2017-2018学年江苏省泰州中学高一上学期期中数学试卷和解析

2017-2018学年 高一数学试卷一、填空题：每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上1.已知{1,3,4}A =，{1,5}B =，则A B = ．2.在区间[0,2)π内，与角34π-终边相同的角是 ． 3.若幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则(9)f = ．4.已知角α的终边与单位圆交于点43(,)55-，那么tan α= ．5.已知函数234,0()2,01,0x x f x x x x ⎧->⎪=+=⎨⎪-<⎩，则1(())2f f = ．6.已知某扇形的半径为10，面积为503π，那么该扇形的圆心角为 ． 7.函数121y x =-+的图象的对称中心的坐标是 ． 8.函数y =的定义域是 ．9.函数23()log (43)f x x x =+-的单调减区间是 ．10.若函数()lg(1)3f x x x =++-的零点为0x ，满足0(,1)x k k ∈+且k Z ∈，则k = ．11.函数,0()(4)3,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足1212[()()]()0f x f x x x --<对定义域中的任意两个不相等的12,x x 都成立，则a 的取值范围是 ．12.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且1()()()2x f x g x -=，则(1),(0),(1)f f g -之间的大小关系是 ．（按从小到大的顺序排列） 13．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，3()1x f x x -=+，若对任意实数1[,2]2t ∈，都有()(2)0f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ，满足1,()0,M x Mf x x M∈⎧=⎨∉⎩（M 是R 的非空真子集），在R 上有两个非空真子集,A B ，且A B φ= ，则()1()()()2A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分14分）计算：（1）220338()( 4.5)()227----；（2）332log 542lg8lg 253163+-+．16. （本小题满分14分） 已知全集U R =，集合1{|0}4x A x x -=≤-，集合B 为函数()3x g x a =+的值域． （1）若2a =，求A B 和()U A C B ； （2）若A B B = ，求a 的取值范围． 17. （本小题满分15分） 已知函数1()1xf x x-=+． （1）证明：()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减； （2）设2()log (),(0,1)g x f x x =∈，求()g x 的值域． 18. （本小题满分15分）某研究性学习小组经过调查发现，提高泰州大桥的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，桥上车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数，当桥上的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度的一次函数． （1）当0210x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =∙可以达到最大，并求出最大值．19. （本小题满分16分）已知函数2()||31f x ax x a =-+-，（a 为实常数）． （1）当0a =时，求不等式(2)20xf +≥的解集； （2）当0a <时，求函数()f x 的最大值；（3）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式． 20. （本小题满分16分）已知函数2()2422(0)g x ax ax b a =-++>，在区间[2,3]上有最大值8，有最小值2，设()()2g x f x x=． （1）求,a b 的值；（2）不等式(2)20x xf k -∙≥在[1,1]x ∈-时恒成立，求实数k 的取值范围； （3）若方程2(|1|)(3)0|1|xxf e k e -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．试卷答案一、填空题 1. {1} 2. 54π 3. 13 4. 34- 5. 1- 6. 3π7．(1,2)-8．(0,1] 9． 3[,4)2或3(,4)2 10．2 11．1(0,]312．(1)(0)(1)g f f <<-13．(,2)(1,)-∞-+∞ 14．12{,}23二、解答题 15.（1）原式441199=--=-； （2）原式2lg 22lg 52582lg101715=+-+=-=-．（2）(,)B a =+∞，[1,4)A =， ∵A B B = ，∴A B ⊆，∴1a <，则a 的取值范围是(,1)-∞． 17.（1）2()11f x x =-++，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <， 则211212122()22()()(1)(1)11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-+--+=++++ ∵(0,)x ∈+∞，∴110x +>，210x +>，又12x x <，∴210x x ->，∴12()()0f x f x ->即12()()f x f x >，∴()f x 在(0,)x ∈+∞上的单调递减． （2）2()11f x x =-++ 因为01x <<，所以112x <+<，所以2121x <<+， 即0()1f x <<又因为2log y t =单调递增，所以()g x 值域为(,0)-∞． 18.（1）由题意知，当030x ≤≤时，()60v x =； 当30210x ≤≤时，设()v x ax b =+，由已知可得30602100a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1370a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以函数60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩（2）由（1）可知，60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩当030x ≤≤时，()60f x x =为增函数，∴当30x =时，其最大值为1800 当30210x ≤≤时，2211()70(105)367533f x x x x =-+=--+ 当105x =时，其最大值为3675综上，当车流密度为105辆/千米时，车流量最大，最大值为3675辆． 19.（1）当0a =时，()||1f x x =--，则不等式(2)20xf +≥可化为|2|120x--+≥， 即|2|1x≤，解之得：0x ≤， 则所求不等式的解集为(,0]-∞．（2）当0a <时，22211()31(0)24()||2111()31(0)24a x a x a a f x ax x a a x a x a a ⎧-+--≥⎪⎪=-+-=⎨⎪++--<⎪⎩由函数的图象可知：当0x =时，max ()(0)31f x f a ==-（或由奇偶性直接讨论0x ≥时，函数()f x 的单调性，得到最大值） （3）当[1,2]x ∈时，2211()31()31(0)24f x ax x a a x a a a a=-+-=-+--> ①当112a ≤时，即12a ≥时，此时1x =时，min ()(1)42f x f a ==- ②当1122a <<时，即1142a <<时，即12x a =时，min 11()()3124f x f a a a ==--③当122a ≥时，即104a <≤时，此时2x =时，min ()(2)73f x f a ==-综上所述可得：142,2111()31,442173,04a a g a a a a a a ⎧-≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-<≤⎪⎩． 20.（1）由条件得：0(2)22(3)181228a g b g a a b >⎧⎪=+=⎨⎪=-++=⎩，解得1,0a b ==．（2）2()242g x x x =-+，∴221()x x f x x-+=令2x t =，∵[1,1]x ∈-，∴1[,2]2t ∈不等式(2)20xxf k -∙≥可化为：2210t t k t t-+-∙≥问题等价于2210t t k t t -+-∙≥在1[,2]2t ∈时恒成立， 即：211()21k t t ≤-∙+在1[,2]2t ∈时恒成立，而此时11[,2]2t ∈ 所以0k ≤．注：用二次函数2(1)210k t t --+≥讨论，相应给分．（3）令|1|x m e =-，则方程2(|1|)(3)0|1|x xf e k e -+-=-有三个不同的实数解 ⇔关于m 的方程2()(3)0f m k m+-=有两个不等的根， 其中一个根大于或等于1，另一个根大于0且小于1；2()(3)0f m k m+-=可化为：2212(3)0m m k m m -++-= 化简得：2(23)10m k m -++=，当一根等于1时，0k =不满足题意 所以它的两根分别介于(0,1)和(1,)+∞，又因为0m =时，10>恒成立 所以只要21(23)110k -+∙+< ∴0k >为所求的范围． 21. 22. 23. 24.。

