甘肃省岷县一中2018_2019学年高二数学上学期期中试题(含答案)

岷县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．直线在平面外是指（）A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行D．直线与平面最多只有一个公共点2．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）ABCD3．已知向量=（1，），=（，x）共线，则实数x的值为（）A．1 B．C．tan35°D．tan35°4．（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．5． 有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36． 等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15=45，则a 8等于（ ）A ．B ．6C ．D ．37． 设集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，N={x|log 2x ＜0}，则M ∩N 等于（ ）A ．（﹣1，0）B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．（1，3）8． 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．2509． 设x ，y 满足线性约束条件，若z=ax ﹣y （a ＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a的值为（ ）A ．2B ．C ．D ．310．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案11．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知a =b =6A π∠=，则B ∠=（ ）111]A ．4π B ．4π或34π C ．3π或23π D ．3π12．在二项式的展开式中，含x 4的项的系数是（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣5D ．5二、填空题13．抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 2：交于A ，B 两点，C 1与C 2的两条渐近线分别交于异于原点的两点C ，D ，且AB ，CD 分别过C 2，C 1的焦点，则= ．14．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ． 15．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．16．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．17．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是 ．18．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足AB =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.三、解答题19．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AB=2，（1）证明：BC 1∥平面A 1CD ；（2）求异面直线BC 1和A 1D 所成角的大小； （3）求三棱锥A 1﹣DEC 的体积．20． 定圆22:(16,M x y +=动圆N 过点0)F 且与圆M 相切,记圆心N 的轨迹为.E （Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点,,A B C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC BC =,当ABC ∆的面积最小时，求直线AB 的方程.21．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利总额y 元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为0．（i）求实数a的值；（ii）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=f（a n）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求证：n＞1时[a n]=2．23．在中，，，.（1）求的值;（2）求的值。

2018-2019学年高二期中考试数学学科试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1.命题“”的否定是▲．2.直线的倾斜角的大小是▲．3.“”是“”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”“既不充分也不必要”之一）.4.平行于直线且与圆相切的直线的方程▲ .5.若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的标准方程为_____▲____.6.点是直线上的动点，点是圆上的动点，则线段长的最小值为▲.7.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A—A1EF的体积是▲．8.若将一圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥体积为__▲．9.椭圆焦点为,为椭圆上一点，且,则的面积为▲．10.已知是不同的平面，是不同的直线，给出下列4个命题：①若则②若则③若则；④若则则其中真命题为▲ .11.若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为▲.12.在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是▲．13.在平面直角坐标系中，若直线上存在一点P，圆上存在一点Q,满足,则实数k的取值范围是___▲_.14.设椭圆的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点，连接并延长交椭圆于点，过三点的圆的圆心为.若为圆的切线，则椭圆的离心率▲.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．FEPADCB15．(本小题满分14分)已知命题P：“方程表示焦点在y轴上的椭圆”；命题Q：“方程表示圆心在第一象限的圆”．若P∧Q假，P∨Q为真，求实数m的取值范围．16．（本题满分14分）如图，在三棱锥P错误！未找到引用源。

岷县一中2018—2019学年第一学期期末试卷高二数学(文科)一、选择题（每小题5分,共60分）1.ABC ∆中，1,30a b A ===，则B =A. 60B. 60或120C. 30或150D. 120【答案】B 【解析】试题分析：根据正弦定理，,得：,解得,所以或,故选B. 考点：正弦定理2.“1x ≠”是“2320x x -+≠”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先判断“x 2﹣3x +2＝0”是“x ＝l ”的必要不充分条件，再根据原命题与逆否命题的真假关系得到结论. 【详解】由x 2﹣3x +2＝0，不一定得到x ＝l ，还可能x ＝2，反之，若x ＝l ，肯定能得到x 2﹣3x +2＝0，所以“x 2﹣3x +2＝0”是“x ＝l ”的必要不充分条件，又原命题与逆否命题等价，所以“1x ≠”是“2320x x -+≠”的必要不充分条件. 故选B.【点睛】本题考查了原命题与逆否命题真假关系的等价性，考查了充要条件的判定，属于基础题． 3.已知等差数列{}n a 满足244a a +=则它的前5项的和5S =（ ） A. 30 B. 5C. 10D. 50【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出． 【详解】∵a 2+a 4＝4， ∴a 1+a 5＝a 2+a 4＝4， 则它的前5项的和S 5()1552a a +==5×2＝10．故选C ．【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A. (,2)-∞- B. (,1)-∞ C. (1,)+∞ D. (4,)+∞【答案】D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,() y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.5.若p q ∧是假命题，则（ ） A. p 是真命题，q 是假命题 B. ,p q 均为假命题 C. ,p q 至少有一个是假命题 D. ,p q 至少有一个是真命题【答案】C 【解析】试题分析：当p 、q 都是真命题p q ⇔Λ是真命题，其逆否命题为：p q Λ是假命题⇔p 、q 至少有一个是假命题，可得C 正确. 考点： 命题真假的判断.6.椭圆2255x ky +=的一个焦点是()0,2，那么实数k 的值为（ ） A. 1 B.53C. 1-D. ±1【答案】A 【解析】 【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a 与b 的值，然后根据a 2＝b 2+c 2，表示出c ，并根据焦点坐标求出c 的值，两者相等即可列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值．【详解】把椭圆方程化为标准方程得：x 225y k+=1， 因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y 轴上， 则c ==2，解得k ＝1． 故选A ．【点睛】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质的应用，属于基础题.7.若变量x,y 满足约束条件1{325x y x x y ≥-≥+≤则z=2x+y 的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ，经过点A 时，z 取得最大．由得A (1,1)．∴z max ＝2×1＋1＝3. 【此处有视频，请去附件查看】8.双曲线2228x y -=的实轴长是（ ）A. 2B. 4C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a 的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【详解】根据题意，双曲线方程为：2x 2﹣y 2＝8，则其标准方程为：2248x y -=1，其中a ==2，则其实轴长2a ＝4； 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意要将方程变形为标准方程，属于基础题. 9.设圆C 与圆x 2+（y ﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C 的圆心轨迹为（ ） A. 抛物线 B. 双曲线C. 椭圆D. 圆【答案】A 【解析】试题分析：由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．解：设C 的坐标为（x ，y ），圆C 的半径为r ，圆x 2+（y ﹣3）2=1的圆心为A ，∵圆C 与圆x 2+（y ﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C 到直线y=0的距离d=r ∴|CA|=d+1，即动点C 定点A 的距离等于到定直线y=﹣1的距离 由抛物线的定义知：C 的轨迹为抛物线． 故选A点评：本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题． 【此处有视频，请去附件查看】10.给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形； ③∀x ∈R ，x 2﹣2x ＞0； ④∃x ∈R ，2x +1为奇数； 以上命题的否定为真命题的序号依次是 （ ） A. ①④ B. ②④C. ①②③④D. ③【答案】D 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定原命题和命题的否定真假相反分别进行判断即可． 【详解】①有理数是实数命题正确，则命题的否定为假命题； ②有些平行四边形不是菱形，为真命题，则命题的否定是假命题；③∀x ∈R ，x 2﹣2x ＞0为假命题，当x ＝0时，不等式不成立，则命题的否定是真命题； ④∃x ∈R ，2x +1为奇数为真命题，则命题的否定是假命题； 故满足条件的序号是③，故选D ．【点睛】本题主要考查命题的否定以及命题的真假判断．先判断原命题的真假是解决本题的关键． 11.若A 点的坐标为(3,2)，F 为抛物线22y x =的焦点P 点在抛物线上移动，为使PA PF +取得最小值，P 点的坐标应为（ ）A. (3,3)B. (2,2)C. 1(,1)2D. (0,0)【答案】B【解析】 由P 向准线12x =-作垂线，垂足为M ，由抛物线的定义，PF PM = 再由定点A 向准线作垂线，垂足为N ，那么点P 在该抛物线上移动， 则PA PF PA PM AN +=+≥，当且仅当A P ，，N 三点共线时取得最小值17322AN ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 此时P 的纵坐标为2，横坐标为2则P 点的坐标为()22，故选B点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的简单性质，由抛物线的定义，PF PM =，把PA PF +转化为PA PM +，当A P ，，N 三点共线时，取得最小值17322AN ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，可以求得P 的纵坐标为2，横坐标为2，从而得到P 点的坐标12.