2018届全国高三原创试卷(四)数学(理科)卷

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到，根据复数模的公式，得到，从而选出正确结果.详解：因为，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目.2. 已知集合，则A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式得，所以，所以可以求得，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.4. 设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.5. 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.6. 在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.8. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.9. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A详解：设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.11. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合1，，则A. B. C. D.2.若复数为纯虚数，则实数a的值为A. 1B. 0C.D.3.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果4.已知的三个顶点坐标分别为，，，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.5.设公差小于0的等差数列的前n项和为，且，则当取得最大值时n的值为A. 6B. 7C. 8D. 116.函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D.7.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是A. 与是异面直线B. 平面C. AE，为异面直线，且D. 平面8.设x，y满足约束条件若目标函数的最大值为18，则a的值为A. 3B. 5C. 7D. 99.如图所示程序框图，若输出的x为，则输入的值为A. 1B.C.D. 210.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为A.B.C.D.11.双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若是和的等比中项，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.12.已知函数，对任意的，，都有恒成立，则实数k的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若的展开式中的项的系数为20，则实数______．14.已知函数，则曲线在处的切线的斜率为______．15.如图，直角中，，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为______．16.半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，已知D为BC边上一点，，若．Ⅰ求的值；Ⅱ若的面积为，求a的值．18.某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，，第六组，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．Ⅰ求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在以上含的人数；Ⅱ从这50名男生中身高在以上含的人中任意抽取2人，该2人身高排名从高到低在全省前130名的人数记为，求的数学期望．附：参考数据：若服从正态分布，则，，．19.已知平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．Ⅰ求证：平面FED；Ⅱ求平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，已知点P是离心率为的椭圆C上的点，，为椭圆C的左右焦点，且的周长为6．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ已知与为平面内的两个定点，方程为的直线l与椭圆C交于M，N两点，问直线AM与BN的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由．21.已知函数．Ⅰ当且时，试判断函数的单调性；Ⅱ若且，求证：函数在上的最小值小于；Ⅲ若在R上是单调函数，求ab的最小值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数Ⅰ求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；Ⅱ设曲线C和直线l相交于A，B两点，点P为曲线C上异于A，B的一点，求面积的最大值．23.已知函数．Ⅰ若不等式的解集为或，求实数a的值；Ⅱ若对，，求实数a的取值范围．答案和解析【答案】1. C2. D3. B4. B5. B6. B7. C8. A9. D10. C11. A12. D13.14.15. ．16.17. 解：Ⅰ在中，，可得，由，可得，，即为，，若，，有，故；Ⅱ由的面积为，得，再由余弦定理可得，可得．18. 解：Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为，高于全市的平均值；由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，即这50名男生身高在以上含的人数为10人．，，，全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，于是，，．．19. 本小题满分12分证明：Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD．平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．，，，平面PDE，平面分解：以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立坐标系．则0，，，0，，，0，，设平面BFG的法向量y，，则，取，得，分平面PBE的法向量1，分设平面BFG与平面PBE所成锐二面角为，则．故平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值为分20. 解：由且，可得，，即椭圆的方程为．设，，联立消去x得，，即，，AM：，BN：，可得，即，解得，故直线AM与BN的交点在同一条直线上．21. 解：Ⅰ由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在R上单调递増．证明Ⅱ由知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，．令，，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于；Ⅲ，所以，由为R上的单调函数，可知一定为单调增函数因此，令，所以，当时，，当时，，在R上为增函数，当时，与矛盾，当时，等价于，等价于，当时，，，令，，则，当，解得，当，解得，当时，，所以ab的最小值为．22. 本小题满分10分解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为，直线l的参数方程为为参数，直线l：分Ⅱ设，点P到直线l的距离：，曲线C是圆心为，半径的圆，圆心到直线l的距离，，面积的最大值为分23. 解：Ⅰ当时，由题意可知，，，．经检验成立．Ⅱ令当时显然不成立；当时，，从而，即．当时，，从而，即．综上可得实数a的取值范围是．【解析】1. 解：；，且；．故选：C．可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2. 解：复数为纯虚数，，，解得．故选：D．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：B．观察等高条形图，能够求出结果．本题考查等高条形图的应用，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4. 