江苏省泰州中学高一期初质量检测数学考试 2018. 3.3一、填空题1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A = {3,4,5}, 则C u A= .2.函数1)2lg()(-+-=x x x f 定义域为 .3.若函数)6cos(πω-=x y (ω>0)最小正周期为2π，则ω= . 4.己知幂函数的图象经过点（2, 32)，则它的解析式=)(x f . 5.若函数|2|cos )(a x x x f -+=为偶函数，则实数a 的值是 . 6.已知向量 =(1，2）, = (-2,-2).则|-|的值为 .7. =⋅+-2log 9log )49(3421.8.半径为3cm,圆心角为0120的扇形面积为 cm 2.9.定义在R 上的函数⎩⎨⎧-≤=,0>),(,0,sin )(x x f x x x f π则)316(πf 的值为 .10. 若函数2)4tan(=+πα，则=αtan .11.若函数ωαtan =y 在区间（ππ,2）上单调递减，则实数ω的取值范围 是 . 12.已知)(x f 是定义在R 上且周期为4的奇函数,当)2,0(∈x 时， )2lg()(2m x x x f +-=，若函数)(x f 在区间[-2，2]上有且仅有5个零点（互不相同)，则实数m 的取值范围是 .13.在△A BC 中，AB = 5,AC = 1,BC = 3，P 为△A BC 内一点(含边界），若满足)(41R BC BA BP ∈+=λλ，则BP BA ⋅的最大值为 . 14. 定义在R 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈,存在常数M>0,都有M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界xx m m x g 2121)(⋅+⋅-=，若m>0,函数 在)(x g 在[0，1]上的上界是T(m),则T(m)的取小值为 .二、解答题15.(本小题满分14分）巳知函数65)(2-+-=x x x f 的定义域为A ，集合B={1622|≤≤xx },非空集合 C={121|-≤≤+m x m x },全集为实数集R. （1）求集合A∩B（2）若A∪C=A,求实数m 取值的集合. 16.（本小题满分14分）已知角α终边在第四象限，与单位圆的交点A 的坐标为(0,51y )，且终边上有一点P 到原点的距离为5.（1）求0y 的值和P 点的坐标； （2）求)223cos()2cos()3tan(απαππα++--的值. 17. (本小题满分10分）已知向量θθθ),2,(cos ),1,(sin -==b a 为第二象限角。

江苏省泰州中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题1. 已知集合，，则__________．2. 函数的定义域为__________．3. 已知幂函数的图象过点，则__________．4. 若，的值域为__________．5. 设函数则__________．6. 已知三个数，，，则a，b，c的大小关系为__________．7. 已知函数（且）的图象如图所示，则的值是__________．8. 函数（，且）恒过定点__________．9. 若方程在，内有一解，则__________．10. 函数的单调递增区间是__________．11. 已知函数，，，若，则__________．12. 设函数，若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．13. 已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围是__________．14. 若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”.若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是__________．二、解答题15. 求值：（1）；（2）.16. 已知全集，，（1）求，（2）若且，求的取值范围.17. 已知函数（，）.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明；（3）求使的的取值范围.18. 某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染.为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放，该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本（元）与废气处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理吨工业废气可得价值为元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理.（1）若该制药厂每天废气处理量计划定位20吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求的取值范围；（3）若该制药厂每天废气处理量计划定为（）吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求的值.19. 已知函数.（1）当时，求的值域；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）当（，）时，函数，的值域为，求实数的取值范围.20. 已知二次函数满足（），且.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在区间上有唯一实数根，求实数的取值范围（注：相等的实数根算一个）.（3）函数，试问是否存在实数，使得对任意，都有成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.【参考答案】一、填空题1.【解析】2.【解析】,所以定义域为3.【解析】设4.【解析】值域为5.【解析】6.【解析】,,,所以7. 6【解析】由函数（且）过点代入表达式得：，所以8.【解析】恒过定点9. 2【解析】令，则为单调递增函数，且，所以在（2,3）必有且仅有一个零点，即10. 或写成【解析】由题得函数定义域：，令则在递减，在递增，又因为函数为减函数，根据复合函数单调性得判断方法得在递增.点睛：根据题意可得此函数为复合函数单调性问题，对于复合函数单调性判断遵循四个字“同增异减”原则即可，但在解题时尤其要注意先求函数的定义域.11. 3【解析】因为12.【解析】先作图，由图知实数的取值范围为.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．13.14.【解析】即方程有解令，则，所以在上有解因此点睛：已知方程有解求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对方程变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题15.解：（1）原式；（2）原式.16.解：（1），由，得；（2）由，知，所以17.解：（1）由题意可知，解得，所以函数的定义域为；（2）函数的定义域为，关于原点对称．因为，所以为奇函数；（3）当时，，解得，当时，，解得.18.解：（1）先根据函数关系求成本，再计算利润，两者之差为处理资金（2）由题意得成本不大于利润，根据分段函数分段讨论，最后求并集（3）成本与利润之差不大于补贴，为不等式恒成立，结合二次函数图像确定满足条件，解得的最小值.试题解析：（1）由题意可知当该制药厂每天废气处理量计划为吨时，每天利用设备处理废气的综合成本为元，转化的某种化工产品可得利润元，所以工厂每天需要投入废气处理资金为元.（2）由题意可知，当时，令，解得；当时，令，即，此时，无解.综上所述，当该制药厂每天废气处理量计划为吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量.（3）市政府为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，当时，不等式恒成立，即对任意恒成立，令，则.故市政府只要为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金.19.解：（1）由于，所以在区间上为单调增函数，即的值域为；（2）∵，∴不等式在上恒成立，即为在上恒成立，∴小于等于在上的最小值，∵在上是单调增函数∴，（3）∵∴.当时，，不合题意，②当时，在上是单调增函数，∴，∴方程有两个不等的正根，∴，即，综上知.20.解：（1）设（）代入得对于恒成立，故又由得，解得，，，所以；（2）由方程得，令，，即要求函数在上有唯一的零点，①，则，代入原方程得或，不合题意；②若，则，代入原方程得或，满足题意，故成立；③若，则，代入原方程得，满足题意，故成立.④若且且时，由得.综上，实数的取值范围是.解法2：由方程得，即直线与函数，的图象有且只有一个交点（参照给分）（3）由题意知假设存在实数满足条件，对任意，都有成立，即，故有，由，①当时，在上为增函数，，所以②当时，，即解得，所以.③当时，即解得，所以③当时，即，所以综上所述，所以当时，使得对任意，都有成立点睛：对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即；，。

2016-2017学年江苏省泰州中学高一(上)期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上.1.(5分)函数y=的定义域为.2.(5分)函数的最小正周期为.3.(5分)已知函数,f(1)+f(﹣1)=.4.(5分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(,8),则f(2)=.5.(5分)把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,所得到的图象的函数表达式为.6.(5分)9=.7.(5分)函数y=sinx+cosx的单调递增区间为.8.(5分)若函数y=sin(πx+φ)过点,则f(0)=.9.(5分)若的夹角为60°,,,则=.10.(5分)在△ABC中,D为边BC上一点,且AD⊥BC,若AD=1,BD=2,CD=3,则∠BAC的度数为.11.(5分)若,则sin2θ=.12.(5分)若锐角α,β满足cos2α+cos2β=1,则=.13.(5分)若方程||x|﹣a2|﹣a=0有四个不同的实根,则实数a的取值范围为.14.(5分)已知函数f(x)=x3+x+1,若对任意的x,都有f(x2+a)+f(ax)＞2,则实数a的取值范围是.二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(15分)已知集合A={x|2x≥16},B={x|log2x≥a}.(1)当a=1时,求A∩B；(2)若A是B的子集,求实数a的取值范围.16.(15分)已知向量,.(1)若,求x的值；(2)当x∈[0,2]时,求的取值范围.17.(15分)如图,某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯,AO为滑道,∠OBA为直角,OB=20米,设∠AOB=θrad,一个小朋友从点A沿滑道往下滑,记小朋友下滑的时间为t秒,已知小朋友下滑的长度s与t2和sinθ的积成正比,当时,小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米.(1)求s关于时间t的函数的表达式；(2)请确定θ的值,使小朋友从点A滑到O所需的时间最短.18.(15分)已知函数,x∈R.(1)求函数f(x)的最大值；(2)若,θ∈R,求的值.19.(15分)如图,在△ABC中,,.(1)用,表示；(2)若,,求证：；(3)若,求的值.20.(15分)已知函数f(x)=﹣x2+2|x﹣a|,x∈R.(1)若函数f(x)为偶函数,求实数a的值；(2)当x=﹣1时,函数f(x)在x=﹣1取得最大值,求实数a的取值范围.(3)若函数f(x)有三个零点,求实数a的取值范围.2016-2017学年江苏省泰州中学高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上.1.