知28a 2b m÷4a n b 2=7b 2,那么m ,n 的值为( )A. m =4，n =2B. m =4，n =1C. m =1，n =2D. m =2，n =2 2. 计算(a -2)2的结果是( )A. a 2-4 B. a 2-2a ＋4 C. a 2-4a ＋4 D. a 2＋4 3. 下列计算正确的是( )A. a3+a2=a5B. (a-b)2=a2-b2C. a6b÷a2=a3bD. (-ab3)2=a2b64. 下列运算中正确的是( )A. B. · C. D.5. 下列各数中，与的积为有理数的是( )A. B. C. D.6. 如果x+y=4，那么代数式的值是( )A. ﹣2B. 2C.D.7. [2017·北京中考]如果a2+2a-1=0,那么代数式·的值是()A. -3B. -1C. 1D.38. 下列运算正确的是( )A. B. C. D.9. 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将剩余部分裁成四个相同的等腰梯形(如图(1))，然后把它们拼成一个平行四边形(如图(2)).那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列等式成立的是( )A. B.C. D.10. [2016·厦门中考]设681×2 019-681×2 018=a,2 015×2 016-2 013×2 018=b,=c,则a,b,c的大小关系是 ()A. b<c<aB. a<c<bC. b<a<cD. c<b<a二、填空题（每小题4分，共32分）（11-15；16-17；18）11. 把多项式2x2y﹣4xy2+2y3分解因式的结果是______.12. 分解因式x3＋6x2＋9x的结果是_________.13. 因式分解：=__________.14. 分解因式：.15. 因式分解：＝_________.16. 已知，记，，…，，则通过计算推测出的表达式＝_______.(用含n的代数式表示)17. 已知，则=____.18. [2016·四川绵阳中考]如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形.现用Ai表示第三行开始,从左往右,从上往下,依次出现的第i个数,例如:A1=1,A2=2,A3=1,A4=1,A5=3,A6=3,A7=1,则A2016=.三、计算题（每题6分，共24分）19. 若|x-2|+(y+1)2=0，求代数式(x-y)2-(x+2y)(x-2y)的值.20.[2017·河南中考] (8分)先化简,再求值:(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中x=+1,y=-1.21.已知，求代数式的值.22.计算:×××…××.四、解答题（第23题7分；第24题8分；第25题9分；第26题10分，共34分）（23-24；25；26）23. 在解题目“先化简代数式，再求值，其中x=2 012，y=2 013”时，聪聪认为x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同的结果.你认为他说的有道理吗，如果他说的有道理，请求出这个结果，并说明理由.24.小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中最后一项是“-3x2y”和中间的“÷”，污染后的习题形式如下：小明翻看了书后的答案是“”，你能够复原这个算式吗?25.观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43.62×286=682×26，……以上每个等式两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：①52×____=____×25，②____×396=693×____；(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b)，并证明.26.已知，且，能否求出的值?若能，请求出其值；若不能，请说明理由.参考答案一、选择题1. 【答案】A【解析】∵28a2b m÷4a n b2=7a2-n b m-2=7b2，∴2-n=0，m-2=2，解得m=4，n=2.故选A.2. 【答案】C【解析】完全平方公式为，则(a-2)2=.故选C.3. 【答案】D【解析】A:a3与a2不能合并，A错误;B:(a-b)2=a2-2ab＋b2≠a2-b2,B错误; C:a6b÷a2= a4b≠a3b,C错误;D:(-ab3)2=a2b6，D正确.故选D.4. 【答案】C【解析】A ，A错误；B：·，B错误；C： ,C 正确；D：,D错误.故选C.5. 【答案】A【解析】，积为有理数.，积为无理数.，积为无理数.，积为无理数.故选A.6. 【答案】C【解析】原式=∵x+y=4，∴原式= .故选C.7. 【答案】C【解析】因为a2+2a-1=0,所以a2+2a=1,又···=a2+2a,所以·=1,故选C.8. 【答案】B【解析】，故A选项错误；，故B选项正确；，故C选项错误；，故D选项错误.故选B.9. 【答案】D【解析】因为阴影部分的面积既可以用“大正方形的面积-小正方形的面积”来表示，也可以用所拼成的平行四边形的面积来表示，所以有，故选D.10. 【答案】A【解析】a=681×2019-681×2018 =681×(2019-2018)=681=,b=2015×( 2015+1)-(2015-2) ×(2015+3)=20152+2015-20152-3×2015+2×2015+6=2015×(1-3+2)+6=6,c=,∴b <c <a ,故选A. 二、填空题11. 【答案】2y (x ﹣y )2【解析】2x 2y -4xy 2+2y 3=2y (x 2-2xy +y 2)=2y (x -y )212. 【答案】x (x ＋3)2【解析】原式= x (x ²＋6x ＋9)= x (x ＋3)2. 13. 【答案】【解析】原式＝5(x ²-2x +1)=5(x -1) ².14. 【答案】【解析】原式=15. 【答案】【解析】=.16. 【答案】【解析】根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=2×(1)==，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=×(1)==，….分析可得：b n 的表达式b n =.17. 【答案】【解析】原式.18. 【答案】1 953【解析】本题考查寻找数的规律.设第2 016个数在第n行,则=2 016,解得n = 63,由于本题中是从第3行开始,需往后推3项,即第2 016个数是64行第3个数,通过规律计算,这个数是1 953.三、计算题19. 【答案】原式=x2-2xy+y2-(x2-4y2)=.若|x-2|+(y+1)2=0，可求得，,∴原式.20. 【答案】原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy=9xy.当x=+1,y=-1时,原式=9xy=9(+1)·(-1)=9.21. 【答案】原式==.∴.22. 【答案】=××××××…××××= ××××××…××××=×=.四、解答题23. 【答案】聪聪说的有道理.原式.代数式化简后与x的取值无关，因此任取一个使原式有意义的x ，都有相同的结果.当y =2 013时，原式=-2 013.24. 【答案】由于是被除式中的最后一项，商的最后一项是6x ，故除式为，被除式为，所以这个算式为.25.(1) 【答案】①275；572 ②63；36.(2) 【答案】(10a +b )·[100b +10(a +b )+a ]=(10b +a )·[100a +10(a +b )+b ]. 证明：∵左边=(10a +b )·[100b +10(a +b )+a ]=11(10a +b )·(10b +a )， 右边=(10b +a )·[100a +10(a +b )+b ]=11(10a +b ) ·(10b +a )， ∴左边=右边，原等式成立.26. 【答案】能.因为，，所以x +y =5，x +5+5-y =9，解得x +y =5，x -y =-1，则(.第十四章 整式的乘法与因式分解 单元检测1一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列计算,正确的是( )A.326a a a ⋅=B.33a a a ÷=C.224a a a +=D.()224a a =2.计算()32ab的结果是( )A.23abB.6abC.35a bD.36a b 3.下列运算不正确的是( )A.235a a a +=B.()()21343x x x x --=-+C.()222244x y x xy y +=++ D.()()22336a b a b a b +-=-4.多项式()221a x x -+与多项式()()11x x +-的公因式是( )A.1x -B.1x +C.2+1xD.2x 5.已知24436x mx ++是完全平方式,则m 的值为( )A.2B.±2C.-6D.±6 6.将下列多项式因式分解,结果中不含因式1a +的是( )A.21a - B.2a a + C.221a a -+ D.()()22221a a +-++7.若x m +与3x +的乘积中不含x 的一次项,则m 的值为( ) A.-3 B.3 C.O D. 1 8.已知21ab =-,则()253ab a b ab b ---的值等于( )A.-1B.OC.1D.无法确定9.已知537x y 与一个多项式之积是756555289821x y x y x y +-,则这个多项式是( )A.2243x y -B.2243x y xy -C.2224314x y xy -+ D.223437x y xy --+10.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:2222,,,,,,a b x y x y a b x y a b --++--分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美,现将()()222222x ya xy b ---因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )A.我爱美B.宜昌游C.爱我宜昌D.美我宜昌 二、填空题(每题3分,共18分) 11.计算:()()10822x x -÷=_________. 12.当x _________时,()0241x -=.13.若229,60a b a b +=+=,则()2a b -=_________.14.若代数式()()211x m x n ++++可以化简为223x x +-,则m n +=_________.15.利用乘法公式计算:2210199+=_________.16.已知实数,a b 满足:22111,1a b a b+=+=,则2017a b-的值为_________. 三、解答题(共72分) 17.(8分)计算： (1)()2332x y xy ⋅-; (2)()22235a ab -;(3)()()2323a b c a b c ---+; (4)()()()()432682321x xx x x -÷--+-.18.(8分)分解因式:(l)33624ab a b -; (2)42816x x -+;(3)()()2294a x y b y x -+-; (4)()222224m n m n-+.19.(8分)先化简,再求值：(l)()()()()23233a a a a -+-+-,其中2a =-;(2)()()()2141224xy xy xy xy ⎡⎤--+-÷⎣⎦,其中2,0.5x y =-=-.20.(6分)设y kx =是否有实数k ,得代数式()()()2222222434x yxy x x y --+-能化简为4x ?若能,请求出所有满足条件的k 的值;若不能,请说明理由.21.(10分)如图,在一块长为a cm 、宽为b cm 的长方形纸板四角各剪去一个边长为x cm(2bx <)的正方形,再把四周沿虚线折起,制成一个无盖的长方体盒子. (1)求这个长方体盒子的底面积;(用含,,a b x 的代数式表示)(2)小明想做一个容积为162cm 3的长方体盒子,且长:宽:髙=3: 2: 1,请帮助小明计算需要长方形纸板的长和宽各是多少.22.(10分)规定三角“”表示abc ，方框“”表示m n x y +.例如:()141193233=⨯⨯+=.请根据这个规定解答下列问题:(1)计算: _________;(2)代数式为完全平方式,则k =_________.(3)解方程:267x +.23.(10分)观察下列各式的变形过程：①()()25623x x x x ++=++,其中235,236+=⨯=; ②()()271234x x x x ++=++,其中347,3412+=⨯=;③()()24313x x x x -+=--,其中()()()()134,133-+-=--⨯-=; …从以上各式中,你发现了什么规律？请用你发现的规律分解因式：(l)268x x ++; (2)228x x --.24.(12分)阅读下列文字：我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式,例如由图1可以得到()()22232a b a b a ab b ++=++.请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式__________________;(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题：已知11,ab bc ac 38a b c ++=++=,求222a b c ++的值; (3)图3中给出了若干个边长为a 和边长为b 的小正方形纸片及若干个边长分别为,a b 的长方形纸片.①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形,并画在所给的方框中,要求所拼出的几何图形的面积为22252a ab b ++; ②再利用另一种计算面积的方法,可将多项式22252a ab b ++分解因式.即22252a ab b ++=_________.答案：1. D 【解析】因为32325a a aa +⋅==,所以A 错误;因为3312a a a a -÷==,所以B 错误；因为2222a a a +=,所以C 错误；因为()224a a =，所以D 正确.