解：，，，可得，，向量在方向上的投影为，故选：B．求得向量AB，AC的坐标，再由向量的投影的定义，计算可得所求值．本题主要考查平面向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示以及向量的投影求法，考查运算能力，属于基础题．5. 解：由题意知，，，即，．由等差数列公差小于0，从而取最大值时．故选：B．由题意知，利用通项公式可得：，可得，由等差数列公差小于0，即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：根据函数的部分图象，可得，，，结合五点法作图可得，，函数，则，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．7. 解：A不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在平面；C正确，因为AE，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故A平面不正确；故选：C．由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．8. 解：画出约束条件的可行域，如图：目标函数最大值为18，即目标函数在的交点处，目标函数z最大值为18，所以，所以．故选：A．由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值求出a的值．本题直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，正确作出可行域是解题的关键．9. 解：由题意知时，时，时，时，以此类推可知，解得．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10. 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，，，，．可确定其最大面的面积为．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，分别求出四个三角形的面积，比较得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11. 解：根据题意，设P的坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，则，，，，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，则，则有，解可得，则，若是和的等比中项，则有，则有，变形可得：，则，则该双曲线的离心率，故选：A．根据题意，设P的坐标为，由双曲线的标准方程分析可得、、、的坐标，求出P的坐标，即可得，由等比数列的性质分析可得，则有，将其变形可得，结合双曲线的性质可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的离心率公式，关键是得到关于a、b、c的等式．12. 解：根据题意，不妨设，则等价于，令，则，再设，，原不等式等价于在上恒成立，又由，则，，则有恒成立，又由，则必有，即k的取值范围为；故选：D．根据题意，不妨设，则原不等式等价于，令，则，再设，，求导，求出函数的最值即可求出k的范围本题考查函数的恒成立问题，涉及导数的性质以及应用，关键是将原问题转化为函数的最值问题．13. 解：的展开式的通项公式为，令，可得展开式中的项的系数为，故，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得项的系数，再根据项的系数等于60，求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：，，故答案为：．求出函数的导数，计算的值即可．本题考查了切线的斜率问题，考查导数的应用，是一道基础题．15. 解：根据题意，如图建立坐标系，则，，设N的坐标为，则，设，则，，，则，则，，又由过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则，则有，即，变形可得：；又由，则，则点N的轨迹方程为，；故答案为：，．根据题意，建立坐标系，设N的坐标为，由此分析可得A、M、B的坐标，设，由三角函数的定义分析可得、的值，由平行线的性质分析可得，即，变形即可得答案．本题考查轨迹方程的求法，涉及抛物线的定义，关键是分析得到的值．16. 解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则当圆锥体积最小小球与圆锥侧面相切，由三角形相似可得，即，圆锥的体积．当且仅当即时取等号．故答案为：．根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．本题考查了圆锥的结构特征，体积公式与基本不等式的应用，属于中档题．17. Ⅰ运用余弦定理可得，由，可得，运用余弦定理化简可得，再由正弦定理即可得到所求值；Ⅱ运用三角形的面积公式可得b，再由余弦定理计算可得a的值．本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18. Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为结合频率分布直方图即可得出．由，可得，可得全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD，推导出，由此能证明平面PED．以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z 轴，建立坐标系利用向量法能求出平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．本题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20. Ⅰ由且，即可求出a，c，可得b，即可得到椭圆方程，Ⅱ设，，联立，根据韦达定理和直线方程可得，即可求出直线方程．本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题21. Ⅰ先求导，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断，Ⅱ等价于当时，构造函数，，求出函数的最值即可证明，Ⅲ等价于，构造函数，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题．22. Ⅰ由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l的参数方程，能求出直线的普通方程．Ⅱ设，点P到直线l的距离，再求出，由此能求出面积的最大值．本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23. Ⅰ根据去绝对值，求解的解析式，解集为或，即可求实数a的值；Ⅱ对a进行讨论，去绝对值，求解实数a的取值范围．本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容本小题重点考查化归与转化思想．。

天津市南开中学2018-2019学年高三（下）第四次月考数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集，，，则集合等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：全集，，，或，则，故选：D．求出A与B的并集，根据全集，求出并集的补集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为，故选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当时，由得，得，此时，若，由得，得，此时，若，由得，得，此时，综上，由得，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A．根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4.关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数在上为减函数，则在上为增函数，且在上大于0恒成立．则，解得．实数a的取值范围是．故选：C．由题意可得，在上为增函数，且在上大于0恒成立，得到关于a的不等式组求解．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．5.