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A B 、两点，若△2ABF 为正三角形，则该椭圆的离心率e 为( )A.12C.13【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的对称性得到2130AF F ︒∠=，结合21122cos30tan 3022c AF AF c AF AF a ︒︒⎧⎪⎪⎪⎨==+=⎪⎪⎪⎩化简即可求解.【详解】由椭圆对称性质，可知12F F 平分角2AF B ，则2130AF F ︒∠=，由于122F F c =且122AF AF a+=代入到21122cos30tan 3022c AF AF c AF AF a ︒︒⎧⎪⎪⎪⎨==+=⎪⎪⎪⎩，可求得123AF AF c e a ===⎧⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩．故本题正确答案为D ．【点睛】本题主要考查了椭圆离心率的求法，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.不等式204x x -<+的解集是 ． 【答案】{}42x x -<< 【解析】 【分析】先将分式不等式化为一元二次不等式，再根据一元二次不等式的解法解不等式即可． 【详解】∵204x x -<+， ∴（x ﹣2）（x +4）＜0， ∴-4＜x ＜2，即不等式的解集为{x |-4＜x ＜2}． 故答案为{}42x x -<<.【点睛】本题主要考查分式不等式及一元二次不等式的解法，比较基础．14.双曲线22145x y -=的一个焦点F 到其渐近线的距离为__________.【解析】 【分析】由双曲线方程，得到焦点坐标为（±3，0），渐近线为y ＝．由点到直线的距离公式进行计算，结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点F 到其渐近线的距离．【详解】∵双曲线方程为22145x y -=∴双曲线的焦点坐标为（±3，0） 渐近线为y ＝±2x，即2x ±y ＝0 可得焦点F 到其渐近线的距离为d 3==．【点睛】本题考查了点到渐近线的距离，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．15.设,x y 都是正数， 且191x y+=,则x y +的最小值为________. 【答案】16 【解析】试题分析：使用基本不等式时，要注意“一正，二定，三相等”，否则就不成立．另外注意使用含绝对值不等式性质的应用． 详解：x+y=（x+y ）×1=（x+y ）×（19x y +）=1+9+y 9x x y +3=16，当且仅当3y x =时取等号，故（x+y ）min =16，点睛：本题考查了基本不等式及含绝对值不等式性质的应用，熟练掌握以上知识（特别是等号成立的条件）是解决问题的关键．本题还考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.16.若函数322()2f x ax x a x =-+在1x =处有极小值，则实数a 等于__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由f （x ）＝ax 3﹣2x 2+a 2x ，知f ′（x ）＝3ax 2﹣4x +a 2，由f （x ）x ＝1处取得极小值，知f ′（1）＝3a ﹣4+a 2＝0，由此能求出a ，再根据条件检验即可.【详解】∵f （x ）＝ax 3﹣2x 2+a 2x ，∴f ′（x ）＝3ax 2﹣4x +a 2，∵f （x ）＝ax 3﹣2x 2+a 2x 在x ＝1处取得极小值， ∴f ′（1）＝3a ﹣4+a 2＝0， 解得a ＝1或a ＝﹣4，又当a =-4时，f ′（x ）＝-12x 2﹣4x +16=-4（x-1）(3x+4)，此时f （x ）在（413-，）上单增，在（1，∞+）上单减，所以x =1时取得极大值，舍去；又a =1时，f ′（x ）＝3x 2﹣4x +1=（x-1）(3x-1)，此时f （x ）在（113，）上单减，在（1，∞+）上单增，符合在x ＝1处取得极小值， 所以a ＝1． 故答案为1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值的问题，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．易错点是容易产生增根．三、解答题 （第17题10分，其余各题12分，共70分）17.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =. (1)求角B 的大小；(2)若a =，5c =，求b .【答案】（1）6B π=；（2）b =【解析】 【分析】（1）由a =2bsin A ，利用正弦定理得sinA =2sinBsinA ，从而sinB =12，由此能求出B ； （2）由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accosB ，由此能求出b ．【详解】(1)∵锐角三角形ABC 的内角A . B . C 的对边分别为a 、b 、c ，a =2bsinA . ∴sinA =2sinBsinA ，∵角A 是△ABC 的内角,∴sinA ≠0,∴sinB =12，∵△ABC 是锐角三角形,∴B =6π. (2)∵a =，5c =，B =6π. ∴b 2=a 2+c 2-2accosB=27+25−2×5×cos 6π=7.解得b =.【点睛】余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.已知等差数列{}n a 满足62413,14a a a =+=,设{}n a 的前n 项和为n S . （1）求{}n a 通项公式； （2）求n S .【答案】（1）21n a n =+；（2）22n S n n =+.【解析】 【分析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 6＝13，a 2+a 4＝14，可得a 1+5d ＝13，2a 1+4d ＝14，联立解得a 1，d ，即可得出；(2)利用等差数列的求和公式直接求解即可．【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 6＝13，a 2+a 4＝14， ∴a 1+5d ＝13，2a 1+4d ＝14， 联立解得a 1＝3，d ＝2，（1）∴a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1． （2）S n ()3212n n ++==n 2+2n ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）坐标轴为对称轴，并且经过两点 ()0,2A和12B ⎛⎝；。

2018—2019学年第一学期期中考试高二数学(时间：120分钟 总分：150分一.选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分）1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于 （ ）A.99B.100C.96D.1012.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ）A ．21 B ．23 C.1 D.33.已知0x >，函数9y x x=+的最小值是 （ ） A ．6 B ．4 C ．8 D ．5 4..命题"若4πα=,则tan 1α="的逆否命题是 ( )A.若4πα≠,则tan 1α≠ B.若4πα=,则tan 1α≠C.若tan 1α≠,则4πα≠D.若tan 1α≠,则4πα=5.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.一解或两解 C.两解 D.无解6.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ） A.32 B.41- C.31- D.32- 7.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为72，则前3n 项和为（ ） A.63 B.74 C.75 D.848.在ABC ∆中，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形9.设,x y 满足约束条件70,310,350,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为 （ ）A.10B.3C.8D.210.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （ ） A ．8 B ．7 C.6 D.5 11.不等式1021x x -≤+的解集为( ) A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121， C. [)+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121, D.[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,12．已知数列{}n a 为等差数列，若11011-<a a ，且它们的前n 项和n s 有最大值，则使得0>n s 最大值n 为 ( )A ．11B ．19C ．20D ．21 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.0,>y x ，且满足2=+y x ，则yx 11+的最小值为 . 14.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且,2=a 41cos -=C ，3sin 2sin A B =,则c =________.15.数列}{n a 满足12a =，112n n na a --=，则n a = . 16.面积为定值S 的扇形中，当半径为 时，扇形周长最小.三．解答题（本题共6小题，其中17题10分，其余均为12分，满分70分） 17.(本小题10分)求下列不等式的解集：（1）22730x x ++>； （2）2830x x -+->.18.(本小题12分)如图D 是ABC ∆边BC 上一点AB AD =,记,,CAD ABC αβ∠=∠=且sin cos 20αβ+=，若AC =,求β的值.19.(本小题12分)已知数列}{n a 的前n 项和22n n nS +=.(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)求数列11{}n n a a +⋅的前n 项和n T .20. (本小题12分)已知函数xax x x f 1)(2+-=.若对任意[)1,,()0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围.21.(本小题12分)在ABC ∆中,若cos (2)cos b C a c B =-. (1)求角B ；(2)若4,b a c =+=求ABC ∆的面积.22.（本小题12分) 已知首项都是1的两个数列{}{}(),0,n n n a b b n N *≠∈,满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=.(1)令nn na cb =,求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b -=,求数列{}n a 的前n 项和n S .答案选择题BBACC BDADD CB 三．填空题 13.2 14.4 15.51()22n- 16.S 三．解答题17.（1）1|2x x ⎧>-⎨⎩或}3x <-.（2）{|44x x <<18.在ADC ∆中由正弦定理得,sin ,sin sin()sin DC AC DC βααπβα=∴=∴=-又2sin cos 2,sin 22sin ),αββββ=-∴==-解得sin β=或sin β=0,sin 23ππβββ<<∴=∴=19. n a n =，1n nS n =+.20.在区间[)1,+∞上01)(2>+-=x ax x x f 恒成立等价于012>+-ax x 恒成立.则x x a 1+<，在区间[)1,+∞上21≥+xx （当1=x 时去等号） ∴2<a21.(1)由已知及正弦定理得sin cos 2sin cos cosBsinC.2sin cos sin cos cosBsinC sin(B C).B C A B A B B C =-∴=+=+又在中，即在中，,又.(2)又又22.(1).因为,所以,即. 所以数列是以首项,公差的等差数列,故.(2).由知,于是数列前项和①①得,②①-②得所以.。