故选D.2. D 【解析】()()3323236.ab a b a b ==故选 D. 3. D 【解析】选项D 应为()()22339a b a b a b +-=-.故选D.4. A 【解析】()()22211,a x x a x -+=-所以多项式()221a x x -+与多项式()()11x x +-的公因式是1x -.故选A.5. D 【解析】24436x mx ++是完全平方式，则()22443626x mx x ++=±,所以424m =±,所以m 的值为6±.故选D.6. C 【解析】()()2111,a a a -=+-()21,a a a a +=+()22211,a a a -+=-()()()()2222221211,a a a a +-++=+-=+所以A,B,D 的结果中都含因式1a +,C 的结果中不含因式1a +.故选C.7. A 【解析】()()()2333x m x x m x m ++=+++,因为其不含x 的一次项，所以30m +=,所以3m =-.故选A.8. C 【解析】()()()322253362622221,111 1.ab ab a b ab b a b a b ab ab ab ab =-∴---=-++=-++=+-=故选 C.9. C 【解析】由537x y 与一个多项式之积是756555289821x y x y x y +-，得这个多项式是()7565555322228982174143.x y x y x y x y x xy y +-÷=+-.故选C.10. C 【解析】()()()()()()()()2222222222.x y a x y b x y a b x y x y a b a b ---=--=-+-+故选 C.11. 24x 【解析】()()()()()10810822222224x x x x x x -÷=÷==.12.2≠【解析】因为任何不为0的数的0次幂都等于1，所以只要240x -≠即可，，解得2x ≠.13.39【解析】 因为 9,a b +=所以()281,a b +=,即22281,a b ab ++=2260a b +=又，所以()2222602139.a b a b ab -=+-=-=14.4-【解析】()()()222112121,x m x n x x mx m n x m x m n ++++=+++++=+++++ ()22222123,,13m x m x m n x x m n +=⎧∴+++++=+-∴⎨++=-⎩解得0.4m n =⎧⎨=-⎩故 4.m n +=- 15.20002【解析】()()()22221019910199210199200210011001+=+-⨯⨯=-⨯+-4000029999400001999820002.=-⨯=-=16.1【解析】22111,1a b a b+=+=两式相减可得 ()()()()2211,,10.b a a b a b a b ab a b a b a b ab --=-∴+-=∴++-=⎡⎤⎣⎦22111,1,0,0,a b a b a b+=+=∴>> 从而010,0,20172017 1.a b aba b a b -++>∴-=∴== 17.【解析】(l)()2334326.x y xy x y ⋅-=- (2)()2242235610.aa b a a b -=-.(3) ()()()()22222232323449.a b c a b c a b c a ab b c ---+=--=-+-(4)()()()()()()43222226823213433223433223 2.x x x x x x x x x x x x x x xx -÷--+-=-+--+-=-+-+-+=- 18.【解析】(l)()()()332262464622.ab a bab b a ab b a b a -=-=+-(2)()()()422222816422.x x x x x -+=-=-+ (3)()()()()()()()()()2222229494943232.a x yb y x a x y b x y x y a b x y a b a b -+-=---=--=-+-(4) ()()()()()22222222222422.m n m n mn m n mn m n m n m n -+=++--=-+- 19.【解析】(l)()()()()()()2222223233269221293221,a a a a a a a a a a a a -+-+-=----=---+=--当2a =-时,原式()()2322221 5.=⨯--⨯--=-(2)()()()()222222222141224148444148444xy xy xy xy x y xy x y xy x y xy x y xy⎡⎤--+-÷⎣⎦⎡⎤=-+--÷⎣⎦⎡⎤=-+-+÷⎣⎦()2215842032,x y xy xy xy =-÷=-当2,0.5x y =-=-时,1xy =,原式203212-=-.20.【解析】能.因为()()()()()()()()222222222222222222222443443444,x y x y x xy x y x y x x y x k x k x --+-=--+=-=-=-⋅所以只需要()2241k -=,原代数式就能化简为4x ,所以224141,k k -=-=-或解得k k ==21.【解析】(1)长方体盒子的底面积为()()()222224a x b x ab ax bx x --=--+(cm 2). (2)由长:宽:髙=3:2:1，可设长方形纸板的长为3x cm,宽为2x cm,高为cm,所以3:2:162,x x x =所以 3.x =所以长方形纸板的长为3255315x x x +==⨯=(cm),长方形纸板的宽为2244312x x x +==⨯=(cm).答:需要长方形纸板的长和宽分别是15cm,12cm.22.【解析】(1)32-()()4132311364.2⎡⎤=⨯-⨯÷-+=-÷=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (2)3±()22223292,x y x k y x y kxy ⎡⎤=++⋅⋅=++⎣⎦代数式为完全平方式，26, 3.k k ∴=±=±解得(3)267,x =+()()()()223232232367,x x x x x ⎡⎤∴-+-+-+=+⎣⎦()22294344967,x x x x ∴--+-+=+2229434567,x x x x ∴---+=+解得 4.x =-23.【解析】(1)()()26824.x x x x ++=++(2)()()22842.x x x x --=-+24.【解析】(1)()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ (2)由(1)得()2222222a b c a b c ab ac bc ++=++--- ()()2221123845.a b c ab ac bc =++-++=-⨯=(3)①如图所示.②()()22a b a b ++。

一、选择题1．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a c b d ，定义a c b d =ad －bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若11x x +- 11x x -+=12，则x=( )． A ．2B ．3C ．4D ．6 2．多项式2425a ma ++是完全平方式，那么m 的值是（ ） A ．10± B ．20± C ．10D ．20 3．从边长为 2a +的正方形纸片中剪去一个边长为1a -的正方形纸片()1a >，则剩余部分的面积是（ ）A ．41a +B ．43a +C ．63a +D ．2+1a4．当代数式2()2020x y ++的值取到最小．．时，代数式222||2||x y x y -+-=……（ ） A ．0 B ．2- C ．0或2- D ．以上答案都不对 5．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m +n ＝（ ）A ．1B ．2C ．5D ．7 6．已知A 为多项式，且2221241A x y x y =--+++，则A 有（ ）A ．最大值23B ．最小值23C ．最大值23-D ．最小值23- 7．设, a b 是实数，定义一种新运算：()2*a b a b =-．下面有四个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③()()**a b a b -=-；④()**a b c a b a c +=+*．其中所有正确推断的序号是（ ）A ．①②③④B ．①③④C ．①②D ．①③ 8．下列各式计算正确的是（ ）A ．224a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．()22439a a -=D ．22(1)1a a +=+ 9．记A n ＝（1﹣212）（1﹣213）（1﹣214）…（1﹣21n），其中正整数n ≥2，下列说法正确的是（ ）A ．A 5＜A 6B ．A 52＞A 4A 6C ．对任意正整数n ，恒有A n ＜34D ．存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜10082015 10．下列计算正确的是（ ）A ．（a 2）3=a 5B ．（2a 2）2=2a 4C ．a 3•a 4=a 7D ．a 4÷a =a 4 11．下列各式中，正确的是（ ） A ．2222x y yx x y -+= B ．22445a a a +=C ．()2424m m --=-+D ．33a b ab +=12．下列计算正确的是（ ） A ．224x x x += B ．222()x y x y -=-C ．26()x y x y =3D ．235x x x 13．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，+a b ，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：通、爱、我、昭、丽、美、现将()()222222x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美丽B ．美丽昭通C ．我爱昭通D ．昭通美丽 14．下列各式计算正确的是（ ）A ．5210a a a =B ．()428=a aC ．()236a b a b =D ．358a a a += 15．下列运算正确的是（ ）A ．x 2·x 3=x 6B ．(x 3)2=x 6C ．(-3x)3=27x 3D ．x 4+x 5=x 9二、填空题16．如果23a b -的值为1-，则645b a -+的值为_____．17．若2330x x --=，则()()()123x x x x ---的值为______．18．若23x =，25y =，则22x y +=____________．19．若()()21x a x -+的积中不含x 的一次项，则a 的值为______．20．对于有理数a ，b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b >时，min{,}a b b =．例如：min{1,22}-=-，min{3,1}1-=-．已知}a =}b b =，且a 和b 是两个连续的正整数，则a+b =_____．21．已知x-3y=-1，那么代数式3-2x+6y 的值是________22．关于x 的一次二项式mx ＋n 的值随x 的变化而变化，分析下表列举的数据x 0 1 1.5 2 mx ＋n －3 －1 01 若mx ＋n ＝17，线段AB 的长为x ，点C 在直线AB 上，且BC ＝12AB ，则直线AB 上所有线段的和是_____________．23．因式分解：316m m -=________．24．若a - b = 1， ab = 2 ，则a + b =______． 25．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．26．若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式2008|1|m m --的值为________．三、解答题27．下面是小华同学分解因式229()4()a x y b y x -+-的过程，请认真阅读，并回答下列问题．解：原式229()4()a x y b x y =-+-① 22()(94)x y a b =-+②2()(32)x y a b =-+③任务一：以上解答过程从第 步开始出现错误．任务二：请你写出正确的解答过程．28．从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是______；（2）运用（1）中的结论，完成下列各题：①已知：3a b -=，2224a b -=，求+a b 的值；②计算：22222111111111123420192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 29．分解因式：（1）222ax axy ay ++；（2）4161y -30．观察下列关于自然数的等式：（1）217295⨯+⨯= ①（2）2282106⨯+⨯= ②（3）2392117⨯+⨯= ③……根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式__________．（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性．。