(5分)函数y=的定义域为{x|x≥1} .【解答】解：要是函数有意义,须x﹣1≥0,解得x≥1,故函数的定义域为{x|x≥1}.故答案为：{x|x≥1}.2.(5分)函数的最小正周期为.【解答】解：根据题意,函数中,ω=4,则其周期T==；故答案为：3.(5分)已知函数,f(1)+f(﹣1)=1.【解答】解：∵函数,∴f(1)=2,f(﹣1)=﹣1,∴f(1)+f(﹣1)=2﹣1=1.故答案为：1.4.(5分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(,8),则f(2)=.【解答】解：∵幂函数y=f(x)=x a的图象过点(,8),∴()a=8,解得a=﹣3,∴f(x)=x﹣3,∴f(2)=2﹣3=.故答案为：.5.(5分)把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,所得到的图象的函数表达式为y=sin(x+).【解答】解：把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,所得到的图象的函数表达式为y=sin(x+),故答案为：.6.(5分)9=4.【解答】解：原式=2+=2+2=4.故答案为：4.7.(5分)函数y=sinx+cosx的单调递增区间为[2kπ﹣,2kπ+](k∈Z).【解答】解：∵y=sinx+cosx=(sinx+cosx)=(sinxcos+cosxsin)=sin(x+),∴对于函数y=sin(x+),由2kπ﹣≤x+≤2kπ+,(k∈Z)可得：函数y=sinx+cosx,x∈R的单调递增区间是[2kπ﹣,2kπ+](k∈Z),故答案为[2kπ﹣,2kπ+](k∈Z).8.(5分)若函数y=sin(πx+φ)过点,则f(0)=.【解答】解：∵函数y=sin(πx+φ)过点,∴1=sin(φ)得：φ=,(k∈Z)φ=.那么：函数y=sin(),当x=0时,可得y=sin()=sin=.故f(0)=.故答案为：.9.(5分)若的夹角为60°,,,则=.【解答】解：的夹角为60°,,,则=++2||•||•cos60°=1+4+2×1×2×=7,∴=,故答案为：10.(5分)在△ABC中,D为边BC上一点,且AD⊥BC,若AD=1,BD=2,CD=3,则∠BAC的度数为135°.【解答】解：由题意,AB=,AC=,BC=5,由余弦定理可得cos∠BAC==﹣,∵0°＜∠BAC＜180°∴∠BAC=135°,故答案为135°.11.(5分)若,则sin2θ=.【解答】解：若,∴sin2θ=====,故答案为：.12.(5分)若锐角α,β满足cos2α+cos2β=1,则=.【解答】解：∵sin2α+cos2α=1,cos2α+cos2β=1,∴sin2α=cos2β,又∵α,β是锐角,可得sinα=cosβ,即β+α=那么：=cos=.故答案为：13.(5分)若方程||x|﹣a2|﹣a=0有四个不同的实根,则实数a的取值范围为(1,+∞).【解答】解：方程||x|﹣a2|﹣a=0,可得方程||x|﹣a2|=a,∴a＞0,∴|x|=a2±a,∵方程||x|﹣a2|﹣a=0有四个不同的实根,∴a2+a＞0且a2﹣a＞0,∴a＞1,故答案为(1,+∞).14.(5分)已知函数f(x)=x3+x+1,若对任意的x,都有f(x2+a)+f(ax)＞2,则实数a的取值范围是0＜a＜4.【解答】解：构造函数g(x)=f(x)﹣1=x3+x,则函数是奇函数,在R上单调递增,f(x2+a)+f(ax)＞2,等价于g(x2+a)+g(ax)＞0,∴x2+a＞﹣ax,∴x2+ax+a＞0,∴△=a2﹣4a＜0∴0＜a＜4,故答案为0＜a＜4.二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(15分)已知集合A={x|2x≥16},B={x|log2x≥a}.(1)当a=1时,求A∩B；(2)若A是B的子集,求实数a的取值范围.【解答】解：集合A={x|2x≥16}={x|x≥4},B={x|log2x≥a}={x|x≥2a}.(1)当a=1时,B={x|x≥2},故A∩B={x|x≥4}；(2)若A是B的子集,则4≥2a,解得：a≤2.16.(15分)已知向量,.(1)若,求x的值；(2)当x∈[0,2]时,求的取值范围.【解答】解：(1)因为向量,,,所以(2﹣x)(1+x)=1×2,即为x2﹣x=0解得x=0或x=1；(2)因为,,所以,所以,因为x∈[0,2],当x=时取得最小值﹣,当x=0时,x2﹣3x=0；当x=2时,x2﹣3x=﹣2,可得最大值为0,所以的取值范围.17.(15分)如图,某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯,AO为滑道,∠OBA为直角,OB=20米,设∠AOB=θrad,一个小朋友从点A沿滑道往下滑,记小朋友下滑的时间为t秒,已知小朋友下滑的长度s与t2和sinθ的积成正比,当时,小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米.(1)求s关于时间t的函数的表达式；(2)请确定θ的值,使小朋友从点A滑到O所需的时间最短.【解答】解：(1)由题意,设S=kt2sinθ,t＞0,当时,S=10,∴,解得：k=5,∴故得S关于时间t的函数的表达式；S=5t2sinθ,t＞0；(2)由题意,∠OBA为直角,∠AOB=θrad,可得：,∴,化简可得：,∴当时,时间t最短.18.(15分)已知函数,x∈R.(1)求函数f(x)的最大值；(2)若,θ∈R,求的值.【解答】解：(1)函数,x∈R.化简可得：=,∴当时,；(2)由(1)可得f(x)=,∵,∴,即,∴=19.(15分)如图,在△ABC中,,.(1)用,表示；(2)若,,求证：；(3)若,求的值.【解答】解：(1)因为,所以,所以,证明：(2)因为,所以,即,即,又因为,所以,即.所以,所以,(3)因为,所以,即,因此,同理,又,所以,因为,所以,即①又因为,,所以,所以,即②由①②得.20.(15分)已知函数f(x)=﹣x2+2|x﹣a|,x∈R.(1)若函数f(x)为偶函数,求实数a的值；(2)当x=﹣1时,函数f(x)在x=﹣1取得最大值,求实数a的取值范围.(3)若函数f(x)有三个零点,求实数a的取值范围.【解答】解：(1)任取x∈R,则f(﹣x)=f(x)恒成立,即﹣(﹣x)2+2|﹣x﹣a|=﹣x2+2|x﹣a|恒成立,∴|x﹣a|=|x+a|恒成立,两边平方得：x2﹣2ax+a2=x2+2ax+a2,∴a=0；(2),因为函数y=f(x)在x=﹣1时取得最大值,当a≥1时,必须f(﹣1)≥f(a),即1+2a≥﹣a2+2a﹣2a,即(a+1)2≥0,所以a≥1适合题意；当﹣1＜a＜1时,必须f(﹣1)≥f(1),即1+2a≥1﹣2a,即a≥0,所以0≤a＜1适合题意；当a≤﹣1时,因为f(﹣1)＜f(1),不合题意,综上,实数a的取值范围是[0,+∞).(3),,,当△1=0时,,此时函数有三个零点1,；当△2=0时,,此时函数有三个零点；当△1＞0,△2＞0时,即时,方程﹣x2+2x﹣2a=0的两根为,方程﹣x2﹣2x+2a=0的两根为,因为,所以且,解得a=0,或者且,此时无解,综上得或0.。

2018-2018学年江苏省泰州市泰兴中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．设集合A={3，m}，B={3m，3}，且A=B，则实数m的值是．2．已知函数f（2x﹣1）=4x2，则f（1）=．3．函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的减区间为（﹣∞，4]，则a=．4．函数f（x）=的定义域为．5．函数f（x）=+2x的值域为．6．将指数函数y=2x的图象向右平移2个单位长度后，得到函数y=f（x）的图象，则f（x）=．7．函数f（x）=，且f（1）+f（a）=﹣2，则a的取值集合为．8．计算：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=．9．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，f（2）=0，且当0＜x1＜x2时有＞0，则不等式f（x）＜0的解集是．10．若函数y=|log2x|在区间（0，a]上单调递减，则实数a的取值范围是．11．若函数y=x2﹣4x的定义域为[﹣4，a]，值域为[﹣4，32]，则实数a的取值范围为．12．已知函数f（x）=alog2x﹣blog3x+2，若f（）=4，则f=，若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是．14．函数f（x）=ax2﹣2018x+2018（a＞0），在区间[t﹣1，t+1]（t∈R）上函数f（x）的最大值为M，最小值为N．当t取任意实数时，M﹣N的最小值为1，则a=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知集合A={1，3，x2}，B={1，2﹣x}，且B⊆A．（1）求实数x的值；（2）若B∪C=A，且集合C中有两个元素，求集合C．16．二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．17．已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣x+1．（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（2）根据函数f（x）的图象回答下列问题：①求函数f（x）的单调区间；②求函数f（x）的值域；③求关于x的方程f（x）=2在区间[0，2]上解的个数．（回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）18．某厂生产某种产品x（百台），总成本为C（x）（万元），其中固定成本为2万元，每生产1百台，成本增加1万元，销售收入（万元），假定该产品产销平衡．（1）若要该厂不亏本，产量x应控制在什么范围内？（2）该厂年产多少台时，可使利润最大？（3）求该厂利润最大时产品的售价．19．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．2018-2018学年江苏省泰州市泰兴中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．设集合A={3，m}，B={3m，3}，且A=B，则实数m的值是0．【考点】集合的相等．【分析】由A=B从而得到m=3m，从而解出m=0．【解答】解：A=B；∴m=3m；∴m=0；故答案为：0．2．已知函数f（2x﹣1）=4x2，则f（1）=4．【考点】函数的值．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：函数f（2x﹣1）=4x2，则f（1）=f（2×1﹣1）=4×12=4．故答案为：4．3．函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的减区间为（﹣∞，4]，则a=﹣3．