2018-2019学年高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）双曲线﹣=1的焦距为．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为．4．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．5．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．6．（5分）点A（4，5）关于直线l的对称点为B（﹣2，7），则l的方程为．7．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为．8．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是．9．（5分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）10．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．11．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．12．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为．14．（5分）若点（x，y）在双曲线﹣y2=1上，则3x2﹣2xy的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；（1）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C：+=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点．若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．17．（14分）如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，三角形ABC外接圆的圆心为M．（1）求BC边所在直线方程；（2）求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，求该直线被圆M截得的弦长．18．（16分）已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点．（1）若离心率为，求椭圆的方程；（2）当•＜7时，求椭圆离心率的取值范围．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l 交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）双曲线﹣=1的焦距为8．【分析】由双曲线的标准方程可知：a2=9，b2=7，则c2=a2+b2=16，即可求得c，则焦距为2c=8．【解答】解：由双曲线﹣=1可知：a2=9，b2=7，则c2=a2+b2=16，∴c=4，焦距2c=8，故答案为：8．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单性质，属于基础题．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．（5分）直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为﹣1．【分析】由于l2的斜率存在，因此l1∥l2⇔且截距不等．即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴，化为a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或﹣1．当a=3时，l1与l2重合，应舍去．因此a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，属于基础题．4．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．【分析】通过圆的方程求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长的关系，求出直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0化为（x﹣2）2+（y+2）2=2，所以圆的圆心坐标（2，﹣2），半径为：，圆心到直线x﹣y﹣5=0的距离为：d==．圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为：=．所以弦长为：．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，解题比较简洁，可以利用直线与圆的方程联立方程组，求解弦长，比较麻烦．5．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为2．【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设所求点坐标为M（x，y）作MQ⊥l于Q根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离即x+1=3，解之得x=2，代入抛物线方程求得y=±4故点M坐标为：（2，y）即点M到y轴的距离为2故答案为：2．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．6．（5分）点A（4，5）关于直线l的对称点为B（﹣2，7），则l的方程为3x ﹣y+3=0．【分析】先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程．【解答】解：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线．A、B的中点坐标（1，6），AB的斜率为：中垂线的斜率为：3则l的方程为：y﹣6=3（x﹣1）即：3x﹣y+3=0故答案为：3x﹣y+3=0【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查计算能力，是基础题．7．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4．【分析】由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，可得c=，可得右焦点F（c，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．利用=c即可得出．【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，∴c==2，∴右焦点F（2，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．∴=2，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是2＜r＜8．【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系，【解答】解：圆x2+y2=9的圆心（0，0），半径为3，圆x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）的圆心（﹣4，3），半径为：r，因为圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，所以，解得2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．【点评】本题考查两个圆的位置关系，通过圆心距在半径差与半径和之间求解，也可以联立方程组，利用判别式解答．9．（5分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的充分不必要条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）【分析】求解a2＞2a，得出a＞2或a＜0，根据充分必要的定义判断即可得出答案．【解答】解：∵a2＞2a，∴a＞2或a＜0，根据充分必要的定义判断：“a＞2”是“a2＞2a”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可．10．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．11．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定a的取值范围．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．12．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为．【分析】设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a，b，由此能求出椭圆方程．【解答】解：∵个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），∵P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴，且a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=，∴椭圆方程为．故答案为：．【点评】本题考是椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．可得+=1，+=1，相减可得：+=0，利用中点坐标公式、斜率计算公式及其•k=，即可得出，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．∵+=1，+=1，相减可得：+=0，把x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，=k代入可得：+=0，又•k=，∴﹣=0，解得=．∴e==．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）若点（x，y）在双曲线﹣y2=1上，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【分析】由双曲线的标准方程可知：则x=2secα，y=tanα，由3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=+，由﹣1＜sinα＜1，1﹣sinα＞0，1+sinα＞0，由基本不等式的性质可知∴[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+）≥12+2=12+8，则+≥6+4，即可求得3x2﹣2xy的最小值．【解答】解：由线﹣y2=1，设x=2secα，y=tanα，3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα，=﹣，==，=+∵﹣1＜sinα＜1，1﹣sinα＞0，1+sinα＞0∴[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+），=12++≥12+2=12+8，当且仅当=等号成立，解得：sinα=3﹣2（3+2舍去）时，取得最小值，∵[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+）=2（+），+≥6+4，∴3x2﹣2xy的最小值是6+4，故答案为：6+4．【点评】本题考查双曲线的参数方程，三角恒等变换，基本不等式性质的综合应用，考查计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；（1）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．【分析】（1）由椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，求得a=8，则b2=a2﹣c2=64﹣16=48，即可求得椭圆方程；（2）根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，则求得a′=2，则b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，即可求得双曲线的标准方程．【解答】解：（1）∵A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，根据椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，∴a=8，…4分在椭圆中：b2=a2﹣c2=64﹣16=48，…6分∴椭圆方程为：；…8分（2）∵A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，∴a′=2，…10分在双曲线中：b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，…12分∴双曲线方程为：．…14分．【点评】本题考查椭圆及双曲线的标准方程，椭圆及双曲线的定义，属于基础题．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C：+=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点．若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【分析】求出命题p，q为真时，m的范围，结合命题p、命题q中有且只有一个为真命题，分类讨论，综合后可得实数m的取值范围．【解答】解：命题p为真：由题意得，m＞8﹣m＞0，解得4＜m＜8．…3分命题q为真：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点则圆心O到直线l的距离：d=≤3，解得：﹣3≤m≤3．…7分因为命题p、命题q中有且只有一个为真命题若p真q假，则：解得：3＜m＜8．…10分若p假q真，则：解得：﹣3≤m≤4 …13分综上：实数m的取值范围是3＜m＜8或﹣3≤m≤4．…14分．