2022-2023学年人教版八年级数学上册《第14章整式乘法与因式分解》解答专项练习题（附答案）1．因式分解：（1）（x+3y）2﹣x﹣3y；（2）（a2+4）2﹣16a2．2．因式分解：（1）ax2﹣4ax+4a；（2）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（3）（x+2）（x+4）﹣3；（4）9（a+b）2﹣（a﹣b）2．3．计算：（1）（x2y）3•（﹣2xy3）2；（2）（x n y3n）2+（x2y6）n；（3）（x2y3）4+（﹣x）8•（y6）2；（4）a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（﹣a）6．4．计算：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2．5．规定a*b＝3a×3b，求：（1）求1*2；（2）若2*（x+1）＝81，求x的值．6．（1）已知：4m＝5，8n＝3，计算22m+3n的值．（2）已知：3x+5y＝8，求8x•32y的值．7．回答下列问题：（1）计算：①（x+2）（x+3）；②（x+8）（x﹣10）；③（x﹣7）（x﹣9）．（2）由（1）的结果，直接写出下列计算的结果：①（x+1）（x+4）＝；②（x﹣6）（x﹣3）＝；③（x+10）（x﹣15）＝；（3）总结公式：（x+a）（x+b）＝．（4）已知a，b，n均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+nx+8，求n的所有可能值．8．【初试锋芒】若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；【再展风采】已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；【尽显才华】若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是．9．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝，D（16）＝．（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．根据运算性质，计算：①若D（a）＝1，求D（a3）；②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（30），的值（用含a、b、c的代数式表示）．10．用乘法公式计算：（1）20212﹣2023×2019；（2）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．11．已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．（1）求x2+y2的值；（2）求（x﹣y）2的值．12．已知ab＝1，因为（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2+b2+2①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝a2+b2﹣2②所以由①得a2+b2＝（a+b）2﹣2．由②得a2+b2＝（a﹣b）2+2．试根据上面公式的变形解答下列问题：（1）已知a﹣b＝2，ab＝1，则下列等式成立的是．①a2+b2＝6；②a4+b4＝38；③（a+b）2＝8．（2）已知a+b＝2，ab＝1．①求代数式a2+b2的值；②求代数式a4+b4的值；③猜想代数式a2n+b2n（n为正整数）的值，直接写出答案，不必说明理由．13．阅读材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：已知m满足（2m﹣5）2+（4﹣2m）2＝5．（1）求（5﹣2m）（4﹣2m）的值；（2）求4m﹣9的值．14．如图，在一个边长为2a+b的大正方形纸片中，剪去一个长为2a+b、宽为a﹣b的长方形和一个边长为a﹣b的小正方形．（1）用含a、b的式子表示阴影部分的面积；（结果化为最简）（2）当a＝5，b＝2时，求阴影部分的面积．15．乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B 种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．方法1：；方法2：；（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系：；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，a2+b2＝21，求ab的值；②已知（2022﹣a）2+（a﹣2020）2＝10，求（2022﹣a）（a﹣2020）的值．16．计算：|（2x+y）（2x﹣y）﹣5x（x+2y）+（x+2y）2|÷（﹣3y）．17．【观察发现】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．【归纳结论】（1）上述操作，能验证的等式是；（直接写结果）【问题解决】（2）利用（1）中的结论，计算：．18．阅读下列解答过程：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为x+a则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+a）＝x2+ax+3x+3a＝x2+（a+3）x+3a，∴，∴，∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．请依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式x2+5x+k有一个因式是x﹣2，求另一个因式及k的值．19．小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？20．阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE ＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为100平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．21．下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，解：设x2﹣2x＝y原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2﹣2x+1）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或者“不彻底”）若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．参考答案1．解：（1）原式＝（x+3y）2﹣（x+3y）＝（x+3y）（x+3y﹣1）；（2）原式＝（a2+4）2﹣（4a）2＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）＝（a+2）2（a﹣2）2．2．解：（1）原式＝a（x2﹣4x+4）＝a（x﹣2）2；（2）原式＝x2（m﹣n）﹣y2（m﹣n）＝（m﹣n）（x2﹣y2）＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；（3）原式＝x2+6x+8﹣3＝x2+6x+5＝（x+1）（x+5）；（4）原式＝[3（a+b）+（a﹣b）][3（a+b）﹣（a﹣b]＝（4a+2b）（2a+4b）＝4（2a+b）（a+2b）．3．解：（1）原式＝x6y3•4x2y6＝4x8y9；（2）原式＝x2n y6n+x2n y6n＝2x2n y6n；（3）原式＝x8y12+x8y12＝2x8y12；（4）原式＝a6+4a6﹣a6＝4a6．4．解：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2＝a6+4a6﹣4a8÷a2＝a6+4a6﹣4a6＝a6．5．解：（1）∵a*b＝3a×3b，∴1*2＝31×32＝3×9＝27；（2）∵2*（x+1）＝81，∴32×3x+1＝34，则2+x+1＝4，解得：x＝1．6．解：（1）∵4m＝22m＝5，8n＝23n＝3，∴22m+3n＝22m•23n＝5×3＝15；（2）∵3x+5y＝8，∴8x•32y＝23x•25y＝23x+5y＝28＝256．7．解：（1）①（x+2）（x+3）＝x2+2x+3x+6＝x2+5x+6，②原式＝x2﹣10x+8x﹣80＝x2﹣2x﹣80．③原式＝x2﹣9x﹣7x+63．（2）①原式＝x2+4x+x+4＝x2+5x+4．②原式＝x2﹣3x﹣6x+18＝x2﹣9x+18．③原式＝x2﹣15x+10x﹣150＝x2﹣5x﹣150．故答案为：①x2+5x+4．②x2﹣9x+18．③x2﹣5x﹣150．（3）由（2）得：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，故答案为：x2+（a+b）x+ab，（4）∵（x+a）（x+b）＝x2+nx+8，∴n＝a+b，8＝ab．∵8＝1×8＝（﹣1）×（﹣8）＝2×4＝（﹣2）×（﹣4）．∴n＝1+8＝9或n＝﹣1+（﹣8）＝﹣9或n＝2＝4＝6或n＝﹣2+（﹣4）＝﹣6．∴n＝±6或n＝±9．8．解：（1）x+y＝8，x2+y2＝40，xy＝[（x+y）2﹣x2﹣y2]×＝（82﹣40）×＝12；（2）4a2+b2＝57，ab＝6，（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝81，∴2a+b＝±9；（3）设a＝20﹣x，b＝x﹣30，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝﹣10，所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．9．解：（1）∵21＝2，∴D（2）＝1，∵24＝16，∴D（16）＝4，故答案为：1，4；（2）①∵D（a）＝1，∴D（a3）＝D（a•a•a）＝D（a）+D（a）+D（a）＝3；②∵D（2）＝1，D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，∴D（30）＝D（2×3×5）＝D（2）+D（3）+D（5）＝1+2a﹣b+a+c＝3a﹣b+c+1，∴＝D（25）﹣D（12）＝2D（5）﹣2D（2）﹣D（3）＝2（a+c）﹣2×1﹣（2a﹣b）＝b+2c﹣2．10．解：（1）20212﹣2023×2019＝20212﹣（2021+2）×（2021﹣2）＝20212﹣20212+4＝4；（2）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）＝[2x+（y+z）][2x﹣（y+z）]＝4x2﹣（y+z）2＝4x2﹣y2﹣2yz+z2．11．解：（1）∵x+y＝﹣5，xy＝﹣3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）＝25+6＝31；（2）∵xy＝﹣3，x2+y2＝31，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝31﹣2×（﹣3）＝37．12．解：（1）①a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝22+2×1＝6，故该选项正确；②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝62﹣2（ab）2＝36﹣2×12＝34，故该选项错误；③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×1＝8，故该选项正确．故答案为：①③；（2）①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝2；②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝22﹣2（ab）2＝22﹣2×12＝2；③∵①②的答案都是2，∴猜想：a2n+b2n＝2．13．解：设2m﹣5＝x，4﹣2m＝y，∴（5﹣2m）（4﹣2m）＝﹣xy，4m﹣9＝2m﹣5﹣（4﹣2m）＝x﹣y，2m﹣5+4﹣2m＝x+y＝﹣1，（1）∵（2m﹣5）2+（4﹣2m）2＝5．∴x2+y2＝5，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴1＝5+2xy，∴xy＝﹣2，∴（5﹣2m）（4﹣2m）＝﹣xy＝2．（2）∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，∴（x﹣y）2＝5+4＝9，∴x﹣y＝±3．14．解：（1）阴影部分的面积为：（2a+b）2﹣（2a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2＝4a2+4ab+b2﹣（2a2﹣2ab+ab﹣b2）﹣（a2﹣2ab+b2）＝4a2+4ab+b2﹣2a2+2ab﹣ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝a2+7ab+b2；（2）当a＝5，b＝2时，原式＝25+7×5×2+4＝99，即阴影部分的面积为99．15．解：（1）方法1：大正方形的边长为（a+b），∴S＝（a+b）2；方法2：大正方形＝各个部分相加之和，∴S＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2．（2）由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（3）①∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，a2+b2＝21，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝25﹣21＝4，∴ab＝2．②设m＝2022﹣a，n＝a﹣2020，则m+n＝2，m2+n2＝（2022﹣a）2+（a﹣2020）2＝10，由（m+n）2＝m2+n2+2mn得，4＝10+2mn，∴mn＝﹣3，（2022﹣a）（a﹣2020）＝mn＝﹣3，即（2022﹣a）（a﹣2020）的值为﹣3．16．解：原式＝|4x2﹣y2﹣5x2﹣10xy+x2+4xy+4y2|÷（﹣3y）＝|3y2﹣6xy|÷（﹣3y）当3y2﹣6xy＞0时，原式＝（3y2﹣6xy）÷（﹣3y）＝﹣y+2x；当3y2﹣6xy＜0时，原式＝（﹣3y2+6xy）÷（﹣3y）＝y﹣2x．17．解：（1）图①阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．18．解：设另一个因式为（x+m），由题意，得：x2+5x+k＝（x﹣2）（x+m），则x2+5x+k＝x2+（m﹣2）x﹣2m，∴，解得，∴另一个因式为x﹣7，k的值为﹣14．19．解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x）＝x4﹣x3+3x3﹣3x2+2x2﹣2x＝x4+2x3﹣x2﹣2x；（2）（x2+□x+2）（x2﹣x）＝x4﹣x3+□x3﹣□x2+2x2﹣2x，∵这个题目的正确答案是不含三次项，∴﹣1+□＝0，∴□＝1，∴原题中被遮住的一次项系数是1．20．解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；故答案为：12；（2）设x﹣2022＝a，x﹣2018＝b，则（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝202，a﹣b＝（x﹣2022）﹣（x﹣2018）＝﹣4，（x﹣2022）（x﹣2018）＝ab＝﹣[（a﹣b）2﹣（a2+b2）]＝[（﹣4）2﹣202]＝93；（3）根据题意可得，CF＝CD﹣DF＝16﹣x，CE＝BC﹣BE＝12﹣x，（16﹣x）（12﹣x）＝100，设16﹣x＝a，12﹣x＝b，则（16﹣x）（12﹣x）＝ab＝100，a﹣b＝（16﹣x）﹣（12﹣x）＝4，S阴＝（16﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×100＝216．图中阴影部分的面积和为216平方单位．故答案为：216．21．解：（1）运用了两数和的完全平方公式，故选：C；（2）原式＝[（x﹣1）2]2＝（x﹣1）4，故答案为：不彻底，（x﹣1）4；（3）设x2﹣4x＝y，原式＝y（y+8）+16＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，即（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4．22．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形．。