【考点】二次函数的性质．【分析】求出函数的对称轴，结合函数的单调性求出a的值即可．【解答】解：f﹙x）=x2+2﹙a﹣1﹚x+2=x2+2﹙a﹣1﹚x+﹙a﹣1﹚2﹣﹙a﹣1﹚2+2=[x+﹙a﹣1﹚]2﹣﹙a﹣1﹚2+2，f﹙x）是以x=1﹣a为对称轴，开口向上的抛物线，函数f（x）在区间﹙﹣∞，4﹚上是减函数，故4=1﹣a解得：a=﹣3，故答案为：3，4．函数f（x）=的定义域为（0，] ．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．【解答】解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0，且x＞0∴，x＞0∴，x＞0，∴，x＞0，∴0，故答案为：（0，]5．函数f（x）=+2x的值域为[2，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出函数的定义域，再由函数的单调性求得答案．【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1，又y=为[1，+∞）上的增函数，y=2x在[1，+∞）上也是增函数，∴f（x）=+2x是[1，+∞）上的增函数，则f（x）min=2，∴函数f（x）=+2x的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．6．将指数函数y=2x的图象向右平移2个单位长度后，得到函数y=f（x）的图象，则f（x）=2x﹣2．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】直接根据图象的平移变换性质：左加右减，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=2x的图象经过的定点坐标是（0，1），∴函数y=2x的图象经过向右平移2个单位后，经过的定点坐标是（2，1），∴函数为y=2x﹣2故答案为：2x﹣27．函数f（x）=，且f（1）+f（a）=﹣2，则a的取值集合为{﹣1，1} ．【考点】分段函数的应用．【分析】由已知可得：f（a）=﹣1，结合已知中分段函数的解析式分类讨论满足条件的a值，可得答案．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=﹣1，若f（1）+f（a）=﹣2，则f（a）=﹣1，当a≥0时，解a2﹣2a=﹣1得：a=1，当a＜0时，解=﹣1得：a=﹣1，故a的取值集合为：{﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}8．计算：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=2．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算性质化简计算即可．【解答】解：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=2lg2+lg5•（lg4+lg5）+（lg5）2=2lg2+lg5（2lg2+2lg5）=2lg2+2lg5=2，故答案为：2．9．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，f（2）=0，且当0＜x1＜x2时有＞0，则不等式f（x）＜0的解集是（0，2）．【考点】函数单调性的性质．【分析】确定f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（2）=0，f（x）＜0，可得f（x）＜f（2），即可得出结论．【解答】解：∵当0＜x1＜x2时有＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（2）=0，f（x）＜0，∴f（x）＜f（2），∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴不等式f（x）＜0的解集是（0，2）．故答案为：（0，2）．10．若函数y=|log2x|在区间（0，a]上单调递减，则实数a的取值范围是（0，1] ．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】确定函数y=|log2x|的单调减区间、单调增区间，根据函数y=|log2x|在区间（0，a]上单调递减，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数y=|log2x|的单调减区间为（0，1]，单调增区间为[1，+∞）∵函数y=|log2x|在区间（0，a]上单调递减，∴0＜a≤1∴实数a的取值范围是（0，1]故答案为：（0，1]11．若函数y=x2﹣4x的定义域为[﹣4，a]，值域为[﹣4，32]，则实数a的取值范围为2≤a≤8．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】先配方，再计算当x=2时，y=﹣4；当x=﹣4时，y=（﹣4﹣2）2﹣4=32，利用定义域为[﹣4，a]，值域为[﹣4，32]，即可确定实数a的取值范围．【解答】解：配方可得：y=（x﹣2）2﹣4当x=2时，y=﹣4；当x=﹣4时，y=（﹣4﹣2）2﹣4=32；∵定义域为[﹣4，a]，值域为[﹣4，32]，∴2≤a≤8∴实数a的取值范围为2≤a≤8故答案为：2≤a≤812．已知函数f（x）=alog2x﹣blog3x+2，若f（）=4，则f+f的值．【解答】解：由函数f（x）=2+alog2x+blog3x，得f（）=2+alog2x+blog3x=2﹣alog2x﹣blog3x=4﹣（2+alog2x+blog3x），因此f（x）+f（）=4，再令x=2018得f（）+f=4﹣f（）=0，故答案为：0．13．已知函数f（x）=，若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（﹣5，4）．【考点】函数的值域．【分析】由函数的单调性求得函数y=x+4在（﹣∞，a）上的值域，然后分a≤1和a＞1求得y=x2﹣2x（x≥a）的值域，结合函数f（x）的值域为R列关于a的不等式求解．【解答】解：函数y=x+4在（﹣∞，a）上为增函数，值域为（﹣∞，a+4）．若a≤1，y=x2﹣2x（x≥a）的值域为[﹣1，+∞），要使函数f（x）的值域为R，则a+4＞﹣1，得a＞﹣5，∴﹣5＜a≤1；若a＞1，y=x2﹣2x（x≥a）的值域为[a2﹣2a，+∞），要使函数f（x）的值域为R，则a+4＞a2﹣2a，解得﹣1＜a＜4，∴1＜a＜4．综上，使函数f（x）的值域为R的实数a的取值范围是（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．14．函数f（x）=ax2﹣2018x+2018（a＞0），在区间[t﹣1，t+1]（t∈R）上函数f（x）的最大值为M，最小值为N．当t取任意实数时，M﹣N的最小值为1，则a=1．【考点】二次函数的性质．【分析】结合二次函数的图象可知，当且仅当区间[t﹣1，t+1]的中点是对称轴时，只要满足[t﹣1，t+1]上M﹣N=1成立，则对其它任何情况必成立．【解答】解：因为a＞0，所以二次函数f（x）的图象开口向上，在区间[t﹣1，t+1]（t∈R）上函数f（x）的最大值为M，最小值为N，当t取任意实数时，M﹣N的最小值为1，只需t=时，f（t+1）﹣f（t）=1，即a（t+1）2﹣2018（t+1）+2018﹣（at2﹣2018t+2018）=1，即2at+a﹣2018=1，将t=代入得a=1，故答案为：1．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知集合A={1，3，x2}，B={1，2﹣x}，且B⊆A．（1）求实数x的值；（2）若B∪C=A，且集合C中有两个元素，求集合C．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）直接利用集合的包含关系进行计算即可得到答案．（2）B∪C=A，说明，B⊆A，且C⊆A，集合C中有两个元素，即可求集合C．【解答】解：（1）∵B⊆A，∴2﹣x=3或2﹣x=x2解得：x=﹣1或x=1或x=﹣2，当x=﹣1或x=1时，x2=1，集合A违背了集合元素的特征（互异性）．∴x=﹣2（2）由（1）知A={1，3，4}，B={1，4}，∵B∪C=A，∴3∈C又∵集合C中有两个元素．∴C={1，3}或C={3，4}16．二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．【分析】（1）由二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3，可求得其对称轴为x=1，可设f（x）=a（x﹣1）2+1（a＞0），由f（0）=3，可求得a，从而可得f（x）的解析式；（2）由f（x）的对称轴x=1穿过区间（2a，a+1）可列关系式求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）为二次函数且f（0）=f（2），∴对称轴为x=1．又∵f（x）最小值为1，∴可设f（x）=a（x﹣1）2+1，（a＞0）∵f（0）=3，∴a=2，∴f（x）=2（x﹣1）2+1，即f（x）=2x2﹣4x+3．（2）由条件知f（x）的对称轴x=1穿过区间（2a，a+1）∴2a＜1＜a+1，∴0＜a＜．17．已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣x+1．（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（2）根据函数f（x）的图象回答下列问题：①求函数f（x）的单调区间；②求函数f（x）的值域；③求关于x的方程f（x）=2在区间[0，2]上解的个数．（回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值域；函数图象的作法；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据函数f（x）的解析式可得函数的图象．（2）结合函数的图象可得，①函数f（x）的单调递增区间和单调递减区间，②函数f（x）的值域，以及③方程f（x）=2在区间[0，2]上解的个数．【解答】解：（1）根据函数f（x）=2|x﹣1|﹣x+1=．可得函数的图象，如图所示：（2）结合函数的图象可得，①函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1]；②函数f（x）的值域为[0，+∞），③方程f（x）=2在区间[0，2]上解的个数为1个．18．某厂生产某种产品x（百台），总成本为C（x）（万元），其中固定成本为2万元，每生产1百台，成本增加1万元，销售收入（万元），假定该产品产销平衡．（1）若要该厂不亏本，产量x应控制在什么范围内？（2）该厂年产多少台时，可使利润最大？（3）求该厂利润最大时产品的售价．