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为，，圆的半径为，圆心到渐近线的距离为，即，解得，双曲线的离心率为．故选：D．先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．6.已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：定义在R上的函数的图象关于对称，函数的图象关于y轴对称，函数为偶函数，，，，，，又当时，单调递减，，故选：A．由题意可得函数为偶函数，再根据函数的单调性，以及指数函数和对数函数的性质即可比较本题考查了函数的奇偶性和单调性，以及指数函数和对数函数的性质，属于中档题7.已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】解：设直线AB的方程为：，点，，直线AB与x轴的交点为，代入，可得，根据韦达定理有，，，从而，点A，B位于x轴的两侧，，故．不妨令点A在x轴上方，则，又，，当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是，故选：D．先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．8.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，当时，，又由函数为奇函数，则其图象如图：若，，即点在点的下方，分析可得：，即a的取值范围为．故选：C．根据题意，由函数的解析式作出在上的图象，结合函数的奇偶性可得的图象，进而分析可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质，关键是依据题意，作出函数的图象．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标为______．【答案】【解析】解；，，则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为，故答案为：把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.二项式的展开式中常数项为______用数字表示．【答案】【解析】解：二项式的展开式的通项公式是，令，解得；常数项为．故答案为：．利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出常数项．本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活利用二项式展开式的通项公式，是基础题．11.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．【答案】2【解析】解：正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．利用，，能求出的最小值．本题考查代数式的最小值的求法，考查基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.在等腰梯形中，，，，，若，，且，则______．【答案】【解析】解：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，由已知可得，，，，，设，则，，由，得，可得，．，则，，由，得，解得．故答案为：．由已知画出图形，建立平面直角坐标系，然后利用坐标求解．本题考查平面向量的数量积运算，建系求解使问题简单化，是中档题．13.已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为______．【答案】【解析】解：函数，，函数在区间内单调递增，，，；可解得函数的单调递增区间为：，，可得：，，其中，解得：且，，，解得：，，可解得：，又由，；可解得函数的对称轴为：，，由函数的图象关于直线对称，可得：，可解得：．故答案为：．化函数为，由正弦函数的单调增区间求出x的取值范围，结合题意列不等式组求出k的值，再根据函数的对称轴求出的值．本题主要考查了函数的图象与性质的应用问题，正确确定k的值是解题的关键，是中档题．14.已知定义在上的函数及如下的4个命题：关于x的方程有个不同的零点；对于实数，不等式恒成立；在上，方程有5个零点；时，函数的图象与x轴图成的形的面积是4．则以上命题正确的为______把正确命题前的序号填在横线上【答案】【解析】解：当时，；时，；设，则，；，则，；，则，；，则，．画出草图，当时，在上有6个不相等的实根，上只有一个实根，以后再没有了，共有7个不相等的实根，故错；函数的最高点都在曲线上，对于实数，不等式恒成立，故正确；在上，方程即，函数的最高点都在曲线上，可得方程有3个解，故错误；函数的最高点为以4为首项，公比为的等比数列．故当时，函数的最高点为，与x轴围成的面积为故错；故答案为：．根据题意，对选项中的每一个问题进行分析与思考，结合函数的解析式进行解答，即可得出正确的选项．本题考查分段函数及运用，考查函数的表达式和值域，等比数列的通项及运用，考查数形结合的能力，判断能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设Ⅰ求函数的最小正周期和单调递减区间；Ⅱ若锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，且，，，求角C及边c．【答案】解：Ⅰ，，，，的最小正周期．由，得，故的单调递减区间是；Ⅱ在锐角中，，，即由，得．，，由正弦定理，得．由，得故C．由余弦定理，a b ab，故．【解析】Ⅰ利用诱导公式、和差化积公式、积化和差公式进行计算得到，据此求得其最小正周期和单调区间；Ⅱ利用Ⅰ的结论得到，易得由正弦定理得到：结合角B的取值范围和特殊角的三角函数值推知角B的大小，利用三角形内角和定理可以求得角C的大小，所以由余弦定理来求c的值即可．本题考查了正弦定理、余弦定理，三角函数的周期性和单调性，函数y A，x及函数y A；x其中A、、为常数，且A，的周期T．16.某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；Ⅱ设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】解：由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件“恰有1位女棋手”，则，分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为分随机变量X的所有可能取值为0，2，其中，，分所以，随机变量X分布列为随机变量X的数学期望分【解析】Ⅰ利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；Ⅱ求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．17.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为．求证：平面BDE；求二面角的余弦值；设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论．【答案】证明：因为平面ABCD，所以．因为ABCD是正方形，所以，从而平面分解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为，即，所以．由，可知，．则0，，，，3，，3，，所以，．设平面BEF的法向量为y，，则，即．令，则．因为平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以．因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为分点M是线段BD上一个动点，设t，．则．因为平面BEF，所以，即，解得．此时，点M坐标为2，，即当时，平面分【解析】由已知中平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得，，结合线面垂直的判定定理可得平面BDE；以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角的余弦值；由已知中M是线段BD上一个动点，设t，根据平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF 法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中的关键是证得，，熟练掌握线面垂直的判定定理，的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，的关键是根据平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．