八年级数学上册《第十四章 乘法公式》同步练习题及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：1．下列运算中，正确的是（ ） A ．336x x x ⋅= B ．235()x x = C ．232x x x ÷=D ．222()x y x y -=-2．设（a+b ）2=（a ﹣b ）2+A ，则A=（ ） A ．2ab B ．4ab C ．abD ．﹣4ab 3．若4a 2+kab+9b 2是完全平方式，则常数k 的值为（ ） A ．6 B ．12 C ．6±D ．12± 4．无论x ，y 取何值，多项式x 2+y 2-4x+6y+13的值总是（ ） A ．都是整数 B ．都是负数 C ．是零 D ．是非负数5．若()()22221135a b a b +++-=，则22a b +=（ ） A ．3B ．6C ．3±D ．6±6．我们把形如+b （a ，b +1型无理数，则2是（ ）A 型无理数B C D 型无理数7．已知： ()2(1)5a a a b ---=-. 求： 代数式 222a b ab +- 的值为（ ）A ．-5B ．5C ．252D ．258．如图，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，x ，y 表示四个相同长方形的两边长（x>y ），则①x-y=n ；②xy= 224m n - ；③x 2-y 2=mn ；④x 2+y 2= 222m n - 中，正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③①D ．①②③①二、填空题：9．计算()()11a a +-的结果是 .10．多项式 2264x mx ++ 是完全平方式，则m= . 11．已知a+b=7，ab=6，则a 2+b 2的值为 ． 12．若 2111322a k a a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，则k= . 13．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则（a+b ）5= ． 三、解答题：14．计算：32)(32)x y c x y c -+++（ ．15．计算下列各题 （1）()222(2)x y xy -⋅-（2）24(1)(25)(25)x x x +-+-16．先化简，再求值： ()()()22235a b a b a b b +-+--， 其中 12a =- 和 2b = ．17．已知4m n -=和3mn =-． （1）计算：22m n +；（2）求()()2244m n --的值； （3）求28324m n m n +⋅÷的值．18．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝52，求a2+b2+c2的值．（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：（3a+b）（a+3b）＝3a2+10ab+3b2．参考答案：1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．a 2-1 10．±8 11．37 12．3413．1a 5+5a 4b+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+1b 514．解：原式= ()()2323x c y x c y +-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ = ()()2223x c y +- = 222449x cx c y ++- . 15．（1）解： ()222(2)x yxy -⋅-42=4(2)x y xy ⋅- 53=8x y - ；（2）解： 24(1)(25)(25)x x x +-+-22=4(21)(425)x x x ++--22=484425x x x ++-+=829x + ．16．解：原式=a 2+4ab+4b 2﹣3a 2+ab ﹣3ab+b 2﹣5b 2 =﹣2a 2+2ab 当a 12=-，b=2时，原式 15222=--=-17．（1）解：4m n -= 3mn =-22m n ∴+ 2()2m n mn =-+()2423=+⨯- 166=- 10=；（2）解：()()2244m n --()222()416mn m n =-++当3mn =-，2210m n +=时 原式2(3)41016=--⨯+94016=-+ 15=-；（3）28324m n m n +⋅÷3522(2)(2)(2)m n m n +=⋅÷3524222m n m n +=⋅÷ 352422m n m n ++=÷ 35242m n m n +--= 2m n +=4m n -= 3mn =-2()m n ∴+ 2()4m n mn =-+()2443=+⨯- 1612=- 4=2m n ∴+=或2- 2m n +∴ 22=或22-4=或14．18．（1）（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc （2）解：∵a+b+c ＝13，ab+bc+ac ＝52 ∴（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2（ab+ac+bc ）即（13）2＝a 2+b 2+c 2+2×52 ∴a 2+b 2+c 2＝65（3）解：如图：。

人教版八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》测试题（含答案）一、单选题1．如图，从边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）A ．a 2﹣b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）B ．（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2D ．a 2＋ab ＝a （a ＋b ）2．在下列运算中，正确的是（）A ．236x x x ⋅=B ．23x x x +=C ．326()x x =D ．933x x x ÷= 3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．229(3)x x -=-B ．22(1)21x x x +=++C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．221x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭4．已知23m m -的值为5，那么代数式2203026m m -+的值是（ ）A ．2030B ．2020C ．2010D ．20005．下列计算正确的是（ ）A ．224a a a +=B ．3252⋅=a a aC ．235(2)312⋅=a a aD ．21333⎛⎫+= ⎪⎝⎭a a a 6．如果25m m +=，那么代数式()()222m m m -++的值为（ ）A ．-6B ．-1C ．9D ．147．若多项式2(5)2x a x ++-中不含x 的一次项，则a 的值为（ ）A ．0B ．5C ．5-D ．5或5-8．若关于x 的多项式（x 2+2x +4）（x +k ）展开后不含有一次项，则实数k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．3 D ．﹣29．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．325a a a +=B ．()()235a a a -⋅-= C ．()325a a = D ．325a a a ⋅= 10．下列算式中不能利用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y +-B ．()()x y x y ---C ．()()x y x y --+D ．()()x y y x +-二、填空题 11．若表示一种新的运算，其运算法则为2a bc d =+-，则的结果为________．12．如果二次三项式x 2+3x +a 是一个完全平方式，那么常数a 的值是 ___．13．已知a 是方程x 2-5x +1=0的一个根，则a 4+a -4的个位数字为_____．14．若多项式2(1)16x m x --+能用完全平方公式进行因式分解，则m =________．15．若2224(3)ax x b mx ++=-，则=a ________．16．因式分解：（1）22x y -+=___________；（2）222x xy y -+=___________；（3）24a a -=___________；（4）265m m -+=___________．17．若2x ＋3y ﹣2＝0，则4x •8y ＝___．18．在实数范围内分解因式221x x +-=___．三、解答题19．先化简，再求值：x 2（﹣x ＋2）﹣（﹣x ＋1）（x 2＋x ﹣3），其中x 满足2x 2＋3＝4x ．20．（（教材呈现）下图是华师版八年级上册数学教材第49页B 组的第12题和第13题．（例题讲解）老师讲解了第12题的两种方法：（方法运用）请你任选第12题的解法之一，解答教材第49页B 组的第13题．（拓展）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AC 、BC 为边向其外部作正方形ACDE 和正方形BCFG ．若6AC BC +=，正方形ACDE 和正方形BCFG 的面积和为18，求ABC 的面积．21．计算：（59x 3y ）•（﹣3xy 2）3•（12x ）2.22．33x y x y ．23．先化简，再求值：()2232()()a b ab b b a b b a --÷++-，其中12021a =-，2021b =．24．某校“数学社团”活动中，小亮对多项式进行因式分解，m 2－mn +2m －2n =(m 2－mn )+(2m －2n )=m (m －n )+2(m －n ) =(m －n )(m +2)．以上分解因式的方法叫做“分组分解法”，请你在小亮解法的启发下，解决下面问题：（1）因式分解a 3－3a 2－9a +27；（2）因式分解x 2+4y 2－4xy －16；（3）已知a ，b ，c 是ABC 的三边，且满足222a ab c ac bc -+=-，判断ABC 的形状并说明理由．参考答案1．A【详解】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a 2﹣b 2，矩形的面积＝（a +b ）（a ﹣b ），故a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），故选：A ．2．C【详解】解：A 、235x x x ，故错误，不符合题意；B . 2x x +不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；C . 326()x x =，故正确，符合题意；D . 936x x x ÷=，故错误，不符合题意；3．C【详解】解：A 、29(3)(3)x x x -=+-，则原等式不成立，此项不符题意；B 、22(1)21x x x +=++等式的右边不是乘积的形式，则此项不符题意；C 、24(2)(2)x x x -=+-是因式分解，此项符合题意；D 、221x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭等式右边中的2x 不是整式，则此项不符题意； 4．B【详解】解：∵2220302620302(3)m m m m -+=--，把235m m -=代入，原式=2030252020-⨯=，故选B ．5．C【详解】A. ∵2a 和2a 是同类项，∵22242a a a a +=≠，故选项A 错误；B. 532522a a a a ⋅≠=，故选项B 错误；C. 52323(32)3412a a a a a ⋅==，故选项C 正确；D. 2213333a a a a a ⎛⎫+=+⎭≠ ⎪⎝，故选项D 错误． 6．D【详解】解：()()222m m m -++， 22244m m m m =-+++，2224m m =++，由25m m +=得：22210m m +=，则原式10414=+=，故选：D ．7．C【详解】解：∵多项式2(5)2x a x ++-中不含x 的一次项，∵5+a =0，解得a =-5，故选：C ．8．