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意写出成本函数，则收入函数减去成本函数即可得到利润函数．（1）由利润函数大于等于0，分段求解x的取值范围，取并集得答案；（2）分段求解利润函数的最大值，取各段最大值中的最大者；（3）（2）中求出了利润最大时的x的值，把求得的x值代入得答案．【解答】解：由题意得，成本函数为C（x）=2+x，从而利润函数．（1）要使不亏本，只要L（x）≥0，当0≤x≤4时，L（x）≥0⇒3x﹣0.5x2﹣2.5≥0⇒1≤x≤4，当x＞4时，L（x）≥0⇒5.5﹣x≥0⇒4＜x≤5.5．综上，1≤x≤5.5．答：若要该厂不亏本，产量x应控制在100台到550台之间．（2）当0≤x≤4时，L（x）=﹣0.5（x﹣3）2+2，故当x=3时，L（x）max=2（万元），当x＞4时，L（x）＜1.5＜2．综上，当年产300台时，可使利润最大．（3）由（2）知x=3，时，利润最大，此时的售价为（万元/百台）=233元/台．19．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式．【解答】解：（1）当a=b=2时，，∵，f（1）=0，∴f（﹣1）≠﹣f（1），∴函数f（x）不是奇函数．（2）由函数f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x都成立，整理得（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0对定义域内任意实数x都成立，∴，解得或经检验符合题意．（3）由（2）可知易判断f（x）为R上的减函数，证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1＞0，∴在定义域R上单调递减，且＞0，∴在R上单调递减．由，不等式，等价为f（x）＞f（1），由f（x）在R上的减函数可得x＜1．另解：由得，即，解得2x＜2，∴x＜1．即不等式的解集为（﹣∞，1）．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】奇偶性与单调性的综合；二次函数的性质．【分析】（1）根据函数为偶函数，f（﹣x）=f（x）对任意实数x恒成立，即|﹣x﹣a|=|x﹣a|任意实数x成立，去绝对值然后比较系数，可得a=0；（2）分三种情况加以讨论：当a＞0时，将方程f（x）=g（x）两边平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，构造新函数h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，通过讨论h（x）图象的对称轴方程和顶点坐标，可得0＜a＜﹣1；当a＜0时，用同样的方法得到﹣1＜a＜0；而当a=0时代入函数表达式，显然不合题意，舍去．最后综合实数a的取值范围；（3）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x﹣a|，根据实数a与区间[1，2]的位置关系，分4种情况加以讨论：①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），根据函数的单调增的性质，可得y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；②当1＜a≤2时，化成两个二次表达式的分段函数表达式，其对称轴为，得到所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，最大值决定于F（1）与F（2）大小关系．因此再讨论：当时，y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；当时，y=F（x）的最大值为F（1）=a2﹣a；③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，恰好在对称轴处取得最大值：；④当a＞4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，在区间[1，2]上函数是增函数，故最大值为F（2）=2a2﹣4a．最后综止所述，可得函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值的结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x﹣a|为偶函数，∴对任意的实数x，f（﹣x）=f（x）成立即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立∵x+a=a﹣x不能恒成立∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0．…（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，…令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，因为h（0）=﹣a2＜0，所以，故0＜a＜1；…同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．…（3）令F（x）=f（x）•g（x）①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），对称轴，函数在[1，2]上是增函数，所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．②当1＜a≤2时，，对称轴，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a ﹣2a2，1）若F（1）＜F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2；2）若F（1）≥F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a．③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）对称轴，此时，④当a＞4时，对称轴，此时．综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值…2018年10月15日。

高i 数学试題第1页共4页2017-2018学年度第一学期期末考试高一数学试题(考试时间:120分钟：总分:160分) 命题人： 审題人：注意丰项：所冇试题的答案均填写在答題纸上.答案写在试#上的无效.一、填空題(本大题共12小颐.毎小题5分，共60分・谓将答案填入答题纸填空题的相 应答題线上・)1. 己知集合力={0,1,3,5},3 = {1,5},则C/= ▲ .2. 函数y = V7+l 的值域为▲•3. 已知幕函数y^f(x)的图象经过点(8,2),则因数y = f(x)的解析式为/(x )=——•4. 函数f(x) = 2宀的单调递减区间为 ▲. 5.己碍敦如={二；：醫，町6. 已知函数y = /(x)为奇函数，且x>0时./(x)=i+l.则/(-2)=_・X7. 已知丽”卜1,乔夹角为彳，若(2-阀丄厶，则实数k 的值为 ▲ . &将函数y = sin2xM 图彖向右平移夕个单位所得到的图彖的的数解析式为_A_・ 6 9. 关于x 的方程x 2-(2/w + l)x-m + 5 = 0的两个根心冷满足X )< 1 <x 2.则实数加的取值范围坦 ▲・(用区间示)10. 已知 cos(a +号卜 扌)，则 sin a = k两点.则而•疋的值为_A_C).的值是11 •点"是半径为3的圆O 上任意一点,若而=2就过B 作Q4的12・已知函数/(x)=i|x-l|+|x-A:|,当有三个不同的实数八使得它们对应的函数的最小值都为加时，实数加的取值范围是_ ▲.二・解答題(本大题共8小题，共100分.解答应写岀文字说明.证明过程或演算步骤.) 13・(本小题满分10分〉已知函数/(x) = lg(x-l) + lg(3-x)的定义域为/!•函数g(x) = ?+2x + m的值域为B.(1)求集合J,B；(2)若AaB.求实数加的取值范创.14.(本小题满分10分)已知a =(2,4), a + J = (-1,3).(1)求円的值；(2)求2与乙夹角0的大小.15.(本小题满分12分)已知tana = 2・(I)求lan(a +中的值；⑵求警貰怦的值.sin(兀-a)+3cosa16・(本小题满分12分)某付同学用“五点法”画函数f(x) = Asin(a)x +(p) (A >O M>O,O<0<壬)在某一个周期内的图彖时，列表并填入了部分数据，如表：(D求函数y = /(x)的解析式；■ ■(2)求函数^ = /(x)(xe )的值域.高一数学试题第2页共4页高一数学试题第3页共4页17・（本小题满分14分）如图，线段仞,BC 相交于点0,且Ob^Ud,OC = ~BO, E 、F 分别是线段AB 、18.（本小题满分14分）现有一块足够长的铁皮，宽度为5・以铁皮边上一点"作为矩形的顶点剪出一个矩形小 铁皮片ABCD,且其中一边/1B 所在直线与铁皮边缘的夹角为30° （如图1）.（1） 如剪出的矩形小铁皮片ABCD 的对角线力C 与铁皮边缘垂直（如图2）＞求矩形 小铁皮片ABCD 的面积；（2） 求可截得的矩形小铁皮片ABCD 的面枳的最大值，并求此时对应的矩形小铁皮片 ABCD 的长与宽.图1图2L19・(本小題满分14分)在如图所示宜角坐标系X。

2017-2018学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（共13小题，每小题5分，满分65分）1．（5分）双曲线x2﹣y2=1的离心率为．2．（5分）命题“∀x∈（0，），sinx＞0”的否定是．3．（5分）已知集合M={1，x}，N={1，2，3}，则“x=2”是“M⊆N”的条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）4．（5分）若sin（α﹣）=1，则cos（α+）=．5．（5分）函数f（x）=log2（3x﹣1）的零点是．6．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=3a1+a2，则=．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5=0圆心为C，点A，B在圆C上，且AB=，则△ABC的面积S△ABC=．8．（5分）若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a）=．9．（5分）已知x、y满足不等式，则（x+1）2+y2的最大值为．10．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=1，a2=2，数列{a n+a n+1}是公差为2的等差数列，则S9=．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣mx+1，x1，x2是f（x）的两个零点，且x1＞x2，则的最小值为．12．