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了椭圆的方程，直线与圆的位置关系，复合命题，难度中档．17．（14分）如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，三角形ABC外接圆的圆心为M．（1）求BC边所在直线方程；（2）求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，求该直线被圆M截得的弦长．【分析】（1）求出BC的斜率，可得BC边所在直线方程；（2）求出圆心与半径，即可求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，得出直线方程，即可求该直线被圆M截得的弦长．【解答】解：（1）∵k AB=﹣，AB⊥BC (1)分∴k BC=，∴BC边所在直线方程y=x﹣2．…4分（2）在上式中，令y=0得：C（4，0）…5分∴圆心M（1，0）又∵AM=3 …7分∴外接圆的方程为（x﹣1）2+y2=9 …9分（3）∵P（﹣1，0），直线l过点P且倾斜角为，∴直线l的方程为y=（x+1） (10)分点M到直线l的距离为…12分直线l被圆M截得的弦长为2．…14分．【点评】本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．18．（16分）已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点．（1）若离心率为，求椭圆的方程；（2）当•＜7时，求椭圆离心率的取值范围．【分析】（1）由题意可知：（a＞b＞0），由准线方程为：x==m+1，即可求得a2=m（m+1），b2=m，由e===，即可求得b=c，求得m的值，代入求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），求得=（2m+1，m+1），=（1，m+1），由•=m2+4m+2＜7，即可求得0＜m＜1，由离心率e===，即可求得椭圆离心率的取值范围．（1）椭圆的右焦点F（m，0），故焦点在x轴上，设椭圆方程为：【解答】解：（a＞b＞0），∴c=m，准线方程为：x==m+1，∴a2=m（m+1），b2=m …2分由e===，可得b=c，从而m=1，…4分故a=，b=1，∴椭圆方程：；…6分（2）由题意可知：A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），∴=（2m+1，m+1），=（1，m+1），…9分故•=2m+1+（m+1）2=m2+4m+2＜7，解得：0＜m＜1，…12分由离心率e===，…14分故所求的离心率范围为（0，）．…16分．【点评】本题考查椭圆方程及简单几何性质，考查向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．【分析】（1）根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标（0，4），并可设P（2b，b），从而由条件便可求出|MP|=，这样便可求出b的值，即得出点P的坐标；（2）容易求出圆N的圆心坐标（b，），及半径，从而可得出圆N的标准方程，化简后可得到（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，从而可建立关于x，y的方程，解出x，y，便可得出圆N所过的定点坐标；（3）可写出圆N和圆M的一般方程，联立这两个一般方程即可求出相交弦AB 的直线方程，进而求出圆心M到直线AB的距离，从而求出弦长，显然可看出b=时，AB取最小值，并求出该最小值．【解答】解：（1）由题意知，圆M的半径r=2，M（0，4），设P（2b，b），∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP=90°，∴，解得，∴P（0，0）或．（2）设P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，由，解得或，∴圆过定点（0，4），．（3）因为圆N方程为，即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，②﹣①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，点M到直线AB的距离，相交弦长即：，当时，AB有最小值．【点评】考查圆的标准方程和一般方程的形式，圆心和切点的连线垂直于切线，以及直径所对圆周角为直角，以及两圆的相交弦所在直线方程的求法，配方求二次函数最值的方法，直角三角形边的关系．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l 交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．【分析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．（3）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为，由OM∥l，能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A （﹣4，0），∴a=4，又，∴c=2．…（2分）又∵b2=a2﹣c2=12，∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）直线l的方程为y=k（x+4），由消元得，．化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，∴x1=﹣4，．…（6分）当时，，∴．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为，则．…（8分）直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即恒成立，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．…（10分）（3）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为，…（12分）由OM∥l，得=…（14分）=，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．…（16分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用．。

2018—2019学年度第一学段模块监测高二数学试题 2018.11注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知0,>>xy y x ，那么下列不等式一定正确的是 A ．22y x > B ． 22y x < C ．y x 11> D ．yx 11< 2.由11,2a d ==-确定的等差数列}{n a ，当103n a =-时，序号n 等于 A.52 B.53 C.54 D.553.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完. 这样，每日剩下的部分都是前一日的一半. 如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么每日剩下的部分所构成的数列的通项公式为 A. n a n 21=B. 1)21(-=n n aC. n n a )21(= D. n n a 2= 4.不饱和的a 克糖水中有b 克糖（0a b >>），若再添加c 克糖（0c >），则糖水更甜了．请你运用所学过的不等式有关知识分析，以上糖水的浓度的变化现象可以用不等式表示为 A.b b ca a c+<+ B.b bc a a c +>+ C .c b c a b a ++< D.cb ca b a --< 5.已知数列{}n a 的通项公式为21n n a n+=,则数列{}n a 为 A.递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D.无法确定数列的增减性6.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+20S S S ->”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7.已知)0,0(4)(>>+=a x xax x f 在3=x 处取得最大值，则=a A.48 B.36 C.16 D.4 8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若1008101110096a a a a +=，则3132l o g l o g a a ++3332018log log a a ++…=A.1009B.1010C.2018D.20209. 已知关于x 的不等式250mx x n ++>的解集是}32|{<<x x ，则实数mn = A ．6- B ．5- C ．5 D ．6 10.设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知14150,0,S S ><则下面结论错误．．的是 A ． 10,0a d >< B ． 780a a +> C ．67n S S S 与均为的最大值 D ．80a < 11.若关于x 的不等式05)1(2)23(22>+-++-x m x m m 对任意实数x 都成立，则实数m 的取值范围是A ．1|{≤m m 或9}4m >B ．{|1m m <或9}4m > C ．0|{≤m m 或}3>m D ．0|{≤m m 或}3≥m12.已知数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则}{n a 的前44项和为A ．780B ．810C ．860D ．990二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 答案填写在答题卡相应的位置上. 13.命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是_________. 14.已知数列{}n a 的通项公式236n na n =+，则{}n a 中的最大项的值是_________.15.某种型号的汽车的刹车距离）单位：m (s 和汽车车速x （单位：km/h )有如下关系：在某次交通事故中，测得这种型号的汽车的刹车距离不小于9m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为_________km/h .若此路段限速为km/h 30，那么这辆汽车_______超速现象. （用“有或没有”填写） 16.给出下列结论：①一元二次方程2330mx mx m ++-=有一正根和一负根，则03m <<； ②已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且3123n n S n T n -=+，则552=5a b ；③某工厂去年的1月份的产值为m 元，月平均增长率为p (0>p ),则这个工厂的年平均增长率为12(1)1p +-；④设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若nnS S 2（*∈N n ）是非零常数，则称数列{}n a 为“和等比数列”.若数列{}n c 是首项为1c ，公差为d （0≠d ）的等差数列，且数列{}n c 是“和等比数列”，则d 与1c 之间满足的关系为12c d =.其中正确的序号是 （把你认为正确的结论的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 把正确答案填在答题卡中的对应位置上 17.（10分）求下列关于x 的不等式： （1）(2)(3)1x x x x +>--; （2）2111x x +≤-.18. （12分）已知数列}{n a 为等差数列，35a =，416s =.（1）求数列}{n a 的公差d 和通项公式n a ； （2）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和为n T .19．(12分)设二次函数2()(3)3f x ax b x =+-+. (1) 若函数()f x 的零点为3,2-,求函数()f x ； (2)若(1)1f =，0,0a b >>,求14a b+的最小值.20.(12分）已知:33p x -≤，2:(1)10(0)q ax a x a +--><，若q 是p 的充分非必要条件，求实数a 的取值范围..21.(12分）为了保护生态环境，某林场制定了植树造林的五个“五年计划”，第一年植树16a 亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a 亩,该林场原有林地4a 亩. （1）求该林场第6年植树面积；（2）设前n （125n ≤≤且n N ∈）年该林场的林地面积为n s 亩，求n s 的表达式.22．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项为1a ，且n n S a ,,21成等差数列.(1)判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式，若不是，请说明理由; (2)若n n a b 2log 2-=,设nnn a b c =,求数列{}n c 的前n 项和n T ； (3)若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.。