D【详解】解：（x 2+2x +4）（x +k ）＝x 3＋kx 2+2x 2+2kx +4x +4k＝x 3＋（k +2）x 2+（2k +4）x +4k ，∵关于x 的多项式乘多项式（x 2+2x +4）（x +k ）的结果中不含有x 的一次项， ∵2k +4＝0，解得，k ＝−2，9．D【详解】A ．3a 和2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；B ．2355()()()a a a a -⋅-=-=-，此选项错误；C ． ()326a a =，此选项错误； D ．235a a a ⋅=，此选项正确，故选：D ．10．C【详解】解：A 、()()22x y x y x y +-=-，故A 不符合题意；B 、()()22()x y x y y x ---=--，故B 不符合题意；C 、()()x y x y --+不能利用平方差公式计算，故C 符合题意；D 、()()22x y y x y x +-=-，故D 不符合题意；11．223m m n +【详解】解：由题意得，=2222(2)3m m n n m -+-，=223243m m n m +-=223m m n +，故答案为：223m m n +．12．94【详解】解：∵二次三项式x 2+3x +a 是一个完全平方式，∵x 2+3x +a =x 2+2•x •32+(32)2， ∵a =94， 故答案为：94． 13．7【详解】解：由题意可得：2510a a ，0a ≠， ∵15a a +=， ∵22211223a a a a ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭， ∵24242112527a a a a ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭， ∵个位数字是7；故答案是7．14．9或-7或9【详解】解：∵多项式x 2-（m -1）x +16能用完全平方公式进行因式分解， ∵m -1=±8，解得：m =9或m =-7，故答案为：9或-715．16【详解】解:∵222(3)9=6mx x x m m --+，2224(3)ax x b mx ++=- ∵m 2=a ；-6m =24∵m =-4，a =16故答案为：1616．()()y x y x +- 2()x y - (4)a a - (1)(5)m m -- 【详解】解：（1）2222()()y x x y x x y y -++=--=（2）2222()x xy y x y -+=-（3）24(4)a a a a -=-（4）265(1)(5)m m m m -+=--故答案为()()y x y x +-，2()x y -，(4)a a -，(1)(5)m m -- 17．4【详解】解：48x y ⋅＝()()2323232=2222x x x yy x +⋅=⋅， ∵x +3y -2＝0，∵x +3y ＝2，∵原式=22=4，故答案为：4．18．(11x x ++【详解】解：原式＝2212x x ++-2(1)2x =+-(11x x =+++，故答案为(11x x +++．19．2x 2-4x +3；原式=0．【详解】x 2（﹣x ＋2）﹣（﹣x ＋1）（x 2＋x ﹣3）=﹣x 3＋2x 2﹣（﹣x 3-x 2＋3x + x 2+x ﹣3）=﹣x 3＋2x 2+x 3+x 2-3x - x 2-x +3=2x 2-4x +3∵2x 2＋3＝4x∵2x 2-4x +3=0∵原式=0．20．【方法运用】见解析；【拓展】92【详解】【方法运用】∵（a -b ）2= a 2+b 2-2ab∵2ab = a 2+b 2-（a -b ）2．∵a -b =1，a 2+b 2=25，∵2ab = 25-1=24．∵ab =12．【拓展】由题意，得AC 2+BC 2＝18．∵（AC +BC ）2＝62，AC 2+2AC •BC +BC 2＝36． ∵2AC •BC ＝36﹣（AC 2+BC 2）＝36﹣18＝18． ∵AC •BC ＝9．∵S ∵ABC =12AC •BC ＝92． 21．87154x y - 【详解】 （59x 3y ）•（﹣3xy 2）3•（12x ）2 ()233332251392x x x y y ⎛⎫=-⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ 87154x y =- 22．2269x y y -+-【详解】解：33x y x y33x y x y 223x y2269x y y =-+-23．2ab -，2【详解】解：原式=223222÷-÷-÷+-a b b ab b b b b a=22222--+-a ab b b a=2ab -， 当12021a =-，2021b =时，原式=1220212021⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭=2． 24．（1）(a +3)(a －3)2；（2）(x －2y －4)(x －2y +4) ；（3）等腰三角形，见解析 【详解】解：（1）a 3－3a 2－9a +27=a 2(a －3)－9(a －3)=(a 2－9)(a －3) =(a －3)(a +3)(a －3) =(a +3)(a －3)2；（2）x 2+4y 2－4xy -16=(x 2－4xy +4y 2)－16=(x －2y )2－42=(x －2y －4)(x －2y +4)；（3）∵ABC 是等腰三角形，理由如下：∵222a ab c ac bc -+=-，∵2220a ac c ab bc -+-+=，∵()()20a c b a c ---=，∵()()0a c a c b ---=，∵a ，b ，c 是∵ABC 的三边，∵a －c －b ＜0．∵a －c =0，∵a =c ，∵∵ABC 是等腰三角形．。

八年级数学上册《第十五章整数指数幂》练习题附答案-人教版一、选择题1.下列运算正确的是( )A.3x2+2x3=5x5B.(π﹣3.14)0=0C.3﹣2=﹣6D.(x3)2=x62.计算(－1)0＋|－2|的结果是 ( )A.－3B.1C.－1D.33.下列运算正确的是( )A.2a＋3a＝5a2B.＝﹣5C.a3•a4＝a12D.(π﹣3)0＝14.计算(﹣2)0＋9÷(﹣3)的结果是( )A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣45.2﹣3可以表示为( )A.22÷25B.25÷22C.22×25D.(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)6.科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.000 000 000 22米.将0.000 000 000 22用科学记数法表示为( )A.0.22×10﹣9B.2.2×10﹣10C.22×10﹣11D.0.22×10﹣87.已知a＝2﹣2，b＝(3﹣1)0，c＝(﹣1)3，则a，b，c的大小关系是( )A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a8.计算(﹣3a﹣1)﹣2的结果是( )A.6a2B. 19a2 C.-19a2 D.9a29.计算x3y(x－1y)－2的结果为( )A.x5yB.yx5C.y5x2D.x5y210.计算(a2)3＋a2·a3－a2÷a－3的结果是( )A.2a5－aB.2a5－1aC.a5D.a6二、填空题11.若|a|－2=(a－3)0，则a=________.12.已知﹣(x ﹣1)0有意义，则x 的取值范围是 . 13.若(x ﹣12)0没有意义，则x ﹣2的值为____. 14.计算：(﹣2xy ﹣1)﹣3＝ .15.已知0.003×0.005=1.5×10n ，则n 的值是________.16.对实数a 、b ，定义运算☆如下：a ☆b=，例如：2☆3=2﹣3=18 则计算：[2☆(﹣4)]☆1= .三、解答题17.化简：(﹣3)0＋(﹣12)﹣2÷|﹣2|.18.化简：(﹣12)﹣1﹣2＋(π﹣3.14)0﹣(﹣2)﹣3；19.化简：4a 2b ÷(b 2a )﹣2· a b 2；20.化简：(2x －3y 2)－2÷(x －2y)3；21.已知式子（x －1）－12x －3＋(x －2)0有意义，求x 的取值范围.22.据测算，4万粒芝麻的质量约为160克，那么1粒芝麻的质量约为多少？(单位：千克，用科学记数法表示)23.一块900 mm2的芯片上能集成10亿个元件.(1)每个这样的元件约占多少平方毫米？(2)每个这样的元件约占多少m2?参考答案1.D2.D3.D.4.B5.A6.B.7.B.8.B9.A10.D11.答案为：－3.12.答案为：x ≠2且x ≠1.13.答案为：414.答案为：﹣y 38x 3.15.答案为：－516.答案为：16.17.解：原式＝1＋2＝3.18.解：原式＝﹣238.19.解：原式=ab.20.解：原式＝14x 6y －4÷x －6y 3＝x 124y 7.21.解：由题意得：⎩⎨⎧2x －3≠0，x －2≠0，x －1≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠32，x ≠2，x ≠1.∴x≠32且x≠2且x≠1.22.解：160÷40 000=0.004(克)=4×10－6(千克).23.解：(1)10亿=10×108=109，∴900÷109=9×10－7(mm2).(2)1 m2=106 mm2，9×10－7÷106=9×10－13(m2).。

一、选择题1．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解D解析：D【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．【详解】解：①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，②因式分解．故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．2．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m +n ＝（ ）A ．1B ．2C ．5D ．7D 解析：D【分析】 由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），即可解出n ＝5，从而求出m 值即可．【详解】解：由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），整理得n ＝5，则有m ﹣3+4＝﹣3+1+5，解得m ＝2，∴m +n ＝5+2＝7，故选：D ．【点睛】此题主要考查列一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系是解题关键． 3．已知3a b -=、4b c -=、5c d -=，则()()a c d b --的值为（ ）A ．7B ．9C ．-63D ．12C 解析：C【分析】由3a b -=与4b c -=两式相加可得7a c -=，由4b c -=与5c d -=两式相加得9b d -=，即9d b -=-，然后整体代入求解即可．【详解】解：由3a b -=与4b c -=两式相加可得7a c -=，由4b c -=与5c d -=两式相加得9b d -=，即9d b -=-，∴()()()7963a c d b --=⨯-=-；故选C ．【点睛】本题主要考查求代数式的值，关键是根据题意利用整体思想进行求解．4．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．214m m ++ B ．222x xy y -+- C ．221449x xy y -++D ．22193x x -+ C 解析：C【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】 A 、222111(44)(2)444m m m m m ++=++=+能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B 、222222(2)()x xy y x xy y x y -+-=--+=--能用完全平方公式分解因式，不符合题意；C 、221449x xy y -++不能用完全平方公式分解因式，符合题意；D 、2222111(69)(3)9399x x x x x -+=-+=-能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．下列运算正确的是（ ）A ．3m ·4m =12mB ．m 6÷m 2= m 3（m≠0）C ．236(3)27m m -=D ．（2m+1）（m-1）=2m 2-m-1D解析：D【分析】利用同底数幂的乘法和除法，积的乘方、幂的乘方，多项式乘多项式的运算法则计算即可判断．【详解】A 、 347·m m m =，该选项错误；B 、624m m m ÷=，该选项错误；C 、236(3)27m m -=-，该选项错误；D 、(()221)121m m m m +-=--，该选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方、幂的乘方，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．已知552a =，443b =，334c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >> B解析：B【分析】由552a =，443b =，334c =，比较5432,3,4的大小即可．【详解】解：∵555112=(2)a =，444113(3)b == ，333114(4)c == ，435342>> ， ∴411311511(3)(4)(2)>>，即b c a >>，故选B ．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算及数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则．7．下列计算正确的是（ ）A ．()222x y x y +=+B ．()32626m m =C ．()2224x x -=-D ．()()2111x x x +-=- D 解析：D【分析】根据完全平方公式，平方差公式和积的乘方公式分别判断即可．【详解】A. ()2222x y x xy y +=++，故原选项错误；B.()32628m m =，故原选项错误；C.