18.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，，，各项均为正数的等比数列满足，．求数列，的通项公式；若，数列的前n项和；求；若对任意，，均有恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ因为，所以，两式相减得：，即，又因为数列的各项均为正数，所以，又因为，，即，所以当时上式成立，即数列是首项为1、公差为3的等差数列，所以；因为，，所以；Ⅱ由可知．，，两式相减，得：，所以；由可知若对任意，，均有恒成立，等价于恒成立，所以，即恒成立，设，则，所以当时，当时，所以当的最大值为，故，即实数m的取值范围是：．【解析】Ⅰ通过阶差法整理可知，进而验证可知数列是首项为1、公差为3的等差数列，利用、计算即得结论；Ⅱ通过利用错位相减法计算可知；通过可知问题转化为对任意、，均有恒成立，参数分离可知恒成立，进而考虑的单调性即可．本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查转化思想、函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．19.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，离心率为，过椭圆的右焦点F的直线l与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．求椭圆的方程；设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；设，是线段为坐标原点上的一个动点，且，求m的取值范围．【答案】解：由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为，椭圆C的一个顶点为，即由，解得：，所以椭圆C的标准方程为；由得，设，，设直线l的方程为，代入椭圆方程，消去y可得则，，点C与点A关于x轴对称，假设存在，使得C、B、N三点共线，则，，、B、N三点共线，，，即，．存在定点，使得C、B、N三点共线．由，，，，，，解得：，当时，故m的范围为【解析】根据椭圆的一个顶点，即，利用离心率求得a和c关系进而求得a，则椭圆的方程可得；设存在，使得C、B、N三点共线，则，利用向量共线定理可得即可得出．设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理结合向量的数量积公式，即可求得m 的取值范围；本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、两点之间的距离公式、向量垂直与数量积的关系、三点共线问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知函数在处取得极值．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；Ⅲ证明：参考数据：．【答案】解：Ⅰ，函数在处取得极值，，；Ⅱ由Ⅰ知，，设，则，当x变化时，，的变化情况如下表当时，最小值，，方程在上恰有两个不相等的实数根，，；Ⅲ证明：，，，设，则，当时，函数在上是减函数，，当时，，，原不等式成立．【解析】Ⅰ先求出函数的导函数，然后根据在某点取极值的意义可知，解之即可；Ⅱ由Ⅰ知，故，设，研究当x变化时，，的变化情况，确定函数的最值，从而可建立不等式，即可求得结论；Ⅲ设，根据函数的单调性得到当时，，从而累加得到结论．本题主要考查函数的极值以及根的存在性及根的个数判断，同时考查了利用构造函数法证明不等式，是一道综合题，有一定的难度．。

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京海淀区2018届高三数学一模试卷（理科带答案）海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）2018.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合，，且，则可以是(A)(B)0(C)l(D)2(2)已知向量a=(l，2)，b=（，0），则a+2b=(A)（，2）(B)（，4）(C)(1，2)(D)(1，4）(3)执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A)2(B)6(C)8(D)10(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为(A)1(B)2(C)(D)（5）已知，为正实数，则“，”是“”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作，则的值不可能是(A)(B)(C)(D)（7）下列函数中，其图像上任意一点的坐标都满足条件的函数是(A)(B)(C)(D)（8）已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是(A)的取值范围为(B)取值范围为(C)的取值范围为(D)若，则实数的取值范围为第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)复数.(10)已知点(2，0)是双曲线：的一个顶点，则的离心率为.(11)直线（为参数）与曲线（为参数）的公共点个数为.(12)在中，若，，，则，.(13)一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有种不同的站队方法．(14)设函数．①若有两个零点，则实数的取值范围是；②若，则满足的的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分。

绝密★启用前2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）考试时间：120分钟；试卷整理：微信公众号--浙江数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（）A．iB．C．D．2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A 中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2018•新课标Ⅱ）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．14．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．16．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分80分）17．（12分）（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．18．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k （k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．20．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．21．（12分）（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．22．（10分）（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．23．（10分）（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（）A．iB．C．D．【考点】A5：复数的运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：==+．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A 中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可．【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．3．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3A：函数的图象与图象的变换．【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．0【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；91：向量的概念与向量的模．