绝密★启用前甘肃省临夏中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题评卷人得分一、单选题1．在中, 则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】将等式化简，代入关于角A的余弦定理，可求得A的余弦值，进而求得角度.【详解】由等式可得：，代入关于角A的余弦定理：.所以.故选C.【点睛】本题考查余弦定理，由于等式中为三边平方关系，所以利用余弦定理，由等式得到关系，整体代入即可.2．在数列1，2，，中，是这个数列的A．第16项B．第24项C．第26项D．第28项【答案】C【解析】数列可化为，所以，所以，解得，所以是这个数列的第项，故选C．3．不等式的解集是（）A．B．C．D．分析： 根据一元二次不等式的解法求解详解： 由，得， 或.所以选D.点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查基本求解能力.4．若，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 分析：先根据a 的范围确定a 与 的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集．详解：∵0＜a ＜1，∴a ＜， 而是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根之外 ∴的解集为{x |}故选：C ． 点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．5． 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532S =，则3a =（ ）A ．325B ．2C ．42D ．532试题分析：根据等差数列的性质，535S a =，所以533255S a ==． 考点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，等差数列的性质． 6．在三角形中，内角所对的边分别为，若 ，则角A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：利用正弦定理列出关系式，将a ，sinB ，b 的值代入求出sinA 的值，即可确定出A 的度数．详解：在三角形中，知 ，∴由正弦定理得：， ∵，∴，∴点晴：三角形正弦定理余弦定理的选取上注意观察，另外在算出正弦值的基础上判断角，需要注意角的范围7．不等式表示的区域在直线的A ． 右上方B ． 右下方C ． 左上方D ． 左下方【答案】B【解析】试题分析：易知点（0，0）在直线的右下方，且点（0，0）满足不等式x-2y+6＞0，所以不等式表示的平面区域在直线x-2y+6=0的右下方．故选B ．考点：如何确定不等式表示的平面区域，即直线定界点定域．8．下列函数中，最小值为2的是A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：利用基本不等式的性质依次分析4个选项函数的最小值即可得到答案详解：根据基本不等式可得A: 由于lg x≠0, ⩾2或⩽−2，舍去B: 由于2x>0,则⩾2，故B正确C: ⩾2，当且仅当方程无解D: 由0<x<可得,0<sin x<1,y=，当且仅当sin x=1时取最小值，故无最小值故选B点晴：运用均值不等式注意三个条件：1正，2定，3相等9．在中，，则一定是A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】C【解析】此题考查解三角形解：由sin(A+B)=sin(A-B)得，所以，又因为为三角形的内角，故，因此，，所以是直角三角形.选C.答案：C10．已知a，，且，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：利用不等式性质，指数函数的单调性，特值法逐一判断即可.详解：a，b∈R，且，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），若a＜0，b＜0，则a+b＜0，a﹣b＞0，a2﹣b2＜0，A不一定成立；函数y=2x在R上递增，且，∴,即，B正确；若a=2π，b=0，则cos2π=cos0=1，B不一定成立；若a＜0，b＞0，则<，C不一定成立；若a=0，b=2π，则cos2π=cos0=1，D不一定成立；故选：B．点睛：不等式的性质及其应用：(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．的三个内角A，B，C的大小成等差数列，则______．【答案】【解析】因为三角形三内角成等差数列，所以，故答案为 .12．在锐角中,角所对的边分别为若则角等于______．【答案】.【解析】由,正弦定理,可得:,,13．不等式的解集为______．【答案】【解析】试题分析：由，解得：，所以不等式的解集为．考点：一元二次不等式．14．函数的最小值为______．【答案】，当且仅当时取等号，此时，即函数的最小值是，故答案为.评卷人得分三、解答题15．求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．【答案】【解析】【分析】作出可行域，可知当目标直线过直线与直线的交点时取最大值，代入点的坐标计算可得结果．【详解】作出约束条件所对应的区域，如图中的阴影部分所示．由得．平移直线，结合图形可得当直线经过图中的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值．由，可得，所以点A的坐标为，所以，故的最大值为3．本题考查简单的线性规划，属中档题，解题的关键有两个：一是准确作出不等式组表示的平面区域，二是利用数形结合求解，此时需要准确判断出目标函数中的几何意义．16．若，，，比较，，的大小.【答案】.【解析】分析：利用作差法比较大小即可.详解：∵，，，∴，即，，即，综上可得：.点睛：作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．17．设集合，，求．【答案】．【解析】【分析】首先通过解不等式得到集合A、B，再根据交集定义可得结果．【详解】由题意得，，∴．【点睛】此题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于简单题．18．在等比数列中已知，，求；已知，，求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直接利用等比数列的通项公式，代入可求；结合等比数列的通项公式可求q，，代入等比数列的求和公式可求．【详解】在等比数列中，，；，，，解得，．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查计算能力和公式的运用，属于基础试题．19．在中，角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.【答案】（Ⅰ ）（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）由，利用正弦定理可得，从而得，进而可得结果；（Ⅱ）结合（Ⅰ）由余弦定理可得，，即，.详解：（I）由题意得：.，即又，(Ⅱ)，，即点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.。

2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的．）1.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．2.若，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用实数的运算性质和作差比较，结合不等式的基本性质，即可求解.【详解】对于A中，，所以，所以不正确；对于B中，根据实数的运算性质，当时，是正确的；对于C中，，可得，所以不正确；对于D中，，所以是正确的，是不正确的，故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，利用实数的运算性质和作差比较法，结合不等式的基本性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.在△ABC中,已知，则角A=（）A. 30°或150°B. 60°或120°C. 60°D. 30°【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得，解之可求得，再根据三角形的大边对大角，可得选项.【详解】根据正弦定理得：，因为,所以.故选:D.【点睛】本题考查三角形的正弦定理，在运用时注意三角形中的大边对大角的性质，属于基础题.4.在三角形中，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：，选A 考点：余弦定理5.已知单调递增的等比数列中，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质，可得到是方程的实数根，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等比数列中，，，根据等比数列的性质，可得，，所以是方程的实数根，解得或，又因为等比数列为单调递增数列，所以，设等比数列的首项为，公比为可得，解得，所以数列的前项和.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【详解】因为，所以，所以，所以，所以，即，所以是等腰三角形．故选A．7.等比数列的前项和为，若，，则等于（）A. -3B. 5C. -31D. 33【答案】D【解析】【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列中，，可得，解得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8.不等式的解集是（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】把不等式化简为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，不等式，可转化为，根据一元二次不等式的解法，可得不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了计算能力.9.已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A ＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据正弦定理由可得,,在中,,为边长为1的正三角形,.故B正确.考点：正弦定理.【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.10.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1 =an+3，若an＝2014，则n＝（）A. 667B. 668C. 669D. 672【答案】D【解析】试题分析：因为，所以数列是等差数列，，所以考点：1．等差数列定义；2．等差数列的通项．11.已知是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）A. [﹣1，0]B. [0，1]C. [0，2]D. [﹣1，2]【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，利用向量数量积运算可得目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，由数形结合得的取值范围．【详解】满足约束条件的平面区域如图所示：联立，解得S（1，1），P（0,2）.∵，，∴，令，化为，作出直线，由图可知，平移直线至S时，目标函数有最小值0；平移直线至P时，目标函数有最大值2．∴的取值范围是[0，2]．故选C【点睛】本题考查简单的线性规划的简单应用，平面向量数量积公式的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．12.已知不等式的解集为，若，则“”的概率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：解分式不等式得集合P，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：，∴，，∴．选．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知数列前项和，则的通项公式为________．【答案】【解析】【分析】根据的关系式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列前项和，当时，，当时，，当时，适合上式，所以的通项公式为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用数列的前n项和求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的和的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.【答案】【解析】如图所示，过C作CD⊥AB，垂足为D，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km，△ABC中，BC=，△CBD中，CD=BCcos15°== km．故填．15.已知函数，那么当取得最小值时，的值是________．【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式，确定等号成立的条件，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，根据基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.设的内角所对的边分别为，若，则角=__________.