()22244x x x -=-+，故原选项错误；D. ()()2111x x x +-=-，故选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式和积的乘方公式．熟记公式是解题关键．8．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )A ．21x -+B ．21x +C ．21x --D ．221x x -+ A 解析：A【分析】根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答．【详解】A 、21x -+，能用平方差公式分解因式；B 、21x +，不能用平方差公式分解因式；C 、21x --，不能用平方差公式分解因式；D 、221x x -+，不能用平方差公式分解因式；故选：A ．【点睛】此题考查平方差公式：22()()a b a b a b -=+-，掌握公式中多项式的特点是解题的关键．9．若()()()248(21)2121211A =+++++，则A 的末位数字是（ ）A ．4B ．2C ．5D ．6D 解析：D【分析】在原式前面加（2-1），利用平方差公式计算得到结果，根据2的乘方的计算结果的规律得到答案．【详解】 ()()()248(21)2121211A =+++++=()()()248(21)(21)2121211-+++++=()()()2248(21)2121211-++++=()()448(21)21211-+++ =()88(21)211-++ =162，∵2的末位数字是2，22的末位数字是4，32的末位数字是8，42的末位数字是6，52的末位数字是2，，∴每4次为一个循环，∵1644÷=，∴162的末位数字与42的末位数字相同，即末位数字是6，故选：D ．【点睛】此题考查利用平方差公式进行有理数的简便运算，数字类规律的探究，根据2的乘方末位数字的规律得到答案是解题的关键．10．下列各式计算正确的是（ ）A ．5210a a a =B ．()428=a aC ．()236a b a b =D ．358a a a += B解析：B【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项法则逐一计算即可判断．【详解】解：A 、a 5•a 2＝a 7，此选项计算错误，故不符合题意；B 、（a 2）4＝a 8，此选项计算正确，符合题意；C 、（a 3b ）2＝a 6b 2，此选项计算错误，故不符合题意；D 、a 3与a 5不能合并，此选项计算错误，故不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查幂的运算，合并同类项，解题的关键是熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则． 二、填空题11．因式分解()()26x mx x p x q +-=++，其中m 、p 、q 都为整数，则m 的最大值是______．5【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系按多项式乘以多项式法则把式子变形然后根据pq 的关系判断即可【详解】解：∵(x ＋p)(x ＋q)=x2＋（p+q ）x+pq=x2＋mx-6∴p+q=mpq=解析：5【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可．【详解】解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx-6∴p+q=m ，pq=-6，∴pq=1×（-6）=（-1）×6=（-2）×3=2×（-3）=-6，∴m=-5或5或1或-1，∴m 的最大值为5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．12．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式()35f x mx nx =++，当3x =时，多项式的值为()32735f m n =++，若()36f =，则()3f -的值为__________．4【分析】由得到整体代入求出结果【详解】解：∵∴即∴故答案是：4【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入求值的思想解析：4【分析】由()36f =得到2731m n +=，整体代入()32735f m n -=--+求出结果．【详解】解：∵()36f =，∴27356m n ++=，即2731m n +=，∴()()327352735154f m n m n -=--+=-++=-+=．故答案是：4．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值的思想．13．因式分解269x y xy y -+-=______．-y （x-3）2【分析】提公因式-y 再利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：-x2y+6xy-9y=-y （x2-6x+9）=-y （x-3）2故答案为：-y （x-3）2；【点睛】本题考查了因式解析：-y （x-3）2【分析】提公因式-y ，再利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：-x 2y+6xy-9y=-y （x 2-6x+9）=-y （x-3）2，故答案为：-y （x-3）2；【点睛】本题考查了因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法是正确解答的关键．14．若26x x m ++为完全平方式，则m =____．9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方则中间项为x 和积的2倍即可解得m 的值【详解】解：根据题意是完全平方式且6>0可写成则中间项为x 和积的2倍故∴m=9故答案填：9【点睛】本题是完全平方公式的【分析】 完全平方式可以写为首末两个数的平方()2x m +，则中间项为x 和m 积的2倍，即可解得m 的值．【详解】解：根据题意，26x x m ++是完全平方式，且6>0，可写成()2x m +，则中间项为x 和m 积的2倍，故62x x m =，∴m =9，故答案填：9．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意中间项的符号，避免漏解．15．从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是：__________；（请选择正确的一个）A ．2222()a ab b a b -+=-B ．22()()a b a b a b -=+-C ．2()a ab a a b +=+（2）应用：利用所选（1）中等式两边的等量关系，完成下面题目：若46x y +=，45x y -=，则221664x y -+的值为__________．B ；【分析】（1）先求出图1中剩余部分的面积为a2-b2再求出图2中图形的面积即可列得等式；（2）利用平方差公式分解因式后代入求值即可【详解】（1）图1中边长为a 的正方形的面积为：a2边长为b 的正方解析：B ； 94（1）先求出图1中剩余部分的面积为a 2-b 2，再求出图2中图形的面积即可列得等式； （2）利用平方差公式分解因式后代入求值即可．【详解】（1）图1中，边长为a 的正方形的面积为：a 2，边长为b 的正方形的面积为：b 2，∴图1中剩余部分面积为：a 2-b 2，图2中长方形的长为：a+b ，长方形的宽为：a-b ，∴图2长方形的面积为：（a+b ）（a-b ），故选：B ；（2）∵46x y +=，45x y -=，∴221664x y -+=(4)(4)64x y x y +-+=6564⨯+=94，故答案为：94．【点睛】此题考查几何图形中平方差公式的应用，利用平方差公式进行计算，掌握平方差计算公式是解题的关键．16．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x 是2，则经过2021次输出的结果是________．4【分析】根据第一次输出的结果是1第二次输出的结果是6…总结出每次输出的结果的规律求出2021次输出的结果是多少即可【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1把x=1代入得：1+5=6把x=6代入得：6解析：4【分析】根据第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是6，…，总结出每次输出的结果的规律，求出2021次输出的结果是多少即可．【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1，把x=1代入得：1+5=6，把x=6代入得：6÷2=3，把x=3代入得：3+5=8，把x=8代入得：8÷2=4，把x=4代入得：4÷2=2，把x=2代入得：2÷2=1，以此类推，∵2021÷6=336…5，∴经过2021次输出的结果是4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．17．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数是______，第n 个图形需要的黑色棋子的个数是______．（n 为正整数）【分析】根据题意分析可得第一个图形需要黑色棋子的个数为2×3-3第二个图形需要黑色棋子的个数为3×4-4第三个图形需要黑色棋子的个数为4×5-5依此类推可得第n 个图形需要黑色棋子的个数为计算可得答案解析：()2n n +【分析】根据题意分析可得第一个图形需要黑色棋子的个数为2×3-3，第二个图形需要黑色棋子的个数为3×4-4，第三个图形需要黑色棋子的个数为4×5-5，依此类推可得第n 个图形需要黑色棋子的个数为()()()122n n n ++-+，计算可得答案．【详解】解：观察图形可得：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3-3个，第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4-4个，第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5-5个，按照这样的规律下去：则第n 个图形需要黑色棋子的个数是()()()()1222n n n n n ++-+=+，∴当n=6时，()26848n n +=⨯=；故答案为48；()2n n +．【点睛】本题主要考查图形规律及整式乘法的应用，关键是根据图形得到一般规律，然后问题可求解．18．若2249x mxy y -+是一个完全平方式，则m =______【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值【详解】∵是一个完全平方式∴故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式的简单应用明确完全平方公式的基本形式是解题的关键解析：12±【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．【详解】∵2249x mxy y -+是一个完全平方式，∴22312m =±⨯⨯=±．故答案为：12±．【点睛】本题考查了完全平方公式的简单应用，明确完全平方公式的基本形式是解题的关键． 19．计算：32(2)a b -＝________．【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘根据法则计算即可【详解】=故答案为：【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘解析：624a b【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可．【详解】32(2)a b -=624a b ，故答案为：624a b ．【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．20．已知22m mn -=，25mn n -=，则22325m mn n +-=________．31【分析】由然后把代入求解即可【详解】解：由题意得：∴把代入得：原式=；故答案为31【点睛】本题主要考查代数式的值及整式的加减关键是对于所求代数式进行拆分然后整体代入求解即可解析：31【分析】由()()222232535m mn n m mn mn n+-=-+-，然后把22m mn -=，25mn n -=，代入求解即可．【详解】解：由题意得： ()()222232535m mn n m mn mn n +-=-+-，∴把22m mn -=，25mn n -=代入得：原式=325531⨯+⨯=；故答案为31．【点睛】本题主要考查代数式的值及整式的加减，关键是对于所求代数式进行拆分，然后整体代入求解即可． 三、解答题21．（1）因式分解：()222224x y x y +- （2）计算：()()()233323a b a b a b a b ⎡⎤----++÷-⎣⎦解析：（1）()()22x y x y -+；（2）9a【分析】 （1）先用平方差公式进行因式分解，然后再用完全平方公式进行因式分解；（2）整式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，如果有小括号先算小括号里面的．【详解】解：（1）()222224x y x y +- =()()222222x y xyx y xy +-++ =()()22x y x y -+（2）()()()233323a b a b a b a b ⎡⎤----++÷-⎣⎦=()222296923a ab b b a a b ⎡⎤++--÷-⎣⎦ =2222(96+9)23a ab b b a a b ++-÷-=2(186)23a ab a b +÷-=933a b b +-=9a【点睛】本题考查因式分解和整式的混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．22．图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于________．（2）观察图2，请你写出下列三个代数式2()a b +，2()a b -，ab 之间的等量关系为________．