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题5．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】KC：双曲线的性质．【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．7．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4【考点】EH：绘制程序框图解决问题；E7：循环结构．【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，由此知空白处应填入的条件．【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．故选：B．【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．8．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有=45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P==，故选：C．【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键．9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA 1=，∴A（1，0，0），D 1（0，0，），D（0，0，0），B 1（1，1，），=（﹣1，0，），=（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．50【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．12．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由∠F 1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴题意的离心率e==．故选：D．【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2018•新课标Ⅱ）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=2ln（x+1），∴y′=，当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为9．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，由，解得A（5，4），目标函数有最大值，为z=9．故答案为：9．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．【解答】解：sinα+cosβ=l，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．16．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为40π．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sin∠AMB==．△SAB的面积为5，可得sin∠AMB=5，即×=5，即SA=4．SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：=2．则该圆锥的侧面积：π=40π．故答案为：40π．【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三．解答题（共7小题，满分80分）17．（12分）（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）根据a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数列{a n}的公差，然后求出a n即可；（2）由a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，得S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出S n以及S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题．18．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据模型①计算t=19时的值，根据模型②计算t=9时的值即可；（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，即可得出模型②的预测值更可靠些．【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型②：=99+17.5t，计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；．利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；（2）模型②得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以，利用模型②的预测值更可靠些．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．19．（12分）（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k （k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，则直线的斜率k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，则D（3，2），过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．20．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论．【解答】解：（1）证明：∵AB=BC=2，O是AC的中点，∴BO⊥AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，∴PO⊥AC，PO=2，则PB2=PO2+BO2，则PO⊥OB，∵OB∩AC=O，∴PO⊥平面ABC；（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），=（﹣2，2，0），设=λ=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1则=﹣=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面MPA的法向量为=（x，y，z），则=（0，﹣2，﹣2），则•=﹣2y﹣2z=0，•=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0令z=1，则y=﹣，x=，即=（，﹣，1），∵二面角M﹣PA﹣C为30°，∴cos30°=|=，即=，解得λ=或λ=3（舍），则平面MPA的法向量=（2，﹣，1），=（0，2，﹣2），PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜，＞|=||==．【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．21．（12分）（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，（2）分离参数可得a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得a．【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=e x﹣x2．则f′（x）=e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，则g′（x）=e x﹣2，令g′（x）=0，得x=ln2．当∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）≥h（ln2）=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程e x﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，⇔a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．G，当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．22．（10分）（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．23．（10分）（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，（2）由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题。