（5分）在地面距离旗杆底端分别是10米、20米、30米的A，B，C处测得杆顶的仰角分别为α，β，γ，且α+β+γ=90°，则旗杆高为米．13．（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则=．三、标题14．（5分）已知函数f（x）=，则f（x2﹣2x）＞f（3x﹣4）的解集是．15．（14分）已知sin，，（1）求cosα的值；（2）求函数f（x）=cos2x+的最值．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量=（a，c），=（cosC，cosA）．（1）若，c=a，求角A；（2）若=3bsinB，cosA=，求cosC的值．17．（14分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，记数列{a n}，{b n}的前n项的和分别为S n，T n，a2=b2，a5=b3．（1）若a1=b1=1，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）S1﹣S5=2（T3﹣T1），求的值．18．（16分）如图，已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．（Ⅰ）若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；（Ⅱ）记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．19．（16分）某湿地公园有一边长为4百米的正方形水域ABCD，如图，EF是其中轴线，水域正中央有一半径为1百米的圆形岛屿M，小岛上种植有各种花卉．现欲在线段AF上某点P处（AP的长度不超过1百米）开始建造一直线观光木桥与小岛边缘相切（不计木桥宽度），与BC相交于Q点．过Q点继续建造直线木桥NQ与小岛边缘相切，NQ与中轴线EF交于N点，N点与E点也以木桥直线相连．（1）当AP=1百米时，求木桥PQ的长度（单位：百米）；（2）问是否存在常数m，使得mQN+NE为定值？如果存在，请求出常数m，并给出定值，如果不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣2a．（1）若f（1）=0，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若函数f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a，是这三个零点恰好成等比数列？若存在，求出满足要求的a值；若不存在，请说明理由．三、附加题（共4小题，满分40分）21．（10分）已知椭圆C的方程是，直线l的参数方程为（t 为参数，t∈R），试在椭圆C上求一点M，使它到直线l的距离最大．22．（10分）已知椭圆O1和O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．23．（10分）已知抛物线C：x2=4y，直线l经过点（2，1）（1）若直线l与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程；（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且抛物线C在AB两点处的切线的交点在抛物线的准线上，求直线l的方程．24．（10分）一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”，记集合{1，2，3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为f（n）．（1）求f（1），f（2）的值；（2）求f（n）的表达式．2017-2018学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共13小题，每小题5分，满分65分）1．（5分）双曲线x2﹣y2=1的离心率为．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，变形可得﹣=1，则a=1，b=1，则有c==，则其离心率e==，故答案为：．2．（5分）命题“∀x∈（0，），sinx＞0”的否定是“∃x∈（0，），sinx≤0”．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈（0，），sinx＞0”的否定是“∃x∈（0，），sinx≤0”故答案为：“∃x∈（0，），sinx≤0”．3．（5分）已知集合M={1，x}，N={1，2，3}，则“x=2”是“M⊆N”的充分不必要条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【解答】解：若M⊆N，则x=2或x=3，则“x=2”是“M⊆N”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．4．（5分）若sin（α﹣）=1，则cos（α+）=﹣1．【解答】解：∵sin（α﹣）=1，则cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin（﹣α）=﹣sin（α﹣）=﹣1，故答案为：﹣1．5．（5分）函数f（x）=log2（3x﹣1）的零点是．【解答】解：函数f（x）=log2（3x﹣1）的零点就是：log2（3x﹣1）=0的根，解得3x﹣1=1，即x=．函数的零点为：．故答案为：．6．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=3a1+a2，则=3．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，若S3=3a1+a2，则有a1+a2+a3=3a1+a2，变形可得a3=2a1，即a1q2=2a1，则q2=2，则==1+q2=3；故答案为：3．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5=0圆心为C，点A，B在圆C上，且AB=，则△ABC的面积S△ABC=．【解答】解：已知圆C：x2+y2﹣6x+5=0，转化为：（x﹣3）2+y2=4，点A，B在圆C上，且AB=，则圆心（3，0）到直线AB的距离为：，则：．故答案为：8．（5分）若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a）=0．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，设x＞0，则有f（x）=x（x+a），同时有﹣x＜0，f（﹣x）=﹣（﹣x）[（﹣x）+2]=x（2﹣x），又由函数为奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），则有x（x+a）=﹣x（2﹣x），解可得a=﹣2；则f（a）=﹣（﹣2）（﹣2+2）=0故答案为：0．9．（5分）已知x、y满足不等式，则（x+1）2+y2的最大值为．【解答】解：作出x、y满足不等式对应的平面区域，（x+1）2+y2的几何意义是区域内的点到定点C（﹣1，0）的距离的平方，由图象知AC的距离最大，由解得A（，）此时最大值为：（+1）2+（）2=，故答案为：．10．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=1，a2=2，数列{a n+a n+1}是公差为2的等差数列，则S9=45．}是公差为2的等差数列，【解答】解：∵数列{a n+a n+1=（a1+a2）+2（n﹣1）=3+2（n﹣1）=2n+1．∴a n+a n+1∴S9=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a6+a7）+（a8+a9）=1+（2×2+1）+（2×4+1）+（2×6+1）+（2×8+1）=45．故答案为：45．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣mx+1，x1，x2是f（x）的两个零点，且x1＞x2，则的最小值为2．【解答】解：由题意得：x1+x2=m，x1x2=1，x1=，x2=，故===+≥2=2，当且仅当m2﹣4=2即m=±时“=”成立，故答案为：2．12．（5分）在地面距离旗杆底端分别是10米、20米、30米的A，B，C处测得杆顶的仰角分别为α，β，γ，且α+β+γ=90°，则旗杆高为10米．【解答】解：设塔高为hm，则tanα=，tanβ=，tanγ=，∵α+β+γ=90°，∴tan（α+β）tanγ=1，∴•=1，∴h=10．故答案为：10．13．（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则=9．【解答】解：以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设∠ADC=α，则A（6cosα，6si nα），E（3cosα，3sinα），C（3，0），B（﹣3，0），设F（a，b），则，解得a=4cosα+1，b=4sinα，∴=（﹣3﹣6cosα，﹣6sinα），=（1﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（﹣3﹣6cosα）（1﹣2cosα）+12sin2α=12cos2α﹣3+12sin2α=9．故答案为：9．三、标题14．（5分）已知函数f（x）=，则f（x2﹣2x）＞f（3x﹣4）的解集是（2，4）．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，有x＞0，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时f（x）==1，当x≥1时，lnx≥0，此时f（x）==﹣1，分析可得：此时f（x）为减函数，且f（1）==1，则此时有f（x）≤1；若f（x2﹣2x）＞f（3x﹣4），必有，解可得：2＜x＜4，则f（x2﹣2x）＞f（3x﹣4）的解集是（2，4）；故答案为：（2，4）．15．（14分）已知sin，，（1）求cosα的值；（2）求函数f（x）=cos2x+的最值．【解答】解：（1）∵已知sin，，∴α+为钝角，cos（α+）=﹣=﹣，∴cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣•+•=．（2）函数f（x）=cos2x+=cos2x+×sinx=1﹣2sin2x+2sinx，故当sinx=时，函数f（x）取得的最大值；当sinx=﹣1时，函数f（x）取得的最小值﹣3．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量=（a，c），=（cosC，cosA）．（1）若，c=a，求角A；（2）若=3bsinB，cosA=，求cosC的值．【解答】解：（1）∵，∴acosA=ccosC．由正弦定理，得sinAcosA=sinCcosC．化简，得sin2A=sin2C．∵A，C∈（0，π），∴2A=2C或2A+2C=π，从而A=C（舍）或A+C=．