（3）运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且3=-mn ，4m n -=，试求m n +的值．（4）如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形，设8AB =，两正方形的面积和1226S S +=，求图中阴影部分面积．解析：（1）44a b -或者4()a b -；（2）22()()4a b a b ab -=+-；或22()()4a b a b ab +=-+；或224()()ab a b a b =+--；（3）2或2-；（4）192． 【分析】（1）直接写出边长：长边减短边=a-b ，进而可得周长； （2）根据阴影正方形的面积=大正方形的面积-4个长方形的面积解答，或利用大正方形的面积=阴影方形的面积+4个长方形的面积解答，或利用4个长方形的面积=大正方形的面积-阴影方形的面积解答；（3）根据22()()4a b a b ab +=-+求解即可；（4）设AC x =，BC y =，则21S x =，22S y =，由1226S S +=可得，2226x y +=，然后把8x y +=的两边平方求解即可．【详解】解：（1）由图可知，阴影部分正方形的边长为：a-b ，∴阴影部分的正方形的周长等于44a b -或者4()a b -，故答案为：44a b -或者4()a b -；（2）22()()4a b a b ab -=+-；或（22()()4a b a b ab +=-+；或224()()ab a b a b =+--；（3）∵3=-mn ，4m n -=，∴222()()444(3)16124m n m n mn +=-+=+⨯-=-=，∴2m n +=±，∴m n +的值为2或2-．（4）设AC x =，BC y =，则21S x =，22S y =，由1226S S +=可得，2226x y +=，而8x y AB +==， 而12S xy =阴影部分， ∵8x y +=，∴22264x xy y ++=，又∴2226x y +=，∴238xy =，∴13819242S xy ===阴影部分， 即，阴影部分的面积为192． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景，利用图形的面积是解决此题的关键，利用数形结合的思想，注意观察图形．23．阅读下面材料，完成任务．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算，先把多项式按照某个字母的降幂进行排列，缺少的项可以看做系数为零，然后类比多位数的除法利用竖式进行计算．∴26445123215÷= ∴()()32223133x x x x x +-÷-=++ 请用以上方法解决下列问题：（计算过程要有竖式）（1）计算：()()3223102x x x x +--÷- （2）若关于x 的多项式43225x x ax b +++能被二项式2x +整除，且a ，b 均为自然数，求满足以上条件的a ，b 的值．解析：（1）()()3222310245x x x x x x +--÷-=++；（2）0a =，8b =；1a =，4b =；2a =，0b =【分析】（1）直接利用竖式计算即可；（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．【详解】解：（1）列竖式如下：()()3222310245x x x x x x +--÷-=++ （2）列竖式如下：∵多项式43225x x ax b +++能被二项式2x +整除∴余式()420b a +-=∵a ，b 均为自然数∴0a =，8b =；1a =，4b =；2a =，0b =【点睛】此题考查利用竖式计算整式的除法，解题时要注意同类项的对应．24．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因2()0a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得222a b ab +≥．（当且仅当a b =时，取“=”）数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m ，n ，都存在2m n mn +≥m n =时，取“=”）并进一步发现，两个非负数m ，n 的和一定存在着个最小值．根据材料，解答下列问题：（1）22(3)(4)x y +≥________（0x >，0y >）；221x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭________（0x >）；（2）求312(0)4x x x+>的最小值； （3）已知2x >，当x 为何值时，代数式43201036x x ++-有最小值？并求出这个最小值．解析：（1）24xy ，2；（2）6；（3）83x =，最小值为2020 【分析】（1）根据阅读材料可得结论； （2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；（3）把已知代数式变形为4(36)201636x x -++-，再利用阅读材料介绍的方法即可得出结论．【详解】解：（1）∵0x >，0y >∴22(3)(4)x y +≥23424x y xy ⨯⨯=∵0x > ∴221x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭122x x ⨯⨯= 故答案为：24xy ，2（2）∵0x >时，12x ，34x 均为正数，∴31264x x +≥= ∴3124x x+的最小值是6 （3）当2x >时，3x ，36x -，436x -均为正数 ∴43201036x x ++-4(36)2016201636x x =-++≥-2016=2020= 当43636x x -=-时，即8433x =或（舍去）时，有最小值， ∴当83x =时，代数式43201036x x ++-的最小值是2020．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．25．已知2,3x y a a ==，求23x y a +的值解析：108【分析】首先根据已知条件可得a 2x 、a 3y 的值，然后利用同底数幂的乘法运算法则求出代数式的值．【详解】 解：2,3x y a a ==，∴()()23232323108x y xy a a a +=⨯=⨯=． 【点睛】 本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，利用性质转化为已知条件的形式是解题的关键．26．因式分解：（1）322242a a b ab -+（2）4481x y -解析：（1）22()a a b -；（2）22((3)(3)9)x y x y x y +-+．【分析】（1）先提公因式2a ，再利用完全平方公式进行分解222a ab b -+，即可得出结果；（2）原多项式先利用平方差公式分解为2222(9)(9)x y x y +-，再次利用平方差公式对229x y -进行分解即可．【详解】解：（1）322242a a b ab -+222(2)a a ab b =-+22()a a b =-，（2）4481x y -2222(9)(9)x y x y =+-22(93(3))()x y x y x y =+-+．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法并能结合多项式的特点准确分解是解题的关键．27．如果2()()41x m x n x x ++=+-．①填空：m n +=______，mn =______．②根据①的结果，求下列代数式的值：（1）225m mn n ++；（2）2()m n -．解析：①4，−1；②（1）13；（2）20【分析】①据多项式乘多项式的运算法则求解即可；②根据完全平方公式计算即可．【详解】①∵（x ＋m ）（x ＋n ）＝x 2＋（m ＋n ）x ＋mn ＝x 2＋4x−1，∴m ＋n ＝4，mn ＝−1．故答案为：4，−1；②（1）m 2＋5mn ＋n 2＝（m ＋n ）2＋3mn ＝42＋3×（−1）＝16−3＝13；（2）（m−n ）2＝（m ＋n ）2−4mn ＝42−4×（−1）＝16＋4＝20．【点睛】本题主要考查了完全平方公式以及多项式乘多项式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．28．如图，在长8cm ，宽5cm 的长方形塑料板的四个角剪去4个边长为 cm x 的小正方形，按折痕做一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积（塑料板的厚度忽略不计）．解析：()32342640cm x x x -+ 【分析】这个盒子的容积=边长为8-2x,5-2x 的长方形的底面积乘高 x ，把相关数值代入即可．【详解】解：由题意，得()()8252x x x --()24016104x x x x =--+()242640x x x =-+3242640x x x =-+，答：盒子的容积是()32342640cm x x x -+．【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，多项式乘多项式，解决本题的关键是找到表示长方体容积的等量关系．。

第十四章《整式的乘法与因式分解》专题练习目录专题1幂的运算性质的应用 (1)专题2 整式的运算及化简求值 (2)专题3 完全平方公式的变形 (4)专题4 乘法公式的应用 (5)专题5 因式分解 (6)第十四章整式的乘法与因式分解专题练习专题1幂的运算性质的应用类型1直接利用幂的运算性质进行计算1．计算：(1)a·a4＝；(2)(a5)2＝；(3)(－a4)3＝；(4)(2y2)3＝；(5)(ab3)2＝；(6)(－a2b3c)3＝；(7)(a2)3·a4＝；(8)(－3a)2·a3＝；(9)(a n b m＋4)3＝；(10)(－a m)5·a n＝．2．计算：(1)(－a2)3＋(－a3)2－a2·a3；(2)a·a2·a3＋(a3)2－(2a2)3；(3)－(－x2)3·(－x2)2－x·(－x3)3；(4)(－2x2)3＋(－3x3)2＋(x2)2·x2；(5)(－2x2y)3－(－2x3y)2＋6x6y3＋2x6y2.类型2逆用幂的运算性质3．已知a x＝－2，a y＝3.求：(1)a x＋y的值；(2)a3x的值；(3)a3x＋2y的值．4．计算：0.1252 019×(－82 020)．5．已知2a＝m，2b＝n，3a＝p(a，b都是正整数)，用含m，n或p的式子表示下列各式：(1)4a＋b；(2)6a.专题2整式的运算及化简求值类型1整式的化简1．计算：(1)(－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2；(2)(3x－1)(2x＋1)；(3)(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)；(4)(x－1)(x2＋x＋1)．2．计算：(1)21x2y4÷3x2y3；(2)(8x3y3z)÷(－2xy2)；(3)a 2n ＋2b 3c÷2a n b 2； (4)－9x 6÷13x 2÷(－x 2)．3．计算：(1)(－2a 2b 3)·(－ab)2÷4a 3b 5； (2)(－5a 2b 4c 2)2÷(－ab 2c)3.4．计算：(1)[x(x 2y 2－xy)－y(x 2－x 3y)]÷x 2y ； (2)(23a 4b 7－19a 2b 6)÷(－16ab 3)2. 5．计算：(1)(－76a 3b)·65abc ； (2)(－x)5÷(－x)－2÷(－x)3；(3)6mn 2·(2－13mn 4)＋(－12mn 3)2； (4)5x(x 2＋2x ＋1)－(2x ＋3)(x －5)．类型2 直接代入进行化简求值 6．先化简，再求值：(1)(1＋x)(1－x)＋x(x ＋2)－1，其中x ＝12；(2)(a ＋b)(a －2b)－(a ＋2b)(a －b)，其中a ＝－2，b ＝23；(3)(x ＋7)(x －6)－(x －2)(x ＋1)，其中x ＝2 0180.(4)(2a ＋3b)(3a －2b)－5a(b ＋1)－6a 2，其中a ＝－12，b ＝2.类型3 利用整体带入进行化简求值7．先化简，再求值：(2＋a)(2－a)＋a(a －5b)＋3a 5b 3÷(－a 2b)2，其中ab ＝－12.8．若x2＋4x－4＝0，求3(x－1)(x－3)－6(x＋1)(x－1)的值．专题3 完全平方公式的变形教材母题：已知a ＋b ＝5，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：∵a ＋b ＝5，ab ＝3，∴(a ＋b)2＝25，即a 2＋2ab ＋b 2＝25. ∴a 2＋b 2＝25－2ab ＝25－6＝19.【变式1】若a ＋b ＝3，a 2＋b 2＝7，则ab ＝( )A ．2B ．1C ．－2D ．－1【变式2】已知实数a ，b 满足a ＋b ＝2，ab ＝34，则a －b ＝( )A ．1B ．－52C ．±1D ．±52【变式3】已知a 2＋b 2＝13，(a －b)2＝1，则(a ＋b)2＝ ．【变式4】阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2，通过配方可对a 2＋b 2进行适当的变形，如a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab 或a 2＋b 2＝(a －b)2＋2ab.(1)若|x －y －5|＋(xy －6)2＝0，则x 2＋y 2的值为 ； (2)已知a －b ＝2，ab ＝3，求a 4＋b 4的值． 解题技巧：（1）a 2＋b 2的变形：(1)a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ；(2)a 2＋b 2＝(a －b)2＋2ab ；(3)a 2＋b 2＝12[(a ＋b)2＋(a －b)2]．（2）ab 的变形：(1)ab ＝12[(a ＋b)2－(a 2＋b 2)]；(2)ab ＝12[(a 2＋b 2)－(a －b)2]；(3)ab ＝14[(a ＋b)2－(a －b)2]．（3）(a±b)2的变形：(1)(a ＋b)2＝(a －b)2＋4ab ； (2)(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab.练习：1．已知a ，b 都是正数，a －b ＝1，ab ＝2，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．