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，则，，故.根据余弦定理：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17.在等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的求和公式，求得，再偶，即可求解.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可得数列的前n项和为，令，即，解得.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了方程思想，以及运算能力.18.在中，分别为角所对的边，已知.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求的最大值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)18.【解析】试题分析：(Ⅰ)由正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得；(Ⅱ)有(I)的结论结合均值不等式的结论可得的最大值是18.试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，由余弦定理，得，解得，所以（Ⅱ）由余弦定理，得，又，所以即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为18.另解（Ⅱ）：由（Ⅰ）和正弦定理知：,且,所以，所以的最大值为18.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.（1）写出税收（万元）与的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，可知降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），从而可求税收y（万元）与x的函数关系式；（Ⅱ）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，可建立不等关系，从而可得x的取值范围．试题解析：（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担,收购总金额为万元.依题意有（2）原计划税收为万元依题意有化简得.取范围是.点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．20.已知函数．（Ⅰ）试求的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，，试求的面积【答案】（Ⅰ）最小正周期为，递减区间为；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用倍角公式、诱导公式和降幂公式，化简得到函数的，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）及，求得，利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，函数，所以函数的的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为，可得，即，又因为，所以，又由，由余弦定理可得，即，即，解得所以的面积，即的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.21.已知数列为等差数列，且，．(1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令，求数列的前项和.【答案】解: (1)∵数列为等差数列,设公差为,由,得,,∴，.(2)∵,∴∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 .（3）∵，，∴∴…【解析】试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分由,得,,∴，…………………… 3分. …………………… 4分(2)∵, …………………… 5分∴，…………………… 6分∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分（3）∵，，∴………………… 10分∴………… 12分考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法．点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，，22.已知函数，其中．（I）若，求在区间上的最大值和最小值；（II）解关于x不等式【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）见解析【解析】【详解】(Ⅰ)最小值为，最大值为；(Ⅱ)当时，不等式解集为当时，不等式解集当时，不等式解集为当时，不等式解集为2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的．）1.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．2.若，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用实数的运算性质和作差比较，结合不等式的基本性质，即可求解.【详解】对于A中，，所以，所以不正确；对于B中，根据实数的运算性质，当时，是正确的；对于C中，，可得，所以不正确；对于D中，，所以是正确的，是不正确的，故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，利用实数的运算性质和作差比较法，结合不等式的基本性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.在△ABC中,已知，则角A=（）A. 30°或150°B. 60°或120°C. 60°D. 30°【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得，解之可求得，再根据三角形的大边对大角，可得选项.【详解】根据正弦定理得：，因为,所以.故选:D.【点睛】本题考查三角形的正弦定理，在运用时注意三角形中的大边对大角的性质，属于基础题.4.在三角形中，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：，选A考点：余弦定理5.已知单调递增的等比数列中，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质，可得到是方程的实数根，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等比数列中，，，根据等比数列的性质，可得，，所以是方程的实数根，解得或，又因为等比数列为单调递增数列，所以，设等比数列的首项为，公比为可得，解得，所以数列的前项和.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【解析】【详解】因为，所以，所以，所以，所以，即，所以是等腰三角形．故选A．7.等比数列的前项和为，若，，则等于（）A. -3B. 5C. -31D. 33【答案】D【解析】【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列中，，可得，解得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8.不等式的解集是（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】把不等式化简为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，不等式，可转化为，根据一元二次不等式的解法，可得不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了计算能力.9.已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据正弦定理由可得,,在中,,为边长为1的正三角形,.故B正确.考点：正弦定理.【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.10.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1 =an+3，若an＝2014，则n＝（）A. 667B. 668C. 669D. 672【答案】D【解析】试题分析：因为，所以数列是等差数列，，所以考点：1．等差数列定义；2．等差数列的通项．11.已知是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）A. [﹣1，0]B. [0，1]C. [0，2]D. [﹣1，2]【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，利用向量数量积运算可得目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，由数形结合得的取值范围．【详解】满足约束条件的平面区域如图所示：联立，解得S（1，1），P （0,2）.∵，，∴，令，化为，作出直线，由图可知，平移直线至S时，目标函数有最小值0；平移直线至P时，目标函数有最大值2．∴的取值范围是[0，2]．故选C【点睛】本题考查简单的线性规划的简单应用，平面向量数量积公式的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．12.已知不等式的解集为，若，则“”的概率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：解分式不等式得集合P，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：，∴，，∴．选．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知数列前项和，则的通项公式为________．【答案】【解析】【分析】根据的关系式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列前项和，当时，，当时，，当时，适合上式，所以的通项公式为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用数列的前n项和求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的和的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.【答案】【解析】如图所示，过C作CD⊥AB，垂足为D，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km，△ABC中，BC=，△CBD中，CD=BCcos15°==km．故填．15.已知函数，那么当取得最小值时，的值是________．【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式，确定等号成立的条件，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，根据基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.设的内角所对的边分别为，若，则角=__________.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，则，，故.根据余弦定理：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17.在等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的求和公式，求得，再偶，即可求解.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可得数列的前n项和为，令，即，解得.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了方程思想，以及运算能力.18.在中，分别为角所对的边，已知.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求的最大值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)18.【解析】试题分析：(Ⅰ)由正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得；(Ⅱ)有(I)的结论结合均值不等式的结论可得的最大值是18.试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，由余弦定理，得，解得，所以（Ⅱ）由余弦定理，得，又，所以即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为18.另解（Ⅱ）：由（Ⅰ）和正弦定理知：,且,所以，所以的最大值为18.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.（1）写出税收（万元）与的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，可知降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），从而可求税收y（万元）与x的函数关系式；（Ⅱ）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，可建立不等关系，从而可得x的取值范围．