∴．在Rt△ABC中，tanA==，．（2）∵=3bcosB，∴acosC+ccosA=3bsinB．由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=3sin2B，从而sin（A+C）=3sin2B．∵A+B+C=π，∴sin（A+C）=sinB．从而sinB=．∵，A∈（0，π），∴，sinA=．∵sinA＞sinB，∴a＞b，从而A＞B，B为锐角，．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，=．17．（14分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，记数列{a n}，{b n}的前n项的和分别为S n，T n，a2=b2，a5=b3．（1）若a1=b1=1，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）S1﹣S5=2（T3﹣T1），求的值．【解答】解：（1）数列{a n}是等差数列，设公差为d，数列{b n}是等比数列，设公比为q，a2=b2，a5=b3．且a1=b1=1，解得：d=2，或0，q=3或1．则：a n=2n﹣1，或a n=1，b n=1．（2）由于：S 7﹣S5=2（T3﹣T1），则：a6+a7=2（b2+b3），所以：d=2a1．a2=b2=3a1，a5=b3=9a1，所以：q=3．所以：=．18．（16分）如图，已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．（Ⅰ）若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；（Ⅱ）记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设其方程为y=k（x+1）．将其代入，整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），所以．故点G的横坐标为．依题意，得，解得．（Ⅱ）假设存在直线AB，使得S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．由（Ⅰ）可得．因为DG⊥AB，所以，解得，即．因为△GFD∽△OED，所以S1=S2，所以|GD|=|OD|．所以，整理得8k2+9=0．因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1=S2．19．（16分）某湿地公园有一边长为4百米的正方形水域ABCD，如图，EF是其中轴线，水域正中央有一半径为1百米的圆形岛屿M，小岛上种植有各种花卉．现欲在线段AF上某点P处（AP的长度不超过1百米）开始建造一直线观光木桥与小岛边缘相切（不计木桥宽度），与BC相交于Q点．过Q点继续建造直线木桥NQ与小岛边缘相切，NQ与中轴线EF交于N点，N点与E点也以木桥直线相连．（1）当AP=1百米时，求木桥PQ的长度（单位：百米）；（2）问是否存在常数m，使得mQN+NE为定值？如果存在，请求出常数m，并给出定值，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．圆M的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，P（1，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），则=1，解得k=，∴直线PQ的方程为y=（x﹣1），把x=4代入直线方程得y=，即Q（4，），∴PQ==．答：木桥PQ的长度为百米．（2）设AP=a百米，（0≤a≤1），设PQ方程为y=k（x﹣a），则=1，∴2﹣k（2﹣a）=，设直线NQ斜率为k1，则直线NQ的方程为y﹣k（4﹣a）=k1（x﹣4），令x=2得N（2，k（4﹣a）﹣2k1），∴NE=4+2k1﹣k（4﹣a），∵直线NQ与圆M相切，∴=1，∴﹣2k1﹣2+k（4﹣a）=，∴NQ=|4﹣2|=2=2[﹣2k1﹣2+k（4﹣a）]，∴mNQ+NE=2m[﹣2k1﹣2+k（4﹣a）]+4+2k1﹣k（4﹣a）=（1﹣2m）[2+2k1﹣k （4﹣a）]+2，∴当1﹣2m=0，即m=时，NQ+NE=2．答：存在常数m=，使得NQ+NE为定值2．20．（16分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣2a．（1）若f（1）=0，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若函数f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a，是这三个零点恰好成等比数列？若存在，求出满足要求的a值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（1）=1﹣3+3a﹣2a=0，∴f（x）=x3﹣3x2+6x﹣4，∴f′（x）=3x2﹣6x+6，∴k=f′（1）=3﹣6+6=3，∴切线方程为y=3（x﹣1）=3x﹣3，（2）∵f′（x）=3x2﹣6x+3a=3（x2﹣2x+a），当a≥1时，△≤0，∴f′（x）≥0恒成立，∴函数的增区间为（﹣∞，+∞），当a＜1时，△＞0，当f′（x）＞0时，解得x＜1﹣，或x＞1+，当f′（x）＜0时，解得1﹣＜x＜1+∴函数f（x）增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+），（3）∵函数f（x）有三个相异零点，∴f′（x）=3（x2﹣2x+a）有两个相异的实根，设x1，x2（x1＜x2）则x1=1﹣，x2=1+，∴x1+x2=2，x1x2=a，由（2）可知f（x）在（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）单调递增，在（1﹣，1+）单调递减，∴f（x）极大值=f（x1），f（x）极小值=f（x2），∵f（x1）＞0＞f（x2），∴x13﹣3x12+3ax1﹣2a＞0，①x23﹣3x22+3ax2﹣2a＜0，②，②﹣①得（x23﹣x13）﹣3（x22﹣x12）+3a（x2﹣x1）＜0∵x1＜x2，∴（x2+x1）2﹣x2x1+3（x2+x1）+3a＜0∴4﹣a+6+3a＜0，解得a＜1，假设存在实数a，使f（x）的三个零点恰好成等比数列，x0≠0设，x0，x0q，则f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣2a=（x﹣）（x﹣x0）（x﹣x0q），展开并比较系数可得，由③知a≠0，②÷①得x0=a，代入③解得a=﹣，x=（舍去）当x0=a=﹣时，代入①得q+=﹣1，有实根，故存在a=﹣，使f（x）的三个零点恰好成等比数列．三、附加题（共4小题，满分40分）21．（10分）已知椭圆C的方程是，直线l的参数方程为（t 为参数，t∈R），试在椭圆C上求一点M，使它到直线l的距离最大．【解答】解：线l的参数方程为，则直线为x+y﹣=0，设点M的坐标是（cosθ，sinθ），则点到直线l的距离d==|sin（θ+）﹣1|，∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴sin（θ+）=﹣1，即θ+=2kπ﹣，即θ=﹣+2kπ，k∈Z，此时距离最大，∴cosθ=×（﹣）=﹣，sinθ=﹣，即点M的坐标为（﹣，﹣）22．（10分）已知椭圆O 1和O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解答】解：（1）已知：ρ=2，转化为直角坐标方程为：x2+y2=4，转化为直角坐标为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）由（1）得：，则：2x+2y+2=4，整理得：2x+2y﹣2=0．即：x+y﹣1=0．转化为极坐标方程为：ρcosθ+ρsinθ﹣1=0，即：23．（10分）已知抛物线C：x2=4y，直线l经过点（2，1）（1）若直线l与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程；（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且抛物线C在AB两点处的切线的交点在抛物线的准线上，求直线l的方程．【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，即l为x=2时，显然满足直线l与抛物线C只有一个公共点，当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣2）+1，代入抛物线方程可得，x2﹣4kx+8k﹣4=0，∵直线l与抛物线C只有一个公共点，∴x2﹣4kx+8k﹣4=0有两个相等的实数根，∴△=16k2﹣4（8k﹣4）=0，解得k=1，∴直线方程为y=x﹣1，综上所述直线方程为x=2或y=x﹣1；（2）设A的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）∵抛物线C在AB两点处的切线的交点在抛物线的准线上，方法一：设交点为P，且P（m，﹣1），∵y=x2，∴y′=x，∴k AP=x1=，即x12﹣2mx1﹣4=0，∴k BP=x2=，即x22﹣2mx2﹣4=0，∴x1，x2是方程x2﹣2mx﹣4=0的两个根∴x1x2=﹣4，设直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），即y=kx﹣2k+1由，消y可得x2﹣4kx+4（2k﹣1）=0，∴x1x2=4（2k﹣1），∴4（2k﹣1）=﹣4解得k=0，∴直线方程为y=1；方法二：∵y=x2，∴y′=x，直线PA的方程为y﹣x12=x1（x﹣x1），即y=﹣x1x﹣x12，令y=﹣1，可得x p=直线PB的方程为y﹣x22=x2（x﹣x2），即y=﹣x2x﹣x22，令y=﹣1，可得x p=∴=，即（x1﹣x2）（x1x2+4）=0，∴x1x2=﹣4，设直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），即y=kx﹣2k+1由，消y可得x2﹣4kx+4（2k﹣1）=0，∴x1+x2=4k，x1x2=4（2k﹣1），∴4（2k﹣1）=﹣4解得k=0，∴直线方程为y=1．24．（10分）一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”，记集合{1，2，3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为f（n）．（1）求f（1），f（2）的值；（2）求f（n）的表达式．