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．CD．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，，则 ( ){}2|<=x x A {}2,1,0,2-=B =⋂B A .A {}1,0.B {}1,0,1-.C {}2,1,0,2-.D {}2,1,0,1-2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )i-11第一象限第二象限 第三象限第四象限.A .B .C .D 3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为()s.A 21.B 65.C 67.D 127s4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率122f 为( ).A f 32.B f 322.C f 1252.D f12725. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()12 34.A .B .C .D 6. 设a ，b 均为单位向量，则“”是“a ⊥b ”的()33-=+a b a b充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件既不充分也不必要条件.A .B .C .D 7. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当变化时，的最d ()θθsin ,cos P 02=--my x m ,θd 大值为()1234.A .B .C .D 8. 设集合，则( )(){}2,4,1|,≤->+≥-=ay x y ax y x y x A 对任意实数，对任意实数，.A a ()A∈1,2.B a ()A∉1,2当且仅当时，当且仅当时，.C 0<a ()A∉1,2.D 23≤a ()A ∉1,2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 设是等差数列，且，，则的通项公式为__________．{}n a 31=a 3652=+a a {}n a 10.在极坐标系中，直线与圆相切，则_________．()0sin cos >=+a a θρθρθρcos 2==a 11. 设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为()()06cos >⎪⎭⎫⎝⎛-=ωπωx x f ()⎪⎭⎫⎝⎛≤4πf x f x ω__________．12.若，满足，则的最小值是__________．x y x y x 21≤≤+x y -213.能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数()()0f x f >]2,0(∈x ()x f []2,0是__________．14. 已知椭圆，双曲线，若双曲线的两条渐近线与椭圆()01:2222>>=+b a b y a x M 1:2222=-ny m x N N 的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为__________；双曲M M M 线的离心率为__________．N 3、解答题共6小题，共80分。

2018年湖北省高考数学理科试卷及解读1.i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解读】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B. 34 C.1 D.42【解题提示】考查二项式定理的通项公式【解读】选C . 因为1r T +=rr r r r r r x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1.3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,UA CB C⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解读】选C . 依题意，若C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不妨另C A =，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解读】选B .画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b，0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyzO-中，一个四面体的顶点坐标分别是<0,0,2），<2,2,0），<1,2，1），<2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解读】选D.在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.6.若函数f(x>，()g x满足11()g()d0f x x x-=⎰，则称f(x>，()g x为区间[-1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos22f x xg x x==；②()1,g()1f x x x x=+=-；③2(),g()f x x x x==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是< ）A.0B.1C.2D.3【解题提示】考查微积分基本定理的运用【解读】选C. 对①，1111 111111(sin cos)(sin)cos|0 2222x x dx x dx x---⋅==-=⎰⎰，则)(xf、)(xg为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对③，1341111()|04x dx x --==⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为< ）A.81B.41C. 43D.87 【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解读】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDFCEFBDFSSP S⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯. 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，2．()()12i i +-=（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）4．若1sin 3α=，则cos 2α=（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣7．函数422y x x =-++的图像大致为（ ）8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =（ ） A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.39．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF OP ，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．曲线()1x y ax e =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．15．函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．16．已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分。