试题解析：（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担,收购总金额为万元.依题意有（2）原计划税收为万元依题意有化简得.取范围是.点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．20.已知函数．（Ⅰ）试求的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，，试求的面积【答案】（Ⅰ）最小正周期为，递减区间为；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用倍角公式、诱导公式和降幂公式，化简得到函数的，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）及，求得，利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，函数，所以函数的的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为，可得，即，又因为，所以，又由，由余弦定理可得，即，即，解得所以的面积，即的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.21.已知数列为等差数列，且，．(1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令，求数列的前项和.【答案】解: (1)∵数列为等差数列,设公差为,由,得,,∴，.(2)∵,∴∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 .（3）∵，，∴∴…【解析】试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分由,得,,∴，…………………… 3分. …………………… 4分(2)∵, …………………… 5分∴，…………………… 6分∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分（3）∵，，∴………………… 10分∴………… 12分考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法．点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，，22.已知函数，其中．（I）若，求在区间上的最大值和最小值；（II）解关于x不等式【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）见解析【解析】【详解】(Ⅰ)最小值为，最大值为；(Ⅱ)当时，不等式解集为当时，不等式解集当时，不等式解集为当时，不等式解集为。

2018-2019学年第一学期高二期中考试数学卷2018.11一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分） 1.若110b a<<，则下列不等式不成立的是 A ．11a b a>- B ．a b < C ．||||a b > D ．22a b >2．数列{}n a 为等比数列，且21a =，公比2q =，则4a = A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 163．在中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若，，，则A ．B ．C ．或D ．或 4．在等差数列中，，则 A ．B ．2C ．D ．4 5．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3A π=，a =1b =，则c = A ．1 B ．2 C 1- D ．36．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．47．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1a =，45B =︒，若ABC △的面积2S =，则ABC △的外接圆直径为A ．B ．5C ．D ．{}()的值为则若项和为等差数列，它的前数列a a n S S n a n n n ,1,.82++=A ．-2B ．-1C ．0D ．19．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化ABC △2a =b =45A =︒B =30︒60︒30︒150︒60︒120︒{}n a 1054S S =1a d=1214中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第20项为A ．B ．C ．D ． 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若57S =，1021S =，则15S =A ． 35B ． 42C ． 49D ． 63 11．已知等差数列{}n a 的首项1a 和公差d 均不为零，且248,,a a a 成等比数列，则15923a a aa a++=+A ．6B ．5C ．4D ．312．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos B C b c +=，π3B =则a c +的取值范围是 A． B．3(2 C． D．3[2二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a，b ＝3，sin C ＝2sin A ，则 的面积为_____________．14．设等比数列的公比为，其前项和为，若，，则______________．15．若不等式210ax ax -+≤的解集为空集，则实数a 的取值范围为_______________． 16．某车间计划每天生产卡车模型、赛车模型、小汽车模型这三种玩具共100个，已知生产一个 卡车模型需5分钟，生产一个赛车模型需7分钟，生产一个小汽车模型需4分钟，且生产一个卡 车模型可获利润8元，生产一个赛车模型可获利润9元，生产一个小汽车模型可获利润6元．若 总生产时间不超过10小时，该公司合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大利润是____元． 三、解答题：（本大题6小题，共70分。

学2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1. 数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件得到，再依次判断选项即可得到答案.【详解】由题知：，对选项A，，故A错误；对选项B，，故B错误；对选项C，，C正确；对选项D，，故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.2. 已知数列，则9是它的（）A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项【答案】C【解析】【分析】本题首先可根据题意得出数列的第项为，然后将转化为，即可得出结果.【详解】由题意可知，数列的第项为，因为，所以是数列的第项，故选：C.【点睛】本题考查判断数是数列的哪一项，能否明确数列的通项公式是解决本题的关键，考查推理能力，体现了基础性，是简单题.3. 不等式2x＋y＋1＜0表示的平面区域在直线2x＋y＋1＝0的( )A. 右上方B. 右下方C. 左上方D. 左下方【答案】D【解析】【分析】把原点（0，0）代入2x+y+1＜0，不成立，不等式2x+y+1＜0表示的平面区域是不含原点的半平面．【详解】不等式2x+y+1＜0表示的平面区域如图所示：根据点（0，0）不在区域内可知不等式2x+y+1＜0表示的平面区域在直线2x+y+1=0的左下方故选D．【点睛】本题考查二元一次不等式的几何意义，解题时要作出半平面，然后结合图象数形结合，事半功倍.4. 已知等比数列的公比，则等于（）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】本题考查等比数列的定义或通项公式.根据等比数列定义知：所以故选B5. 在中，，则为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理即可得到答案.【详解】因，所以.又，所以.故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理，熟记公式为解题关键，属于简单题.6. 已知中，，，，则等于（）．A. 或B.C.D. 或【答案】A【解析】【分析】应用正弦定理，得到，再由边角关系，即可判断B的值.【详解】解：∵，，，∴由得，，∴B＝或.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理及应用，考查三角形的边角关系，属于基础题，也是易错题.7. 已知等差数列的通项公式为，则它的公差为（）A. 2B. 3C.D.【答案】C【解析】试题分析：由可得，所以公差．故C正确．考点：等差数列的定义．8. 若，则下列不等式：①；②；③；④中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④【答案】C【解析】【分析】由，可得，然后利用不等式的性质逐个判断即可【详解】解：因为，所以，则，，所以，所以①正确；因为，，所以，则，所以②③错误；因为，所以，所以④，故选：C【点睛】此题考查不等式性质的应用，属于基础题9. 若，恒有（）A. B. C. D. 以上均不正确【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到，再利用重要不等式即可得到答案.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号.所以，即.故选：A【点睛】本题主要考查重要不等式，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.10. 下列不等式的解集是空集的是A. x2-x+1>0B. -2x2+x+1>0C. 2x-x2>5D. x2+x>2【答案】C【解析】试题分析：A 开口向上，，所以解集是空集；B解集为；C变形为开口向上，，所以解集是空集；D，解得考点：解一元二次不等式11. 不等式组表示的平面区域是 ( )A. 矩形B. 三角形C. 直角梯形D. 等腰梯形【答案】D【解析】原不等式组化：或，画出它们表示的平面区域，如图所示是一个等腰梯形．故选D.12. 已知点和点在直线的两侧，则A. 或B.C. 或D.【答案】B【解析】【分析】由点和点在直线的两侧可知，分别带入两点进入所得数值相反，即乘积为负值，然后通过计算，得到结果．【详解】因为点和点在直线的两侧，所以，即，解得故选B.【点睛】如果两点分别再直线的左右两侧，那么将它们带入直线所得值一个大于0，一个小于0．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若关于的不等式的解集是，则_________.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到的实数根为和，再利用根系关系求出的值即可.【详解】不等式的解集是，所以对应方程的实数根为和，且，由根与系数的关系得，解得，.所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，同时考查根与系数关系，属于简单题.14. 已知，且，则的最小值是______.【答案】4【解析】【分析】根据基本不等式，由题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】因为，且，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故答案为：.【点睛】本题考查由基本不等式求和的最小值，属于基础题型.15. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖块.【答案】4n+2【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为4n+2．16. 若，，则的取值范围是．【答案】(-2,4)【解析】【分析】根据条件，得到的范围，然后与的范围相加，得到的取值范围.【详解】因为，所以而所以故答案为.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于简单题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知，，是中，，对边，且，，成等差数列.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，，成等差数列，得，再结合三角形内角和定理可求得结果；（2）直接利用三角形的面积公式求解即可【详解】（1）因为角，，成等差数列所以又∵，所以.（2）∴【点睛】此题考查等差数列的性质的应用，考查三角形的面积公式的应用，属于基础题18. 已知数列是一个等差数列，且，.（1）求的通项；（2）求前项和的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设的公差为，根据题中条件，求出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，以及等差数列的求和公式，直接配方，即可得出结果.【详解】（1）设的公差为，由已知条件可得，，解得，，所以；（2）由（1）可得.所以时，取到最大值.