【解答】解：（1）当n=1时，集合{1，2，3}的子集中是“好集”的有：{3}，{{1，2}，{1，2，3}，共3个，∴f（1）=3；（1分）当n=2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1，2}，{1，5}，{2，4}，{4，5}，{3，6}共5个，三元集有：{1，2，3}，{1，2，6}，{1，3，5}，{1，5，6}，{4，2，3}，{4，2，6}，{4，3，5}，{4，5，6}共8个，四元集有{3，4，5，6}，{2，3，4，6}，{1，3，5，6}，{1，2，3，6}，{1，2，4，5}共五个，五元集{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5}共2个，还有一个全集．∴f（2）=1+（2+5）×2+8=23；（4分）（2）首先考虑f（n+1）与f（n）的关系．集合{1，2，3，…，3n，3n+1，3n+2，3n+3}在集合{1，2，3，…，3n}中加入3个元素3n+1，3n+2，3n+3，∴f（n+1）的组成有以下几部分：①原有的f（n）个集合；②含有元素3n+1的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；③含有元素是3n+1与3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n+2与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+1与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n；④含有元素是3n+1，3n+2，3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中“好集”与它的并，再加上{3n+1，3n+2，3n+3}；∴f（n+1）=2 f（n）+2×23n+1；（7分）两边同除以2n+1，得﹣=4n+，∴﹣=（4n﹣1+4n﹣2+…+4）+（++…+）=+﹣，∴f（n）=2n[（﹣+﹣）+]=2n[+﹣]=+﹣1．（10分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．EB4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。

江苏省泰州中学2017—2018学年度第一学期月度检测2 高一数学试卷填空题：1 •已矩函数^ = tan6；x(d )>0)的fiM 、正周期为彳，则.2•己知是实数，向Ra.b 不共线.且+则Z + 5 = _______ . •，十皿・26兀 (17;r)3•束值：sin + coslI = ・4.算函数/(x) = x w2-4w 的图象关于y 轴对称•且在(0,HO )上递或则整数加二 ________________ 一卄 1 ra.i Sin a + cos a 5•若tana=-,则 ------------ : ----- = ・2 2sina-3cosar____________________ 6•函数/(x) = As\n(a)x+(p)(A 9a)y <p^常数，A>09 a>>0)的7•在边长为1的正三角形力％中• \AB-BC\的值为 _________ -9•将函数/(x) = 2sin(<wx--X^>0)的图象，向左平移生个单位.得到y = g(x)函数的 3 3e图欽.若y = g(x)在［0,兰］上为增函数，则力的最大值为 _________________ . 410.已知函数/(X )为偶瓯数，且/(x + 2) = -/(x),当xw(0,l)时，/(x) = (i)x ,则/(5)= --------------- •11 •若点P (L T)在角炉(一打<0<0)终边匕 则函数^ = 3COS (X +^),X €(0^］的单调减区间为 ___________________AE^AAB^pAC.則U + lF+x?的取值范圈为 _____________________2017.12. 25部分图彖如右图所示，PW/(O)12•在△磁中，点〃满足BD = -Sc 4 当点F 在射线(不含点/0上移动时，若13•已知/(x) = f ,若对任意处[0冷],不等式/(cos^ + 2sin^-l) + |>0恒成 [3x - 2, x < 1 2 3 2 立，2的取值范围为 _________________ •14•设函数/(x)=4卩T ' X<2•若函数/⑴恰有2个零点•则实数a 的取位范围[x 2 -3ar + 2a 2 , x>2是 _________________ ・二、解答题 15.设函数/(x) = -n==和g(x) = ln(-x 2 + 4x-3)的定义域分别为集合A 和B.(1) 当a = 2,求函数y = /(x) + g(x)的定义域；(2) 若AD ([K B) =A,求实数a 的取值范围.(1) sin a-cosa ； ⑵叫严卜叫尹J16.已知sin(^-a)-cos(^ + a) = — 近(兀・,—<a<n 3 U•求下列各式的值:17. 某游乐园的摩天轮最髙点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟. 如果某人从摩天轮的最低点P 处登上摩天轮并开始计时，那么：69(1) 当此人第四次距离地面㊁米时用了多少分钟？(2) 当此人距离地面不低于(59+詼)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？iur 18.如图，在AOAB 中，OC = 1 us iur i uno t （）4QD 专 OB UUD r ua r,AD 与BC 交于点儿设OA = a 、OB = b ・ r r (1)试用向粒a 和b 表示; (2)在线段AO 上取一点E.线段B0上取一点F,使EF 过M 点, un uun uu uuc OE19.己知点川石,/(x J), B(X2,))雄函数/(X)= 2 sin(ex + 0)9 > 0,-彳 < 0 < 0)图象上的任意两点，且角(P的终边经过点P(l,-J5),若|/(x,)-/(x2)| = 4时,1^-xJ的最小值为£・3(1)求函数/(x)的解析式：(2)求函数/(x)的单调递增区间；⑶当XW 0,-时,不等式mf(x) + 2m^f(x)恒成乂求实数加的取值范围.620.己知函数/(x) = x|2a-x| + 2x^e7?・(1)若a = 0,判断函数y = f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)若函数/(x)在R上是增函数，求实数a的取直范围；(3)若存在实数ae[-2,2],便得关于x的方程/(x)-/f(2a) = 0有三个不相等的实数根，求实数/的取值范围.35 江苏省泰州中学2017—2018学年度第一学期月度检测2高一数学答案1. 3=22. 13.3=25. 6.乎 7.弋8・二?出.9.210.-11. f-,/r 32 L4 12. (l,4co)13. A>-14. D>2)U[4,+<o)6 二•解答題：15•解：(1) 8=2 时.即1V X V2・苗数y 的定义域为(L 2)；(2) VA= ( -»» a). B= (b 3)rCtB= ( - 8, i]u[3, 若 AC (佔)=A.则 8W1. ••・实数a 的取值范围是1]. 16•解:(1)由 sin (% ・ a ) -cos得 sin a *cosa ・① 3斑①式两边平方.得H2sinacosa-|・7/.2sina cos a =-—・又 y <a<7lt .'.sina >0, cos a <0.Asina ・ cos a >0・：• (sina ・ cos a ) 2= (sina *cosa ) J - 4sina cosaAsina ・cosax<2(cosa-sina)(cosa>sina)=^x|=^ 17.⑴设此人登上厚天轮r 分钟时距地面丁米，则98 98 誘 九由 /=108—2— cosTg-1=—49cosy t+59 (r^0)・ 令一49cosyt+59=^» 得 co 晋尸冷. 所以春口加故 e=18A±3r kWZ,故 t«3. 15, 2b 33.eg故当此人第四次距离地面亍米时用了 33分钟.⑵由題意得一49cosy t+59 59 +^p/3. 即 cosyt<—故不妨在第一个周期内求即可. 所以¥<春氏fW 务因此岸天轮族转一圈中有3分忡可以看到游乐园的全貌.18. «： (1) •••&=； 0B=b由A.监D 三点共线可得存在实数t 使得0M=t0A+(l-t) OD-t O 4* <1 - t>e y同理由C, M. B 三点共找可得存在实数入使得亦+(1从)&=入匸丄台c - sin 2 a ⑵ sin 2)-cos19•解；(1)角卩的终边经过点PQ,J)，= •••-彳・・.0二-彳・由|/(xJ-/(X2)卜4时的最小值为彳，得T = y,即违弋,：.3 = 3 .-./(x) = 2sin(3x-j)t K it f Rn if , 5/t 2ktt(2)-亍+2A TT S3X■亍S，+ 2br,即■厉+-y—SxS花+-y・■•:因tt/(x)的单诡递增区间为■佥+警，器+罟 2■■(3 > 当xw；O,专时,Js/(x)Sl, 于&,2+f(x)>G,mf(x) + 2m>f(x) 粉于泌媼亠昴’由J"*"得詁焉林大值時所以，实数加的取值范曲是加2*20・解:(1) £数y寸(x)为奇函数.当沪0时.f (x) »x|x|+2x>Af ( - x) s - xI xI - 2x= - f (x)>•••函数产f (x)为奇函数fc、fx2+(2-2a)x t x>2a(2) f (x) = •-x2+(2+2a)x» x<2a当x^2a时，f (x)的对称轴为,x=a-l；当x<2aW. y»f (x)的对称轴为：x=a+l；•••当8・lW28Wa+l时.f(x)在R上是增函数•即-l^a^l时，函数f (x) 上是增函数：(3)方程f (x) -tf (2a) =0的解即为方程f (x) =tf (2a)的解.①当・1GW1时.函数f (x)在R上是增矗数，•••关于x的方程f ( x ) =tf ( 2a )不町能有三个不相等的实数报；・・・(9分)②当8>1 时.RP 2a>a*l>a-bAf (x)在〈-8, a*l)上单调增.在(fi. 2a)上单调减，在(2a, 上啟调增，•••当f (28)<tf (2a) <f (a*l)时，关于x的方程f (x) =tf (2a)有三个不相等的实数根；B 4a<f4a< (a*l) SVa>L8设 h(a)=*(aW+2)，•••存在W 〔・2. 2]・使得关于x 的方程f (x) -tf (2a)有三个不相等肉实数根, /.l<t<h (a) ... .\l<t<2 8③当 a<-l 时，即 2a<a- l<a*l.Af (x)在 d 2a)上单调堀在(2a ・ a-1)上单调减，在(餌1・*«)上单调增・•••当f (a-1) <tf (2a) <f (2a)时，关于x 的方程f (x) =tf (2a)育三个不相铮的实又可证h(a )W (£+2)(L 2]上单调增即・（B・1）‘Vt・43V4a,设：・设^⑷=-& (a+丄-2),4 a•••存在a6[.2, 2],使得关于x的方程f (x) =tf (2a)有三个不相等的实数根, Al<t<g (a) “又可证g(a)二■丄(a+丄-2)在[・2,・1)上单调减，4 aAg (a) ■君8综上:Kt<|.88。