3C ．±3D ．92．已知x 2＋y 2＝25，x ＋y ＝7.(1)求xy 的值； (2)若y ＞x ，求x －y 的值．3．已知(m －53)(m －47)＝24，求(m －53)2＋(m －47)2的值．4．(1)请同学们观察用硬纸片拼成的图形(如图)，根据图形的面积关系，写出一个代数恒等式；(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题： ①若m ＋n ＝8，mn ＝12，求m －n 的值；②已知(2m ＋n)2＝13，(2m －n)2＝5，请利用上述等式求mn.专题4乘法公式的应用类型1直接运用乘法公式计算求值1．计算：(1)(2x＋5y)2；(2)(3m－n)(－3m－n)；(3)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)；(4)(3x－2y)2(3x＋2y)2.2．先化简，再求值：(1)(3＋x)(3－x)＋(x＋1)2，其中x＝2；(2)(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)，其中m满足m2＋m－2＝0；(3)(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中x＝－2，y＝1 2.类型2 运用乘法公式进行简便计算 3．用简便方法计算：(1)2 0192－2 018×2 020； (2)50120×491920；(3)2012－401； (4)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1.专题5 因式分解类型1 运用提公因式法因式分解 1．分解因式：(1)3ab 2＋a 2b ＝ ； (2)2a 2－4a ＝ ；(3)m(5－m)＋2(m －5)＝ ； (4)5x(x －2y)3－20y(2y －x)3＝ ． 类型2 运用公式法因式分解 2．分解因式：(1)4x 2－25＝ ； (2)a 2＋4a ＋4＝ ． 3．因式分解：(1)(2x＋3)2－(x－1)2；(2)(x－1)2－6(x－1)＋9.类型3先提公因式后运用公式法因式分解4．分解因式：(1)x2y－9y＝；(2)ax3－axy2＝．5．因式分解：(1)－4x3＋8x2－4x；(2)3m(2x－y)2－3mn2.类型5运用特殊方法因式分解方法1十字相乘法阅读理解：由多项式乘法：(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．问题解决：分解因式：(1)x2＋5x＋4＝；(2)x2－6x＋8＝；(3)x2＋2x－3＝；(4)x2－6x－7＝．拓展训练：分解因式：(1)2x2＋3x＋1＝；(2)3x2－5x＋2＝．方法2分组分解法【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例)”，也可以是“三、一(或一、三)分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋)－(b3＋)＝a2( )－(a＋b)＝(a＋b)＝．【我也可以】分解因式：4x2－2x－y2－y.拓展训练：已知a，b，c为△ABC的三边，若a2＋b2＋2c2－2ac－2bc＝0，试判断△ABC 的形状．参考答案：专题1幂的运算性质的应用1．(1)a5；(2)a10；(3)－a12；(4)8y6；(5)a2b6；(6)－a6b9c3；(7)a10；(8)9a5；(9)a3n b3m＋12；(10)－a5m＋n．2．(1)(－a2)3＋(－a3)2－a2·a3；解：原式＝－a6＋a6－a5＝－a5.(2)a·a2·a3＋(a3)2－(2a2)3；解：原式＝a6＋a6－8a6＝－6a6.(3)－(－x2)3·(－x2)2－x·(－x3)3；解：原式＝x6·x4＋x10＝2x10.(4)(－2x2)3＋(－3x3)2＋(x2)2·x2；解：原式＝－8x6＋9x6＋x6＝2x6.(5)(－2x2y)3－(－2x3y)2＋6x6y3＋2x6y2.解：原式＝－8x6y3－4x6y2＋6x6y3＋2x6y2＝－2x6y3－2x6y2.3．解：(1)a x＋y＝a x·a y＝－2×3＝－6.(2)a3x＝(a x)3＝(－2)3＝－8.(3)a3x＋2y＝(a3x)·(a2y)＝(a x)3·(a y)2＝(－2)3·32＝－8×9＝－72.4．解：原式＝(18)2 019×(－82 019×8) ＝(18)2 019×(－82 019)×8 ＝－(18×8)2 019×8 ＝－1×8＝－8.5．解：(1)4a ＋b ＝4a ·4b＝(22)a ·(22)b＝(2a )2·(2b )2＝m 2n 2.(2)6a ＝(2×3)a＝2a ×3a＝mp.专题2 整式的运算及化简求值1．(1)(－2a 2)·(3ab 2－5ab 3)＋8a 3b 2；解：原式＝－6a 3b 2＋10a 3b 3＋8a 3b 2＝2a 3b 2＋10a 3b 3.(2)(3x －1)(2x ＋1)；解：原式＝6x 2＋3x －2x －1＝6x 2＋x －1.(3)(2x ＋5y)(3x －2y)－2x(x －3y)；解：原式＝6x 2＋11xy －10y 2－2x 2＋6xy＝4x 2＋17xy －10y 2.(4)(x －1)(x 2＋x ＋1)．解：原式＝x 3＋x 2＋x －x 2－x －1＝x 3－1.2．(1)21x 2y 4÷3x 2y 3；解：原式＝(21÷3)·x 2－2·y 4－3＝7y.(2)(8x 3y 3z)÷(－2xy 2)；解：原式＝[8÷(－2)]·(x 3÷x)·(y 3÷y 2)·z＝－4x 2yz.(3)a 2n ＋2b 3c÷2a n b 2；解：原式＝(1÷2)·(a 2n ＋2÷a n )·(b 3÷b 2)·c＝12a n ＋2bc. (4)－9x 6÷13x 2÷(－x 2)． 解：原式＝[－9÷13÷(－1)]·(x 6÷x 2÷x 2)＝27x 2.3．(1)(－2a 2b 3)·(－ab)2÷4a 3b 5；解：原式＝(－2a 2b 3)·a 2b 2÷4a 3b 5＝(－2a 4b 5)÷4a 3b 5＝－12a.(2)(－5a 2b 4c 2)2÷(－ab 2c)3.解：原式＝25a 4b 8c 4÷(－a 3b 6c 3)＝－25ab 2c.4．(1)[x(x 2y 2－xy)－y(x 2－x 3y)]÷x 2y ；解：原式＝(x 3y 2－x 2y －x 2y ＋x 3y 2)÷x 2y＝(2x 3y 2－2x 2y)÷x 2y＝2xy －2.(2)(23a 4b 7－19a 2b 6)÷(－16ab 3)2.解：原式＝(23a 4b 7－19a 2b 6)÷136a 2b 6＝23a 4b 7÷136a 2b 6－19a 2b 6÷136a 2b 6＝24a 2b －4.5．(1)(－76a 3b)·65abc ；解：原式＝－75a 3＋1b 1＋1c＝－75a 4b 2c.(2)(－x)5÷(－x)－2÷(－x)3；解：原式＝(－x)5－(－2)－3＝(－x)4＝x 4.(3)6mn 2·(2－13mn 4)＋(－12mn 3)2； 解：原式＝12mn 2－2m 2n 6＋14m 2n 6 ＝12mn 2－74m 2n 6. (4)5x(x 2＋2x ＋1)－(2x ＋3)(x －5)．解：原式＝5x 3＋10x 2＋5x －(2x 2－7x －15)＝5x 3＋10x 2＋5x －2x 2＋7x ＋15＝5x 3＋8x 2＋12x ＋15.6．(1)(1＋x)(1－x)＋x(x ＋2)－1，其中x ＝12； 解：原式＝1－x ＋x －x 2＋x 2＋2x －1＝2x.当x ＝12时，原式＝2×12＝1. (2)(a ＋b)(a －2b)－(a ＋2b)(a －b)，其中a ＝－2，b ＝23； 解：原式＝a 2－ab －2b 2－(a 2＋ab －2b 2)＝a 2－ab －2b 2－a 2－ab ＋2b 2＝－2ab.当a ＝－2，b ＝23时，原式＝(－2)×(－2)×23＝83. (3)(x ＋7)(x －6)－(x －2)(x ＋1)，其中x ＝2 0180.解：原式＝x 2－6x ＋7x －42－x 2－x ＋2x ＋2＝2x －40. 由题意知x ＝1.原式＝2－40＝－38.(4)(2a ＋3b)(3a －2b)－5a(b ＋1)－6a 2，其中a ＝－12，b ＝2. 解：原式＝6a 2＋5ab －6b 2－5ab －5a －6a 2＝－6b 2－5a.当a ＝－12，b ＝2时， 原式＝－6×22－5×(－12) ＝－24＋52＝－2112. 7．解：原式＝4－2a ＋2a －a 2＋a 2－5ab ＋3a 5b 3÷a 4b 2＝4－2ab.当ab ＝－12时，原式＝4－2×(－12)＝5. 8．解：原式＝3x 2－12x ＋9－6x 2＋6＝－3x 2－12x ＋15＝－3(x 2＋4x)＋15.∵x 2＋4x －4＝0，∴x 2＋4x ＝4.∴原式＝－3×4＋15＝3.专题3完全平方公式的变形【变式1】B【变式2】C【变式3】25．【变式4】(1)37；(2)解：a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝4＋6＝10，a4＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＝102－2×32＝82. 1．B2．解：(1)xy＝12[(x＋y)2－(x2＋y2)]＝12×(72－25)＝12.(2)(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝72－4×12＝1.∵y＞x，∴x－y<0.∴x－y＝－1.3．解：(m－53)2＋(m－47)2＝[(m－53)－(m－47)]2＋2(m－53)(m－47)＝(－6)2＋48＝84.4．解：(1)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.(2)①∵(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝82－4×12＝16，∴m－n＝4或－4.②∵(2m＋n)2－(2m－n)2＝4×(2m·n)＝8mn，∴8mn＝13－5＝8.∴mn＝1.专题4乘法公式的应用1．(1)(2x＋5y)2；解：原式＝4x2＋20xy＋25y2.(2)(3m－n)(－3m－n)；解：原式＝n2－9m2.(3)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)；解：原式＝[(x＋2y)(x－2y)](x2－4y2)＝(x2－4y2)(x2－4y2)＝x4－8x2y2＋16y4.(4)(3x－2y)2(3x＋2y)2.解：原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2＝(9x2－4y2)2＝81x4－72x2y2＋16y4.2．(1)(3＋x)(3－x)＋(x＋1)2，其中x＝2；解：原式＝9－x2＋x2＋2x＋1＝2x＋10.当x＝2时，原式＝2×2＋10＝14.(2)(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)，其中m满足m2＋m－2＝0；解：原式＝4m2－1－(m2－2m＋1)＋8m3÷(－8m)＝4m2－1－m2＋2m－1－m2＝2m2＋2m－2＝2(m2＋m－1)．∵m2＋m－2＝0，∴m2＋m＝2.∴原式＝2×(2－1)＝2.(3)(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中x＝－2，y＝1 2.解：原式＝(x2＋4xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)－(x2－4y2)－4y2＝x2＋4xy＋4y2－x2＋4xy－4y2－x2＋4y2－4y2＝－x2＋8xy.当x ＝－2，y ＝12时， 原式＝－(－2)2＋8×(－2)×12＝－12. 3．(1)2 0192－2 018×2 020；解：原式＝2 0192－(2 019－1)×(2 019＋1) ＝2 0192－(2 0192－1)＝1.(2)50120×491920； 解：原式＝(50＋120)×(50－120) ＝502－(120)2 ＝2 500－1400＝2 499399400. (3)2012－401；解：原式＝(200＋1)2－401＝2002＋2×200×1＋12－401＝40 000.(4)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1.解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)＋1＝28－1＋1＝256.专题5因式分解1．(1)ab(3b＋a)；(2)2a(a－2)；(3)(m－2)(5－m)；(4)5(x－2y)3(x＋4y)．2．分解因式：(1)4x2－25＝(2x＋5)(2x－5)；(2)a2＋4a＋4＝(a＋2)2．3．(1)(2x＋3)2－(x－1)2；解：原式＝(2x＋3＋x－1)(2x＋3－x＋1)＝(3x＋2)(x＋4)．(2)(x－1)2－6(x－1)＋9.解：原式＝(x－4)2.4．(1)y(x＋3)(x－3)；(2)ax(x＋y)(x－y)．5．(1)－4x3＋8x2－4x；解：原式＝－4x(x2－2x＋1)＝－4x(x－1)2.(2)3m(2x－y)2－3mn2.解：原式＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n)．类型5方法1十字相乘法(1)(x＋1)(x＋4)；(2)(x－2)(x－4)；(3)(x＋3)(x－1)；(4)(x－7)(x＋1)．拓展训练：(1)(2x＋1)(x＋1)；(2)(x－1)(3x－2)．方法2分组分解法【跟着学】a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b)－(b3＋ab2)＝a2(a＋b)－b2(a＋b)＝(a2－b2)(a＋b)＝(a－b)(a＋b)2．【我也可以】解：原式＝(4x2－y2)－(2x＋y)＝(2x－y)(2x＋y)－(2x＋y)＝(2x＋y)(2x－y－1)．拓展训练：解：∵a2＋b2＋2c2－2ac－2bc＝0，∴a2＋c2－2ac＋b2＋c2－2bc＝0，即(a－c)2＋(b－c)2＝0.∴a－c＝0且b－c＝0，即a＝c且b＝c.∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．。