【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，考查求等差数列前项和的最值，属于基础题型.19. 甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，求甲、乙两楼的高度.【答案】、.【解析】【分析】由题意得到示意图，甲楼高为，乙楼高为，，利用直角三角形、正弦定理，求、即可；【详解】如下图所示，甲楼高为，乙楼高为，.则在△中，，，所以，在△中，，，，则.由正弦定理，得，所以.【点睛】本题考查了俯角、仰角概念，利用直角三角形、正弦定理解三角形求边长，属于简单题；20. 解下列关于的不等式：（1）；（2）.【答案】（1）或；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）分情况讨论求解一元二次不等式详解】解：（1）由，得，解得或，所以不等式的解集为或；（2）由得或当，即时，不等式解；当，即时，解集为；当，即时，解集为.【点睛】此题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题21. 设函数（为常数且，），已知数列是公差为2的等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）当时，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，从而得到，再求即可.（2）首先根据题意得到，再利用等比数列即可证明.【详解】（1），∴，即：，.（2）当时，..【点睛】本题第一问考查对数的运算，同时考查了等差数列的通项公式，第二问考查了等比数列的前项和公式，属于简单题.22. 某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修维护费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元.（1）若扣除投资和各种装修维护费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；②年平均利润最大时以46万元出售该楼，问哪种方案更优？【答案】（1）从第4年（2）选择方案②【解析】【分析】（1）设第年获取利润为万元，根据题意，得到付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，表示出利润，由，即可求出结果；（2）根据（1）中求出的利润表达式，按照两种方案，分别求出利润，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）设第年获取利润为万元，年共收入租金万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，年内共付出装修费为，因此利润，令解得，所以从第4年开始获取纯利润；（2）方案①：纯利润总和，所以经过15年共获利润：144+10=154（万元）；方案②：年内年平均利润，所以（当且仅当，即时取等号），所以9年后共获利润：12×9+46=154（万元）.两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②【点睛】本题主要考查等差数列的应用，以及基本不等式的应用，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.学2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1. 数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件得到，再依次判断选项即可得到答案.【详解】由题知：，对选项A，，故A错误；对选项B，，故B错误；对选项C，，C正确；对选项D，，故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.2. 已知数列，则9是它的（）A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项【答案】C【解析】【分析】本题首先可根据题意得出数列的第项为，然后将转化为，即可得出结果.【详解】由题意可知，数列的第项为，因为，所以是数列的第项，故选：C.【点睛】本题考查判断数是数列的哪一项，能否明确数列的通项公式是解决本题的关键，考查推理能力，体现了基础性，是简单题.3. 不等式2x＋y＋1＜0表示的平面区域在直线2x＋y＋1＝0的( )A. 右上方B. 右下方C. 左上方D. 左下方【答案】D【解析】【分析】把原点（0，0）代入2x+y+1＜0，不成立，不等式2x+y+1＜0表示的平面区域是不含原点的半平面．【详解】不等式2x+y+1＜0表示的平面区域如图所示：根据点（0，0）不在区域内可知不等式2x+y+1＜0表示的平面区域在直线2x+y+1=0的左下方故选D．【点睛】本题考查二元一次不等式的几何意义，解题时要作出半平面，然后结合图象数形结合，事半功倍.4. 已知等比数列的公比，则等于（）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】本题考查等比数列的定义或通项公式.根据等比数列定义知：所以故选B5. 在中，，则为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理即可得到答案.【详解】因，所以.又，所以.故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理，熟记公式为解题关键，属于简单题.6. 已知中，，，，则等于（）．A. 或B.C.D. 或【答案】A【解析】【分析】应用正弦定理，得到，再由边角关系，即可判断B的值.【详解】解：∵，，，∴由得，，∴B＝或.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理及应用，考查三角形的边角关系，属于基础题，也是易错题.7. 已知等差数列的通项公式为，则它的公差为（）A. 2B. 3C.D.【答案】C【解析】试题分析：由可得，所以公差．故C正确．考点：等差数列的定义．8. 若，则下列不等式：①；②；③；④中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④【答案】C【解析】【分析】由，可得，然后利用不等式的性质逐个判断即可【详解】解：因为，所以，则，，所以，所以①正确；因为，，所以，则，所以②③错误；因为，所以，所以④，故选：C【点睛】此题考查不等式性质的应用，属于基础题9. 若，恒有（）A. B. C. D. 以上均不正确【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到，再利用重要不等式即可得到答案.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号.所以，即.故选：A【点睛】本题主要考查重要不等式，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.10. 下列不等式的解集是空集的是A. x2-x+1>0B. -2x2+x+1>0C. 2x-x2>5D. x2+x>2【答案】C【解析】试题分析：A 开口向上，，所以解集是空集；B解集为；C变形为开口向上，，所以解集是空集；D，解得考点：解一元二次不等式11. 不等式组表示的平面区域是 ( )A. 矩形B. 三角形C. 直角梯形D. 等腰梯形【答案】D【解析】原不等式组化：或，画出它们表示的平面区域，如图所示是一个等腰梯形．故选D.12. 已知点和点在直线的两侧，则A. 或B.C. 或D.【答案】B【解析】【分析】由点和点在直线的两侧可知，分别带入两点进入所得数值相反，即乘积为负值，然后通过计算，得到结果．【详解】因为点和点在直线的两侧，所以，即，解得故选B.【点睛】如果两点分别再直线的左右两侧，那么将它们带入直线所得值一个大于0，一个小于0．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若关于的不等式的解集是，则_________.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到的实数根为和，再利用根系关系求出的值即可.【详解】不等式的解集是，所以对应方程的实数根为和，且，由根与系数的关系得，解得，.所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，同时考查根与系数关系，属于简单题. 14. 已知，且，则的最小值是______.【答案】4【解析】【分析】根据基本不等式，由题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】因为，且，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故答案为：.【点睛】本题考查由基本不等式求和的最小值，属于基础题型.15. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖块.【答案】4n+2【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为4n+2．16. 若，，则的取值范围是．【答案】(-2,4)【解析】【分析】根据条件，得到的范围，然后与的范围相加，得到的取值范围.【详解】因为，所以而所以故答案为.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于简单题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知，，是中，，对边，且，，成等差数列.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，，成等差数列，得，再结合三角形内角和定理可求得结果；（2）直接利用三角形的面积公式求解即可【详解】（1）因为角，，成等差数列所以又∵，所以.（2）∴【点睛】此题考查等差数列的性质的应用，考查三角形的面积公式的应用，属于基础题18. 已知数列是一个等差数列，且，.（1）求的通项；（2）求前项和的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设的公差为，根据题中条件，求出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，以及等差数列的求和公式，直接配方，即可得出结果.【详解】（1）设的公差为，由已知条件可得，，解得，，所以；（2）由（1）可得.所以时，取到最大值.【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，考查求等差数列前项和的最值，属于基础题型.19. 甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，求甲、乙两楼的高度.【答案】、.【解析】【分析】由题意得到示意图，甲楼高为，乙楼高为，，利用直角三角形、正弦定理，求、即可；【详解】如下图所示，甲楼高为，乙楼高为，.则在△中，，，所以，在△中，，，，则.由正弦定理，得，所以.【点睛】本题考查了俯角、仰角概念，利用直角三角形、正弦定理解三角形求边长，属于简单题；20. 解下列关于的不等式：（1）；（2）.【答案】（1）或；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）分情况讨论求解一元二次不等式详解】解：（1）由，得，解得或，所以不等式的解集为或；（2）由得或当，即时，不等式解；当，即时，解集为；当，即时，解集为.【点睛】此题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题21. 设函数（为常数且，），已知数列是公差为2的等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）当时，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，从而得到，再求即可.（2）首先根据题意得到，再利用等比数列即可证明.【详解】（1），∴，即：，.（2）当时，..【点睛】本题第一问考查对数的运算，同时考查了等差数列的通项公式，第二问考查了等比数列的前项和公式，属于简单题.22. 某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修维护费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元.（1）若扣除投资和各种装修维护费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；②年平均利润最大时以46万元出售该楼，问哪种方案更优？【答案】（1）从第4年（2）选择方案②【解析】【分析】（1）设第年获取利润为万元，根据题意，得到付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，表示出利润，由，即可求出结果；（2）根据（1）中求出的利润表达式，按照两种方案，分别求出利润，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）设第年获取利润为万元，年共收入租金万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，年内共付出装修费为，因此利润，令解得，所以从第4年开始获取纯利润；（2）方案①：纯利润总和，所以经过15年共获利润：144+10=154（万元）；方案②：年内年平均利润，所以（当且仅当，即时取等号），所以9年后共获利润：12×9+46=154（万元）.两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②【点睛】本题主要考查等差数列的应用，以及基本不等式的应用，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.。